DALIL LIMIT PUSAT. Sampling Distribution. Population/parent RV. Sample. X 1 X 2 X 3... X n. Sample values. x 1 x 2 x 3... x n.

DALIL LIMIT PUSAT DALIL LIMIT PUSAT Sampling Distribution

X

X

X₁ X₂ X₃ . . . X_n x₁ x₂ x₃ . . . _xn Population/parent RV Sample Sample values Koleksi

Koleksi daridari n variabeln variabel random yang random yang berasalberasal daridari parent RV parent RV X;

X; yaituyaitu : X: X₁₁, X, X₂₂ ……X……X_nn yang yang bersifatbersifat Independent identically Independent identically distributed (

Fungsi

Fungsi daridari VR yang VR yang terdiriterdiri sample random sample random disebutdisebut : : statistik

statistik, , jikajika tidaktidak tergantungtergantung padapada parameter yang parameter yang tidaktidak diketahui

diketahui.. Notasinya

Notasinya sebagaisebagai berikutberikut :: V = v (X

V = v (X₁₁, X, X₂₂, X, X₃₃, . . . X, . . . X_nn)) = t (X

= t (X₁₁, X, X₂₂, X, X₃₃, . . . X, . . . X_nn)) adalahadalah StatistikStatistik (statistic)(statistic) Karena

Karena statistikstatistik merupakanmerupakan fungsifungsi daridari VR, VR, makamaka statistikstatistik sendiri

sendiri tidaktidak lain lain daridari VR; VR; oleholeh karenakarena ituitu mempunyaimempunyai distribusi

distribusi peluangpeluang. Distribusi. Distribusi peluangpeluang daridari statistikstatistik disebutdisebut Sampling distribution.

Sampling distribution.

ˆ

T

DALIL LIMIT PUSAT DALIL LIMIT PUSAT

Pada

Pada babbab iniini akanakan dibahasdibahas distribusidistribusi daridari sample mean. sample mean. Distribusi

Distribusi sample mean sample mean daridari sample random yang sample random yang diambildiambil dari

dari distribusidistribusi Normal jugaNormal juga berdistribusiberdistribusi Normal.Normal. Teorema

Teorema limit limit pusatpusat (the central limit theorem) (the central limit theorem) menegaskan

menegaskan bahwabahwa: : sample size n sample size n cukupcukup besarbesar, , distribusi

distribusi daridari sampelsampel mean mean akanakan mendekatimendekati distribusidistribusi Normal

Normal dengandengan : mean = : mean = μμ, , dandan standarstandar deviasi/simpangan

deviasi/simpangan bakubaku

Banyak

Banyak masalahmasalah--masalahmasalah dalamdalam teoriteori peluangpeluang dandan statistika

statistika inferensialinferensial dapatdapat direduksidireduksi keke distribusidistribusi :: DALIL LIMIT PUSAT

DALIL LIMIT PUSAT

n σ n i

sample total T

=

∑

X

1

n i

sample mean X

=

∑

X

DALIL LIMIT PUSAT DALIL LIMIT PUSAT

Jika n VR X_i , i = 1, 2, … n

saling bebas dan berdistribusi normal dengan :

X

_i

~ NOR (μ ; σ

2₎

Maka : Dimana :

Bukti di bahas di kelas

2 1

~

( ;

)

n i i i

X

a X

NOR

μ σ

=

=

∑

2 2 2 1 n i i

a

σ

σ

=

=

∑

1 n i i

a

μ

μ

=

=

∑

DALIL LIMIT PUSAT DALIL LIMIT PUSAT

Jika X₁ , X₂, ..… X_N adalah sampel random dari populasi yang berdistribusi normal dengan

mean = μ dan variansi σ2_,

maka :

Sample total :

T ~ NOR

(

nμ, nσ

2

)

dan

Sample Mean :

_~

₍

_,

2

₎

n

NOR

1. Catatan dalam log-book maskapai penerbangan B747 diperoleh data sebagai berikut :

a). Rata-rata berat bagasi per penumpang 17.3 kg dengan simpangan baku 3,1 kg.

b). Rata-rata berat penumpang 70 kg dengan simpangan baku 8 kg Pertanyaan :

1). Tentukan peluang bahwa rata-rata berat bagasi perpenumpang dalam antrian 25 begasi di check in counter kurang dari 16 kg 2). Tentukan peluang dari total berat 400 penumpang yang

menumpangi pesawat B747 atau melebihi 28.480 kg

3). Tentukan peluang dari 400 penumpang beserta begasinya akan melebihi dari maksimum beban totalnya, yaitu 35.450 kg

Solusi Solusi Misalkan

Misalkan X PA/VR yang X PA/VR yang menyatakanmenyatakan ““BeratBerat BegasiBegasi””, , makamaka :: μ

μ_{X X} = 17,3 = 17,3 dandan σσ_XX = 3,1= 3,1

X

Selanjutnya

Selanjutnya apabilaapabila MenyatakanMenyatakan rataanrataan daridari beratberat begasibegasi Bagi

Bagi sampelsampel acakacak (random sample) 25 (random sample) 25 penumpangpenumpang, , makamaka pertanyaan

pertanyaan 1 adalah1 adalah

(

)

16

?

P X

<

=

Menurut

Menurut teoriteori :: Jika

Jika XX₁₁, X, X₂₂, , …X…X_nn adalahadalah n iidn iid PA/PR denganPA/PR dengan : E (X: E (X_ii) = ) = μμ dan

dan VarVar XX_ii = = σσ22_{, maka, maka : :}

( )

2

;

E X

=

μ

Var X

=

σ

2 Sb Var X n _n σ σ = = =

( )

(

)

(

)

16 17,3

16

2,097

3,1 25

2,1

( 2,1)

0,0179

X

P X

P

P Z

n

P Z

μ

σ

⎛

₋

₋

⎞

< =

_⎜

<

_⎟

≈

<−

⎝

⎠

=

<−

=Φ −

=

Solusi

Solusi

dari

dari

pertanyaan

pertanyaan

b

b

Misalkan

Misalkan WW_ii menyatakanmenyatakan beratberat penumpangpenumpang, , dengandengan i = 1, 2, . . . 400i = 1, 2, . . . 400 Maka

Maka :: adalahadalah total total beratberat keke 400 400 penumpangpenumpang.. 4 0 0 1 i i W =

∑

Selanjutnya

Selanjutnya akanakan dihitungdihitung ::

400 1 28.480 ? i i P W = ⎛ _> ⎞₌ ⎜ ⎟ ⎝

∑

⎠ 400 1 28.480 i i P W = ⎛ _> ⎞ ⎜ ⎟ ⎝

∑

⎠ 28.480 400 400 i W P⎛ ⎞ = _⎜⎜ > _⎟⎟ ⎝ ⎠

∑

₌

_{P W}

₍

_>

_{71, 2}

₎

(

)

71, 2 70 3 8 400 W P P Z n μ σ ⎛ _{− −} ⎞ = _⎜ > _⎟≈ > ⎝ ⎠

(

)

1

3

1

(3)

1 0,9987 0,0013

P Z

= −

≤ = −Φ

= −

=

Solusi

Solusi

dari

dari

pertanyaan

pertanyaan

c

c

Perlu

Perlu diingatdiingat bahwabahwa :: ™

™ BeratBerat penumpangpenumpang salingsaling bebasbebas antaraantara penumpangpenumpang yang yang satu

satu dengandengan yang yang lainnyalainnya ™

™ DemikianDemikian jugajuga beratberat begasinyabegasinya ™

™ BeratBerat penumpangpenumpang salingsaling bebasbebas dengandengan beratberat begasibegasi Misalkan

Misalkan TT_ii = = WW_ii + X+ X_ii, , makamaka akanakan dihitungdihitung ::

400 1 35.450 i i P T = ⎛ _> ⎞ ⎜ ⎟ ⎝

∑

⎠

( ) ( ) ( )

70 17,3 87,3

T

W

X

E T

E W

E X

μ

μ

= +

=

+

=

+

=

+

=

( )

2 2 _3,1

8

0,184025 400 400

Var T =Var W +Var X = + =

(

)

( )

₍

₎

(

)

400 1

35.450

88, 625

88, 625

87, 3

3,1

0.184025

1

3,1

1

0990

0, 0001

i i

P

T

P T

T

E T

P

P Z

SBT

P Z

=

⎛

_>

⎞

₌

_>

⎜

⎟

⎝

⎠

⎛

₋

₋

⎞

⎜

_>

⎟

₌

_>

⎜

⎟

⎝

⎠

= −

≤

= −

=

∑

1. Kereta gantunng

(Cable Car)

mempunyai kapasitas berat 5.000 pounds.

Andaikan berat orang yang akan naik kereta gantung

dipilih secara random dari Distribusi Normal dengan Mean 175 Pounds dan standard deviasi 20 pounds.

Tentukan maksimum banyaknya penumpang

yang akan

naik kereta gantung, sehingga total beratnya lebih dari 5.000 pounds dengan peluang 0,05.

Student t Distribution

Student t Distribution

Distribusi

Distribusi t t ditemukanditemukan oleholeh W.S. W.S. GossetGosset, , ahliahli kimiakimia yang yang bekerjabekerja pada

pada pabrikpabrik BirBir Guinness Guinness didi IrlandiaIrlandia.. Publikasi

Publikasi atasatas penemuannyapenemuannya dilakukandilakukan padapada 1908 1908 dengandengan namanama samaran

samaran ““ STUDENTSTUDENT”” Seperti

Seperti kitakita ketahuiketahui bahwabahwa ::

2

~

,

,

~

(0,1)

n

X

X

NOR

dan

NOR

n

σ

σ

μ

μ

⎛

⎞

−

⎜

⎟

⎝

⎠

Jika

Jika σσ22 tidaktidak diketahuidiketahui, , makamaka sebagaisebagai penggantinyapenggantinya adalahadalah S, S, karena

karena E (SE (S22_{) = ) =} σσ22 → → _{DLP : SDLP : S}22 _{adalahadalah merupakanmerupakan unbiased unbiased}

estimate

estimate bagibagi σσ22

Andaikan

Andaikan Z ~ NOR (0,1)Z ~ NOR (0,1)

2

~

Z

Z dandan V V salingsaling bebasbebas, , makamaka ::

= Z : T dengan pdf V k

( )

( )

₍

₎

1 2 ₂ 1 2 2

1

( )

.

1

k k k _x k

f x

k

π

+ +

Γ

=

Γ

₊

X

X disebutdisebut berdistribusiberdistribusi t t –– dgndgn k k dofdof, , disingkatdisingkat tt_kk

( ) 0, ( ) ; 2 2 k E T Var T k k = = > −

:

X

Pandang T

_s

n

μ

−

=

2 2 n X X

X

T

_s

_s

s

n

n

σ μ μ σ

μ

σ

_σ

− −

−

=

=

=

2 2 ( 1 ) ( 1 ) s n X s n n

T

μ σ − − −

=

_{2 2} 2 ₁

(0,1)

(

1)

~

_n

NOR

s

n

_σ

t

₋

→

→

−

2 1 ~ _n

Distribusi

Distribusi t t termasuktermasuk dalamdalam keluargakeluarga distribusidistribusi Normal; Normal; apabila

apabila dibandingkandibandingkan dengandengan distribusidistribusi Normal makaNormal maka distribusi

distribusi t t agakagak melebarmelebar. . UntukUntuk menyelesaikanmenyelesaikan soalsoal--soalsoal yang