1
BAB I PENDAHULUAN
Seperti yang telah diketahui, suatu sistem disusun oleh sejumlah partikel yang memiliki energi yang berbeda. Oleh Karena itu, kita memerlukan fungsi distribusi untuk menggambarkan keadaan sistem tersebut. Fungsi distribusi ini dibangun atas dasar jumlah keadaan mikro maksimal yang dapat dibuat dari setiap keadaan makro yang kita munculkan.
Berdasarkan sifat kerapatan partikel dalam sistem, kondisi keadaan partikel dibedakan menjadi tiga macam, yaitu:
a. Partikel dapat dibedakan satu dari yang lainnya dan satu keadaan yang sama dapat tidak ditempati atau ditempati oleh satu atau lebih. Partikel dideskripsikan secara klasik tanpa simetri.
b. Partikel tidak dapat dibedakan satu dari yang lainnya (identik) dan satu keadaan yang sama dapat tidak ditempati atau ditempati oleh satu atau lebih. Partikel ini memiliki spin 0 atau bilangan bulat dan simetri genap atau simetri saja.
c. Partikel tidak dapat dibedakan satu dari yang lainnya dan satu keadaan dapat tidak ditempati atau ditempati satu partikel saja. Partikel ini mempunyai spin tengahan dan simetri ganjil atau anti simetri.
Asumsi keadaan partikel yang pertama (a) merupakan asumsi yang mendasari distribusi Maxwell-Boltzmann. Salah satu contoh aplikasi distribusi Maxwell-Boltzmann dapat kita temukan pada vibrasi kisi dalam kristal.
2
BAB II DASAR TEORI
A. Penurunan Fungsi Distribusi Maxwell-Boltzmann
Misalkan satu sistem terdiri dari N partikel terbedakan. Partikel-partikel ini akan mempunyai N! kombinasi urutan. Bila dari N partikel n1 partikel menempati keadaan 1, n2 menempati keadaan 2 dan seterusnya sampai nr partikel menempati keadaan r. maka ke N partikel ini sekarang mempunyai
Jika setiap tingkat energi merupakan keadaan degenerasi lipat gi maka jumlah kombinasi yang ada untuk setiap keadaan
∏
Karena itu, kombinasi total dari N partikel dengan partikel menempati keadaan 1 terdegenerasi lipat g1 dan seterusnya adalah
∏ ∏ Logaritma dari jumlah total keadaan di atas adalah
∑ ∑
∑ ∑
Menggunakan rumus Stirling , maka
3 ∑ ∑
Dalam keadaan setimbang, jumlah keadaan adalah maksimum. Mengingat degenarasi tidak berubah maka
∑ ∑ ∑ ∑
∑ ∑ ∑
∑ ( ) Secara fisis dalam sistem yang kita definisikan dapat memunculkan syarat fisis tertentu :
……(7)
Kendala jumlah partikel dan energi tetap setelah dikali dengan faktor pengali Lagrange memberi vibrasi
∑ { ( ) }
Karena tidak sama dengan nol, maka
( )
Solusinya
ni N keseluruhan jumlah partikel harus seimbang, dalam arti jumlahnya konstan
ini E dalam keadaan setimbang tidak ada lagi perubahan energi berarti jumlah energi juga konstan, maka turunannya akan berharga nol.
ln ni ini 0
N0
ni 0;
ni 0
E0
ini 0;
ini 04
Atau
Faktor gi adalah derajat degenerasi keadaan ke-i.
B. Kristal
Kristal merupakan salah satu benda padat. Benda padat yang berbentuk kristal akan memiliki atom, ion, atau molekul yang terdistribusi secara teratur dan periodik dalam rentang yang panjang dalam ruang. Kristal sempurna memiliki keperiodikan takberhingga. Namun, pada kenyataannya tidak ada kristal yang sempurna karena berbagai keterbatasan fisis, yaitu:
1. Adanya permukaan kristal 2. Cacat geometrik
3. Ketakmurnian
4. Pada suhu T > 0 K atom dalam kristal bergetar harmonik di sekitar titik setimbangnya.
Semua struktur kristal dapat digambarkan atau dijelaskan dalam istilah-istilah Lattice (kisi) dan basis yang ditempelkan pada kisi. Kisi adalah susunan titik-titik yang teratur dan periodik di dalam ruang.Sedangkan basis adalah sekumpulan atom yang berada di sekitar titik kisi.
Kristal tidak sempurna salah satunya karena pada suhu lebih dari nol Kelvin atom pada kristal bergetar harmonik di sekitar titik setimbangnya. Karena atom ada pada kisi kristal, sehingga kita dapat memandangnya sebagai bentuk vibrasi kisi. Vibrasi kisi tersebut terjadi akibat energi termal.
Teori klasik kinetik gas menganggap bahwa energi dalam untuk suatu gas tersimpan sebagai energi kinetik atom tersebut. Hukum ekipartisi menyatakan bahwa besaran fisis energi yang besarnya berbanding lurus dengan kuadrat jarak atau momentum, maka untuk setiap derajat kebebasan pada suhu T memiliki energi sama, yaitu (1/2)kT, dengan k adalah konstanta Boltzmann. Hal ini berarti energi kinetic setiap
5 atom adalah (1/2)kT. Gas monoatomik memiliki tiga derajat kebebasan, sehingga pada suhu T energi untuk N atom adalah:
⁄ ⁄ Setiap atom dalam kristal, selain memiliki 3 derajat kebebasan untuk geraknya di sekitar kedudukan setimbangnya (energi kinetik), juga memiliki energi potensial dalam gerak harmoniknya. Pada gerak harmonik sederhana, energi kinetic rata-rata sama dengan energi potensial rata-rata, sehingga energi total dalam sistem dinyatakan sebagai berikut:
( )
Ungkapan di atas menunjukkan bahwa kapasitas panas kristal pada volume konstan adalah:
(
) Kapasitas panas tersebut diperoleh dengan meninjau sistem secara makro. Hasil tersebut sesuai dengan penemuan empirik Dulong-Petit, yang berlaku untuk hampir semua zat padat pada suhu ruang aau yang lebih tinggi.
Hasil eksperimen juga menunjukkan bahwa pada suhu tinggi diperoleh nilai kapasitas panas seperti persamaan di atas, dan nilai Cv menurun apabila T menurun dan mendekati
6
BAB III PEMBAHASAN
Tinjauan Mikroskopik Vibrasi Kisi dengan Distribusi Statistik Maxwell-Boltzmann
Untuk membuktikan nilai kapasitas panas yang didapatkan dari hasil eksperimen tersebut secara teoritis, perhitungan dilakukan dengan meninjau sistem secara mikro. Yang akan ditinjau adalah vibrasi kisi dalam kristal.
Untuk pembahasan kali ini hanya akan dibahas mengenai pemodelan yang dilakukan oleh Einstein. Einstein membuat asumsi menganai vibrasi atom dalam Kristal sebagai berikut :
1. Atom yang bergetar di titik kesetimbangan tidak saling mempengaruhi dengan atom tetangganya. Getaran bersifat harmonik dan sederhana dengan frekuensi
2. Karena setiap energi atom berbeda-beda, maka masing-masing atom memiliki energi diskrit = (n + .
3. Dalam suatu kristal, jarak antar atom relatif jauh satu sama lain, sehingga energi masing-masing atom dianggap diskrit dan dapat terbedakan. Untuk itu, sebaran energi osilator mengikuti distribusi Boltzmann.
Berdasarkan persamaan , fungsi distribusi Boltzmann adalah:
Dengan ⁄ , sehingga:
4. Energi rata-rata suatu kristal dapat didefinisikan sebagai jumlah dari perkalian antara energi tiap atom ( ) dengan peluangnya ( ), sehingga dituliskan sebagai berikut:
∑
∑
∑
Dengan asumsi tersebut, kita dapat mencari energi rata-rata suatu osilator harmonik dalam Kristal dengan cara sebagai berikut.
7 Z = ∑
Jika kita diferensialkan Z terhadap β ∑ ∑ Sehingga energi rata-rata osilator dapat dinyatakan sebagai sberikut:
∑∑ ∑ ∑ Dengan mensubstitusi persamaan , dapat dicari nilai Z sebagai berikut:
Z = ∑ ∑ ∑
Berdasarkan deret geometri, jika| | , maka berlaku:
∑
Sehingga Z dapat dinyatakan sebagai berikut: (
)
Selanjutnya dapat diperoleh persamaan-persamaan berikut ini :
( ( )) ( )
Dan energi rata – rata osilator menjadi
( (
8 ( ) ( ) ( ⁄ )
Jika T →0, maka ⁄ , sehingga . Energi tersebut disebut energi titik nol.
Untuk suhu tinggi (T→∞), maka
⁄ ⁄ Sehingga ( ( ⁄ )) ( ) Untuk jumlah atom atau partikel N dan masing-masing atom memiliki 3 derajat kebebasan, energi total sistem adalah sebagai berikut:
Dan kapasitas panas saat volumenya konstan adalah:
Dengan , maka
Sedangkan untuk suhu rendah (T<<<<), maka ⁄
Untuk N jumlah atom dan masing-masing atom memiliki 3 derajat kebebasan, maka energi total sistem adalah:
(
⁄ )
9 ( ( ⁄ )) ( ( ⁄ ) ) ( ⁄ ) ( ) ⁄ ⁄ ( ) ⁄ ⁄
Dengan suhu Einstein: ⁄ , maka:
( )
⁄
⁄
Nilai kapasitas panas untuk suhu tinggi yang diperoleh dengan meninjau sistem secara mikro ternyata sesuai dengan hasil eksperimen yang dilakukan dulong-petit dan ilmuwan sebelumnya. Berdasarkan hasil yang diperoleh Dulong-Petit, nilai kapasitas panas suatu zat padat adalah sama, yaitu 3R=5,97 cal/mol K, untuk suhu tinggi. Namun, untuk suhu rendah, nilai kapasitas panas model Einstein tidak sesuai dengan hasil eksperimen. Karena berdasarkan eksperimen, nilai kapasitas panas untuk setiap suhu digambarkan oleh grafik berikut:
Gambar 1. Grafik kapasitas panas terhadap suhu berdasarkan hasil eksperimen T
10 Nilai kapasitas panas untuk suhu rendah yang sesuai dengan grafik tersebut adalah sebagai berikut:
( )
Dengan ⁄ dan ⁄ .
11
BAB IV KESIMPULAN
Distribusi Maxwell-Boltzmann diterapkan dalam perhitungan statistik dengan jumlah partikel sedikit dan dapat terbedakan. Salah satu aplikasinya adalah dalam perhitungan energi rata-rata vibrasi kisi dalam kristal dengan pemodelan yang dilakukan Bose dan Einstein.
Berdasarkan pembahasan di atas, dapat disimpulkan bahwa energi pada vibrasi kisi dalam kristal yang dihitung berdasarkan distribusi Maxwell-Boltzmann dan melalui pemodelan yang dilakukan oleh Bose dan Einstein adalah sebesar
(
⁄ )
Dari energi rata-rata yang diperoleh, dapat ditentukan kapasitas panas pada kristal untuk suhu tinggi dan suhu rendah. Untuk suhu tinggi, nilai kapasitas panas yang diperoleh adalah
Sementara untuk suhu rendah, nilai kapasitas panas yang diperoleh adalah
( )
⁄
⁄
Dengan suhu Einstein: ⁄ .
Nilai kapasitas panas pada suhu tinggi sesuai dengan nilai kapasitas panas yang diperoleh berdasarkan hasil eksperimen, sedangkan untuk suhu rendah nilai kapasitas panas yang diperoleh berdasarkan peninjauan mikroskopis ini tidak sesuai dengan hasil eksperimen.
12
DAFTAR PUSTAKA
Purwanto, Agus. 2007. Fisika Statistik. Yogyakarta: Gava Media.
Parno. 2002. Diktat Kuliah Pendahuluan Fisika Zat Padat. Depdiknas Universitas Negeri Malang
