i.;v PENYELESAIAN PERSAMAAN DIFUSI SECARA NUMERIK Bagian 2 Karsono cfio BADAN TENAGA ATOM NASIONAL PUSAT PENELTITAN TENAGA ATOM GAMA

e»i^*s»-+» <f^ f c f ( i » V

P P G M - L 164-78

7 ^ - l\

i . ; v

PENYELESAIAN PERSAMAAN DIFUSI SECARA NUMERIK Bagian 2 K a r s o n o . ( ** • * .. I . > - * , ' , l a - . ; > i * j .1

cfio

1 . " ' i-v*" **'•-" 1 * . ' ; ^ ; ^ i t " > . / 1 ,:-.'i=v,. ^ */,' . ' • " ' ; «

BADAN TENAGA ATOM NASIONAL

PUSAT PENELTITAN TENAGA ATOM GAMA

YOGYAKARTA — INDONESIA

We regret that some of the pages in the microfiche

copy of this report may not be up to the proper

legibility standards, even though the best possible

Teknik dan Teknologi Reaktor Nuklir

Teori dan-Perhitungan Keaktor

PPGM -- L l6U - 78

FEHYEL5SAIAN PERSAMAAK DIFUSI SECARA HUMEBIK

Eagian 2

Karsono

19T8

EADAN TENAGA ATOM HASIONAL Pusat Penelitian Tenaga Atom Gama Jl. Babarsari, P.O. Box 8 .. Telp. 366l

ABSPRAK

Diuraikan. dengan s i n ^ k a t s t u d i p u s t a k a mengenai p e i r y e l e s a i c n numerik j e r s e m a a n d i f u s i dalaia s i s t e m k o o r d i n a t ( C a r t e s i a n ) x -y meng-gunaksn t e o r i dua kelompok.

ABSTRACT

A study of the numerical Solution of the Tvo Group Diffusion Equations in x • y Geometry is "briefly described.

D A F T A H I S I A B S I B A I I . PENDAHULTJAlf I I . FORMULASI PROBLEM • I I . A . Problem k o n t i n y u I I . B . Problem d i s k r i t

I I I . . PENYELESAIAH SJWGKUT jflt LIMA TITIK I I I .A. I t e r a s i l u a r den i t e r a s i dalam I I I . B . I t e r a s i l u a r

I I I . C . I t e r a s i dolam

I I I . D . Konvergensi p e n y e l e s a i a n dan k r i t e r i a k o n v e r g e n s i R E F E R E N S I

I. PENDAHULUAH

Bentuk 1111110111 persamaan difusi neutron untuk reaktor heterogen dalam dua dimensi (menggunakan sistem koordinat Cartesian x-y atau si linder r z ) , menggunakan teori banyak kelompok, tak gayut waktu adalah

D. (x) V*.(x)| - ff.(x) *.(x) + ^ 5 + .I*(x) «. _(x) = 0 (1.1) i = 1, 2, k di mana o.(x) = E l x ) + Z,(x) + B„ D,(x) 1 1 1 z 1 k r 1 ¥(x) = .^[v. ^(xjs^x)] (1.2) k=l 1 ,R,->»

„R,->-E"(X) = sf(x) = 0 dan x. = 1 untuk i = k = 1 x, = 0 dan I *.=1 untuk k > 1.

Arti fisis simbol-simbol yang digunakan pada persamaan ter-se"but di atas adalah sebagai berikut :

( D = konstanta difusi

a j

Z = tampang absorbsi

E = tampang pindahan (removal cross section)

o

IT = transverse buckling

X- = integral spektrum fidi pada jangkau lethargy yang direpresenta sikan oleh kelompok-i

••? = sumber fisi ,\ = harga pribadi

v. = jumlah neutron rata rata yang diakibatkan oleh proses fisi da ri kelompok-i

f

£ = tampang fisx $ = flux neutron

Daerah. R di mana persamaan (I.l) didefinisikan adalah suatu luasan dengan batas luar (kurva) P. Daerah tersehut tersusun atas be-berapa daerah bagian R. dan C , masing-masing dikenal sebagai daerah

«J J

difusi, daerah hatang kendali {rod regions) yang saling terpisah oleh

batas Y..

Di setiap daerah bagian dari R tersebut D.(x)„ I (x) . dan

a.(x) boleh dianggap konstan sehingga secara keseluruhan mereka

kon-stan daerah demi daerah (regionwise constants). Dengan anggapan

terse-hut (I.l) hisa kita tulis menjadi <

X ¥(x)

D,(x) V2*.(x) . o.*.(x) + - ^ + r ! . ( x ) 4...(x) = 0 (1.3)

i x I X A. a«l l-l

i = 1, 2 , , k.

Sedangkan flux neutron *.(x) yang raenenuhi (1.3) masih juga harus

me-menuhi syarat kontinuitas.. y a i t u pada s e t i a p batas y •» * • dan 3 i

D.(x) $.(x) kontinyu.

Di daerah-dalam C, s a t u atau lebih flux neutron t a k didef.V

nisikan (dalam. t e o r i dua kelompok flux i n i adalah flux neutron lambat)

mesk'ipun demikian mereka disyaratkan me-nenuhi D. a ^ s )

$ . ( s ) 3n

= c , (I.»*)

+- J

J

di mana c, positip dan derivatif diambil tegak lurus pada v., ke arah

J J C.- Sedangkan -flux neutron lainnya tetap mengikuti persamaan (I.l).

berpotongan atau "berserikafc daerah b a t a s n y a . maksudnya a n t a r a sebarang

dua daeran batang kendali s e l a l u d i s e l a oleh daerah d i f u s i .

J i k a ¥ dan $. didefinisikan d i daerah "batas l u a r maka s e t i a p

bagian d a r i r mereka memenuhi syarat yang sama, y a i t u :

^ ( t ) = $ . ( s V = O u n t u k f ^ r atau (1.5)

Berikutnya diuraikan metode numerik penyelesaian pers&maan

d i f u s i neutron dalam sistem koordinat Cartesian x-y menggunakan t e o r i

dua kelompok, penyelesaian persamaan serupa menggunakan sistem

koor-dinat s i l i n d e r atau pun t e o r i "banyak kelompok tak banyak berbeda

mes-kipun l e b i h rumit.

Menggunakan t e o r i dua kelompok dan sistem koordinat

Carte-sian x - y , persamaan d i f u s i ( i . l ) berbentuk

• D ^2 $x(x) - a ^ x ) + (1/X) zl(x).v2. *2(x) = 0

I>2\72 *2( x ) - ^2<52(x) + E£(X) ^ ( X ) = 0

(1.7)

Dalam h a l ini., §.. (x) dikenal sebagai flux neutron cepat sedangkan

*_(x) flux neutron lembat, Uampak bahwa (1.7) merupakan persamaen

(sistem persamaan) d i f e r e n s i a l orde dua. Pada bab selanjutnya

persama-an t e r a k h i r t a d i didekati secara numerik dengpersama-an netode ' beda-persama-anta

(fi-nite difference) dengan memperhatikan juga s y a r a t - s y a r a t yang t.elah

II. F0BKULA8I PFOBEEM

A. Problem kontinyu

Untuk laencari penyelesaian persanaan (1.7) secara xmmerik

k i t a akan menibahas dafrulu daerah E d i nana persamaan terselaut d i d e f i

-n i s i k a -n . l e l a h dikemukaka-n5 E t e r d i r i atas "beberapa daerah. d i f u s i E. >

"beberapa daerah C. s e r t a "batas-dalam-Y. yang merupakan b a t a s antara

3 <J

dua buah daerali hagion (P atau pun C ) . Dalam pendekatan numerik da~

erah t e r s e b u t k i t a onggap t e r d i r i a t a s beberapa segi-empat-panjang

(menutup R) yang dimensinya boleh ditentukan sekehendak"". Agar lefcih

j e l a s persamaan s e r t a s y a r a t - s y a r a t unt-uk flux neutron akan kami

kemu-kakan ulang.

Daerah d i f u s i E.

t j

Pada daerah i n i p a r a a dan D adalah konsten-konstan

(daerah-demi-daerah) p o s i t i p , -Vp.£g(x) konstan non n e g a t i f . Simbol $,(x),$_(x)

masing-masing d i g a n t i dengan simbol l a i n , y a i t u $-(x) dan $ ( x ) .

De-X S

ngan demikian (1.7) berubah menjadi

B y2 4 (x) - cr^, t (x) + (1/X) s f ( x ) . \> . $ (x) - 0

D V 6 (x) - a 5 (x) + Z' ^.(x) = C s s s s r 1

- > •

untuk s e t i a p x £ E .

Di s e t i a p t i t i k pada daerah b a t a s y maka $ ., ^^» D V $ dan

Df7*+, harus kontinyu.

5^

Daerah b a t a n g k e n d a l i C.

Pada d a e r e h i n i p a r e D dan a a d a l a h k o n s t a n " k o n s t a n ( d a e r a h -demi'-daerah) p o s i t i p . v . I p ( x ) = 0 . Untuk f l u x n s u t r o u c e p a t $f( x ) a t

k a d a e r a h I n i t e t a p n e n i p a k a n a a e r t h d i f u s i ( a r t i n y a u n t u k f l u x t e r s e -Taut masih b e r l a k u p e r s a a a a n d i f u s i yang s e s u a i dengannye.). Persomaan

d i f u s i talc b e r l a k u l e g i b a g i f l u x n e u t r o n l a m b s t , t e t a p i f l u x i n i ha-r u s memenuhi s y a ha-r a t D <x) 3$ _ s s_ *s( x ) 3n ^ = - c c . > 0 ( 1 1 , 2 )

Adapun s y a r a t "batas yang dikenakan padanya y a i t u s a l a h s a t u d a r i keiaungkinan s y a r a t b a t a s - l u a r ( 1 . 5 ) a t e u (1.6).

3- P r o b l e n d i s k r i t

S e l s n j u t n y a problem k o n t i n y u yang d i n y a t a k a n o l e h persamaan'' ( I l . l ) h i n g g a ( I I . 3 ) d i a t a s akan k i t a ubah a t a u d i d e k a t i o l e h problem d i s k r i t dengan menganggap d a e r a h R t e r d i r i a t a s s e g i - p a n j a n g d i b i d e n g x - y4 dengan menarik g a r i s g a o r i s d a t a r ( s e j a j a r sumbu x) dan g a r i s g a

-r i s t e g a k ( s e j a j a -r dengan sumbu y ) . Kemudian pe-rsemaen k i t a d e k a t i s e ~ c a r a n u m e r i k , s e c a r a d i s k r i t dengan met ode b e d a - a n t a yang s e s u a i . Ti~ t i k - t i t i k potong g a r i s - g a r i s t e r s e b u t akan k i t a namakan t i t i k mesh

[meeh point). (

T i t i k t i t i k mesh d i dalcir. d a e r a h R k i t a bcdakan menjadi t i ga b a g i a n y a i t u t i t i k n e s h ( x , y ) d i d a e r a h dalem s u a t u d a e r a h d i f u -s i j t i t i k me-sh yeng t e r l e t a k p a d a b a t a -s Y., e n t e r ? , daerah--daerah difu--s i den. b a t a n g k c n d a l i difu--s e r t a . t i t i k nedifu--sh yang t e r l e t o k d i d a e r e h b a t a n g k e n d a l : . . Termasuk t i t i k d e r i j e n i s p e r t erne, adalah t i t i k t i t i k mesh p a

-6

da "bates y antara dua buah. daerah. d i f u s i . T i t i k mesh d a r i jenis Tier—

tama b e r k a i t a n dengan ( l l - l ) s j s n i s kedua dengan ( I I . 3 ) dan j e n i s k e

-t i g a "berkai-tan dengan keduanya y a i -t u ( I I . l ) dan ( I I . 3 ) .

Hl *2 R

u

V

R3 i • ~ : _ _ < > — • • • • ' • -. , » ™ ' " — • • - . . • • —

1

1

1

' TEPDIRI ATAS 30 TITIK MESH

B i l a t i t i k mesh (x y ) t i t i k dalam suatu daerah difusi R,, o - o ' < V yo + hl)

(V

h

2

V

1 I -r-r

i V

2

! r

(

V

i V

2

'

*k

S

/2\

y ) : y

°

r3

!

h3/ 2

fw^

(

V

y

o ~ V

Nampak (x ,y ) d i a p i t oleh ^ buah t i t i k mesh yang berada d i s e k i t a r n y a o ' " o

dengan j a r a k (terhadap (x ,y )) yang t i d a k p e r l u sama. Dalam persoalan

i n i keennsat daersh r . yang mengitari (x ,y ) merupakan daerah difusi., 1 , O • O

sehingga persamaan difusi berlaku uatuk kedua. flux neutron, ^engingat

bentuk persainaan pertaaa dan kedua dalam ( l l . l ) adalah serupa make

persamaan i t u akan k i t e ubsh kc bentuk l a i n ysng saaa y a i t u

T

dengan U(x,,y) mentmSuk b a i k 0s( x5y ) atau pun S^Cx^)., 1 = 1*2,3,^ D^.

adalah D~ atau D untuk daerah r . (demikian p u l a untuk I. dan a.)

yang sesuai dengan U(x.,y). Karena untuk s e t i a p r± harga V±> a± dan Z± •

*——-»•..» I** jr-oaroh -tp*"—'»ttfej U P W ;iika ( U . ^ l dl*--|-'--~raikan me."H*v

'"**-seluruh r . akan diperoleh persamaan

Di //v 2U(x,y)dxdy - c r j / Tj(x,y)dxdy + E / / S(x5y)dxdy = 0

r . r . r .

untuk i = 1„ 2, 3, **.

p '

Menurut teorema Green, integral gcnda //v U(x,y)dxdy ekuivalen dengan

integral geris /—.— ds meliputi penggal garis d. yang mengelilingi r.

d 3n i i

dan berlawanan arah dengan arahnya Jaruia jaw- Dengan demikian (11,5)

ekuivalen dengan

D. / - — ds •• o. / / u ( x , y ) d x d y + E. / / s ( x , y ) d x d y = 0 ( I I . 6 )

i . i i

r ~ dalam ( I I . 6 ) adalah d e r i v a t i f d a r i U terhada^ normal aroh ke l u a r . _9n

I

\v-J-ir

i = 1 , 2 , 3 , k. 91J

B i l a ( I I . 6 ) k i t a jumlahkan untuk keempat buah hargc. i maka diperoleh

perssmaan

ds - a± //u(x,y)dxdy + l± //s(x9y)dxdy ] = 0

ri , ri

Misalkon T kurvn yang mexabatasi empat-s'egi-pan Jang r . , r2, r

-dan r. se-dang d. adalah bcgien d a r i d. yar.g Iserserikat dengan kurva T

i n i , maka mengingat harga i n t e g r a l g a r i s lev at l i n t as an yang saina t a p i

mengikuti areh yang "berlavanan akan s a l i n g memusnahkan (jumleh dun i n

I

i = l 3U

V4n

ds

~

a

i J M

3

^ ^ ^ * \ //S(x,y)dxdy

di ri r . = 0 ( I I . 8 )

Euas k i r i persaiaaan t e r s k h i r t a d i akan d i d e k a t i dengan met ode "beda a n -t a s e h i n g g a d i p e r o l e h sangk-t-tfcan l i m a -t i -t i k y a i -t u -t i -t i k ( x , y ) dan

em-o em-o

p a t "buan t i t i k mesh dx s e k i t a r n y a . Uhtizk i t u k i t a akan n e n g e r j c k a n p e n d e k a t a n t e r h a d a p h a r g a i n t e g r a l s i n t e g r a l ganda dan d e r i v a t i f d i ( I I . 8 ) dengan p e n d e k a t a n numerik h e r i k u t i n i > * 2 a 2 / / g ( x , y ) d x d y = g U ^ b H a g •• a1) ( h0 - ^ ) J g ( x ) ~ g ( a1) ( a2 •• a2) U(x„,y„ + h) - U(x .y J

a u

_{3 i < V}

_y

_o

_{+ b / 2 )} o*"o o - ' o h ( I I . 9 )

Dengan "Dendekatan i t u s a n g k u t a n a n t a r a U(x -y ) , U(x ,v + h , ) , U(x .

o o o o l o h2, y2)5 u^x 0> y0 " ^ J &m u^x 0 + hl).3yo^ y a t l g d i p e r o l e h ' b e r d a s a r k e n persamaan ( I I . 8 ) a d a l a h Dlh2 + W 2h, D3hU + D2h2 2h. o o J. u(xo,yo - h3) + D2h3 + D ^ 2hr V l + D3h3 2h,. U U - h _ , y ) '+ o J o U ( xo • hu, yo) -D

l

h

2 *

P

UH

+

^ J l Vl

+

i V L Vfe

+ D

^ l *

D

3

h

3

+

1 /

h

,

2h 2 h2 2h ' 2h^ l L 1 1" h , + aghghg • 03h3hu + oh. s».hi.h, T

•Vij

U(x ,y ) + S(x , y ) 0 0 0 0 Elhlh2 + E2h2h3 + ' T

BilajCx ,,y 0 jandajy. v ^jatas a s t a r a daerah d i f u s i dan "batang kendali.

B i l a t i t i k mesh (x 3y ) t e r l e t a k x>ada y. semacam i t u ( T I . l ) »

o o " j

( I I . 3 ) harus diperhatikan hersemaah dan ( I I . 1 0 ) tak sepenuhnya berlaku

iintuk t i t i k t e r s e b u t . Untuk flux neutron cepat ( I I . 10) memang masih

hiss, berlaku a s a l -pada rumus t e r s e b u t dimasukkan v_. E-'.x) -> „ = 0*

aehingga koefisien d a r i S(xo 5yQ) menjadi ( l A ) j X ^ h g + Eghg^ +

h

h

3

h

h J

Untuk rno-iMigrai flu:: neutron laabat k i t a pandang dahulu

da-t:rah d i f u s i ? . p } ? d i mans. § memenuhi persamaan

D F2*, • ff.G -> E,8(x, y) = 0 (11.11)

X 3 — S X

i = l 2 '

Dengan mengingat k o n t i n u i t a s arus maka menurut teoreria Green diperpleh

3

' J D. / | J do - o, / '/* dx8y + I_. [ / s ( x , y ) dxdyf = 0

. . ' - . . . .i = 1- *i • . V ri V J

Untuk raesiperoleh sangkutan U n a t i t i k . , pendekatan ( l l . p ) s e r t a

perhi--tungari i n t e g r a l garis di at as t e t a p mengikuti cara yeng dikerjaken se

y + i / 2 ° o r 1 3$ x

„ t W

2 D, y - ^ d y dan D3 3$ ay" dx x

Kedua i n t e g r a l g a r i s t e r s e b u t akan d i d e k a t i menggunakan ( I I . 3 ) b a g i a n kedua dan (II.J?) "bagian k e d u a , y a i t u

y

o + V

2 3$

;

y + bo r 1 n/ 2 --- dy = ~ e 3x i * > „ . y)dy= -s o' C j - | *s( xo, yo) ( 1 1 . 1 3 ) X

o + V

2 D, _{•-— dx = •- c .} 3 $s 9y J x + h . / 2 o c 4 *s( ^ y0) < L . = - C j - 2 *8< x0. 70> . o o

A p a b i l a ( I I . 1 3 ) k i t a gabungkan dengan h a s i l pendekaoan yang d i p e r b l e h d a r i ( I I . 12) maka a k h i m y a k i t a akan mendapatkan sangkutan l i m a t i t i k b e r i k u t i n i J_J_ " 2 h ,

* s

(

V

y

o

+

V

+ D2h3 + D ^ -2hr

I

2 h

3 ~

'"

*s(V yo - h 3 ) •• D3h3 " 2h. D2h3 j " Dlhl 4 D3hU * D3h3 . D3h3 + $

s

(x

o * V ^

+ * BU0+ V ^ K + h, 2h, 2iiu J + ^ h - * , + a2h2h3 + '2 • "3 3h3hu) ] M x ^ yo) + S ( xo ) yQ) . \ ( F . ^ + Z2h2h3 + ^ h , ) = 0 B i l a ( x j y ) t i t i k - d a l a m s u a t u d a e r a h b a t a n g k e n d a l i ?• *-o ' *-o . J v P e n j a b a r a n s a n g k u t a n l i a a t i t i k d i t i t i k (x , 3 0 semacam i n i . o o

s e s u a i dengan p e n j a b a r a n s e r u p a pada pembahasan s e b e l u n n y a ' dengan n e -h g i n g a t ba-hwa f l u x n e u t r o n lambat t a k d i d e f i n i s i k a n d i t i t i k i t u .

u

J a d i , sekarang k i t a t e l a h mempunyai formulasi sangkutan lima

t i t i k (bentuk umum) d i s e t i a p t i t i k mesh yang dikehendaki, Pada

hake--k a t n y a , dengan sistem. hake--koordinat Cartesian x-y untuhake--k problema

herdimen-s i duaj menggunakan t e o r i dua kelcmpok perhitungan harga flux d i t i t i k

mesh d a r i daerah R adalah penyelesaian sistem persamaen l i n i e r .

a., §. . + a_ $. , . * Qo $. - . + a,, $. . n + ac $. . . . =

a/-1 isj 2 i - l , j 3 i + l sj 4 i . j - 1 5 i . J + 1 6

(11.15)

i " 1 , 2 , . . , - . , N; J - l , 2 , M."

dengan $. menunjukkan harga flux neutron (lambat,cepat) di ( i . j ) p a -i »j

da daerah R. j^pahila k i t a mengatur persamaan d i a t a s maka pada problem

i n i k o e f i s i e n - k o e f i s i e n a~. > 0 , Qg > Oj Op, a ~5a ^ dan a^non p o s i t i p .

Dari penjaharan j e l a s bahwa para a merupakan fungsi d a r i para D . , a. >

I I I . PENXEIESAIM SMGKUTAN LIMA TITIK

Kita andaikari ( i , j ) suatu t i t i k mesh yang merupakan t i t i k po~

tong kolom k e - i dan b a r i s k e - j d a r i P yang k i t a anggap t e r d i r i a t a s M

kolom dan N b a r i s t a k termasuk b a t e s l u a r r . Jadi i = 1 , 2 , . . . M dan

,} = 1» 2 , , N. Andaikan b a t a s l u a r a y a b e r k a i t dengan i = 0 , j = 0

dan i = M + 1, J = N + 1.

Menggunaken n o t a s i m a t r i x , ( I I . 10) dan (11.1*0 b i s a disajikan

sebsgai

A. I - = (lA)B^ t

1 1 I s

(III.1) *2 % = B2 *f : .

Vektor-vektor $ dan $ mempunyai komponen-kcoaponen harga

masing-ma-S i

sing flux neutron d i t i t i k mesh, yang ditentukan, j a d i vektor yeng mem»

punyai IIM buah b a r i s . Matrix-matrix A^ dan A- berkompouen para a--» a^,

a_, a. , dan a sehingga mereka merupckan matrix bujur-sangkar (NMXHM)

Matrix-matrix B dan B_ berkomponen para afi. juga matrix

bttjur-sang-k a r (HM X BM).

Beberaoa sifat matrix A. = ia. . _{dan B. =}

x

menurut

1 , 31 antara l a i n adalali : - ( I I I . 2 )

(a) a ; . > 0 , a! \ « 0 b i l a i 4 3- S i f a t serupa,berlaku pula untuk A?

(b) Pada s e t i a p kolom'matrix-matrix 7L dan /U p a l i n g bonyak" 5 buah

komponen matrix yang berbeda dengan n o l .

( l ) N ( l )

(c) a . . >, .!-• | a. . | untuk scmua i (i - 1.. 2.t , M). 'Jhtuk suatu

un--13

(d) B^ dan B0 a&alah matrix-matrix diagonal dengan elemen dicgonal

**OQ. c e g a t i p .

(e) -A-. dan Ap adalah matrix-matrix s i m e t r i s , r i i l .

Apabila daarah P. meauat daereh bagiaii C. makr: oleh karena a

«J s

tak didefinisikan. untuk daerah-dslan C. sedangkan §_ tetat)

didefinisiJ j

-kan naka jumlan. parameter $ ( i5o ) yang sebenemya tak diketahui l e b i h

2 2

k e c i l d a r i K M , y a i t u l e b i h k e c i l d a r i parameter $ ( isj ) . Dengan d e

-mikian apabila k i t a masih t e t a p mengguaaknn ( i l l . l ) niaka bebex-apa ba~

r i s matrix B akan berkomponen nol ( s a n u a ) , Oleh karena i t u dalam p e r

-hitungan untuk flux 0 (i.,<j) t i t i k ' - t i t i k mesh seiaccam i t u k i t a l o n c a t i s

dan sebagai pengganti ( I l l . l ) k i t a pondang persamaan matrix

Axtf = ( 1 / X ) B1IS

-

+

• to-3)

*2 *S " B2 • *

dengan A^ dan B2 matrix-matrix b e r t i p e {IV-W X K'M')„ K'M' < AM.

Menurut » Ap iuemiliki s i f a t - s i f a t A~ dalam ( i l l . 2 ) sedang

Bp meffiiliki s i f a t - s i f a t Ep dalau ( i l l . 2 ) bahkaii elemen diagonal matrix

Bp adalah p o s i t i p . Di samping i t u , A, dan Ap adalsh matrix s i n e t r i s ,

definit( p o s i t i p . S i f a t s i m e t r i s - r i i l An s A_ dan Ap menjamin bahva h a r

-gc--fcarga pribadi nereka adalah r i i l : sedeng karena d e f i n i t p o s i t i p

ma-ke siereka merupakan matrix- matrix n o n - s i n g u l a r , dengan demikian

t . = (l/X)A;aBn *,

r l i s

Menggunaknn h a s i l i n i , berdasarkan ( i l l . l ) dan ( i l l . 3 ) k i t a peroleh :

I l l

A-t = {U\)i

0

£\ t (ill.to)

c. 3 S 1 1 S

atau

^2*8» V l M s =

L

*s

XAg tg = B g A ^ ^ *"a = L 1"s ( I I I . 5 b )

dengaa L = B ^ 1 ^ dan L = B^Zhi

Akfairnya deiigan mengingat Ap den A~ s i i a e t r i s , d e f i n i t p o s i t i p , maka

k i t a akan memperoleh problem harga p r i b a d i don vektor pri>adi

E$ = A$ atau i t = X<& ( I I I . 6 )

s s s s

dengen E 3 = A^~L = A ^ J L j S , , E = A ^ B ^ A ^

Secara sama'kita juga memperoleh problem harga p r i b a d i s e r t a

vektor p r i b a d i untuk flux neutron cepat

Ft_ = x l _ atau F<L = VS. ( i l l .7)

f r i >

x-dengan p = A JB A ' B, ? = A a A-""^.

A. j t t e r a s i l u a r dan i t e r a s i , dalem, (outer and inner iteration)

Agar supcya k i t a b i s a nemperoleh harga p r i b a d i t e r b e s a r s e r

-t a , vek-tor p r i b a d i yang b e r -t a u -t dengannya naka k i -t a p e r l u bagen

babak-an i t e r a s i ybabak-ang dikerjekbabak-an (harga p r i b a d i t e r b e s a r maksudnya t e r b e s a r

raodulusnya). Agar tidak r.enguleng h a l yang serupa maka k i t a akan

mem--bahas s i s t e r ,

. Pertcma-tama k i t a akan menentukaii suatu dugaan • .aval 0

15

dan X dan menyelesaikan sistem pcrsamaan

A ^ . = Vl/A ^ ^ s

(ni.8)

"Vs - 2 f

Dengan menyelesaikan perssmaan p e r t a n a k i t a peroleh <5 , dengan harga

i t u k i t a selesaikan perssaaan kedua sehingga diperoleh $ . Langkah.

selanjutnyaad<=ilsh menentukan X d a r i X ° , t dan * \ s e r t a meng-s x

ulang langkah di atas dengan harga X a e r t a * hingga mencapai ba~

s

t a ^ konvergensi yang k i t a kehsndaki,

J a d i j secara uinum babakan i t e r a s i yang dikerjakan adalab.

A ^ + l ) = ( l / X( n )) B ^n ) '

( I I I . 9 ) /, -^n + 1) = B l( n + l )

Langkah yang dikerjakan untuk menperoleh * dan X

da-' S

ri harga.* ' dinacakan iterasi-luar (outer iteration).

Dalaa proses iterasi luar, kita dihadapkan pada persoalan aenyslesaiken sistem persamaan linier berbentuk

A * = k .. (III.10) di menc. matrix A serta vekxor k telah diketahui sebclunnya. Untuk ne-nentukan $ pada (III.10) tersebut kita gun ok an netode iternsi yang di-kencl sebagai proses iterasi dalom (inner iteration). Dengan derdkian nampak bgiiwa setiap iterasi'luar ncmerlukan dua kali proses iterasi dalsn: yaitu iterasi dalom untwk <5^ dan $ ,',

16

3 . I t e r a s i Luar

Ifatruk i t e r a s i l u a r b i s a digunakan ,netode Modified Rcyleigh

Quotient d i aana probleaa herga p r i b a d i 9^ - X3, 57 m a t r i x dengan harga

p r i b a d i r i i i |x, { s j x j s . . . £ |x .. J <JX , d i s e l e s a i k a n dengan i t e r a s i

b e r i k u t :

x - 7;jrr7(i>r

( i n . i i ) IT$ > $ )

Pada persoalan i n i , j i k a ( i l l . 1 1 ) dikaitk-.n dengan ( i l l . 6 ) don ( i l l . 7 )

• [3]

maka akan diperoleh basil-hasil berikut

konvergen ke flux neutron cepat $.„ yang sesuai dengan

5 0 J. i

harga pribadi t e r b e s a r (modulusnya) X5 komponen-komponen * '

ada-lah p o s i t i p .

00

(b) {? } konvergen ke flux neutron Imabat $ yang sesuai dengan

S O " - S

harga pribadi t e r b e s a r (modulusnya; Xs komponen-komponen $

ada-lah p o s i t i p .

(' V

(c) X = l i m i t X > 0 . a = U n i t I , . dan ' 1 = l i m i t t ' ' ,• . f f s . .. s

l - i - 0 0 T _ - > » j . ->. CO

Konvergensi metode di a t a s dicapai karena X ncrupakan harga p r i b a d i

-l i p n t s e t u : dan kerena T (berdasarkan ( I I I .6) dan ( i -l -l . 7 ) ) matrix

de-ngan eleraen-^elenen p o s i t i p meka A berkomponeri p o s i t i p pula L '

IT l i m i t *3 a , l i m i t t^ s e r t a l i m i t A t e l a h t e r j a m i n , sebab -*(ll+l) s s

- ~

x

TnT

, -*-(n-KL) a t a u $ £ ( n + l ) s

" x

( a

>

it,

•

7©-

( I I I . 1 2 ) /nrCn+l) t(n+l), $<n+l) = I *s -( S - 3 v3 \ (n) X V B 4 a / \ s =• s C. I t e r a s i dalaia

Dua buan i t e r a s i dalam yang diperlukan pada s e t i a p babakan

i t e r a s i l u a r merupakan pers'amaan matrix berbsntuk sebagai b e r i k u t

Al ^f = ^ l • ( I I I - 1 3 )

• * • : > •

hr, * = k0

d. S <t

dengan A^, / k dan }L t e l a h b i s a diperoleh pada langkah p e r h i t u n g

-an se'Deiunmyc. >

[3]

Dalem dikemukakan metods i t e r a s i dalam y a i t u metode i t e

-r a s i 'ioung's Ite-rative Methods of Sv.coessi.ve Over-relaxation yang

(dal a x persoa(dalsn i n i ) konvergen sebab tarnyatr. matrix koefisien peda p e r

-saaiaan difusi memiliki s i f a t ' (A) dan b i s a disusur. konsisten L .

Misalkan IL dan Dp adalah matrix-matrix diagonal dengan ele~

nien-elemen diagonal p o s i t i p sedanikian sehingga DA., = 1 •• B. s ^o^p =

I :- 3?L B Br- adalah matrix-matrix dengan elemcn-elemen diagonal nol

dan eleraen-elemen bukan-diagonal yang non n e g a t i p . Dari ( i l l . 1 3 ) k i t a

18

w ^ f= Di^i ~±BXL Vs Bi^f * DA .= BA -+ ^

r

2 * 2

t

« *

s 3

^ 2

a t c U

V

B

2 * s

+ D

# 2

= B

2 * s

+ ?

(in.il*)

Apabila B = dan. g. ;. f. mssing -masing adalafe kamponen vektor gs

i meka (l l l . l t) ekuivalen clengca sistea persamaen l i n i e r

V v d )

I'JN

s i £x i j sj £ .+ 1 i j sj j

(111.15)

= 1 2 WM

Runus (unum) iterasi Young adalah sebagai berikut

, f i f + ( i - ,«f > • « '

*Si - s

i - 1 IflSf

+ ( l ~ ( » J * ^ _{s so}

i = 1, 2, _{, rw.} (III.16)

Sekarang matrix--matrix B. dan B0 aksn kita susun sebagai

jum-lahan dua matrix segi-segi-bavah dan segi--tiga--atas sehinggn B. = B. + B., dan B 2 = B2 + B2 d i mBIiCl Bl d-rj:i.^2 ^dalahrmatrix segi-tiga-atas „

sedangkan B- dan. 3.„ adaloh matrix segi- •tiga-'br.vah, dari masing-nasing

" i "— •

matrix tersebut. Dengan cara demikian kita bisa nenyatakan ( H I . l 6 ) sebagai

15 • *s ~ V?2*s + Vs * f J + ( 1 - uf> *s (TIT.IT) a t a u r(n+l) _ • ( n + l ) _ I - MJ6, --1

[

u

f*l

+ ( l - w , ) l - 1

_ I ~ u

s

B

2

J [ «

8

E

2

+ ( l - .

M s

) l _

* ( » ) S S - X

[ i - - A ] ?'

( I I I . 1 8 )

overrelctzation factors ui» dan to masing-masing merupakan f a k t o r u n t u k

f l u x n e u t r o n c e p a t dan n e u t r o n l a n i b a t .

D. Ronvergensi p e n y e l e s a i a n s e r t a k r i t e r i a k o n v e r g e n s i

Bentuk persamaan ( I I I . 1 8 ) d i a t a s "bisa d i n y a t a k a n s e b a g a i • t ( n + l ) T £ . •*"

$ = L $ + wq

s e h i n g g a k o n v e r g e n s i p e n y e l e s a i a n akan t e r j a m i n "bila spectral norm ma-t r i x L y a i ma-t u y(L ) &lma-t; 1 , Karena m a ma-t r i x - m a ma-t r i x A, dan An pada ( i l l . 1 3 )

s i m e t r i s . p o s i t i p d e f i n i t , . m c m i l i k i s i f a t (;\) dan t e r s u s u n k o n s i s t e n maka y(Lw) 1" , sehingg?. konver^eri u n t u k tos u^. vans; memenuhi 1 $ u

F31

dan oij. < 2 . Agar supaya l a j u k o n v e r g e n s i n y a optimum make J :

to _u. = ( I I I . 1 9 )

20 - ( n ) Sekarang k i t a deJCinisikan fj 1 $

TOT

dan TI (n) min ^ 3 .(n) "(n+l) r t e r n s i Young dihentrikaii. j i k a dipenuhi (- C a ) _nC n )) x< n ) $ 2 e 2 _{( I I I . 2 0 )}

denganc adalab konstsn p o s i t i p a cukup k e c i l , yang k i t a tentukan

sesu-a i ysesu-ang k i t sesu-a inginksesu-an.

E E F E R E I I 5 I

1. G. Bilodeauu L. Hageman} "A Survey of Numerical Methods in the

So-lution of Dif fusion Equations', WAPD-TM-6U; Bettis Plant Pittsburgh Pensylvania;

1957-2. G.G. Bilodeaxi, W.R. Cadvell. J.P. Dorsey/ J.G. Fayrev., R. S. Varga,

7'VDQ An IBM-?04 Code to solve the Two Dimens tonal Few Group Neutron

Diffusion Equations in x-y Geometry'. WAPD-TM--70; Bettis Plant Pittsburgh» Pensylvania-. 957.

3. E.S.Var3a, '"Numerical Solution of the Two Group Diffusion Equations

in x-y Geometry'. WAPD-159 Bettis Plant Pittsbugh, Pansylvania 1956.

k. E.L. Waschpress,•,"Iterative Methods for Solving Elliptic typs

Dif-ferential Equations with Application to Two Space Dimension Multi group Analysis''., KAPL — 1333 ; Knolls Atomic Power Laboratory Schenectady, New York;

1955-5. E.L. Waschpress, ! Two'Dimensional r —<j> Multigroup Calculations'7

(second edition), KAPL - l6'+l Knolls Atomic Power Laboratory Schenectady, Bew York; 1957.

6. M.L.Tobias and T.B. Fowler, "EQUIPOSE-An IBM-?04 Code for the

So-lution of Two Gvoup; Two Dimensional^ Neutron Diffusion Equations in Cylindrical Gsometrij'', ORNL-2?67j Oak P.idge National Laboratory USAEC: USA, 19&0.

7. C.E. Lee and P.M. Stone, 'Numerical Methods for Solving Linear

Sys-tems and Applications to Elliptic Difference- Eauation' „ LA-231^, Los Alamos Scientific Laboratory of University of California Los Alamos Hew Mexico; 1959.