Matamatika Falensius Nango

Falensius Nango

Fransiskus Slamet Harjaya

Reza A.A Wattimena

Kata Pengantar

Prof. Dr. Paul Suparno, SJ

MATAMATIKA

Taktik Menemukan Karakter dalam Matematika

©2015PT Kanisius

PENERBIT PT KANISIUS

Anggota SEKSAMA (Sekretariat Bersama) Penerbit Katolik Indonesia Anggota IKAPI (Ikatan Penerbit Indonesia)

Jl. Cempaka 9, Deresan, Caturtunggal, Depok, Sleman, Daerah Istimewa Yogyakarta 55281, INDONESIA Telepon (0274) 588783, 565996; Fax (0274) 563349 E-mail: office@kanisiusmedia.com

Website: www.kanisiusmedia.com

Editor: Dimas Andika Wahyuanto Ilustrator: Damianus Novianto Wibisono Desainer isi: Yustinus Saras

Desainer cover: Kartika Dewi Purwaningsih

ISBN 978-979-21-4354-6 (pdf) ISBN 978-979-21-4250-1 (cetak)

Hak cipta dilindungi undang-undang.

Dilarang memperbanyak karya tulis ini dalam bentuk dan dengan cara apa pun tanpa izin tertulis dari Penerbit.

Edisi elektronik diproduksi oleh Divisi Digital Kanisius tahun 2015. Oleh: Falensius Nango, Fransiskus Slamet Harjaya,

Reza A.A Wattimena

Dipersembahkan untuk para Guru,

Orang Tua, Peserta didik, Pencinta

– 5 –

Prakata

Saat masih menjalani masa-masa di sekolah me-nengah, ada satu istilah yang cukup terkenal yaitu “Releksi”. Saat pertama kali mendengar kata itu, tentu saja semuanya bingung karena istilah releksi hanya ditemui pada waktu pembelajaran isika tentang cermin. Jika dilihat lebih jauh, ternyata releksi memiliki makna yang lebih dalam.

Menurut KBBI (Kamus Besar Bahasa Indonesia),

releksi /re·lek·si/ /réléksi/ n yaitu:

1. gerakan, pantulan di luar kemauan (kesadaran) sebagai jawaban suatu hal atau kegiatan yang datang dari luar,

2. gerakan otot (bagian badan) yang terjadi karena suatu hal dari luar dan di luar kemauan atau kesadaran, 3. cerminan; gambaran. mereleksikan /me·re·lek·si·

kan/ v mencerminkan kata atau ucapan seseorang, biasanya ~ isi hatinya.

Jika diartikan lebih dalam lagi, releksi adalah satu penulisan ilmiah mengenai pengalaman seseorang da-lam mengarungi sesuatu peristiwa. Dikatakan sebagai se suatu yang ilmiah karena diharapkan apa yang ditulis dapat membantu perkembangan kemampuan dalam hal intelektual, rasa, dan batin bagi si pembuat releksi atau pembacanya.

proses-– 6 proses-–

nya yang ilmiah, seperti telah djelaskan sebelumnya, releksi juga dapat membuat sebuah pembelajaran men-jadi lebih bermakna bagi kehidupan si pembelajar. Paling penting adalah sifat releksi yang sangat unik. Unik di sini berarti semua hasil releksi antara orang yang satu dengan yang lain bisa berbeda walaupun mengalami proses pembelajaran yang sama.

Sebuah releksi adalah hasil perpaduan antara peng-olahan berbagai macam hal seperti olah rasa, olah batin, dan kemampuan intelektual. Sementara saat ini proses pembelajaran hanya merupakan proses pengolahan inte-lektual saja yang akhirnya hanya menjadi proses pem-belajaran saja dan tidak berkembang menjadi proses hidup yang holistis. Kemampuan mereleksikan sesuatu yang dipelajari merupakan hal mutlak yang harus dimiliki oleh para pembelajar. Jika seseorang mampu mereleksikan dengan baik apa yang dipelajarinya, kemungkinan dia juga mampu mengimplementasikannya secara baik dan benar dalam hidup.

Releksi juga bukan sesuatu yang sementara. Pro-ses releksi itu kontinu. ProPro-ses releksi akan terus-me-ne rus berkembang seiring dengan kedewasaan dan ke-mam puan berpikir orang tersebut. Unik dan kontinu inilah yang membuat releksi sebagai sebuah cara untuk mengembangkan diri agar menjadi baik, benar, dan terarah.

– 7 –

jelas, apalagi ditambah releksi mendalam yang mengulas taktik untuk menemukan karakter dalam matematika.

Setiap kasus atau materi pada buku ini mempunyai tingkat kompleksitas yang berbeda. Perbedaan yang ada bertujuan supaya setiap pembaca bisa melihat bahwa perbedaan itu indah dan sebenarnya semua kesulitan yang selama ini ada dapat diselesaikan dengan cara yang sederhana dan mendalam.

Ada tiga hal yang difokuskan dalam proses releksi dalam membaca buku ini, pertama dilihat dari ilmu matematikanya, kedua nilai-nilai apa yang didapat, dan ketiga apa yang dirasakan setelah membaca setiap bab pada buku ini. Releksi dan metode menjawab pada buku ini bersifat tidak mutlak karena setiap pribadi adalah unik dan penulis mengharapkan ada releksi dan metode menjawab lain yang bisa lebih baik.

Selamat membaca, mencoba, dan mereleksikannya.

– 9 –

Kata Pengantar

Saat ini pendidikan formal di Indonesia sejak dari SD sampai dengan Perguruan Tinggi mulai menekankan perlunya pendidikan nilai atau pendidikan karakter. Tujuannya agar generasi muda kita tidak hanya be-lajar mengembangkan pengetahuan saja, tetapi me-ngem bangkan pribadinya sebagai manusia yang lebih utuh. Dalam kurikulum 2013 dengan jelas setiap mata pelajaran harus memuat kompetensi inti yang terdiri dari kompetensi ketakwaan, karakter, pengetahuan, dan aplikasi pengetahuan itu. Jelas bahwa pendidikan karakter, pendidikan nilai, atau pendidikan hati mendapatkan tekanan.

Siapa yang harus bertanggung jawab terhadap pendidikan nilai itu? Jelas bukan hanya guru pendidikan nilai, atau guru Pancasila, guru PKn, atau guru agama; tetapi semua guru harus menjadi pendidik nilai bagi peserta didik di sekolahnya. Ini berarti bahwa setiap guru apa pun bidang kajian yang diajarkan, harus juga ikut terlibat dalam membantu peserta didik mengembangkan karakternya. Maka guru matematika juga tidak luput dari tugas mulia itu, yaitu membantu anak didik mengembangkan karakter lewat pelajaran matematika.

– 10 –

pelajaran matematika, mereka dapat juga menanamkan nilai kebaikan dan kemanusiaan pada anak didik.

Salah satu cara menanamkan nilai karakter adalah lewat releksi terhadap bahan matematika yang diajarkan dan juga releksi terhadap cara mengajarkan matematika sendiri. Maka guru bukan hanya mengajarkan bahan tetapi juga mengajak siswa melihat apakah di balik bahan itu ada nilai-nilai kehidupan yang dapat diambil dan dapat digunakan dalam kehidupan. Misalnya, lewat membahas persamaan siswa diajak untuk melihat dan menggali bahwa di situ ada nilai kesamaan, keadilan, kejujuran, dan kesetaraan. Kemudian nilai itu dicoba diperluas dalam kehidupan sehari-hari yang dialami siswa.

Melakukan releksi berarti guru harus mengajak siswa melihat lebih mendalam dari bahan matematika, yaitu nilai kehidupan dan kegunaan bagi kehidupan mereka selanjutnya. Untuk itu guru perlu memberikan beberapa pertanyaan untuk menantang siswa bereleksi dan menggali nilai di balik itu. Untuk ini guru harus berani memberi kesempatan yang luas agar anak didik bermenung, menggali, mendiskusikan, dan menemukan nilai-nilai yang mungkin tidak ditemukan oleh guru sendiri, karena situasi siswa yang khusus kadang dapat memacu untuk menemukan nilai yang berbeda.

Dengan model ini maka pelajaran matematika menjadi lebih kaya, menyenangkan serta menjadikan anak mendapatkan sesuatu nilai yang berguna bagi kehidupannya. Matematika menjadi tidak gersang dan kering karena ada nilai kemanusiaan yang digali di dalamnya.

– 11 –

beberapa topik matematika yang diajarkan di sekolah. Penulis membantu kita untuk menggali beberapa nilai dalam topik matematika yang biasa sehingga ditemukan nilai yang sungguh dapat berguna dan mewarnai hidup orang. Tentu penulis hanya memberikan beberapa con-toh penggalian, sedangkan Anda sendiri harus dapat mengembangkan pencarian makna lain yang lebih ba-nyak.

Harapannya dengan beberapa contoh penggalian atau releksi itu, Anda semakin kreatif untuk menggali nilai karakter dan nilai kehidupan di balik topik mate-matika yang kadang dianggap kering tanpa kehidupan di dalamnya. Dengan cara ini Anda akan menjadi guru matematika yang dapat memperluas gagasan dan ke-hidupan siswa. Dan bagi Anda yang mendalami topik matematika sendirian, Anda sendiri akan diperkaya de-ngan bahan yang Anda dalami.

Semoga buku ini membantu banyak orang untuk menemukan nilai yang mendalam dan bahkan aneh dari topik matematika yang biasanya dianggap kering. Semoga banyak orang dicerahkan dengan bantuan tulisan yang sederhana ini.

– 13 –

Daftar Isi

Prakata ... 5

Kata Pengantar ... 9

Datar Isi ... 13

BAB 1 – Ilmu “Pokoknya”... 15

BAB 2 – Hubungan antara yang Positif dan Negatif ... 19

BAB 3 – Kenapa ini Berbeda? ... 23

BAB 4 – Aljabar = Sulit??? ... 27

BAB 5 – 0 0 _{= Tidak Tentu ... 31}

BAB 6 – Cara Pandang Minus Dikali dengan Plus ... 35

BAB 7 – Pernyataan dan Alasan ... 37

BAB 8 – Kesalahan Berpikir 2=1 ... 43

BAB 9 – Berpikir di Luar Kebiasaan ... 47

BAB 10 – Dua Lebih Baik daripada Satu ... 51

BAB 11 – Aku Ingin Bebas ... 57

BAB 12 – Deret “Guntur” ... 61

BAB 13 – Menyederhanakan Masalah ... 65

BAB 14 – (-) x (-) = (+) ... 69

BAB 15 – The Square of X5 ... 73

BAB 16 – Makna “ITU” ... 77

BAB 17 – Penerapan Geometri ... 79

BAB 18 – Bertumbuh di dalam Metode ... 85

BAB 19 – Mengubah Desimal Berulang ke Pecahan .... 89

BAB 20 – Selangkah ke Tujuan ... 95

BAB 21 – Hidup dalam Keseimbangan ... 101

BAB 22 – Uji Coba dan Berani Salah ... 105

– 14 –

BAB 24 – Sekali Untung Tetap Untung ... 113

BAB 25 – “Silent Problem” ... 117

BAB 26 – Sederhana tetapi Sistematis ... 125

BAB 27 – Kurung, Kurung, dan Kurung ... 129

BAB 28 – Pecahan Keadilan ... 133

BAB 29 – Menurunkan Rumus dari Pola ... 137

BAB 30 – BE SMART... 141

Datar Pustaka ... 145

Testimoni ... 147

BAB 1

Ilmu “Pokoknya”

– 16 –

Banyak orang mengetahui bahwa berapa pun bilangan berpangkat nol misalnya 10_{, 2}0_{, 3}0_{, …, 1000}0_{, dan a}0 _hasilnya sama dengan 1. Tahukah kamu, darimanakah asalnya? Mengapa demikian?

Bukti bahwa: a0 _{= 1.}

Kita tahu bahwa a 1 a= .

(Bukti sederhana kenapa a 1

a = dapat digunakan

sebagai metode mengganti huruf a dengan angka tertentu,

misalkan a = 2 maka 2 1 2= )

Dengan menggunakan aturan perpangkatan, yaitu

m m n n a a a −

= maka a 1

a = menjadi a 1-1 _{= 1}

Dari penjabaran di atas, diperoleh kesimpulan bahwa a0 _{= 1 di mana a} ∈ _{R(dibaca a pangkat nol sama dengan satu} di mana a adalah anggota bilangan real) (q.e.d)

Refleksi dan Nilai Hidup

– 17 –

orang yang senang dengan kata tersebut. Jumlahnya pun sangat kecil jika dipersentasekan.

BAB 2

Hubungan antara yang

Positif dan Negatif

– 20 –

Ada beberapa rumus perpangkatan yang dapat di-turunkan dari rumus-rumus yang ada. Seperti rumus

perpangkatan 1 a 1 a

−

= . Kadang ada beberapa siswa

bertanya, mungkin hanya kebetulan atau memang rasa “ingin tahu” mereka tergugah sehingga mereka bertanya tentang pembuktiannya.

Bukti bahwa 1 a 1 a

−

=

Sebelumnya kita sudah bisa membuktikan dengan

bantuan rumus m m n n a a a −

= bahwa a0 _{= 1.}

Bentuk 1 a

dapat diubah menjadi 0 1

a

a

.

Kita tahu bahwa aturan m m n n a a a − = ,

dengan aturan tersebut maka 0 0 1 1 a a a − =

Jadi, dari penjabaran di atas dapat diperoleh

kesimpulan bahwa

1

a

1

a

−

=

(TERBUKTI).

Perhatikan contoh berikut!

1 1

2 x 2 x 2 2

−

– 21 – 1 1

1

2 x 2 x 2 2

−

= (ingat bahwa 2 = 21₎

1 ( 1)

1

=

2

+ − (aturan perpangkatan am _{x a}n _{= a}m + n₎

0

1

=

2

(ingat bahwa a0 _{= 1)}

1 1

=

Dari contoh di atas, dapat dikatakan bahwa banyak cara untuk menyelesaikan permasalahan, baik dengan menggunakan pangkat negatif atau pangkat positif.

Refleksi dan Nilai hidup

BAB 3

Kenapa ini Berbeda?

“Apa pun posisi atau peran kita dalam hidup, semua mempunyai makna, arti, dan fungsi,

– 24 – Apakah 1 ...

2 3

= _{hasilnya sama dengan}

1 2 _... 3= ?

Jawabannya tentu TIDAK, mengapa ?

1 ... 2 3

= _{artinya 1 :} 2 ... 3= = 1

3 3 2 2 × = Sementara, 1 2 _...

3= artinya 1 2

1 1 1

: 3

2 = ×3=6

Letak perbedaannya ada pada penulisan tanda “=”. Ingat, penempatan tanda “=” sangat berpengaruh dalam pecahan.

Refleksi dan Nilai Hidup

“Apalah arti sebuah nama?” Itulah salah satu contoh kalimat yang sering kita dengar. Kalimat tersebut tampak bermakna mengecilkan fungsi dari sebuah nama. Padahal tanpa nama, orang lain akan sulit mengenali kita karena hal yang paling mudah diingat oleh seseorang adalah nama.

Bagaimana jika kita mengaplikasikan kalimat tersebut dalam matematika, “Apalah arti sebuah tanda

– 25 –

BAB 4

Aljabar = Sulit???

– 28 –

Aljabar, salah satu rumpun ilmu di Matematika yang sering kali dianggap susah, ternyata mempunyai manfaat yang sangat luar biasa dan sederhana. Perhatikan contoh berikut!

Salah satu rumus istimewa dalam aljabar, yaitu

2 2

(

)(

)

−

=

+

−

a

b

a

b a

b

Salah satu contoh soal yang dapat dikerjakan secara mudah dengan rumus di atas, yaitu

Hitunglah hasil dari 1232 _{– 122}2_!

Coba hitunglah hasilnya dalam waktu 30 detik. Apakah kamu mengalami kelelahan dalam berhitung, atau mungkin juga tidak teliti? Jika itu yang dialami, mari menggunakan rumus Aljabar di atas untuk menyelesaikan soal tersebut!

Langkah bayi (ubah ke bentuk pemfaktoran rumus di atas)

1232 _{– 122}2 _{= (123 + 122) . (123-122)} = (245) . (1)

= 245 (mudah bukan)

Refleksi dan Nilai Hidup

– 29 –

BAB 5

0

0

= Tidak Tentu

– 32 –

Perhatikan contoh konsep perkalian yang berhubungan dengan pembagian berikut!

Konsep perkalian 2 x 3 = 6 dalam hal ini berlaku juga

konsep pembagian bahwa:

2=

6

3

Berdasar contoh di atas, mari menerapkan pada bentuk perkalian dan pembagian berikut.

0 1 x 0 = 0 1 =

0 0 2 x 0 = 0 2 =

0 0 3 x 0 = 0 3 =

0 0 -1 x 0 = 0 -1 =

0

1 1 0

x 0 = 0 =

2 2 0

0 x 0 = 0 =

0 0 x 0 = 0 =

0 → → → → → → → a a b b

Dari ilustrasi di atas dapat disimpulkan bahwa 0 0=

tidak tentu. Sebab hasil akhirnya berbeda-beda.

Seandainya pembagian dengan 0 terdeinisi (boleh dilakukan) maka seluruh sistem bilangan yang ada akan rusak dan tidak berlaku. Untuk lebih jelasnya perhatikan contoh berikut!

– 33 –

Dari dua soal di atas maka 0 0 0

2 3

0 =

× ×

sehingga 2=3

Hal tersebut tentu saja tidak bisa diterima karena 2≠3. Dari dua contoh di atas, dapat dipelajari bahwa untuk pembagian dengan 0 “disepakati” tidak terdeinisi.

Refleksi dan Nilai Hidup

BAB 6

Cara Pandang Minus Dikali

dengan Plus

– 36 – Perhatikan ilustrasi di bawah ini.

... 5 x 2 = 10 4 x 2 = 8 3 x 2 = 6 2 x 2 = 4 1 x 2 = 2 0 x 2 = 0

Apakah terbentuk suatu pola yang istimewa?

-1 x 2 = ... -2 x 2 = ... -3 x 2 = ... -4 x 2 = ... ...

Silakan diisi dan silakan ambil kesimpulannya.

Refleksi dan Nilai Hidup

Saat ini, banyak sekali kejadian-kejadian di mana yang salah menjadi benar dan yang benar menjadi salah. Tentunya kita semua bisa melihat realita hidup yang ada di sekitar kita saat ini.

Manakala yang benar (+) disalahkan (–) ATAU yang salah (–) dibenarkan (+) maka akan berakhir dengan sebuah kesalahan dan berakibat fatal (–).

Semua hal tersebut selalu ada dalam hidup kita. Sekarang, yang menjadi pertanyaan adalah

Bagaimana kita bisa mempunyai sikap yang tegas dan berani dalam hal ini?

BAB 7

Pernyataan dan Alasan

“Memompa lebih enak dibanding menggali, namun sebelum memompa diperlukan proses yang

– 38 –

Dalam ilmu matematika geometri, ada yang namanya pembuktian sebuah teorema. Sesederhana apa pun sebuah teorema atau rumus, pasti selalu diturunkan atau dibuktikan dengan alasan-alasan yang mendukung teorema tersebut.

Perhatikan gambar berikut!

(www.gogeometry.blogspot.com, Problem 58: Right Triangle,

Congruence, Perpendiculars, by Antonio Gutierrez)

ABC adalah sebuah segitiga siku-siku dengan AB = c, BC = a dan BD = x.

AC = CD dan AC

⊥

CD

Buktikan bahwa

x

2

=

a

2

+ −

(

a

c

)

2

Jawab:

Langkah 1: Gambarkan perpanjangan ruas garis AB. Langkah 2: Gambarkan garis tegak lurus dari titik D

ke sisi BC.

– 39 – Perhatikan gambar berikut!

Pada segitiga ABC

90 ∠_CBE= 

(sudut siku-siku) ∠CBE= ∠CAB+ ∠BCA

(teorema sudut luar segitiga) 90

∠_CAB+ ∠_BCA= 

sehingga 90

∠_CAB= − ∠_BCA

Pada sudut siku-siku ACD

90

FCD BCA

∠ + ∠ = 

(sudut-sudut yang saling ber-komplemen)

Maka ∠FCD=90− ∠BCA sehingga 90

CAB FCD BCA

– 40 –

Pada segitiga FDC

90

FDC FCD

∠ + ∠ = 

(teorema sudut luar segitiga) 90

FDC FCD

∠ = − ∠

Dari pernyataan sebelumnya kita dapatkan, 90

FCD BCA

∠ = − ∠

atau ∠BCA=90− ∠FCD

sehingga dapat dibuktikan bahwa ∠FDC= ∠BCA.

Berdasarkan pernyataan-pernyataan di atas dapat di-simpulkan bahwa

฀

฀

ABC

=



=

฀



฀

FDC

_{(sudut – sisi – sudut)}

sehingga

DC = AC ; FC = AB = c dan FD = BC = amaka

BC = FB + FC (teorema penjumlahan ruas garis) FB = BC – FC

FB =

a

−

c

Pada segitiga siku-siku DBF

2 2 2

DB =FD +FB _{(teorema pitagoras)}

2 2 2

( )

x =a + −a c _(q.e.d)

Khusus untuk soal-soal yang berhubungan dengan geometri, kita juga diajak untuk sedikit berkreasi dalam membuat sketsa dan garis-garis tertentu, guna membantu menemukan petunjuk, hingga jawaban.

– 41 –

Refleksi dan Nilai Hidup

BAB 8

Kesalahan Berpikir 2=1

– 44 –

Perhatikan dan analisislah pembuktian 2 = 1 pada langkah-langkah berikut!

Langkah 1: Jika dimisalkan a = b

Langkah 2: Kemudian a × a = a × b atau a2 _{= ab}

Langkah 3: a2 _{+ a}2 _{= a}2 _{+ ab}

Langkah 4: 2a2 _{= a}2 _{+ ab}

Langkah 5: 2a2_{–2ab = a}2 _{+ ab –2ab}

Langkah 6: 2a2_{–2ab = a}2_{– ab}

Langkah 7: 2(a2_{– ab) = 1(a}2_{– ab)}

Langkah 8: Dengan menghilangkan bentuk (a2_{– ab)}

maka di dapatkan 2 = 1.

Tahukah Anda, di mana letak kesalahannya?

Ternyata kesalahannya ada di langkah ketujuh. Mengapa? Berikut ini penjelasannya.

Perhatikan langkah 7 di bawah ini! Langkah 7: 2(a2_{– ab) = 1(a}2_{– ab).}

Untuk menghilangkan sebuah keadaan dari kedua buah sisi pada sebuah persamaan, dibutuhkan dua buah keadaan yang benar-benar identik, yaitu bentuk (a2_{– ab).}

Namun pada pembuktian ini, a2 _{– ab = 0 karena}

asumsi di langkah pertama adalah a = b. Pada bab 5, kita tahu bahwa pembagian dengan nol tidak terdeinisi (Undeined).

Seharusnya, yang terjadi pada langkah 8 adalah bukan mengeliminasi (a2 _{– ab) pada kedua ruas, tetapi}

– 45 –

Perhatikan langkah 8 yang seharusnya seperti berikut: 2(a2_{– ab) = 1(a}2_{– ab)}

2 (0) = 1 (0)

Sehingga diperoleh kesimpulan 0 = 0.

Refleksi dan Nilai Hidup

Sesuatu yang mudah dalam hidup ini sering kali dipersulit oleh kita sendiri atau pihak lain dengan alasan yang bermacam-macam. Padahal jika kita lihat proses di atas, sudah jelas bahwa acuan dasarnya adalah a = b yang mengakibatkan (a2 _{– ab) = 0 selain itu} 0

0 = undeined. Seharusnya pada langkah ke 7, kita sudah bisa mengambil kesimpulan (keputusan), namun dipersulit dengan meng-eliminasi (a2_{– ab) pada kedua ruas yang meng akibatkan}

kesimpulan yang salah besar. Kuncinya adalah perhatikan acuan dasar dan make it simple (buatlah men jadi sederhana). Di bawah ini ada contoh lain kesalahan konsep, yaitu sebagai berikut:

− = −2 2 4 6 1 3− = − 4 6 9 1 3 9

4 4

− + = − +

2 2

3 3

(2 ) (1 )

2 2

− = −

3 3

(2 ) (1 )

2 2

− = −

2 1=

BAB 9

Berpikir di Luar Kebiasaan

– 48 – Perhatikan 9 titik di bawah ini!

Ada tantangan untuk kasus 9 titik ini.

Buatlah 4 garis terhubung (tanpa mengangkat pena/ media lain) dan mengenai semua titik.

KUNCI 4 Garis

Refleksi dan Nilai Hidup

– 49 –

berbeda (out of the box), tentunya selalu ada solusi dari setiap masalah yang muncul.

Dalam buku the art of war by sun tzu dikatakan, bahwa untuk memenangkan sebuah peperangan dengan medan yang sama, strategi yang digunakan tidak boleh sama. Mengapa?

BAB 10

Dua Lebih Baik

daripada Satu

– 52 –

Ada sebuah proyek renovasi pengecatan kamar tidur sebuah rumah. Dua pengecat profesional kamar tidur telah dipersiapkan oleh sang Tuan. Pengecat profesional A menyanggupi akan menyelesaikan proyek tersebut dalam kurun waktu 3 hari. Sementara, pengecat profesional B menyanggupi akan menyelesaikan pengecatan kamar tidur tersebut selama 6 hari. Diketahui juga, biaya jasa pengecat profesional A perharinya Rp300.000,00 dan pengecat B Rp200.000,00. Setelah menghitung-hitung se jenak, akhirnya sang Tuan meminta kedua pengecat profesional tersebut melakukan pengecatan bersama-sama, supaya lebih eisien dari segi waktu dan biaya. Pertanyaannya adalah, berapa waktu pengerjaan dan biaya yang dibutuhkan oleh sang Tuan jika pekerjaan pengecatan dilakukan oleh kedua pengecat profesional tersebut?

Jawab:

BAGIAN 1 WAKTU

Gunakanlah langkah-langkah berikut ini!

Langkah 1

Misalkan Pekerjaan keseluruhan (mengecat seluruh kamar tidur) = X

Langkah 2

(Menerjemahkan soal ke dalam model Matematika)

A mampu mengecat semua kamar tidur dalam waktu 3 hari. ARTINYA

– 53 –

• 3 hari = 1X 1 hari = 1

3

X ... (i)

B mampu mengecat semua kamar tidur dalam waktu 6 hari. ARTINYA

• Biaya yang dibutuhkan Rp1.200.000,00 (dari 6 x Rp 200.000)

• 6 hari = 1X 1 hari = 1

6

X ... (ii)

Langkah 3

Dari persamaan (i) dan (ii) dapat dikatakan jika A dan B bekerja bersama maka dalam 1 hari hasil kerja mereka adalah 1X 1X

3 6

 ₊ 

 

 . Jika dituliskan dalam bahasa

matematika menjadi

1 hari = 1X 1X

3 6

 ₊ 

 

 

1 hari = 3 6

X ... (iii)

Jika persamaan (iii) diterjemahkan, artinya dalam 1 hari mereka mengerjakan 3

6 bagian dari pekerjaan keseluruhan.

Melalui analisis di atas, dapat disimpulkan bahwa untuk mengerjakan pekerjaan keseluruhan dibutuhkan waktu 2 hari. Cara perhitungannya adalah sebagai berikut:

1 hari = 3 6

– 54 – 1 hari × 6

3 = X

2 hari = X, di mana X adalah pekerjaan keseluruhan.

Kesimpulan

a. Waktu yang dibutuhkan untuk mengerjakan pekerjaan pengecatan kamar tidur jika dilakukan berdua adalah 2 hari.

b. Biaya yang dibutuhkan adalah Rp1.000.000,00 Hasil tersebut diperoleh dari

= (2 hari × harga perhari Pekerja A) + (2 hari × harga perhari Pekerja B)

= (2 × Rp300.000) + (2 × Rp200.000).

Sering kali permasalahan seperti di atas muncul dalam kehidupan kita. Pada perhitungan matematis di atas jika kita menganalisis, diperoleh beberapa pernyataan sebagai berikut.

1. Jika yang bekerja HANYA pekerja A maka waktu yang dibutuhkan 3 hari dan biaya yang dikeluarkan Rp900.000,00.

2. Jika yang bekerja HANYA pekerja B maka waktu yang dibutuhkan 6 hari dan biaya yang dikeluarkan Rp1.200.000,00.

– 55 –

Refleksi dan Nilai Hidup

BAB 11

Aku Ingin Bebas

– 58 – Perhatikan gambar berikut!

Seekor katak jantan yang tidak mudah menyerah terjatuh ke dalam lubang sedalam 10 m. Dengan penuh perjuangan, si katak berusaha keluar dari lubang tersebut, untuk bertemu dengan katak betina pujaannya. Perlu diketahui, setiap hari si katak jantan bisa naik setinggi 2 m, namun karena licin, si katak turun lagi 1 m.

Berapa harikah yang dibutuhkan si katak jantan untuk sampai ke permukaan tanah?

– 59 –

Pada hari pertama, si katak jantan naik 2 m, tetapi turun 1 m sehingga hari pertama hanya bisa naik 1 m. Pola ini berlanjut hingga hari kedelapan. Mengapa kita berhenti di hari kedelapan? Sebab pada hari kedelapan, kecepatan naik si katak jantan hanya 1m/hari, pada hari kedelapan ketinggian si katak dari dasar adalah 8 hari x 1 m/hari = 8 m. Pada hari kesembilan, dia naik setinggi 2 m di mana keadaan 2 m + 8 m = 10 m, dan si katak jantan telah mencapai permukaan, tanpa harus turun 1 m. Jadi, waktu yang dibutuhkan oleh si katak jantan untuk sampai ke permukaan guna menemui pujaannya ialah pada hari kesembilan.

Refleksi dan Nilai Hidup

Sering kali kita terbuai dengan pola yang sudah ada. Kita lupa untuk melakukan pemeriksaan di setiap pola yang ada sehingga jawaban yang kita berikan menjadi salah. Jika kita mengikuti pola yang ada, dan tidak berhenti pada hari kedelapan, sudah pasti kita akan menjawab 10 hari (yang tentu saja salah) karena mengikuti pola yang ada, tanpa menganalisis lebih dalam.

BAB 12

Deret “Guntur”

– 62 –

Ada aturan Aljabar di Matematika yang berbunyi demikian

2

(a−b a)( − =c) a −ac−ab+bc

2

( )

a b c a bc

= − + +

Perhatikan soal unik berikut ini!

1 1 1 1

1 1 1 ... 1 ?

2 3 4 2000

 ₋  ₋  ₋   ₋ ₌

     

     

Catatan: tanda ... (titik 3 kali) memiliki arti sampai dengan.

Silakan Anda coba dalam waktu 2 menit dengan menggunakan aturan di atas. Tuliskan prosesnya di kolom yang sudah disediakan di bawah ini!

Solusi:

Solusi:

1 1 1 1

1 1 1 ... 1 ?

2 3 4 2000

 ₋  ₋  ₋   ₋ ₌

     

     

Langkah 1: Hitunglah semua operasi yang berada di dalam kurung.

1 2 3 1998 1999 ...

– 63 –

Langkah 2: Gunakan aturan dasar pecahan dengan mengeliminasi angka-angka yang sama pada pembilang dan penyebut.

1 2 3 1998 1999 ...

2 3 4 1999 2000       _{ =}              

Langkah 3: Finishing 1

2000

 

 

 

Refleksi dan Nilai Hidup

Apa yang Anda rasakan ketika mengerjakan soal di atas menggunakan rumus aljabar yang diberikan? Jawaban salah satunya ialah susah “Wasting Time”. Apakah menggunakan rumus di atas itu sebuah kesalahan? Jawabnya tentu tidak.

“Wasting Time”, itulah yang sering dikatakan ke-banyakan orang jika mereka berhadapan dengan per ja-lanan, proses, rapat, atau acara yang bertele-tele. Apakah perjalanan, proses, rapat, atau acara yang bertele-tele merupakan suatu kesalahan? Jawabnya tidak.

Tentunya kita semua setuju dengan istilah “Life is a choice”. Andaikan kita sama-sama mau pergi ke Surabaya, pilihan kendaraan yang digunakan sangatlah beragam dari yang bertele-tele sampai yang terbaik. Terbaik di sini dapat diterjemahkan perjalanannya tercepat, aman, nyaman, ekonomis, dan selamat sampai tujuan tentunya.

– 64 –

BAB 13

Menyederhanakan Masalah

– 66 – Perhatikan soal di bawah ini!

Tentukan banyaknya kata yang dapat terbentuk dari kalimat “MATAMATIKA”!

Jawab:

Dengan menggunakan rumus permutasi dengan pengulangan:

Rumus umum: ! ! n a

Maka dapat dibuat informasi sebagai berikut: Jumlah huruf = 10 huruf.

Pengulangan huruf m = 2, Pengulangan huruf a = 4, Pengulangan huruf t = 2.

Dari informasi di atas diperoleh bahwa banyaknya kata yang dapat dibentuk adalah: 10! 10!

2!4!2!=96 kata.

Dengan menggunakan rumus ! ! n

a maka persoalan yang kompleks dapat diselesaikan dengan mudah. Untuk membuat dan menggunakan rumus memang mudah. Akan tetapi, sering kali otak manusia yang terbatas mengalami persoalan yang disebut “LUPA” sehingga waktu kita lupa dengan rumus, bukan berarti kita tidak bisa menyelesaikan persoalannya. Kita masih bisa menyelesaikan dengan menyederhanakan persoalannya.

– 67 –

Kita ambil kata “mata”, dan variasinya adalah sebagai berikut:

Kombinasi kata Banyaknya kata Total

m-a-t-a m-t-a-a m-a-a-t 3 12 t-m-a-a t-a-m-a t-a-a-m 3 a-m-t-a a-m-a-t a-t-a-m a-t-m-a a-a-m-t a-a-t-m 6

4! 4 3 2 1 12

2! 2 1 × × × = =

×

Kita ambil kata “mama”, dan variasinya adalah sebagai berikut:

Kombinasi kata Banyaknya kata Total

m-a-m-a m-a-a-m m-m-a-a 3 6 a-m-m-a a-m-a-m a-a-m-m 3

4! 4 3 2 1 6

2!2! 2 1 2 1 × × ×

= =

– 68 –

Dari dua contoh di atas, diperoleh pola bahwa ba-nyaknya kata yang mungkin terbentuk dari sebuah kata atau kalimat lain, tergantung dari total huruf yang ada dan banyaknya huruf yang sama. Pola yang berasal dari sebuah contoh yang sederhana, dapat dibuat rumus umum untuk menentukan banyaknya kata yang mungkin disusun dari sebuah kata atau kalimat lain sebagai berikut:

(Total huruf)! Banyaknya kata

(Banyaknya huruf sama)! =

Refleksi dan Nilai Hidup

Ketika kita setia pada perkara-perkara yang sederhana atau kecil, niscaya kita akan dapat menyelesaikan perkara-perkara yang besar. Seperti contoh di atas, kita sering dibutakan oleh masalah besar dan kompleks sehingga kita menyerah untuk menyelesaikannya dan hanya ber-usaha melarikan diri. Padahal dengan melarikan diri, permasalahan besar tetap akan mengganggu tanpa pernah terselesaikan.

BAB 14

(-) x (-) = (+)

– 70 –

Seperti kita tahu sebelumnya, pembuktian pada BAB 6 telah mengulas “Cara pandang minus kali plus” seperti pola berikut.

(–3) x (3) = –9 (–3) x (2) = –6 (–3) x (1) = –3 (–3) x (0) = 0

Jika pola tersebut dikembangkan maka akan terbentuk pola seperti di bawah ini,

(–3) × (3) = –9 (–3) × (2) = –6 (–3) × (1) = –3 (–3) × (0) = 0 (–3) × (–1) = ... (–3) × (–2) = ... (–3) × (–3) = ... ...

Apakah Anda menemukan sesuatu? Silahkan dianalisis.

Dari ilustrasi sederhana di atas, dapat dikatakan bahwa (–) × (–) = (+).

Pada pembuktian BAB 6, secara garis besar me-ngatakan bahwa sesuatu yang positif jika dipengaruhi sesuatu yang negatif (walaupun kecil nilainya) maka akan berakibat negatif hasilnya.

– 71 –

Refleksi dan Nilai Hidup

BAB 15

The Square of X5

– 74 –

Kalau dilihat dari judul di atas, mungkin banyak yang bertanya, mengapa harus X5 bukan Xiles seperti sebuah judul ilm ternama. Arti The Square of X5 di sini akan djelaskan menggunakan ilustrasi sebagai berikut.

The square of X5 jika dituliskan dalam bahasa matematika yaitu (X5)2_{; di mana 5 adalah digit satuannya} sedangkan X-nya adalah digit selanjutnya (bisa puluhan, ratusan, dan seterusnya) yang merupakan bilangan cacah.

Sebagai contoh

(15)2_{; (25)}2_{; (35)}2_{; (105)}2_{; dan seterusnya.}

Seperti diketahui, ada sesuatu yang menarik pada bentuk (X5)2 _{di atas, yaitu semua angka satuannya} ber-nilai 5.

Perhatikan pola berikut!

(5)2 _{= (05)}2 _{= 025 0 x 1 = 0}

(15)2 _{= 225 1 x 2 = 2}

(25)2 _{= 625 2 x 3 = 6}

(35)2 _{= 1225 3 x 4 = 12}

(45)2 _{= 2025 4 x 5 = 20}

(55)2 _{= 3025 5 x 6 = 30}

– 75 – Dan seterusnya…

Dari ilustrasi di atas diperoleh formula bahwa

2

( 5)X =( .(X X+1))25_.

Refleksi dan Nilai Hidup

Di dalam hidup, kita banyak mengalami permasalahan yang rumit. Polanya pun sering kali berulang. Kita juga sering berpikir keras, bahkan berbicara dengan pro-fesional, yang berarti harus membayar mahal guna menye lesaikan masalah. Namun, penyelesaian biasanya tersembunyi dari masalah yang berulang. Ada pola di balik semua masalah. Coba tengok pola itu, pahami, dan temukan caramu sendiri yang lebih cepat dan eisien untuk menyelesaikannya.

Dengan melihat contoh-contoh yang diberikan di atas, dapat juga melihat sebuah keteraturan yang akhirnya dirumuskan. Sebuah keteraturan merupakan hal yang sangat penting karena dari sebuah keteraturan, kita dimudahkan untuk melakukan sesuatu.

BAB 16

Makna “ITU”

– 78 –

Ternyata, hidup kita juga merupakan sebuah sistem yang sistematis. Kenapa bisa seperti itu? Perhatikan sistem persamaan kehidupan berikut yang diturunkan dari sistem persamaan linear dua variabel.

Dalam kehidupan kita kenal yang namanya “kasih,

kegembiraan, dan kesedihan” maka bisa dituliskan sebagai berikut:

Kehidupan + Kasih = Kegembiraaan

Kehidupan – Kasih = Kesedihan +

2 Kehidupan = Kegembiraan + Kesedihan

Kehidupan = Kegembiraan + Kesedihan

2

Sehingga:

1 1

Kehidupan = Kegembiraan Kesedihan

2 +2

Refleksi dan Nilai Hidup

BAB 17

Penerapan Geometri

– 80 –

Bentang alam yang ada sangatlah bervariasi, baik itu sungai, jurang, gunung, dan lain-lain. Sering kali dalam melakukan pengukuran di lapangan, bentang alam ini menjadi masalah. Contoh yang paling sederhana adalah sungai. Jika kita ingin melakukan sebuah pengukuran yang cukup akurat, akan tetapi area pengukuran kita melewati sebuah sungai yang cukup besar, tentu saja melakukan pengukuran akan menjadi masalah.

[image:81.371.35.280.237.336.2]

Dengan menggunakan ilmu geometri sederhana, kita bisa membuat sebuah perkiraan pengukuran yang cukup akurat untuk melakukan pengukuran-pengukuran yang tidak bisa dilakukan secara langsung. Aplikasi kesebangunan segitiga dalam geometri sangat bermanfaat dalam situasi seperti ini.

Gambar 1: Rintangan Alam, Sungai

– 81 – Perhatikan gambar di bawah ini!

Berdasarkan gambar di atas, yang penting untuk menjadi perhatian ialah semua pengukuran yang bisa dilakukan yaitu di salah satu sisi sungai saja sehingga kita tidak perlu melakukan penyeberangan ke sisi sungai yang lain.

Informasi dari gambar di atas, yaitu CE || DF;

ECG

FDG

∠

= ∠

(sudut-sudut saling sehadap)

CGE

฀

฀฀

GDF

฀

฀฀

Jika dimisalkan lebar sungai adalah ± GE maka

GE

CE

– 82 – CE GF GE DF × = …… (1)

Jika hanya menggunakan persamaan (1), kita masih harus melakukan pengukuran dengan menyeberangi sungai karena G ada di seberang sungai. Jika ingin mengukur GF maka harus menyeberangi sungai sehingga bagaimana mencari cara untuk mengganti GF dengan sebuah ruas garis yang ada di sisi mula perhitungan. Maka GF diubah menjadi GF = GE + EF sehingga

( )

CE GE EF GE

DF

× +

=

(CE GE) (CE EF) GE

DF

× + ×

=

(GE×DF)=(CE×GE) (+ CE×EF) (GE×DF) (− CE×GE)=(CE×EF)

( )

GE× DF−CE =CE×EF CE EF GE DF CE × = −

Perhatikan persamaan terakhir di ruas kanan! Semua variabel yang digunakan adalah semua variabel yang dapat diukur, tanpa harus menyeberangi sungai. Kemampuan dasar matematika sangat dibutuhkan untuk menyelesaikan masalah-masalah, seperti contoh di atas.

Refleksi dan Nilai Hidup

– 83 –

Seperti sudah disinggung sebelumnya, hidup tanpa masalah rasanya mustahil di dunia ini. Jika kita lihat permasalahan pada bab ini, yang ingin dicari adalah lebar sungainya. Mencari lebar sungai ibarat permasalahan hidup yang cukup rumit, mengapa? Untuk mencari lebar sungai, kita harus melawan arus, tahan dengan dinginnya air, belum lagi ditambah dengan hewan-hewan yang berbahaya serta kedalaman sungai. Banyak permasalahan hidup yang menyerupai hal tersebut. Ada beberapa cara penyelesaian mengenai masalah tersebut.

Cara pertama

INSTAN, yaitu BERENANG dengan membawa tali. Bayangkan saja, apa yang akan terjadi jika masalah tersebut diselesaikan tanpa analisis, dan langsung berenang. Memang ada kemungkinan berhasil namun tidak menutup kemungkinan usaha ini gagal, dan menimbulkan masalah yang lebih besar.

Cara kedua

MENGANALISIS, supaya hasilnya lebih AKURAT, dan MEMINIMALKAN risiko dengan langkah-langkah sebagai berikut:

a. mengidentiikasi masalah-masalah yang ada (arus sungai, kedalaman sungai, dan hal–hal yang sudah disebutkan di atas),

– 84 –

c. menyelesaikan MODEL yang sudah dibuat dengan cerdas.

BAB 18

Bertumbuh di dalam Metode

– 86 – Perhatikan soal berikut!

Dalam sebuah kandang besar terdapat dua jenis hewan, yaitu kambing yang berkaki empat, dan ayam yang berkaki dua. Jumlah hewan secara keseluruhan adalah 10 ekor, dan jumlah semua kaki-kakinya adalah 28. Tentukan banyaknya kambing dan ayam yang berada di dalam kandang tersebut!

Jawab:

Metode 1.

Dimisalkan 10 hewan tersebut merupakan hewan berkaki 2 dahulu sehingga semua kaki-kakinya dapat djumlahkan ke dalam kolom berikut.

|| || || || || || || || || ||

Maka jumlah keseluruhan kaki hewan yaitu 20. Menurut informasi, jumlah semua kaki ada 28 kaki maka harus ditambahkan kaki sebanyak 28 – 20 = 8 kaki.

|||| |||| |||| |||| || || || || || ||

Dari ilustrasi di atas, sudah diperoleh jawaban bahwa terdapat 4 ekor kambing dan 6 ekor ayam.

Metode 2. (Persamaan Linear Satu Variabel)

Dari informasi di atas, diketahui bahwa banyak ayam + kambing = 10. Jika dimisalkan ayam = X, maka kambing = 10 – X.

Jumlah kaki pada seekor ayam = 2 dan pada seekor kambing = 4. Dari sini diperoleh model sebagai berikut:

– 87 – 2X + 40 – 4X = 28

40 – 2X = 28 40 – 28 = 2X

12 = 2X 6 = X

Jadi banyak ayam = 6 ekor dan banyak kambing = 4 ekor.

Metode 3. (Sistem Persamaan Linier Dua Variabel)

Jika dimisalkan ayam = x dan kambing = y maka informasi di atas dapat dimodelkan sebagai berikut.

Karena ada total 10 ekor hewan dalam sebuah •

kandang maka x + y = 10.

Karena ada total 28 kaki dalam sebuah kandang maka •

2x + 4y = 28.

Dua persamaan di atas membentuk sebuah sistem persamaan linier dua variabel dengan sebuah himpunan penyelesaian yang identik.

x + y = 10 | × 2 ⇒ 2x + 2y = 20 2x + 4y = 28 | × 1 ⇒ 2x + 4y _{= 28 –}

– 2y = -8 y = 4 x + y = 10

x + 4 = 10 x = 10 - 4 x = 6

– 88 –

Refleksi dan Nilai Hidup

Dalam sebuah pengerjaan soal matematika, kita diajak untuk semakin berkembang dalam menyelesaikan sebuah masalah. Semakin besar dan kompleks masalah maka kita diajak untuk semakin elegan dalam penyelesaiannya.

BAB 19

Mengubah Desimal

Berulang ke Pecahan

– 90 –

Kita sering menemukan bilangan desimal dalam kehidup-an sehari-hari. Ketika sedkehidup-ang melakukkehidup-an pengukurkehidup-an, baik itu massa, panjang, suhu, dan lain-lain, bilangan desimal lebih sering digunakan. Sering kali perhitungan dalam bilangan desimal akan lebih menyulitkan karena melibatkan banyak angka.

Sebagai contoh, misalnya hasil dari 0,55 × 20adalah .... Jawab:

0,55 × 20 = 55 20

100× (eliminasi 20 dengan 100)

=

55

5

= 11.

Namun bagaimana jika pertanyaannya menjadi Hasil dari 0,555555... × 9 adalah ....

Jawab:

Langkah 1 adalah kita harus mengubah 0,555555... menjadi pecahan biasa.

Kita misalkan 0,555555... = x. Kemudian ikuti proses berikut.

Karena angka yang berulang hanya 1 angka di belakang koma (angka 5) maka kalikan x dengan 10 menjadi 10 x = 5,555555...

Lalu kurangkan 10 x dengan x menjadi

– 91 – x = 5

9

Langkah 2 adalah penyelesaian sebagai berikut. 0,555555... × 9 = 5

9 × 9

0,555555... × 9 = 5

Tantangan 1

Bagaimana mengubah bentuk 0,12121212... × 66 ke dalam bentuk pecahan?

JAWABAN Tantangan 1

Langkah 1 harus mengubah 0,12121212... menjadi pecahan biasa.

Kita misalkan 0,12121212... = x. Kemudian ikuti proses berikut.

Karena angka yang berulang hanya 2 angka di belakang koma (angka 12) maka kalikan x dengan 100 menjadi 100x = 12,12121212... Lalu kurangkan 100x dengan x menjadi

100 x = 12,12121212... x = 0,12121212... -99 x = 12

x = 12 99

= 4 33

Langkah 2 adalah penyelesaian sebagai berikut. 0,12121212... × 66 = 4

33 × 66

– 92 –

Pengubahan dari sebuah bentuk desimal berulang ke dalam bentuk pecahan akan sangat berguna karena dalam bentuk pecahan, angka yang digunakan relatif lebih sedikit, daripada bentuk desimal. Perhatikan contoh di bawah ini!

2

0,153846153846... 13=

Tentu saja secara visual akan jauh lebih mudah melihat pecahan 2

13=

daripada melihat jejeran angka pada

bentuk desimalnya.

Refleksi dan Nilai hidup

Coba lakukanlah perhitungan 0,153846153846… × 39 menggunakan alat bantu yang Anda punya (kalkulator, komputer, dan sebagainya). Sudah pasti Anda akan men-dapatkan jawaban yang memuaskan jika menghitung menggunakan alat bantu tersebut yaitu hasilnya sekitar 6. Dalam kasus ini, proses pengerjaan pada kalkulator pada dasarnya adalah proses pengerjaan manual seperti yang sudah djelaskan di atas.

Bayangkan jika Anda tidak memiliki alat-alat bantu tersebut dan tidak mengetahui metode menjawabnya? Tentu saja Anda akan mengalami masalah, bukan?

– 93 –

BAB 20

Selangkah ke Tujuan

– 96 –

Ada sebuah pengalaman kecil yang pernah membuat saya benar-benar membenci (malas) dengan hal yang bernama berhitung. Metode menghitung ini biasanya terdapat pada akhir dalam sebuah proses pengerjaan soal.

Misalnya diketahui sebuah balok dengan ukuran panjang, lebar, dan tinggi berturut-turut 27 cm, 9 cm, dan 18 cm. Berapa panjang diagonal ruangnya?

Jawab: LANGKAH 1

Buatlah Sketsa Balok dengan ukuran di atas dan gambarkan diagonal ruangnya.

C

D

A

B

G

H

E

F

Note :

Panjang (garis AB) = 27 cm, lebar (garis BC) = 9 cm, dan tinggi (garis DH) = 18 cm.

Garis BD adalah diagonal sisi.

– 97 – LANGKAH 2

Rumus untuk mencari diagonal ruang adalah menggunakan pendekatan dari Theorema Phytagoras seperti di bawah ini.

Diagonal Ruang2 _{= Diagonal sisi}2 _{+ tinggi}2 ----> pers 1 Di mana pada kasus ini, diagonal sisi (garis BD) diperoleh sebagai berikut.

Diagonal sisi2 _{= panjang}2 _{+ lebar}2 Diagonal sisi2 _{= 27}2 _{+ 9}2 ----> pers 2

Biasanya, kita mempunyai sikap reaktif dengan menghitung pada persamaan 2. Kali ini, mari biarkan persamaan 2 seperti apa adanya.

LANGKAH 3

Substitusikan diagonal sisi pada persamaan 2 ke diagonal sisi pada pers 1 seperti berikut.

Diagonal Ruang2 _{= Diagonal sisi}2 _{+ tinggi}2 ----> pers 1 Diagonal Ruang2 _{= 27}2 _{+ 9}2 _{+ 18}2

Diagonal Ruang2 _{= 729 + 81 + 324} Diagonal Ruang2 _{= 1134}

Diagonal Ruang = 1134

Perhatikan hasil perhitungan pada langkah 3. Ini membuat semua enggan untuk melanjutkan dalam mengerjakan soal tersebut. Padahal, itu TINGGAL SELANGKAH LAGI untuk mencapai GOAL.

Langkah TRIK

Diagonal Ruang2 _{= 27}2 _{+ 9}2 _{+ 18}2

– 98 –

Diagonal Ruang2 _{= (9.3)}2 _{+ (9.1)}2 _{+ (9.2)}2 Diagonal Ruang2 _{= 9}2_.32 _{+ 9}2_.12 _{+ 9}2_.22

Dengan menggunakan metode pemfaktoran maka didapat sebagai berikut.

Diagonal Ruang2 _{= 9}2 ₍₃2 _{+ 1}2 _{+ 2}2₎ Diagonal Ruang2 _{= 9}2 _{(9 + 1 + 4)} Diagonal Ruang2 _{= 9}2 ₍₁₄₎

Sebelum ke langkah terakhir, sudahkah Anda me-rasakan manfaat langkah trik di atas? Jika sudah, mari kita akhiri dengan indah.

2 Diagonal Ruang= 9 (14)

Diagonal Ruang =

3 14

Silakan Anda lihat kembali proses yang tanpa trik dan dengan trik. Bandingkan, bagaimana langkahnya?

Refleksi dan Nilai Hidup

Mengutip statement di atas, bahwa TINGGAL

– 99 –

BAB 21

Hidup dalam Keseimbangan

– 102 –

Setiap persamaan matematika atau pun rumus, selalu mengajarkan kepada kita tentang prinsip keseimbangan. Secara tidak sadar, matematika mengajarkan kita untuk hidup secara seimbang. Contoh di bawah ini adalah contoh persamaan linier satu variabel sederhana, dan dikerjakan dengan prinsip keseimbangan.

Perhatikan contoh soal berikut!

Tentukan nilai x dari bentuk persamaan berikut. 3x + 7 = 2(x + 1)

Dalam mengerjakan bentuk persamaan linier, logika termudah yaitu dengan menganalogikan seperti melihat sebuah timbangan, di mana ada dua sisi yang harus memiliki nilai yang sama agar seimbang. Tanda sama dengan adalah titik keseimbangan dari sisi kanan dan sisi kiri.

(3x + 7) 2(x + 1)

Sisi timbangan kiri = Sisi timbangan kanan

3x + 7 = 2(x + 1)

Buka kurung pada sisi sebelah kanan

3x + 7 = 2x + 2

Jumlahkan kedua ruas dengan -7

3x + 7 - 7 = 2x + 2 - 7

3x = 2x - 5

Jumlahkan kedua ruas dengan -2x 3x - 2x = 2x - 2x - 5

– 103 –

(3×-5) + 7) 2(-5 + 1)

(-15) + 7 2(-4)

-8 -8

Nilai di timbangan sebelah kiri dan sebelah kanan sama besar yaitu -8.

Refleksi dan Nilai hidup

Keseimbangan dalam hidup sangat penting, meski-pun tidak semua hal dalam hidup bisa seimbang. Salah satu contoh yang dapat kita jadikan releksi adalah ke-seimbangan dalam memberi dan menerima. Semakin banyak kita memberi kepada sesama yang tidak mampu, secara tidak sadar kita juga telah menerima berkat yang sama pula. Hidup bersama orang lain berarti siap hidup seimbang, yakni seimbang dalam memberi dan seimbang dalam menerima. Ini adalah usaha yang terus berubah dan tidak pernah berhenti sampai kita mati.

BAB 22

Uji Coba dan

Berani Salah

– 106 –

[image:107.371.68.246.32.178.2]

Sebuah mata pisau untuk industri kayu, seperti pada gambar di atas, harus ditempa dan dibentuk dari sebuah baja, dan dipesan oleh seorang pemilik yang tidak sabar karena membutuhkan mata pisau ini secara cepat. Se-orang pandai besi yang ditugaskan membuat mata pisau ini harus mengetahui jari-jari dari bidang lengkung mata pisau yang akan dibuat. Kemampuan matematika si pandai besi sangat terbatas sehingga ia meminta bantuan teman-temannya untuk memecahkan masalah ini. Akan tetapi, si pandai besi ini tidak menemukan seorang pun yang bisa membantunya memecahkan masalah ini.

Sementara itu, si pemesan meminta si pandai besi membuatnya dengan cepat, dia tidak ingin ada pe-nundaan pengerjaan. Di tengah keputusasaan, si pandai besi menggunakan metode coba-coba, dan akhirnya me-nemukan ukuran jari-jari yang sesuai.

Jika kamu ada di sana, dapatkah kamu membantu si pandai besi tanpa harus menggunakan cara coba-coba?

1 cm

– 107 – Jawab

Gambarkan sketsa gambar di atas.

Dengan menggunakan rumus yang sangat sederhana, yaitu rumus pythagoras yang berbunyi “Kuadrat sisi

miring sama dengan jumlah kuadrat sisi tegak ditambah dengan kuadrat sisi datar”.

Jika ditulis dalam persamaan berdasarkan gambar di atas, yaitu sebagai berikut.

Sisi miring = R; Sisi tegak = (R-1); Sisi datar = 5 cm;

R2 _{= (R-1)}2 _{+ 5}2 _{(Teorema pythagoras)}

Dengan sedikit bantuan aljabar istimewa

2 2 2

(

a

±

b

)

=

a

±

2

ab

+

b

=

−

+ +

= +

=

2 2 2 2

2

1

5

R

R

R

±

=

±

+

=

−

+ +

= +

=

2 2

2

R

1

5

±

=

±

+

=

−

+ +

= +

=

2

R

26

±

=

±

+

=

−

+ +

= +

=

R = 13 cm.

1 cm

10 cm

5 5

– 108 –

Maka panjang jari-jari kelengkungan yang dibutuhkan adalah 13 cm. Jika kita ada di sana, tentu saja kita dapat menolong si pandai besi, tanpa harus dia menghabiskan banyak bahan dasar untuk membuat mata pisaunya.

Refleksi dan Nilai Hidup

BAB 23

Aritmatika Kehidupan

– 110 –

Aritmatika adalah salah satu bagian dari matematika yang menggunakan angka-angka dan tanda-tanda operasi tertentu. Di bawah ini adalah barisan angka-angka yang terpisah. Gunakanlah tanda kali, bagi, tambah, dan kurang di antara angka-angka berikut sehingga persamaan men-jadi benar.

Jawab:

Syarat jika tanda ×, ÷, +, dan − boleh dipergunakan berkali-kali.

Syarat jika tanda ×, ÷, +, dan − hanya boleh di-pergunakan 1 kali.

Refleksi dan Nilai Hidup

– 111 –

Khusus matematika, kita perlu menguasai kecakap-an melakukkecakap-an penjumlahkecakap-an, pengurkecakap-angkecakap-an, perkalikecakap-an, dan pembagian. Semakin menguasai dasar-dasar ini, kita semakin mudah untuk mempelajari materi lanjutan dengan segala variasinya, yang tentu saja akan semakin rumit dan membingungkan. Apalagi jika ditambah dengan aplikasi-aplikasi lainnya. Dalam mengerjakan soal ujian, kita perlu tahu kapan menggunakan perkalian, penjumlahan, pengurangan, dan pembagian, hingga akhirnya diperolah jawaban yang benar. Kecakapan ini digunakan sesuai dengan jenis soal yang dihadapi. Bisa dibayangkan, bila misalnya seorang murid diminta hanya melakukan penjumlahan dan perkalian. Cepat atau lambat, otaknya pasti jenuh, dan tidak lagi mampu bekerja dengan baik. Matematika yang dipelajari di sekolah sebenarnya sama dengan matematika kehidupan. Dalam kehidupan, kita perlu tanggap kapan perlu menggunakan perkalian, kapan menggunakan penjumlahan, kapan menggunakan pengurangan, dan kapan menggunakan pembagian.

Umumnya, hidup orang menjadi susah karena mereka hanya mau melakukan penjumlahan (penambahan) dan perkalian. Mereka hanya ingin terus mendapat, memperoleh, menguasai lebih banyak, dan semakin ba-nyak, untuk diri mereka sendiri. Mereka lupa bahwa da lam hidup dibutuhkan keseimbangan dan penyeimbangan. Dalam hidup juga perlu melakukan pembagian, berbagi dengan sesama, dan pengurangan, melepas hal-hal yang tidak lagi dibutuhkan untuk kemajuan hidup.

BAB 24

Sekali Untung

Tetap Untung

– 114 –

Jono Mokas adalah seorang penjual mobil bekas. Dia membeli sebuah mobil bekas layak pakai, kemudian menjual kembali dengan keuntungan 30%. Seorang pembeli kemudian membeli mobil tersebut. Dia sangat senang dengan mobil tersebut, sampai suatu saat mobil tersebut mengalami kerusakan setelah 3 bulan dipakai.

Si pembeli ini kesal dan kembali ke Jono, serta meminta uangnya kembali karena mobil tersebut rusak dalam waktu singkat. Jono tentu saja menolak karena mobil tersebut telah terpakai untuk jangka waktu tertentu. Akan tetapi, si Jono menawarkan untuk membeli kembali dengan diskon 20% dari harga yang dibayar si pembeli. Si pembeli langsung sepakat dengan penawaran ini.

Berapakah keuntungan secara keseluruhan yang diperoleh Jono dari kesepakatan di atas?

– 115 – Jawab:

Jika dimisalkan a adalah harga beli mobil, dan b

adalah harga jual mobil maka diperoleh: b = a + 30% × a

b = a + 0,3a

Setelah tiga bulan dipakai oleh pembeli dan dibeli kembali dengan diskon 20% didapatkan:

b = 20% × (a + 0,3a) b = 0,2 × (a + 0,3a) b = 0,26a

Dari uraian di atas, keuntungan keseluruhan yang didapatkan Jono setelah pembelian kembali, yaitu:

= 0,26 × 100% = 26%

Ternyata walaupun dibeli kembali dengan diskon, Jono Mokas tetap mendapatkan keuntungan yang hanya berkurang 4% dari harga pembelian awal. Dengan perencanaan dan perhitungan yang matang dalam sebuah bisnis, semua dapat menguntungkan. Pemberian diskon 20% tentu saja sudah diperhitungkan oleh Jono Mokas.

Refleksi dan Nilai Hidup

– 116 –

oleh kata ajaib yang bernama "Diskon" atau "Sale", apalagi jika angka yang tertera di atas 50%.

BAB 25

“Silent Problem”

– 118 –

Dalam matematika dikenal yang namanya silent problem. Apa itu “silent problem”? Dalam dunia matematika khususnya geometri sering ditemui sebuah soal yang tidak memiliki angka sama sekali dan kemudian setelah mengalami proses pengerjaan dan penyelesaian ternyata hasilnya adalah sebuah angka.

Soal-soal seperti ini sering kali membingungkan. Di bawah ini akan diberikan beberapa soal tanpa informasi berupa angka.

1. Tentukan nilai α dari gambar berikut!

– 119 –

2. Tentukan besar jumlah semua sudut yang diarsir.

– 120 –

[image:121.371.36.278.63.205.2]

3. Tentukan jumlah semua sudut yang diarsir pada gambar di bawah ini!

– 121 –

Dilihat dari semua soal di atas tidak ada informasi angka apa pun yang dapat digunakan untuk menyelesai-kan soal. Amenyelesai-kan tetapi, soal-soal di atas dapat dikerjamenyelesai-kan dan hasilnya adalah sebuah angka tertentu.

Cara menjawab soal-soal seperti di atas adalah dengan mengeksplorasi semua hal-hal dasar dan tanda-tanda geo-metri serta pengetahuan dasar tentang geogeo-metri.

1. Perhatikan gambar di bawah ini.

Ada dua buah segitiga dengan ukuran yang berbeda. Tanda menyatakan bahwa segitiga pertama me-rupakan segitiga sama sisi dengan panjang sisi tertentu, sementara tanda menyatakan bahwa segitiga kedua juga juga merupakan segitiga sama sisi dengan ukuran panjang sisi tertentu dan berbeda dengan segitiga per-tama.

α + 60° + 60° = 180° (membentuk sudut lurus)

– 122 –

2. Perhatikan gambar pada soal no 2 jika ditambahkan informasi sebagai berikut!

Jika sudut-sudut yang diarsir dimisalkan sebagai α, β,

γ, δ, ε, µ, θ, dan τ maka:

p = α + β (teorema sudut luar segitiga)

q = γ + δ (teorema sudut luar segitiga)

r = ε + µ (teorema sudut luar segitiga)

s = θ + τ (teorema sudut luar segitiga),

Sementara untuk

a + p = 180° (sudut-sudut saling berpelurus)

a = 180° − p sehingga untuk sudut-sudut yang lain berlaku

– 123 –

Sudut a, b, c, dan d adalah sudut-sudut dalam segi empat maka dapat dituliskan sebagai berikut:

a + b + c + d = 360° (teorema sudut dalam segi empat)

Jika a, b, c, dan d disubtitusikan maka didapatkan (180° − p) + (180° − q) + (180° − s) + (180° − r) = 360° − (p + q + r + s) = -360° atau

p + q + r + s = 360°

Jika p, q, r dan s disubtitusikan maka

(α + β) + (γ + δ)+(ε + µ)+(θ + τ) = 360°(q.e.d)

Sehingga jumlah sudut-sudut yang diarsir adalah

360°.

Refleksi dan Nilai Hidup

Pernahkah Anda tersesat dan tanpa ada jalan keluar? Jika pernah maka yang Anda alami sama dengan kasus di atas. Lalu muncul pertanyaan, apakah tidak ada solusi? Menyerah sajakah? Di mana petunjuk dari-Nya? Rasanya tidak bjak jika kita menyerah dan mempertanyakan ke-beradaanNya.

Dari dua buah soal dan penyelesaian di atas, kita dapat mempelajari beberapa hal penting sebagai berikut.

Pertama, petunjuk yang sederhana dan sering kali dianggap remeh dan kecil seperti tanda-tanda pada soal contoh nomor pertama dan , justru dapat membantu dalam penyelesaian masalah tersebut.

– 124 –

BAB 26

Sederhana tetapi Sistematis

– 126 –

Sistem Persamaan Linier Dua Variabel (SPLDV) adalah sebuah sistem persamaan yang terdiri atas dua variabel yang sama, dan masing-masing