BAB 2
Fungsi Persamaan, dan
Pertidaksamaan Kuadrat
Standar Kompetensi:
Memecahkan masalah yang berkaitan dengan fungsi, persamaan, dan fungsi kuadrat serta pertidaksamaan kuadrat
Kompetensi Dasar:
Memahami konsep fungsi
Menggambar grafik fungsi aljabar sederhana dan fungsi kuadrat
Menggunakan sifat dan aturan tentang persamaan dan pertidaksamaan kuadrat
Melakukan manipulasi aljabar dalam perhitungan yang berkaitan dengan persamaan dan pertidaksamaan kuadrat
Merancang model matematika dari masalah yang berkaitan dengan persamaan dan atau fungsi kuadrat
Fungsi
A. Fungsi atau Pemetaan
Fungsi atau pemetaan
adalah relasi himpunan
A
ke
himpunan
B
yang memasangkan setiap anggota himpunan
A
dengan tepat pada satu anggota pada himpunan
B
.
a b
c
p
r q
f
B. Daerah Asal, Daerah Kawan, dan Daerah Hasil
Misalkan f sebuah fungsi yang memetakan tiap anggota himpunan A ke himpunan B (f : A B), maka:
i. himpunan A dinamakan daerah asal (domain) fungsi f,
ii. himpunan B dinamakan daerah kawan (kodomain) fungsi f,
C. Beberapa Macam Fungsi Khusus
1.Fungsi Konstan
Fungsi konstan adalah suatu fungsi y = f (x) dengan f(x) sama dengan sebuah konstanta (tetapan) untuk semua nilai x dalam sebuah daerah asalnya.
f
:
x
f
(
x
) =
k
dengan x R dan k adalah sebuah konstanta atau nilai tetapan.
2.Fungsi Identitas
Fungsi identitas adalah fungsi y = f (x) dengan f(x) = x untuk semua nilai x dalam daerah asalnya.
3.Fungsi Linear
Fungsi linear adalah y = f(x) dengan f(x) = ax + b (a dan b R,
4.Fungsi Kuadrat
Fungsi kuadrat adalah fungsi y = f(x) = ax² + bx + c R, a 0)
untuk semua nilai x dalam daerah asalnya.
Grafik fungsi kuadrat f (x) = ax² + bx + c dikenal sebagai parabola.
5.Fungsi Modulus atau Fungsi Nilai Mutlak
Fungsi modulus atau fungsi nilai mutlak adalah fungsi y = f (x) dengan
f(x) = 1 x 1 untuk semua nilai x dalam daerah asalnya. Bentuk 1 x 1 dibaca sebagai “nilai mutlak x” dan didefinisikan sebagai berikut.
Untuk setiap bilangan real x, maka nilai mutlak x ditentukan oleh aturan
1 x 1 = x, jika x ≥ 0
x, jika x < 0
D. Fungsi Surjektif, Fungsi Injektif, dan Fungsi Bijektif
Definisi
Fungsi f : A B disebut sebagai fungsi kepada B (surjektif) jika wilayah hasil fungsi f sama dengan himpunan B atau W = B.
Fungsi f ke dalam B, jika wilayah hasil fungsi f merupakan himpunan bagian dari himpunan B atau W B.
2. Fungsi Injektif
1
2
3
a
b
c
f
A B
2
1
3
a
b
c g
A B
Definisi
Fungsi
f
:
A
B
disebut
fungsi satu-satu
atau
fungsi injektif
jika dan hanya jika untuk sebarang
a
1dan
a
2
A
dengan
a
1
a
2berlaku f(
a
)
f
(
a
).
Definisi
Fungsi
f
:
A
B
disebut fungsi bijektif, jika dan hanya
fungsi
f
adalah fungsi surjektif dan juga fungsi injektif.
3. Fungsi Bijektif
2
1
0 a
b
c
2
1
0 a
b c
A B A B
Fungsi linear adalah fungsi y = f(x) dengan f(x) = ax + b (a dan b R,
a 0) untuk semua x dalam daerah asalnya.
Fungsi linear juga dikenal sebagai fungsi polinom atau fungsi suku banyak berderajat satu dalam variabel x.
Contoh:
y = f(x) = -2x + 4
1 2 3 4
-1 - 2 - 3 - 4
1 2 3 4 5 6
Y
X 0
(0, 4)
(2, 0)
Misalkan
a
,
b
, dan
c
bilangan real dan
a
0, maka fungsi
yang dirumuskan oleh
dinamakan
fungsi kuadrat dalam peubah
x
.
f
(
x
) =
ax
2+
bx
+
c
Fungsi Kuadrat
Contoh:
•
f(x) = x² - 1
a. Titik Potong dengan Sumbu X
X X X
Sketsa Grafik Fungsi Kuadrat
X X
X
Jika b2 4ac 0, maka grafik fungsi f memotong sumbu X di dua titik
yang berlainan.
Jika b2 4ac = 0, maka grafik fungsi f memotong sumbu X di dua titik
yang berimpit.
Jika b2 4ac 0, maka grafik fungsi f tidak memotong maupun
Jika c 0, maka grafik fungsi f memotong sumbu Y di atas titik asal 0. Jika c = 0, maka grafik fungsi f memotong sumbu Y tepat di titik asal 0.
Jika c 0, maka grafik fungsi f memotong sumbu Y dibawah titik asal 0.
Y Y Y
X
X X
0 0
0
b. Titik Potong dengan Sumbu
Y
X X
X
Y Y
Y
Mari kita tinjau persamaan parabola berikut
y = ax2 + bx + c
y = a (x2 + x)+ c
y = a (x2 + x + ) + c
y = a (x + )2
b a b a b 2 4a2 b2 4a2 b 2a b
2 4ac
4a
2. Titik Puncak atau Tititk Balik dan Persamaan Sumbu Simetri
1. Parabola y = ax2 + bx + c, dengan a,b, c R dan a 0, mempunyai titik
puncak atau titik balik
2. Jika a 0, titik baliknya adalah titik balik minimum dan parabola terbuka
ke atas. Jika a 0, titik baliknya adalah titik balik maksimum dan parabola
ke bawah.
3. Persamaan sumbu simetri parabola y = ax2 + bx + c adalah
(b2 4a 4ac) b 2a’
x = b
Menggambarkan Sketsa Grafik Fungsi Kuadrat
Langkah 1
Tentukan titik potong dengan sumbu X dan sumbu Y.
Langkah 2
Tentukan titik puncak atau titik balik serta persamaan
sumbu simetrinya.
Langkah 3
Gambarkan koordinat titik-titik hasil
Langkah 1
dan
Langkah 2
pada bidang koordinat. Kemudian hubungkan
titik-titik itu dengan kurva yang mulus, dengan
Membentuk Fungsi Kuadrat
a. Grafik fungsi kuadrat memotong sumbu X di A (x1, 0) dan B (x2, 0), serta melalui sebuah titik tertentu.
y
=
f
(
x
) =
a
(
x
x
2)(
x
x
2)
c. Grafik fungsi kuadrat melalui titi puncak atau titik balik P (xp, yp), dan melalui sebuah titik tertentu.
y
=
f
(
x
) =
a
(
x
x
p)
2+
y
y
=
f
(
x
) =
ax
2+ bx + c
d. Grafik fungsi kuadrat melalui titik A (x1 , y1), B (x2, y2), C (x3, y3).
b. Grafik fungsi kuadrat menyinggung sumbu X di A ( x , 0), serta melalui sebuah titik tertentu.
Bentuk Umum Persamaan Kuadrat
Definisi
Misalkan
a
,
b
,
c
R
dan
a
0, maka persamaan yang berbentuk
dinamakan
persamaan kuadrat dalam peubah
x
.
ax
2+ bx + c =
0
Dalam persamaan kuadrat
ax
2+ bx + c =
0,
- a adalah koefisien dari
x
2Akar-Akar Persamaan Kuadrat
Untuk menyelesaikan (menentukan akar-akar) persamaan kuadrat dengan cara:
a. memfaktorkan
b. melengkapkan kuadrat sempurna, c. menggunakan rumus kuadrat, dan
d. menggambarkan sketsa grafik fungsi f(x) = ax2 + bx + c.
Menentukan Akar-akar Persamaan Kuadrat dengan Rumus Kuadrat
Misalkan a, b, dan c bilangan-bilangan real dan a 0, maka akar-akar
persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0 ditentukan oleh
2a
4ac b2
b
x1 = b b2 4ac
2a =
2
Diskriminan Persamaan Kuadrat
Persamaan kuadrat ax2 + bx + c dengan nilai diskriminan D = b2 4ac,
1. Jika D 0, maka persamaan kuadrat mempunyai dua akar real yang
berlainan.
2. Jika D = 0, maka persamaan kuadrat mempunyai dua akar yang sama
(akar kembar), real, dan rasional.
3. Jika D < 0, maka persamaan kuadrat tidak mempunyai akar real atau
kedua akarnya tidak real (imajiner).
a) Jika D berbentuk kuadrat sempurna, maka kedua akarnya rasional.
b) Jika D tidak berbentuk kuadrat sempurna, maka kedua akarnya
Jumlah dan Hasil Kali Akar-Akar Persamaan Kuadrat
Akar-akar persamaan kuadrat
ax
2+ bx + c
= 0 (
a
0)
ditentukan dengan rumus kuadrat:
2a
4ac b2
b
x1= b b2 4ac
2a
=
2
x
atau
Jika
x
dan
x
adalah akar-akar persamaan kuadrat
ax
2+ bx
+ c
= 0; dengan
a
0,
Jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat itu
ditentukan dengan rumus:
1
x
b
a
a
c
dan
=
=
x
2Menyusun Persamaan Kuadrat
Menyusun Persamaan Kuadrat Jika Diketahui Akar-Akarnya
a. Memakai Faktor
apabila
x
dan
x
merupakan akar-akar suatu persamaan
kuadrat, maka persamaan kuadrat, maka persamaan
kuadrat itu dapat ditentukan dengan rumus:
1 2
0
)
)(
(
x
x
1x
x
2
0
)
(
)
(
1 2 1 22
x
x
x
x
x
x
b.Memakai Rumus Jumlah dan Hasil Kali Akar-Akar
Pertidaksamaan Kuadrat
Bentuk baku dari pertidaksamaan kuadrat dalam variabel x ada 4 macam, yaitu:
1. ax2 + bx + c < 0 2. ax2 + bx + c ≤ 0 3. ax2 + bx + c 0 4. ax2 + bx + c ≥ 0
dengan a, b, c bilangan-bilangan real dan a 0.
Penyelesaian atau himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan kuadrat dalam variabel x dapat ditentukan dengan dua cara, yaitu:
Menyelesaikan Pertidaksamaan Kuadrat dengan Menggunakan
Sketsa Grafik Fungsi Kuadrat
Langkah 1
Gambarlah sketsa grafik kuadrat f(x) = ax2 + bx + c atau parabola y = ax2 + bx + c
1 2 3 4 5
1 2 3 4
0 1 2
y = x2 4x + 3
Y
X y 0
y = 0
y < 0
Langkah 2
Berdasarkan sketsa grafik yang diperoleh pada Langkah 1, kita dapat menetapkan selang atau interval yang memenuhi pertidaksamaan kuadrat ax2 + bx + c < 0,
Menyelesaikan Pertidaksamaan Kuadrat dengan Menggunakan
Garis Bilangan
Penyelesaian pertidaksamaan kuadrat x2 4x + 3 < 0
Carilah nilai-nilai nol (jika ada) dari bagian ruas kiri pertidaksamaan
x2 4x + 3 = 0
(x 1)(x 3) = 0
x = 1 atau x = 3
3 1
3
1 2
0 4
+ +
nilai-nilai uji
