BAB 2
TINJAUAN PUSTAKA
2.1Umum
Perpindahan panas adalah perpindahan energi yang terjadi pada benda atau material
yang bersuhu tinggi ke benda atau material yang bersuhu rendah, hingga tercapainya
kesetimbangan panas. Kesetimbangan panas terjadi jika panas dari sumber panas sama
dengan jumlah panas benda yang dipanaskan dengan panas yang disebarkan oleh
benda tersebut ke medium sekitarnya. Proses perpindahan panas ini berlangsung
dalam 3 mekanisme, yaitu:
1. Konduksi
2. Konveksi
3. Radiasi
Dalam prakteknya ketiga proses perpindahan panas tersebut sering terjadi secara
bersama-sama. Namun, dalam bab ini akan dijelaskan teori perpindahan panas secara
konduksi.
2.2Laju Perpindahan Panas
Konduksi adalah proses perpindahan panas dari suatu bagian benda padat atau
material ke bagian lainnya. Perpindahan panas secara konduksi dapat berlangsung
pada benda padat, umumnya logam.
Jika salah satu ujung sebuah batang logam diletakkan di atas nyala api,
sedangkan ujung yang satu lagi dipegang, bagian batang yang dipegang ini suhunya
akan naik, walaupun tidak kontak secara langsung dengan nyala api. Pada
perpindahan panas secara konduksi tidak ada bahan dari logam yang berpindah. Yang
terjadi adalah molekul-molekul logam yang diletakkan di atas nyala api membentur
molekul-molekul yang berada di dekatnya dan memberikan sebagian panasnya.
memberikan sebagian panasnya, dan begitu seterusnya di sepanjang bahan sehingga
suhu logam naik.
Jika pada suatu logam terdapat perbedaan suhu, maka pada pada logam
tersebut akan terjadi perpindahan panas dari bagian bersuhu tinggi ke bagian bersuhu
rendah.
Besarnya laju perpindahan panas (q) berbanding lurus dengan luas bidang (A)
dan perbedaan suhu pada logam tersebut seperti ditunjukkan pada Gambar
2-1. Secara matematis dinyatakan sebagai:
Gambar 2.1 Laju Perpindahan Panas
Dengan memasukkan konstanta kesetaraan yang disebut konduktivitas thermal
didapatkan persamaan berikut yang disebut juga dengan hukum Fourier tentang
konduksi:
dimana : = Laju perpindahan panas (W)
k = Konduktivitas termal (W/m oC)
A = Luas penampang (m2)
= Gradien suhu,yaitu laju perubahan suhu T dalam arah aliran x
(oC/m)
Tanda minus (-) menunjukkan arah perpindahan panas terjadi dari bagian yang
bersuhu tinggi ke bagian yang bersuhu rendah.
Nilai kondukitivitas thermal suatu bahan menunjukkan laju perpindahan panas
yang mengalir dalam suatu bahan. Konduktivitas thermal kebanyakan bahan
kecil dan sering kali diabaikan. Jika nilai konduktivitas thermal suatu bahan makin
besar, maka makin besar juga panas yang mengalir melalui benda tersebut. Karena itu,
bahan yang harga k-nya besar adalah penghantar panas yang baik, sedangkan bila
k-nya kecil bahan itu kurang menghantar atau merupakan isolator.
2.3Aliran Panas Lewat Konduksi
Dalam konduksi, panas ditransmisikan dari satu lokasi dalam badan ke lokasi lain juga
dalam badan sebagai akibat dari perbedaan temperatur yang ada di dalam badan -
tidak ada gerakan makroskopik dari setiap bagian badan. Dengan mekanisme seperti
inilah, akan ditunjukkan dalam pasal ini, panas yang dihasilkan dalam batang bahan
bakar dipindahkan ke permukaan batang. Konveksi panas, sebaliknya, melibatkan
perpindahan panas ke cairan atau gas, yang bergerak sebagai hasil dari perbedaan
temperatur dan penolakan panas di lokasi lain. Jadi, panas yang di pindahkan dengan
cara konduksi ke permukaan batang bahan bakar dibawa ke pendingin dan keluar dari
sistem dengan cara konveksi.
Hubungan dasar yang mengatur konduksi panas adalah hukum Fourier, yang untuk
media
isotropik ditulis sebagai
Laju produksi panas total di dalam V adalah sama dengan
Dimana :
q'' : Laju aliran panas melalui satu satuan luas.
T : Temperature.
k : Sejumlah zat penting diberikan
q''' : Laju produksi panas per satuan volume.
Hasil ini dapat diterapkan untuk beberapa masalah yang menarik dalam reaktor
nuklir. Salah satu masalah sentral, seperti yang terlihat, adalah perhitungan jumlah
panas yang dapat dipindahkan keluar dari batang bahan bakar dan akhirnya ke
bakar maksimal adalah suatu kondisi preset yang tidak boleh dilampaui untuk alasan
keamanan.
2.4Konduksi pada Silinder
Arah perpindahan panas pada benda berbentuk silinder seperti tabung atau pipa adalah
radial. Pada Gambar 2.4 ditunjukkan suatu pipa logam dengan jarijari dalam ri,
jari-jari luar ro, dan panjang L, perbedaan suhu permukaan dalam dengan permukaan luar
adalah
Gambar 2.2 Aliran radial panas di dalam silinder
Perpindahan panas pada elemen dr yang jaraknya r dari titik pusat adalah:
Luas bidang permukaan silinder berjari–jari r adalah
Sehingga
Bentuk umum persamaan konduksi panas silinder :
Konduksi panas pada arah radial :
2.5Metode Beda Hingga (Finite Difference Method)
Metode beda hingga adalah metode numerik yang umum digunakan untuk
menyelesaikan persoalan teknis dan problem matematis dari suatu gejala fisis. Secara
umum metode beda hingga adalah metode yang mudah digunakan dalam penyelesaian
problem fisis yang mempunyai bentuk geometri yang teratur, seperti interval dalam
1D (satu dimensi), domain kotak dalam dua dimensi, dan kubik dalam ruang tiga
dimensi.
Berbeda dengan metode elemen hingga (Finite Element Method) yang
memiliki banyak variasi bentuk elemennya, yaitu bentuk segi empat, segi tiga dan segi
yang lain. Sedangkan metode beda hingga bentuk diskritisasi elemennya hanya
berbentuk segi empat saja.
Aplikasi penting dari metode beda hingga adalah dalam analisis numerik,
khususnya pada persamaan diferensial biasa dan persamaan diferensial parsial.
Prinsipnya adalah mengganti turunan yang ada pada persamaan diferensial dengan
diskritisasi beda hingga berdasarkan deret Taylor. Secara fisis, deret Taylor dapat
diartikan sebagai besaran tinjauan pada suatu ruang dan waktu (ruang dan waktu
tinjauan) dapat dihitung dari besaran itu sendiri pada ruang dan waktu tertentu yang
mempunyai perbedaan yang kecil dengan ruang dan waktu tinjauan (Anderson, 1984).
Atau secara matematis dapat dituliskan sebagai:
Dengan h adalah r , subskrip i merupakan titik grid, superskrip n
menunjukkan time step dan adalah reminder atau biasa disebut truncation error
yang merupakan suku selanjutnya dari deret tersebut yang dapat dinyatakan sebagai
berikut,
Metode ini akan membuat pendekatan terhadap harga-harga yang tidak
diketahui pada setiap titik secara diskrit. Dimulai dengan pemodelan dari suatu benda
keseluruhan masih memiliki sifat yang sama dengan benda utuh sebelum terbagi
menjadi bagian-bagian yang kecil. Penerapan metode ini pada persamaan adveksi
adalah memperkirakan persamaan differensial yang bersangkutan beserta syarat-syarat
batasnya dengan seperangkat persamaan aljabar. Dengan mengganti daerah yang
kontinu dengan suatu pola titik-titik tersebut. Sistem dibagi menjadi sejumlah subluas
yang kecil dan memberi nomor acuan kepada setiap subluas.
Metode beda hingga bersifat eksplisit, artinya keadaan suatu sistem atau solusi
variabel pada suatu saat dapat digunakan untuk menentukan keadaan sistem pada
waktu beriukutnya. Berbeda dengan metode implisit, yang mana penentuan solusi
sistem harus dengan memecahkan sistem pada kedua keadaan, sekarang dan yang
akan datang.
Berdasarkan ekspansi Taylor di atas (persamaan 2.12), terdapat tiga skema beda
hingga yang biasa digunakan dalam diskritisasi PDP, yaitu beda maju, maju mundur,
dan maju tengah. Berikut adalah skema beda hingga untuk koordinat silinder pada
arah radial.
Gambar 2.3 Skema beda hingga pada arah radial koordinat silinder
2.5.1 Beda Maju
Untuk beda maju, mencari nilai suatu fungsi independent variabelnya di geser
Secara umum, symbol T/ r* r menunjukkan kemiringan (gradient) nilai
fungsi T pada jika r digeser sebesar r. Sementara symbol 2T/ r2
menunjukkan lengkungan (curvature) dari titik tsb jika r digeser sebesar
r.
2.5.2 Beda Mundur
Untuk beda mundur, mencari nilai suatu fungsi independent variabelnya di
geser ke belakang sebesar r. Berikut ekspansi Taylor :
Maka,
2.5.3 Beda Tengah
Jenis beda hingga yang ketiga adalah beda tengah, di mana untuk mencari
kemiringan dari fungsi tersebut dengan menggunakan perbedaan nilai
fungsinya dari beda depan dan beda belakang. Secara matematis, beda
tengah adalah penjumlahan dari beda depan dan beda belakang.
--- +
atau
