Matematika pada hakikatnya adalah sebagai

GEOMETRI NETRAL

(Tugas Mata Kuliah Geometri Aksiomatis)

Oleh :

1. Devi Putri Permatasari (1213021016)

2. Lusi Armina (1213021034)

3. Meliza Nopia (1213021040)

4. Tika Rahayu (1213021070)

5. Zulfitriani (1213021080)

Jurusan Pendidikan Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan

Universitas Lampung Bandar Lampung

BAB I PENDAHULUAN

Matematika pada hakikatnya adalah sebagai kumpulan sistem aksiomatis. Konsep-konsepnya tersusun secara hierarkis, terstruktur, logis, dan sistematis, mulai dari konsep yang paling sederhana sampai pada konsep yang paling kompleks. Salah satu kelompok anggota kumpulan sistem atau struktur matematika yang akan dibahas pada makalah ini adalah Geometri, yang salah satu di antaranya adalah Geometri Netral.

Geometri netral lahir setelah Gerolamo Saccheri (1667-1733, dari Italia), berusaha membuktikan bahwa postulat sejajar euclid adalah sebuah teorema yang dapat dibuktikan dengan berdasar pada postulat euclid. Namun, Saccheri tidak berhasil membuktikan hal tersebut. Ternyata usaha ini menjadi awal dari geometri netral. Geometri netral disebut juga geometri absolut.

BAB II PEMBAHASAN

2.1 Pengertian Geometri Netral

Geometri netral adalah geometri yang dilengkapi dengan sistem aksioma-aksioma insidensi, sistem aksioma-aksioma urutan, sistem aksioma kekongruenan (ruas garis, sudut, segitiga) dan sistem aksioma-aksioma archiemedes.

2.2 Teorema-teorema Geometri Netral

Pada geometri netral terdapat teorema sebagai berikut:

“melalui satu titik dapat dibuat hanya satu garis yang tegak lurus pada suatu garis yang diketahui’.

Teorema 1:

Jika dua garis terletak pada satu bidang dan keduanya tegak lurus pada garis ketiga maka kedua garis semula adalah sejajar.

Bukti:

T

P L1

R

Q L2

2. Karena L1 dan L2 terletak sebidang, maka ada tiga kemungkinan tentang L1 dan L2 , dan hanya satu yang berlaku, yaitu :

(i). L1 = L2

(ii). L1 memotong L2 (iii). L1 // L2

3. Jika L1 = L2 maka hanya ada satu garis yang tegak lurus. Padahal ada dua garis yang tegak lurus. Jadi tidak mungkin L1 = L2.

4. Jika L1 memotong L2, sebutlah di titik R ini berarti ada dua garis yang melalui R yang tegak lurus pada T. Sedangkan menurut teorema (tidak dibuktikan), “ melalui satu titik dapat dibuat hanya satu garis yang tegak lurus pada garis lain.” Karena itu, tidak mungkin L1 memotong L2 di R.

Berdasarkan langkah ke 2 karena tidak mungkin L1 = L2 maupun L1 memotong L2 maka haruslah berlaku L1 // L2. Maka terbukti bahwa jika dua garis terletak pada satu bidang dan keduanya tegak lurus pada garis ketiga maka kedua garis semula adalah sejajar.

Teorema 2 :

Jika ada satu titik yang tidak terletak pada sebuah garis, maka paling sedikit ada satu garis yang melalui titik tadi serta sejajar dengan garis yang diketahui.

Bukti :

L1

P L2

L

2. Jelas ada sebuah L1 yang melalui P dan tegak lurus L(berdasarkan teorema yang digunakan pada langkah 4 bukti teorema 1).

3. Berdasarkan teorema yang sama, dari P dapat dibuat garis L2 yang tegak lurus L1.

4. Sekarang L2 melalui P dan L2 tegak lurus L1; sedangkan L tegak lurus L1 maka L2 sejajar L.

5. Berdasarkan teorema 1 diatas, disimpulkan bahwa ada garis yang melalui P dan sejajar L, yaitu garis L2. (terbukti).

Untuk mengikuti langkah-langkah dalam pembuktian berikutnya, gambar berikut dapat dijadikan acuan T

A 2 3 P B L1 1 4

3 2

C 4 1_{Q D L} 2

sudut-sudut dalam berseberangan, begitu pula sudut CQP dan sudut QPB. Teorema sudut luar segitiga adalah sbb:

“ sudut luar suatu segi tiga selalu lebih besar dari pada sudut dalam yang berjauhan.”

Bukti:

Misalkan ada segitiga ABC dan sisi BC diperpanjang sampai ke D. Katakan bahwa sudut luar ACD lebih besar daripada sudut dalam berjauhan yaitu sudut CBA dan sudut BAC.

Bagi dua sama besar AC di E. Hubungkanlah BE dan perpanjangkan sampai ke F, dengan membuat EF sama dengan BE. Hubungkan FC, dan perpanjangkan AC sampai ke G.Karena AE sama dengan EC, dan BE sama dengan EF, maka kedua sisi AE, EB berturut-turut A sama dengan CE dan EF, demikian juga sudut AEB sama dengan sudut FEC sebagai sudut-sudut yang bertolak belakang. Karena itu alas AB sama dengan alas FC, dan segitiga ABE sama dengan segitiga CFE, dan sudut-sudut lainnya yang bersesuaian akan sama, yaitu sudut-sudut dihadapan sisi-sisi yang sama. Karena itu sudut BAE sama dengan sudut FCE

Tetapi sudut ECD lebih besar dari sudut ECF, karena itu sudut ACD lebih besar dari sudut BAE. Dengan cara yang sama, jika AB dibagi dua sama besar, maka sudut BCG, yaitu sudut ACD dapat dibuktikan lebih besar dari sudut ABC.

Teorema 3:

Diketahui dua garis dan sebuah transversal, jika sepasang sudut dalam berseberangan kongruens (ukuran susutnya sama), maka dua garis semula sejajar. Bukti:

1. Misalkan kedua garis itu adalah L1 dan L2, dan transversalnya adalah T. 2. Ambillah sudut APQ kongruen sudut PQD.

3. Kita harus menunjukkan bahwa L1 sejajar L2, artinya tidak mungkin L1 memotong L2. Dalam pembuktian ini akan digunakan teorema sudut luar dari suatu segitiga, yaitu: “sudut luar dari suatu segi tiga selalu lebih besar dari pada sudut dalam yang berjauhan.” Pada gambar berikut sudut DBC adalah sudut luar adari segitiga ABC. Maka sudut DBC > sudut BAC dan sudut DBC > sudut BCA.

C

A B D

4. Misalkan L1 dan L2 berpotongan di R. Maka terbentuklah sebuah segitiga PQR. Pandanglah sudut PQD sebagai sudut luar, dan sudut APQ sebagai sudut dalam yang berjauhan.

5. Menurut teorema sudut luar, haruslah berlaku bahwa sudut PQD > sudut APQ. Tetapi hal ini bertentangan dengan apa yang diketahui (hipotesis) bahwa sudut APQ kongruen sudut PQD.

Pada gambar diatas sudut P1 dan sudut Q1 disebut sudut-sudut sehadap. Demikian juga pasangan sudut P3 dan sudut Q3. Sedangkan sudut P4 dan sudut Q2 disebut sudut-sudut dalam berseberangan, pasangan sudut P2 dan Q3 sudut luar sepihak. Teorema 4:

Diketahui dua garis dan sebuah transversal. Jika sepasang sudut-sudut sehadap sama, maka sepasang sudut-sudut dalam berseberangan sama juga.

Diketahui: garis k sejajar garis l dan dipotong oleh garis transversal m

Akan dibuktikan: 1. ∠ P1 = ∠ Q1, ∠ P2 = ∠ Q2, ∠ P3 = ∠ Q3, ∠ P4 = ∠ Q4

2. ∠ P3 = ∠ Q1 , ∠ P4 = ∠ Q2 Bukti :

i. Sudut – sudut sehadap :

misal ∠ Q4 > ∠ P4 , maka garis k dan l berpotongan dan akan membentuk segitiga.padahal di ketahui garis k ∥ l . Pengandaian salah, jadi ∠ P4 = ∠ Q4

∠ P1 + ∠ P4 = sudut lurus ∠ Q1 + ∠ Q4 = sudut lurus Aksioma 1.

Diketahui dua garis dan sebuah transversal. Jika sepasang sudut-sudut sehadap sama, maka kedua garis semula akan sejajar.

Diketahui : 2 garis k dan l yang dipotong garis transversal m di titik P dan Q sedemikian hingga :

∠ P3 = ∠ Q1 ∠ P4 = ∠ Q2

Akan dibuktikan: k ∥ l ? Bukti:

Andai k tidak sejajar dengan l , k dan l akan berpotongan di titik n.

Dari gambar diatas diperoleh: titik P, Q dan N membentuk suatu segitiga PQN Teorema 7. sudut di luar segitiga lebih besar dari sudut di daalam segitiga yang tidak bersisian dengan sudut luar.

∠ P1 > ∠ Q1 dan ∠ Q4 > ∠ P4 ∠ P1 = ∠ P3 ( bertolak belakang )

∠ P3 = ∠ P1 ∠ P4 = ∠ P2 Saccheri yang telah tercatat hampir menemukan geometri non-Euclid. Saccheri mengkonstruksi sebuah segiempat yang kemudian dikenal dengan nama

Sudut A dan sudut D disebut alas bawah Sudut B dan sudut C disebut sudut alas atas

Saccheri menarik garis yang tegak lurus pada ujung-ujung dua buah segmen garis yang saling sejajar. Bangun yang terbentuk ini disebut sebagai segiempat saccheri. B C

A D Teorema 1

Segiempat saccheri adalah segiempat ABCD dengan AB sebagai alasnya, AD dan BC adalah kaki-kakinya sedemikian sehingga AD = BC .

D C

A B

<A dan <B dinamakan sudut alas dan <C dan < D dinamakan sudut puncak. Misalkan ABCD adalah segiempat Saccheri dengan AD = BC dan A = B = 90°. Saccheri mampu membuktikan C = D. Dan selanjutnya mempertimbangkan tiga kemungkinan mengenai sudut C dan sudut D.

1. Hipotesis sudut siku-siku (C = D = 90°) 2. Hipotesis sudut tumpul (C = D > 90°) 3. Hipotesis sudut lancip (C = D < 90°) D C

A B Teorema 2

Sudut puncak saccheri adalah sama (dengan menggunakan kelima postulat). Bukti :

Perhatikan ΔDAB dan ΔCBA

<DAB = <CBA = 90° , AD = BC , AB adalah garis lurus. S.Sd.S postulat, ΔDAB dan ΔCBA adalah kongruen. Perhatikan juga ΔACD dan ΔBDC

Dimana AD = BC, AC = BD, CD adalah garis lurus.

Dengan S.S.S postulat, ΔACD dan ΔBDC adalah kongruen. Juga ΔACD = ΔBDC, sehingga OD = OC dan OB = OA. Teorema 3

Garis yang menghubungkan titik-titik tengah dari dasar dan puncak tegak lurus terhadap keduanya.

Bukti :

M adalah titik tengah AB dan N adalah titik tengah DC. Dengan teorema sebelumnya OD = OC,

DN = CN, dan ON = OM.

A B

Dengan S.S.S postulat, ΔOCN dan ΔODN adalah kongruen. Sehingga <CNO = <DNO = 90°, yaitu ON tegak lurus terhadap CD. Dengan demikian, ΔOAM = ΔOBM adalah kongruen. Sehingga <OAM = <OBM = 90°, yaitu OM tegak lurus terhadap AB. Selain itu, <CNO = <DON, <COB = <DOA, <BOM = <AOM. Jadi, <CON + <COB + <BOM = <DON + <DOA + <AOM = 180°. MON adalah garis lurus, dimana MN tegak lurus terhadap AB dan CD.

Teorema 4

Pada segiempat Saccheri, sudut-sudut atasnya sama besar. Bukti :

 Misal diketahui segiempat ABCD. D C  Tarik diagonal AC dan BD sehingga

terbentuk dua segitiga, yaitu ΔABD

Berdasarkan S.Sd.S postulat, maka ΔABD ≡ ΔBAC Akibatnya AC = BD

 Pandang ΔACD dan ΔBDC AD = BC ...definisi 1

AC = BD ...akibat dari ΔABD ≡ ΔBAC DC = DC ...berhimpit

Berdasarkan S.Sd.S maka ΔACD ≡ ΔBDC , akibatnya <D = <C.

Jadi, terbukti bahwa sudut-sudut atas segiempat Saccheri sama besar. Teorema 5

Pada segiempat Saccheri, sudut-sudut atasnya lancip. Bukti :

 Berdasarkan Akibat 1 Teorema 3, yaitu jumlah besar sudut-sudut dalam segiempat kurang dari 360°. Maka,

2.4 Geometri Lobachevsky

Geometri Lobachevsky disebut juga geometri Hiperbolik. Penamaan geometri Lobachevsky ini untuk memudahkan dan mengingat N.J. Lobachevsky (1793-1860) seorang profesor matematika dari Rusia, yang telah membaktikan dirinya untuk geometri ini. Selain Lobachevsky, juga ada J. Bolyai (1802-1860), seorang perwira angkatan darat Hongaria, dan Gauss (1777-1855), ahli matematika dari Jerman. Sekitar tahun 1830, mereka mengembangkan teori geometri yang didasarkan pada pertentangan dari postulat kesejajaran Euclides. Mereka bekerja sendiri-sendiri.

Postulat kesejajaran Lobachevsky :

Jika sebuah titik terletak tidak pada suatu garis, maka terdapat paling sedikit dua garis yang dapat ditarik melalui titik itu serta sejajar dengan garis tadi.

A

P

B L Garis A // L dan garis b // l. Garis A dan garis B berpotongan di titik P.

Geometri Lobachevsky tidak mengenal atau menerima teorema apapun yang peturunannya menggunakan postulat kesejajaran Euclides. Pernyataan berikut yang tidak diterima dalam geometri Lobachevsky :

 Jumlah ukuran sudut-sudut dalam sebuah segitiga adalah 1800_.  Ada segiempat yang bernama empat persegipanjang.

Beberapa teorema dalam geometri Lobachevsky sebagai berikut :

Teorema L1 : Terdapat segitiga dengan jumlah ukuran sudut-sudutnya kurang dari 1800_.

Bukti :

Buat garis L dan titik P tidak pada L. kita memperoleh garis M melalui P sejajar L. PQ tegak lurus ke L pada Q dan PQ tegak lurus M pada P. dengan postulat kesejajaran Lobachevsky, ada garis lain N melalui P sejajar L. Salah satu sudut yang dibentuk oleh N dengan PQ harus lancip. Ambil X titik di N sedemikian sehingga sudut QPX lancip. Y titik di garis M pada sisi yang sama seperti titik X. Andai a = sudut XPY maka sudut QPX = 900 _{– a.}

Ambil R titik pada L, pada bagian PQ yang memuat X, sedemikian sehingga sudut PRQ < a.

Perhatikan segitiga PQR, kita dapatkan : Sudut PQR = 900

Sudut QRP = < a

Sudut RPQ < Sudut XPQ = 900 _{– a.} ditambahkan, kita peroleh

Jadi segitiga PQR mempunyai jumlah sudut kurang dari 1800_{. (terbukti).} Teorema L2 : Jumlah ukuran sudut dari suatu segitiga adalah kurang 1800_. Bukti :

Menurut akibat teorema (geometri netral) :

Jika ada sebuah segitiga yang jumlah besar sudutnya kurang dari 1800_{, maka} setiap segitiga jumlah besar sudutnya juga kurang dari 1800_{……… (1)} Menurut Teorema (geometri Lobachevsky) :

Ada sebuah segitiga yang jumlah besar sudutnya kurang dari 1800_{…… (2)} Berdasarkan (1) dan (2) maka jumlah besar sudut setiap segitiga kurang dari 1800_.

Teorema L3 : Melalui sebuah titik diluar garis yang tidak memuat titik itu terdapat tak terhingga garis yang sejajar dengan garis tadi.

Bukti :

Misal diketahui garis l dan titik P tidak pada l.

Gunakan teorema (sembarang garis keseluruhan termuat dalam interior dari beberapa sudut), Misal R sembarang titik didalam interior sudut APB, maka garis (PR termasuk titik P) secara keseluruhan termuat dalam interior sudut APB dan sudut A’PB’. Dan PR tidak memotong l, karena l termuat didalam interior sudut A’PB.

Dengan demikian PR sejajar l.

Akibatnya ada banyak gaaris tak berhingga seperti garis PR. (terbukti).

Teorema L4 : Jumlah ukuran sudut dalam setiap segiempat adalah jurang dari 3600_.

Segiempat ABCD pada gambar diatas, jika dibuat garis yang menghubungkan titik B dan D maka akan terbentuk dua segitiga, segitiga I dan segitiga II, berdasar teorema L2 bahwa jumlah besar sudut dari segitiga kurang dari 180°, maka segiempat tersebut jumlah besar sudut-sudutnya kurang dari 360°.

Teorema L5 : Tidak ada empat persegipanjang. Bukti :

Andaikan ada empat persegipanjang.

Maka dalam geometri netral jumlah besar sudut-sudut dalam setiap segitiga adalah dua kali sudut siku-siku atau 180°. Hal ini bertentangan dengan teorema L2 sebelumnya. Berarti pengandaian salah. Sehingga terbukti bahwa tidak ada persegi panjang.

2.5 Geometri Riemann

Geometri Riemann berbeda dari geometri Euclides maupun geometri Lobachevsky. Riemann memandang geometri dalam bentuk yang lebih luas dan lebih umum. Geometri dipandangnya sebagai himpunan dai n-tripel terurut yang dikombinasikan dengan aturan-aturan tertentu.

Teori Riemann bukan hanya tidak menerima postulat kesejajaran Euclides, bahkan juga postulat lainnya. Apabila dalam geometri netral ada garis-garis sejajar yang eksistensinya tidak berdasarkan postulat kesejajaran Euclides, ini juga ditolak oleh Riemann.

Sebelum melanjutkan pembahasan geometri Riemann, renungkan postulat pada geometri netral berikut:

Jika dua garis terletak pada satu bidang dan keduanya tegak lurus pada garis ketiga, maka kedua garis semula adalah sejajar.

atau

Dua garis yang terletak sebidang dan tegak lurus pada sebuah garis akan sejajar. Dalam geometri netral, teorema tersebut dibuktikan menggunakan teorema tentang sudut-sudut luar segitiga. Berikut adalah pembuktian yang tidak menggunakan teorema sudut luar. Pembuktian ini kemudian dianalisis agar ditemukan hal-hal yang menimbulkan masalah.

Diketahui : garis L dan garis M berlainan.

Garis L dan garis M tegal lurus terhadap garis N. Buktikan : L // M

Bukti :

M C

L M

N A B

N

A B C’

Misalkan L dan N berpotongan di A, serta M dan N berpotongan di B.

Andaikan garis L dan M tidak sejajar, dan misalkan perpotongannya adalah titik C.

1. Pada garis L buatlah segmen AC’ yang sama panjang dengan segmen AC. (Pada suatu garis dapat dibuat sebuah segmen yang sama panjang dengan segmen yang diketahui)

2. Tarik garis BC’. (melalui dua titik dapat dibuat suatu garis) 3. ∆ ABC ≅ ∆ ABC’

(sifat kongruensi: sisi-sudut-sisi) AC ≅ AC’, ∠ BAC ≅ ∠ BAC’, AB ≅ AB

4. ∠ ABC ≅ ∠ ABC’ (unsur-unsur yang bersesuaian adalah kongruen)

Akibatnya ∠ ABC’ merupakan sudut siku-siku, sehingga garis BC dan BC’ tegal lurus N di B.

5. Garis BC berimpit dengan garis BC’ (hanya ada satu garis yang tegak lurus pada garis lain, melalui satu titik pada garis lain itu)

Dengan demikian garis AC dan BC atau garis L dan M mempunyai titik persekutuan.

Kesimpulan yang diperoleh bertentangan dengan yang diketahui, bahwa garis L dan M berlainan, sehingga pengandaian L dan M tidak sejajar adalah salah, berarti yang benar L dan M sejajar.

Jika kita akan memberlakukan postulat kesejajaran Riemann, maka teorema yang telah dibuktikan diatas harus disingkirkan. Dengan demikian, satu dari prinsip-prinsip yang digunakan dalam pembuktian di atas harus disingkirkan ( juga postulat paralel Euclides). Namun sifat-sifat dasar tentang kongruensi segitiga dan garis-garis tegak lurus dipandang wajar dan benar.

Langkah yang bermasalah adalah langkah ke-6, bahwa garis L dan M berimpit dengan alasan L dan M secara bersamaan memuat titik C dan C’. Langkah ke-6 ini akan gagal jika C dan C’ sama (berimpit). Adakah prinsip geometri yang membenarkan C dan C’ berimpit? Untuk menjamin C dan C’ berbeda diperlukan postulat pemisah bidang (sebuah garis yang terletak pada suatu bidang memisahkan bidang itu atas dua bagian yang berlawanan). Untuk menghindari langkah ke-6 di atas, pertentangan C dan C’ sama atau berbeda menjadi tidak bermasalah jika sifat dua titik menentukan satu garis tidak dipergunakan, artinya dibolehkan berlakunya sifat dua garis berpotongan di dua titik.

Pembahasan di atas memberikan ilustrasi adanya dua teori geometri yang berkaitan dengan postulat kesejajaran Riemann, yaitu:

a. Tiap dua garis berpotongan pada tepat satu titik, tetapi tidak ada garis yang memisahkan bidang (menolak prinsip pemisah bidang)

→ geometri eliptik tunggal

b. Tiap dua garis berpotongan tepat pada dua titik, dan tiap garis memisahkan bidang.

BAB III PENUTUP

3.1 Kesimpulan

Geometri netral adalah geometri yang dilengkapi dengan sistem aksioma-aksioma insidensi, sistem aksioma-aksioma urutan, sistem aksioma kekongruenan (ruas garis, sudut, segitiga) dan sistem aksioma-aksioma archiemedes.

Geometri netral lahir setelah Gerolamo Saccheri (1667-1733, dari Italia), berusaha membuktikan bahwa postulat sejajar euclid adalah sebuah teorema yang dapat dibuktikan dengan berdasar pada postulat euclid. Namun, Saccheri tidak berhasil membuktikan hal tersebut, dan hal ini merupakan awal dari geometri netral. Dalam geometri netral terdapat pula suatu segiempat yang di kenal dengan segiempat saccheri. Segiempat Saccheri disebut segiempat Saccheri karena untuk menghormati sumbangsih Gerolamo Saccheri yang telah tercatat hampir menemukan geometri non-Euclid. Saccheri mengkonstruksi sebuah segiempat yang kemudian dikenal dengan nama segiempat saccheri.

Dalam geometri netral terdapat cabang geometri lain, yaitu geometri Lobachevsky dan geometri Riemann.

Geometri Lobachevsky disebut juga geometri Hiperbolik. Penamaan geometri Lobachevsky ini untuk memudahkan dan mengingat N.J. Lobachevsky (1793-1860) seorang profesor matematika dari Rusia, yang telah membaktikan dirinya untuk geometri ini.

Daftar Pustaka

Coesamin, M.2008.Geometri Aksiomatis.Lampung: Universitas Lampung.

Purcell, E.J. dan Varberg, D. (1996). Kalkulus dan Geometri Analitis. Jakarta: Erlangga.

http://lukman8.files.wordpress.com/2013/01/bab_7_geometri_netral.pdf

https://www.google.co.id/?