Geometri proyektif Page 119 BAB 6
GEOMETRI PROYEKTIF
A. Sejarah Perkembangan Geometri Proyektif
120
penemu aturan geometri untuk merubah objek 3D ke bentuk 2D.
Kita dapat belajar banyak tentang bagaimana orang melihat cara kerja dunia dengan seninya. Dalam lukisan, anak panah pemanah bergerak lurus secara sempurna hingga ia mencapai puncaknya, pada saat mereka berhenti tepat di titik, pada sudut yang tajam dan jatuh langsung ke bumi. Sebelum masa renaisans gambar dan lukisan dimulai dengan representasi dari pelukis, orang yang digambar akan lebih kecil dibandingkan sesungguhnya agar terlihat nyata. Bahkan, Giotto, pelukis yang hidup dari sekitar 1266-1337 adalah yang pertama menyadari bahwa ukuran relatif dan bentuk sesuatu harus dimodifikasi dalam lukisan untuk membuatnya tampak lebih nyata. Tentu saja dia tidak tahu persis bagaimana melakukan ini, sehingga beberapa lukisannya muncul sedikit aneh (ada beberapa koreksi untuk perspektif, tapi itu dilakukan secara tidak benar). Sungguh mengejutkan, karena semua orang sejak awal (sebelum pada kenyataannya) pasti melihat orang-orang yang jaraknya jauh terlihat kecil. Tentu saja ada alasan psikologis luar biasa untuk kesalahan representasi ini. Kita "tahu" bahwa meskipun orang itu jauh, dia benar-benar tetap dengan ukuran yang sama. Gambar tentang yang lainnya (orang-orang, bangunan, atau pegunungan) lebih kecil pada gambar, disebut gambar perspektif.
Geometri proyektif Page 121 cakrawala, sepasang rel itu akan bertemu di sebuah titik, dan juga bahwa garis lintasannya akan muncul lebih dekat di kejauhan, meskipun kita tahu bahwa di dunia nyata jarak satu sama lain adalah sama. Tentang bagaimana membuat suatu pemandangan dalam perspektif, ada cara yang mekanis untuk mendapatkan tampilan yang sangat akurat. Hanya dengan menggunakan sepotong kaca, dan menjaga kepala Anda di posisi yang sama persis (secara teknis, Anda harus menggunakan hanya satu mata, dan menjaga pandangan Anda). Caranya, di mana pun Anda melihat hijau melalui kaca, tandai cat hijau pada saat itu pada kaca. Cat merah di mana Anda melihat merah, dan sebagainya, dan itu jelas bahwa jika Anda dapat mencocokkan warna persis, Anda telah melukis sebuah pemandangan pada kaca dalam perspektif yang sempurna. Jika Anda membayangkan bahwa garis terang mengikuti ketika bergerak dari berbagai objek ke mata Anda melalui kaca, sinar cahaya dari atas dan bawah dari sebuah objek akan membuat sudut yang pada dasarnya menentukan ukuran gambar benda pada kaca. Jika objek yang sama lebih jauh, sudut akan lebih kecil, sehingga gambar pada kaca juga akan lebih kecil. Ini adalah ide dasar di balik gambar perspektif. Dapat dilihat pada gambar berikut:
122
124
Geometri proyektif Page 125 Desargues tidak susah untuk sekolah tinggi dan mampu membeli buku-buku yang dia inginkan dan mampu menikmati kesenangan apapun yang ingin dia reguk. Sebagai penemu, Desargues, merancang tangga spiral dan pompa model baru, tapi minat utama adalah geometri. Dia menemukan sesuatu yang baru, berbeda dengan geometri Yunani, yang sekarang dieknal dengan nama “proyeksi” atau geometri“modern”.
126
Sebaliknya dia sangat berminat pada pendidikan seniman dan insinyur karena hal ini merupakan pekerjaannya yang paling menonjol. Desargues bukan matematikawan tunggal yang mempelajari geometri proyektif di abad ke-17 itu. Ada dua matematikawan lainnya yang mengabdikan hidup mereka untuk mempelajari geometri tersebut. Blaise Pascal dan Phillippe de Lahire merupakan dua orang yang sangat berminat pada geometri ini. Pascal lebih cendrung dipengaruhi oleh Desargues dan dia lebih berminat pada menyederhanakan sifat-sifat bagian kerucut. Pada saat itu Pascal membuat suatu esai mengenai geometri proyektif tapi sayangnya esai tersebut hilang sehingga kebenarannya sempat diragukan tapi sebelum esai tersebut hilang Leibniz sempat membacanya. Pikiran yang brilian diberikan oleh Pascal dan ahirnya lahir sebuah Teorema Pascal.
Geometri proyektif Page 127 hasil karya Desargues sebenarnya memang tidak begitu dihargai oleh teman-temannya dan lingkungannya pada waktu itu. Hal ini menyebabkan Geometri Proyeksi menjadi tidak menarik atau tidak popular pada masanya. Berbeda sekali dengan geometri analitik pada awal 18. Banyak sekali matematikawan yang berminat untuk mempelajari geometri ini secara mendalam. Satu hal yang menjadi alasan utama mengapa hasil pikiran Desargues tidak diminati adalah karena geometri ini tidak ada kejelasannya. Bagaimana seseorang dapat menghargai suatu karya kalau karya tersebut susah untuk dimengerti. Sejarah mengaitkan ide-ide Desargues tidak popular dikalangan matematikawan karena pada waktu itu Desargues memfokuskan teorema proyeksi hanya untuk seniman dan pengrajin, dengan kata lain tidak ada kejelasan dalam hal matematika dan itu membuat para matematikawan menjadi tidak antusias pada idenya. Selain itu dalam ide-idenya, Desargues memakai istilah-istilah yang rumit untuk dimengerti oleh orang lain hal ini dapat dilihat pada Project Brouillon, salah satu hasil pekeraan Desargues. Walaupun diakui juga bahwa ide Desargues sangat brilliant tapi hal ini menunda kemajuan geomteri selama beberapa abad. Barulah pada abad ke 19 geometri proyeksi terlahir kembali sebagai hasil perkembangan dari cabang geometri non-Euclid. Dan ini mungkin ilmu yang lahir karena adanya suatu kebutuhan dimana pemikiran manusia sudah mulai maju.
128
1. Girard Desargues
Geometri proyektif Page 129 teorema Desarguesnya pada tahun 1636. Jelas bahwa, meskipun tekadnya untuk menjelaskan hal-hal ini dalam bahasa, dan tanpa referensi langsung ke teorema atau kosakata matematika Kuno, Desargues sangat menyadari pekerjaan geometers kuno, misalnya Apollonius dan Pappus. Dia memilih untuk menjelaskan dirinya sendiri berbeda, mungkin karena pengakuan bahwa karyanya sendiri juga sangat berhutang kepada tradisi praktis, khusus untuk studi perspektif (yang merupakan bentuk proyeksi kerucut). Tampaknya sangat mungkin bahwa itu sebenarnya dari karyanya pada perspektif dan hal-hal terkait bahwa ide-ide baru Desargues muncul. Ketika Error! Hyperlink reference not valid.Error! Hyperlink reference
not valid.yang diciptakan kembali oleh murid Gaspard
Monge (1746 -1818), penciptaan kembali berasal dari geometri deskriptif, suatu teknik yang memiliki banyak kesamaan dengan perspektif.
2. Pappus of Alexandria
130
terkenal. Pappus lahir di Alexandria, Mesir sekitar 290 AD. Pappus terkenal denganbuku yang berjudul Synagoge atau Collection (c.340), dan teorema Pappus dalam geometri proyektif. Tidak banyak yang diketahui dari hidupnya kecuali dia mempunyai seorang anak laki-laki yang bernama Hermodorus sebagai guru di Alexandria (dari tulisan Pappus sendiri). Collection merupakan hasil karya Pappus yang sangat terkenal yang berisi ringkasan/ikhtisar matematika. The Collection diperkirakan ditulis pada sekitar tahun 340 (sebagian menaksir tahun 325) yang terdiri dari 8 buku. Karakteristik dari Collection Pappus adalah mengandung cerita, susunan yang sistematis, dari hasil yang paling penting yang diperoleh dari pendahulunya, yang kedua, menjelaskan dan mengembagkan penemuan sebelumnya, excellent dan elegan.
Buku I: berisi ulasan tentang aritmatika yang tidak ditemukan.
Buku II: sebagian hilang tapi diketahui berisi bahasan tentang metode menangani bilangan-bilangan besar. Metode untuk mengekspresikan bilangan berpangkat, diketahui sampai pangkat 10000.
132
lingkaran besar sebuah revolusi lengkap dalam waktu yang sama. Luas permukaan termasuk antara kurva dan basis adalah ditemukan contoh pertama yang diketahui dari quadrature dari permukaan melengkung. Sisa buku ini memperlakukan dari tiga bagian dari sebuah sudut, dan solusi dari masalah yang lebih umum dari jenis yang sama dengan menggunakan quadratrix dan spiral. Dalam satu solusi dari masalah pertama adalah penggunaan tercatat pertama dari properti sebuah kerucut (hiperbola) dengan mengacu pada fokus dan direktriks. Buku IV berisi bentuk-bentuk kurva termasuk di sini adalah bentuk spiral dari Archimedes dan kuadratrik dari Hippias. Terdapat tiga kategori problem dalam geometri yang disebut dengan “plane”, “solid” dan “linear.” Setiap problem mempunyai penyelesaian yang tepat. Jangan menggunakan pola garis lurus untuk menyelesaikan problem pada bidang. Begitu pula problem ruang tidak dapat diselesaikan dengan menggunakan pola garis lurus atau bidang. Buku V: diawali dengan bagaimana lebah membangun sarangnya (bentuk segienam). Bahasan Pappus tentang hasil penelitian disimpulkan dalam buku ini, seperti yang dinyatakan: lebah ternyata mengetahui bahwa bentuk segienam (heksagon) lebih besar daripada
persegipanjang atau segitiga. Sarang
lebah ternyata mampu menyimpan lebih banyak madu yang dibuat oleh lebah dengan menggunakan bahan yang sama. Dapat disimpulkan bahwa makin banyak
sudut maka makin banyak mempunyai isi (makin
Geometri proyektif Page 133 lebih besar dibandingkan dengan poligon bentuk apapun. Pokok pikiran ini seperti karya Zenodorus (± 180 SM). Dalam buku ini juga terdapat penemuan Archimedes tentang bentuk polyhendra (bidang dengan tiga belas sisi) yang sering disebut dengan bidang-bidang (solids) Archimedes.
Buku VI dan buku VII: merangkum buku-buku matematikawan lain seperti: Throdosius, Autolycus, Aristarchus, Euclid, Apollonius, Aristaeus dan Eratoshenes.
Buku VI: menyinggung astronomi dan diberi sub-judul Little Astronomy banyak mengandung perbedaan dengan Greater Astronomy (Almagest) dari Ptolemy. Buku VI berisi aplikasi matematika dalam astronomi, optik dan mekanika.
134
dari sebuah titik sedemikian hingga jarak dari titik yang diketahui mempunyai jari-jari ke garis lurus yang diketahui adalah berbentuk sebuah kerucut, dan bukti bahwa kerucut merupakan parabola, elips, atau hiperbola. Hal ini tergantung jari-jari sama dengan 0 (r = 0), kurang atau lebih dari 1 (r >1atau r < 1).
Buku VIII: adalah aplikasi matematika pada bidang astronomi, optik dan mekanika.
3. Blaise Pascal (1623– 1662)
Geometri proyektif Page 135 matematika sampai usia 15 tahun agar tidak merugikan pendidikan bahasa Latin dan Yunani. Pada usia 12 tahun, ayahnya menemukan bahwa Blaise Pascal menulis sebuah bukti bahwa jumlah sudut segitiga sama dengan dua kali sudut siku-siku dengan sepotong batu bara di dinding. Karena terkesan dengan kemampuan Blaise Pascal, ayahnya memberinya salinan Euclid’s Elements yang memang ingin segera dibaca dan dikuasai oleh Blaise Pascal dan diijinkan untuk duduk sebagai penonton pada pertemuan beberapa ahli matematika dan ilmuwan terbesar di Eropa Sebelum menginjak usia 13 tahun. Blaise Pascal telah membuktikan proposisi ke 32 Euclid dan menemukan kesalahan geometri Rene Descartes. Pada usia 14 tahun, Blaise Pascal diijinkan untuk duduk sebagai penonton pada pertemuan beberapa ahli matematika dan ilmuwan terbesar di Eropa. Pada usia 16 tahun, ia menyusun makalah tentang kerucut untuk membantu menjelaskan ide Desargues tentang kerucut, namun kertas Pascal hilang.
136
proyektif pada usia 16 tahun, dan kemudian berhubungan dengan Pierre de Fermat pada teori peluang, sangat mempengaruhi perkembangan ekonomi modern dan ilmu social.
4. Philippe De La Hire
Geometri proyektif Page 137 berkomitmen penuh untuk hidup sebagai seniman. Tiga tahun setelah kematian ayahnya, ia membuat rencana untuk mengunjungi Italia. Ada dua alasan dia mengunjungi Italia yaitu: ia berharap kehidupannya lebih baik di Italia dan ayahnya telah memberikan cinta seni Italia walau ayahnya belum pernah ke Italia. La Hire berangkat ke Venesia pada tahun 1660 dan menghabiskan empat tahun untuk mengembangkan keterampilan artistic dan belajar geometri. La Hire menulis buku metode grafis (1673), conic section (1685), sebuah risalah epicycloids (1694), roulettes (1702), conchoids (1708). Karya-karyanya conic section dan epicycloids ditemukan pada pengajaran Desargues dimana ia merupakan salah seorang pengagum Desargues.
5. Gaspard Monge
138
matematika Perancis, revolusioner, dan penemu geometri deskriptif. Ayahnya bernama Jacques Monge, seorang pedagang yang berasal dari Haute-Savoie di tenggara Perancis. Ibunya bernama Jeanne Rousseaux adalah penduduk asli dari Burgundy. Karya-karya Monge pada akhir abad 18 dan awal abad 19 penting bagi perkembangan geometri proyektif selanjutnya. Awal abad 19 geometri proyektif merupakan batu loncatan dari geometri analitik ke geometri aljabar.
6. Filippo Brunelleschi
Geometri proyektif Page 139 Brunellesco yaitu seorang pengacara di Lippo, dan ibunya bernama Giuliana Spini. Filippo merupakan anak kedua dari tiga bersaudara. Filippo diberi pendidikan sastra dan matematika pada saat ia masih muda. Hal ini betujuan untuk mengikuti jejak sang ayah sebagai seorang PNS. Filippo juga terdaftar di Seta della Arte, persekutuan pedagang sutra, emas, pengrajin logam, dan pekerja perunggu. Ia menjadi tukang emas pada tahun 1398, pada tahun 1401, filippo mengikuti kompetisi untuk merancang satu set pintu perunggu untuk baptistery di Florence. Selain itu, Filippo juga dikenal sebagai penemu perspektif linier. Lukisan-lukisan yang dikenal pertama dalam linier optic geometris perspektif dibuat oleh Filippo sekitar tahun 1425. Filippo melukis dengan dua panel, yang pertama Florentine Baptistery yang terlihat secara frontal dari portal barat katedral yang belum selesai dan yang kedua Palazzo Vecchio terlihat miring dari sudut barat lautnya. Panel Baptistery pertama dibangun dengan lubang dibor melalui titik hilang sentries. Filippo menginginkan perspektif barunya “realisme” yang akan diuji tidak dengan membandingkan lukisan baptistery ke actual tetapi untuk refleksi di cermin sesuai dengan hukum optic geometris Euclidean. Prestasi ini menunjukkan untuk pertama kalinya bagaimana mereka bisa melukis gambar mereka yang tidak lagi terlihat dalam dua dimensi namun sudah terlihat seperti tiga dimensi.
140
Joseph Diaz Gergonne lahir 19 Juni 1771 di Nancy, Perancis, anak dari seorang arsitek dan juga pelukis. Ia adalah seorang perwira artileri Perancis, profesor matematika, dan ahli logika dan dia datang di bawah pengaruh Gaspard Monge. Joseph Diaz Gergonne kesulitan mempublikasikan karyanya sehingga dia mendirikan jurnal matematika sendiri. Gergonne adalah matematikawan pertama yang menggunakan istilah kutub dalam geometri tahun 1813. Prinsip dualitas tumbuh dari pekerjaan Poncelet dan pertama kali dinyatakan Gergonne pada tahun 1826.
8. Jean Victor Poncelet (1788– 1867)
Geometri proyektif Page 141 suatu obyek dan membangun hubungan antara sifat metrik dan proyektif. Dia dianggap sebagai pembangun kembali geometri proyektif, karyanya “Traite des proprietes projectives des figures” dan “Applications d’analyseet de geometrie”. Jean Victor Poncelet mempelajari conic section dan mengembangkan prinsip dualitas.
9. Jacob Steiner
142
Karyanya melanjutkan pekerjaan Poncelet yang dikembangkan menjadi teorema Poncelet-Steiner. Ide-ide dan teoremanya mendorong pertumbuhan geometri proyektif Karya Poncelet, Steiner dan lain-lain tidak dimaksudkan untuk memperpanjang geometri analitik. Teknik seharusnya sintetik: di ruang efek proyektif seperti sekarang dipahami adalah diperkenalkan secara aksiomatik. Akibatnya, perumusan karya awal dalam geometri proyektif sehingga memenuhi standar agak sulit.
C. Gambaran Umum Geometri Proyektif
Geometri proyektif mempelajari tentang sifat-sifat proyektif yang tidak berubah dalam transformasi proyektif sehingga geometri ini berbeda dalam pengaturan, ruang proyeksi dan beberapa konsep dasar geometri. Berikut adalah perbedaan antara geometri proyektif dan geometri Euclid.
1. Secara intuisi, ruang proyektif memiliki titik lebih banyak daripada ruang Euclid.
2. Dalam geometri proyektif tidak dibicarakan tentang sudut seperti dalam geometri Euclid, karena sudut adalah contoh dari konsep yangberubahdalam transformasi proyektif, seperti yang terlihat jelas dalam gambar perspektif.
3. Geometri proyektif tidak didasarkan pada konsep jarak.
Geometri proyektif Page 143 5. Geometri proyektif menggunakan prinsip utama seni perspektif yaitu garis sejajar berpotongan di tak hingga. Namun pada dasarnya, geometri proyektif dapat dianggap sebagai perluasan dari geometri Euclid. Geometri Euclid terkandung dalam geometri proyektif sehingga teorema terpisah namun serupa di geometri Euclid dapat dibahas bersama dalam kerangka kerja geometri proyektif. Misalnya, garis sejajar dan garis berpotongan tidak perlu diperlakukan sebagai kasus yang terpisah karena dua garis sejajar dalam geometri proyektif juga memiliki titik potong. Titik potong dua garis sejajar adalah titik di tak hingga.
D. Materi geometri.
1. Pengertian pangkal geometri proyektif
Pengertian pangkal geometri proyektif adalah titik, garis dan relasi insidensi. Contoh: Titik B. Garis c. Relasi Insidensi adalah relasi antara titik dan garis seperti 'terletak di' atau 'memotong'. Sebagai contoh adalah “titik P terletak pada garis L” atau “garis L1 memotong garis L2”. Artinya, relasi tersebut adalah relasi biner yang menggambarkan bagaimana obyek-obyek geometri bertemu. Jadi suatu titik dan suatu garis dikatakan insidensi jika titik itu terletak pada garis tersebut dan garis tersebut melalui titik tadi.
144
a. Himpunan titik-titik disebut collinear jika setiap titik pada himpunan tersebut insiden dengan garis yang sama.
b. Garis-garis yang insiden dengan titik yang sama disebut concurrent
c. Complete quadrangle adalah himpunan dari empat titik, yang tiga diantaranya tidak collinear dan enam garis insiden dengan masing-masing pasangan titik tersebut. empat titik tersebut disebut vertices (titik sudut) dan enam garis tersebut disebut sides (sisi)
d. Dua sisi dari Complete quadrangle berlawanan jika titik insidennya tidak berpotongan pada kedua garis.
e. Titik diagonal dari Complete quadrangle adalah titik yang insiden dengan sisi yang berlawanan pada quadrangle.
f. Segitiga adalah himpunan tiga titik noncollinear dan tiga garis insiden dengan setiap pasangan titik tersebut. titik-titik tersebut disebut vertices dan garis tersebutdisebut sides (sisi)
g. Pencil of points adalah himpunan dari titik-titik yang insiden dengan sebuah garis.
h. Pencil of line adalah himpunan garis yang insiden dengan sebuah titik.
3. Aksioma-aksioma dalam geometri proyektif a. Aksioma 1: Terdapat sebuah titik dan sebuah
garis yang tidak insiden.
Geometri proyektif Page 145 c. Aksioma 3: Dua titik sebarang yang berbeda berinsiden
hanya dengan 1 garis.
d. Aksioma 4: Jika A, B, C, D adalah 4 titik berbeda sedemikian hingga AB berpotongan dengan CD, maka AC memotong BD.
e. Aksioma 5: Jika ABC adalah bidang maka terdapat paling sedikit 1 titik tidak berada pada bidang tersebut.
f. Aksioma 6: Dua bidang sebarang yang berbeda memiliki paling sedikit 2 titik potong.
g. Aksioma 7: Tiga titik diagonal pada complete quadrangle tidak pernah kolinear.
h. Aksioma 8: Jika suatu proyeksi memproyeksikan tiga titik invarian yang segaris, maka hasil dari proyeksi setiap titik pada garis tersebut adalah titik invarian.
Definisi: Titik-titik P1, P2, …… , Pn dikatakan kolinear jika terdapat sebuah garis yang memuatnya.
Definisi : Jika A, B, C tiga titik yang berbeda dan nonkolinear, maka bidang yang memuat A, B, C disebut bidang yang ditentukan oleh A, B, C. Dan dinotasikan dengan ABC.
146
Bukti:
Andaikan dua garis tersebut memiliki 2 titik potong A dan B. Berdasarkan aksioma 3, setiap garis ditentukan oleh dua titik tersebut. Maka dua garis tersebut sama (coincide). Hal ini kontradiksi dengan yang diketahui bahwa 2 garis tersebut berbeda. Jadi pengandaian salah. Yang benar kedua garis hanya perpotongan di 1 titik.
Teorema 2: Sebarang dua garis berbeda yang sebidang memiliki paling sedikit satu titik potong.
Bukti:
Geometri proyektif Page 147 2 titik pada garis pensil berbeda. Misal: B pada EA maka EA = BA. Titik D pada EC maka EC = CD. Maka BA berpotongan dengan CD. Berdasarkan aksioma 4, AC dan BD memiliki titik potong.
Teorema 3: Jika titik A tidak terletak pada garis BC maka A, B, dan C berbeda dan nonkolinear.
Bukti :
148
Teorema 4 : sebuah garis dan sebuah titik di luar garis hanya termuat pada sebuah bidang
Teorema 5: Jika dua garis memiliki titik potong maka garis tersebut sebidang
Bukti:
Misal diberikan garis l dan k dan A pada l, B pada k. Misal C = (l,k) dengan C pada garis AC, Maka k = BC dan l = AC. Dari tiga titik yang berbeda A, B dan C, dapat dibuat sebuah bidang.
Teorema 6: Jika dua bidang berpotongan maka perpotongannya adalah sebuah garis
Bukti :
Geometri proyektif Page 149 dan B sedemikian hingga titik A dan B merupakan 2 titik persekutuan bidang U dan V….(aksioma 6). Dari A dan B dapat dibuat garis AB….(aksioma 3). Jadi garis AB pada bidang U dan juga garis AB pada bidang V. Akibatnya AB merupakan garis persekutuan bidang U dan V. Karena dalam aksioma 6 hanya dikatakan bahwa minimal perpotongan 2 bidang adalah 2 titik, maka memungkinkan terdapat titik lain C dengan C pada bidang U dan C juga pada bidang V. Andaikan C tidak pada garis AB. Maka AB dan C termuat pada 1 bidang ABC…(teorema 4). Padahal AB dan C merupakan persekutuan 2 bidang U dan V. Hal ini kontradiksi dengan yang diketahui bahwa bidang U dan bidang V adalah 2 bidang yang berbeda. Akibatnya pengandaian salah, yang benar C pada garis AB. Jadi hanya garis AB yang merupakan titik potong bidang U dan V.
Akibat :
Jika sebuah garis termuat pada dua buah
bidang yang berbeda, maka garis tersebut adalah perpotongan kedua bidang.
150
Bukti:
Berdasarkan 3 aksioma pertama, terdapat 2 garis berbeda yang memiliki titik potong dan masing-masing memuat paling sedikit 2 titik selain titik potong tadi. Misal: EA memuat B, EC memuat D. Akan dibuktikan A, B, C, D nonkolinear. Andaikan A, B, C kolinear. Maka E pada AB akan kolinear dengan ketiga titik tersebut. Sehingga EA = EC. Kontradiksi dengan permisalan bahwa EA tidak sama dengan EC. Jadi permisalan salah, yang benar adalah A, B, C noncolinear
Prinsip Dualitas
Geometri proyektif Page 151 dengan mengganti istilah “titik” dengan“garis” dan istilah “garis” dengan “titik” diperoleh dual aksioma 1 adalah aksioma 1 itu
sendiri. Dengan cara yang sama terhadap aksioma berikutnya, diperoleh teorema- teorema berikut.
Teorema 8: (dual aksioma 2) Sebarang titik insiden dengan minimal 3 garis berbeda
Bukti:
Berdasarkan aksioma 1, terdapat sebuah titik dan sebuah garis yang tidak insiden, misal titik A dan garis BC tidak insiden. Berdasarkan aksioma 2, garis BC memuat minimal 3 titik berbeda yaitu B, C dan D. Berdasarkan aksioma 3, dapat dibuat garis AB, AC dan AD.
Teorema 9: (dual aksioma 3) Sebarang 2 garis berbeda insiden dengan tepat 1 titik.
152
Teorema 11: (dual aksioma 7) 3 garis diagonal pada complete quadrilateral tidak pernah konkuren
Perspektif
Elementary correspondence
Pemetaan 1-1 antara Pencil of points dengan pencil of lines disebut dengan Elementary correspondence jika setiap titik pada Pencil of points insiden dengan garis yang koresponden dengan pencil of lines
Perspektivity
Pemetaan 1-1 antara dua Pencil of points disebut perspektivitas jika garis insiden dengan titik yang berkorespondensi dengan dua Pencil of points concurrent. Titik dimana garis tersebut berpotongan disebut center of the perspectivity
Pemetaan 1-1 antara dua Pencil of lines disebut perspektivitas jika titik insiden dengan garis yang berkorespondensi dengan dua Pencil of lines collinear.
Garis yang memuat titik yang berpotongan disebut axis of the perspectivity.
Proyektif
Geometri proyektif Page 153 F1, F1 perspektif dengan F2, dan seterusnya hingga Fk perspektif dengan F’. Dapat juga dikatakan bahwa proyektivitas adalah hasil kali dari perspektivitas. Dua buah bangun F dan F’ yang perspektif dari suatu titik O dinyatakan dengan F𝑂
∧F’ dan dua bangun yang perspektif d ari suatu garis dinyatakan dengan F∧ F’ Maka jika F∧F1∧F2∧F3∧……∧Fk∧F’, dikatakan F dan F’ proyektif dan dinyatakan dengan F∧ F’. Antara dua bangun yang proyektif selalu ada korespondensi satu-satu antara unsur-unsurnya. Perspektivitas adalah keadaan khusus dari proyektivitas.
Teorema Desargues: Dalam ruang proyektif, 2 segitiga berada pada perspektif aksial, jika dan hanya jika keduanya berada pada perspektif terpusat
Atau dapat dinyatakan sebagai:
154
Bukti :
Bukti jika Aa, Bb, Cc konkuren maka AB∩ab, AC∩ac, dan BC∩bckolinear:
Garis (AB) dan (ab) berpotongan karena keduanya terletak pada bidang yang dibentang oleh A, B, a, b. Misal x = (AB) ∩ (ab). (A, B) terletak pada bidang yang memuat segitiga ABC. (a.b) terletak pada bidang yang memuat segitiga abc. Maka x terletak di perpotongan bidang (misal garis h). Jadi x pada garis h….(*). Dengan cara yang sama berlaku untuk dua titik perpotongan lainnya yaitu y = (AC) ∩ (a.c) , z = (BC) ∩ (b.c) Maka y, z pada garis h….(**). Dari (*) dan (**) maka x, y, z kolinear.
Dengan menggunakan dual dari
Geometri proyektif Page 155 maka “jika AB∩ab, AC∩ac, dan BC∩bc kolinear maka Aa, Bb, Cc konkuren” terjamin kebenarannya. Maka terbukti bahwa sifat implikasi yang terdapat pada teorema Desargues berlaku. Bukti di atas berlaku jika kedua segitiga terletak pada bidang yang berbeda, Namun jika keduanya berada pada bidang yang sama, teorema Desargues bias dibuktikan dengan memilih titik di luar bidang yang memuat segitiga tersebut. Dengan titik ini, salah satu segitiga diangkat keluar dari bidang sehingga argumen di atas berlaku dan kemudian memproyeksikan kembali ke bidang. Langkah terakhir dari bukti gagal, jika ruang proyeksi memiliki dimensi kurang dari 3, karena tidak mungkin untuk menemukan sebuah titik di luar bidang. Dualitas dari teorema Desargues adalah teorema Desargues itu sendiri. Hal inidisebabkan dalam teorema ini terdapat biimplikasi dengan implikasi yang pertama adalah dual dari implikasi kedua.
156
Bukti:
A2A3𝐵1
∧xy𝐴∧1B2B3 sehingga A2A3∧B2B3 dan A1A2A3𝐵1
∧xyz𝐴∧1B1B2B3
sehingga A1A2A3∧B1B2B3 dan karena A1, A2, A3 kolinear begitu juga B1,B2,B3 kolinear akibatnya x, y, z kolinear
Geometri proyektif Page 157 Matematikawan Jerman Gerhard Hessenberg membuktikan bahwa teorema Pappus menyiratkan Teorema Desargues's
Teorema Pascal :
158
E. Aplikasi Geometri Proyektif
Geometri proyektif banyak digunakan dalam waktu sangat praktis dengan segalacara anda melihat gambar tiga dimensi pada layar komputer Anda, semua perhitunganuntuk menghasilkan citra realistik dihitung dengan menggunakan rumus geometri proyektif.
Kamera lubang jarum (Pinhole)
Sebuah kamera lubang jarum memberikan ilustrasi perspektif yang sangatbagus. Sebuah kamera lubang jarum hanya kotak lampu-ketat dengan satu filmmelekat di dalam wajah dan dengan lubang jarum pada wajah berlawanan yangtercakup sampai kita ingin mengambil foto. Untuk mengambil foto,
titik lubang
160
