Te
Teorema Superposisi, Thevenin, orema Superposisi, Thevenin, dan Nortondan Norton Posted in
Posted in ElektronikaElektronika
Teorema Superposisi Teorema Superposisi T
Teorema eorema superposisi superposisi adalah adalah salah salah satu satu cara cara pintar pintar yang yang membuat membuat suatusuatu rangkaian yang terlihat kompleks dijadikan lebih sederhana. Strategi yang rangkaian yang terlihat kompleks dijadikan lebih sederhana. Strategi yang digunakan pada teorema Superposisi adalah mengeliminasi semua sumber digunakan pada teorema Superposisi adalah mengeliminasi semua sumber tetapi hanya disisakan satu sumber yang hanya bekerja pada waktu itu juga tetapi hanya disisakan satu sumber yang hanya bekerja pada waktu itu juga da
dan n memengngananalalisisa a rarangngkkaiaian an ititu u dedengngan an kkononsesep p rarangngkkaiaian an seseriri-p-pararalalelel masi
masing-masng-masing saat ing saat sumbesumber r bekbekerja sendirerja sendiri-seni-sendiridiri. . Lalu setelah masingLalu setelah masing--mas
masing ing tegtegangangan an dandan/at/atau au aruarus s yanyang g tidtidak ak dikdiketaetahui hui tetelah lah dihdihituitung ng saasaatt sumber bekerj
sumber bekerja sendiri-sendiri, masing-masing nilai yang a sendiri-sendiri, masing-masing nilai yang telah diperoleh taditelah diperoleh tadi dij
dijumlumlahkahkan an sehsehingingga ga dipdipereroleoleh h nilnilai ai tegtegangaangan/an/arus rus yanyang g sebsebenaenarnrnya.ya. P
Pererhahatitikkan an cocontntoh oh rranangkgkaiaian an beberirikkut ut inini, i, kikita ta akakan an mmenengagananalilisasanynyaa menggunakan teorema superposisi:
menggunakan teorema superposisi:
arena terdapat dua sumber pada rangkaian ini, kita akan menghitung dua arena terdapat dua sumber pada rangkaian ini, kita akan menghitung dua set nilai tegangan dan arus, masing-masing saat sumber !" #olt bekerja set nilai tegangan dan arus, masing-masing saat sumber !" #olt bekerja sendirian $sumber tegangan % # &mati'(
sendirian $sumber tegangan % # &mati'(
)a
)an n didihihitutung ng papada da sasaat at sumsumbeber r % % *o*olt lt bebekkererja ja sesendndiririaian n $s$sumumbeber r !" !" ## &mati'(.
&mati'(.
S
Saaaat t kkiitta a mmeennggggaammbbaar r uullaanng g rraannggkkaaiiaan n sseerrii//ppaarraalleel l ddeennggaann hanya
hanya satusatu sumber seperti pada rangkaian di atas, semua tegangan yang sumber seperti pada rangkaian di atas, semua tegangan yang lainnya &dimatikan', apabila sumber itu adalah sumber tegangan maka cara lainnya &dimatikan', apabila sumber itu adalah sumber tegangan maka cara &mem
&mematiikatiikannya' adalah annya' adalah dengan cara dengan cara menggmenggantinantinya ya dengan short dengan short circircuitcuit $hubung pendek(.
$hubung pendek(.
Pertama-tama analisa rangkaian yang hanya mengandung sumber baterai Pertama-tama analisa rangkaian yang hanya mengandung sumber baterai !" #, kita akan mendapatkan nilai tegangan dan
+aka dengan analisa seri-paralel
total 2 30- 1 1 $! 2 3( / $! 4 3(0 4 5 5.66% 7 8total 9 / total !" # / 5.66% 7 6
8R2 8total 2 $3 / 2 4 3( 6 2 $3 / 34!( ! $pembagi arus( 8R3 8total 2 $2 / 2 4 3( 6 2 $! / 34!( 5 $pembagi arus( ;adi, drop tegangan pada masing-masing resistor dapat dihitung
#R1 8total2 1 $6 ( $5 7( !5 # $hukum <hm( #R2 8R2 2 2 $! ( $! 7( 5 # $hukum <hm(
#R3 8R3 2 3 $5 ( $3 7( 5 # $hukum <hm(
Setelah ditentukan semua nilai arus dan tegangan saat sumber !" #olt bekerja, berikutnya adalah menganalisa saat sumber % # saja yang bekerja $sumber !" # dimatikan dengan cara di ganti short circuit(
nalisa seri-paralel,
T 120 1 - 3 $5 2 !(/$5 4 !(0 4 3 !.=== 7 8total 9/T % # / !.=== 7 = 8=
8R1 8total2 2 / $1 4 2(0 = 2 $! / $5 4 !(0 3 $pembagi arus( 8R2 8total 2 1 / $1 4 2(0 = 2 $5 / $5 4 !(0 ! $pembagi arus( #R1 8R1 2 1 $3 ( $5 7( 5 #
#R2 8R2 2 2 $! ( $! 7( 5 # #R3 8R3 2 3 $= ( $3 7( 5=#
Setelah mendapatkan nilai-nilai saat sumber bekerja sendiri-sendiri. ita tinggal menjumlahkannya untuk memperoleh nilai yang sebenarnya. >amun, perhatikan polaritas tegangannya dan arah arusnya sebelum nilai-nilai ini dijumlahkan secara aljabar.
Setelah kita menjumlahkan nilai-nilai tegangan secara aljabar, kita dapatkan rangkaian seperti pada gambar ini:
#R1 #R1$saat sumber !" # menyala( 4 #3 $saat sumber % # menyala( !5 # 4 $-5 #( !? #
#R2 #R2$saat sumber !" # menyala( 4 #! $saat sumber % # menyala( 5 # 4 5 # !? #
#R3 #R3$saat sumber !" # menyala( 4 #= $saat sumber % # menyala( 5 # 4 $-= #( 3 #
@egitu juga dengan nilai-nilai arusnya, ditambahkan secara aljabar, namun perhatikan arah arusnya juga.
8R1 8R1$saat sumber !" # menyala( 4 83 $saat sumber % # menyala( 6 4 $-3 ( A
8R2 8R1$saat sumber !" # menyala( 4 83 $saat sumber % # menyala( ! 4 $! ( 5
8R3 8R3$saat sumber !" # menyala( 4 8= $saat sumber % # menyala( 5 4 $-= ( 3
Setelah arus-arusnya dijumlahkan secara aljabar, diperoleh rangkaian seperti gambar berikut ini:
@egitu sederhana dan bagus bukanB>amun perlu anda perhatikan, bahwa teorema Superposisi hanya dapat digunakan untuk rangkaian yang bisa direduksi menjadi seri-paralel saja saat salah satu sumber yang bekerja. ;adi, teorema ini tidak bisa digunakan untuk menganalisa rangkaian jembatan Cheatstone yang tidak seimbang. arena rangkaian tersebut tidak bisa direduksi menjadi kombinasi seri-paralel. Selain itu, teorema ini hanya bisa menghitung persamaan-persamaan yang linier. ;adi, teorema ini tidak bisa digunakan untuk menghitung dissipasi daya, misal pada resistor. 8ngat,
rumus menghitung daya adalah mengandung elemen kuadrat $P 8! #! / (. Teorema ini juga tidak berlaku apabila dalam rangkaian itu mengandung komponen yang nilai tegangan dan arusnya berubah-ubah.
Teorema ini bisa digunakan untuk menganalisa rangkaian yang didalamnya mmengandung sumber dc dan ac. ita matikan sumber ac nya, lalu hanya sumber dc yang bekerja. Setelah itu sumber dc yang dimatikan, sumber ac nya yang bekerja. +asing-masing hasil perhitungan bisa dijumlahkan untuk memperoleh nilai yang sebenarnya.
Review :
Teorema superposisi menyatakan bahwa suatu rangkaian dapat dianalisa dengan hanya satu sumber bekerja pada suatu waktu, masing-masing tegangan dan arus komponen dijumlahkan secara aljabar untuk mendapatkan nilai sebenarnya pada saat semua sumber bekerja.
Dntuk mematikan sumber, sumber tegangan diganti short circuit $hubung singkat(, sumber arus diganti open circuit $rangkaian terbuka(.
Teorema Thevenin
Teorema The*enin menyatakan bahwa dimungkinkan untuk
menyederhanakan suatu rangkaian yang linier, seberapa rumit sekalipun rangkaian itu, menjadi sebuah rangkaian eki*alen yang berisi sumber
tunggal yang disusun seri dengan sebuah beban $resistor(. ata-kata linier adalah identik dengan yang ditemukan pada teorema superposisi, dimana semua persamaan dasarnya harus linier $tidak ada bentuk eksponen atau akar(. @ila kita menjumpai rangkaian pasiE $seperti resistor, induktor, dan kapasitor(, teorema ini bisa dipakai. >amun, ada beberapa komponen seperti komponen semikonduktor adalah tidak linier.
Teorema The*enin ini berguna untuk menganalisa sistem daya dan rangkaian lainnya dimana terdapat satu resistor pada rangkaian tersebut $biasa disebut resistor beban( yang dijadikan subjek perubahan, sehingga apabila nilai
resistor beban itu diubah-ubah, kita tidak perlu susah-susah menganalisa rangkaian secara menyeluruh.
Perhatikan gambar rangkaian berikut ini:
+isalkan kita memilih 2sebagai beban pada rangkaian ini. ita bisa
arus mesh, teorema superposisi( untuk menghitung tegangan dan arus 2,
tetapi metode-metode ini banyak memakan waktu apabila nilai dari beban 2ini diuba-ubah $tiap kali nilai 2 berubah, maka kita harus menganalisa
ulang rangkaian secara menyeluruh(. ;adi, bila beban ini dirubah, kita harus menganalisanya lagi, >ilai beban berubah, kita harus ,menganalisa lagi. @egitu seterusnya, dan ini tidaklah praktis dan membuang banyak waktu. Teorema The*enin membuat masalah ini menjadi sederhana yaitu dengan
&membuang' resistansi beban ini dari rangkaian aslinya dan mereduksi rangkaian yang sudah dibuang bebannya itu hingga menyisakan sebuah sumber yang tersusun seri dengan sebuah resistor. emudian resistansi beban yang telah dibuang tadi disambung ulang ke rangkaian yang telah terduksi. +aka rangkaian ini disebut rangkaian eki*alen The*enin. angkaian The*enin ini eki*alen/sama dengan/ sudah mewakili rangkaian yang asli.
Rangkaian Asli
Setelah diubah menjadi rangkaian ekivalen Thevenin
angkaian eki*alen The*enin adalah rangkaian eki*alen dari @1, 1, 3, dan
@2 yang &terlihat'dari dua titik dimana resistor beban $2( terhubung.
angkaian eki*alen The*enin, bila diturunkan dengan benar, akan
mempunyai siEat yang sama dengan rangkaian aslinya yang terdiri dari @1,
1, 3, dan @2. )engan kata lain, resistor beban $2( tegangan dan arusnya
haruslah sama dengan nilai 2saat berada pada rangkaian aslinya.
euntungan menggunnakan kon*ersi The*enin adalah untuk
menyederhankan rangkaian, tentu saja agar nilai tegangan dan arus bisa dihitung lebih mudah dari pada dihitung dengan rangkaian aslinya. Dntuk mendapatkan sumber tegangan dan resistor The*enin adalah hal yang mudah. Pertama-tama, pilih resistor bebannya dan &singkirkan' dari
rangkaian aslinya. Selanjutnya, tegangan di antara dua titik yang ditempati oleh resistor beban tadi dihitung nilainya. Funakan analisa apa saja untuk menghitung tegangan ini. Dntuk kasus ini, rangkaian yang telah dibuang resistor bebannya ini hanyalah sebuah rangkaian seri, sehingga kita bisa menghitung tegangan di terminal beban yang terbuka tadi dengan mudah
@aterai @1 dan @2 tersusun seri, bisa digantikan dengan sumber tegangan
tunggal yaitu 9 !" 1 % # !3 #. )engan pembagi tegangan
#R3 $!3 #( 2 $3 7 / 3 7 4 5 7( 5.! #, tegangan terminal terbuka ini
paralel dengan @2 yang seri dengan 3, maka
#the*enin #R3 4 @2 5.! # 4 % # 33.! #
33.! # adalah nilai tegangan the*enin pada rangkaian eki*alen seperti :
Selanjutnya, untuk menghitung resistansi seri $thevenin(, kita kembali ke
rangkaian asli $tanpa resistor beban(, &singkirkan' sumber-sumber nya
$sama seperti aturan pada teorema Superposisi : sumber tegangan di short circuit dan sumber arus di open circuit(, berarti rangkaian tersebut hanya menyisakan resistor-resistor saja, lalu hitung resistansi penggantinya. )engan dibuangnya kedua baterai, total resistansi yang terukur adalah the*enin 1 3 5 7 3 7 ?." 7
Setelah mendapatkan tegangan the*enin dan resistansi the*enin, maka rangkaian pengganti The*eninnya adalah
angkaian pengganti ini terhubung dengan resistor beban $! 7( , kita dapat menghitung tegangan dan arus resistor beban ini. Perhitungan menjadi
mudah, karena sekarang rangkaian sudah menjadi rangkaian seri yang sederhana.
8total 8beban 9thevenin / thevenin 4 beban 33.! # / $?." 7 4 ! 7( 5
#beban 8total2 beban $5 ( $! 7( " #
Perhatikan bahwa nilai tegangan dan arus 2 $" #, dan 5 ( adalah identik
apabila anda menghitungnya dengan menggunakan metode analisa yang lainnya. Tapi, keuntungan teorema ini adalah anda dapat dengan cepat menghitung arus dan tegangan apabila nilai resistor beban ini berubah, jadi anda dapt langsung menghitungnya tanpa menganalisa rangkaian secara menyeluruh.
Soal-soal contoh di atas adalah rangkaian yang berisi sumber independen. >amun pada gambar =-!", rangkaian yang kita analisa mengandung sumber dependen. ita ingin merubah rangkaian tersebut menjadi rangkaian
eki*alen The*eninnya. untuk menentukan *Th $selanjutnya kita sebut *Th
*oc , <G singkatan dari open circuit( , kita perhatikan bahwa *x *oc, dan
arus yang dihasilkan dari dependen source mau tidak mau harus mengalir melewati resistor ! k7 karena arus tidak bisa mengalir ke arah kanan
$rangkaian yang kanan open(. )engan menerapkan #L terhadap loop yang terluar, kita dapatkan
-5 4 ! 2 3?= $-*
x / 5???( 4 = 2 3?= $?( 4 *x ?
diperoleh
*x *oc " # $ini adalah nilai *Th(
)engan menggunakan teorema The*enin, rangkaian eki*alennya dapat
dibentuk dari rangkaian yang telah dimatikan sumbernya $sumber tegangan independen 5# dishort( seri dengan sumber tegangan "#, seperti
ditunjukkan gambar =-!" b. angkaian ini sudah benar, tetapi pada
rangkaian linier, rangkaian ini masih belum sederhana. ita masih harus menentukan Th. +aka untuk mendapatkannya kita harus mencari nilai
isc $sc singkatan dari short circuit(. Garanya adalah dengan membuat short
terminal yang terbuka di sebelah kanan pada gambar rangkaian =-!" a, jadi nilai *x ? sehingga sumber arus dependen ini nilainya juga nol $open
circuit(. +aka nilai isc 5 / $A23?=( ?." m. Sehingga Th *oc/isc " # /
$?." m( 3? k7, dan rangkaian eki*alen The*eninnya ditunjukkan pada gambar =-!" c.
Gontoh rangkaian berikutnya lebih sulit. Pada gambar =-!H a rangkaian yang akan dianalisa hanya mengandung sumber dependen $tidak ada sumber independen( . Sehingga rangkaian ini sudah dalam kondisi mati $tidak ada sumber lagi yang bisa dimatikan, ingat bahwa sumber dependen tidak dapat dimatikan( dan nilai *oc ?. ;adi, kita harus menentukan nilai Th. Pada
contoh sebelumnya, Th dapat dihitung dari hasil pembagian *oc dengan isc $hukum <hm(. >amun, untuk kasus rangakaian ini, nilai *oc dan isc nya
sudah jelas adalah nol karena tidak ada sumber independen. +aka kita harus melakukan suatu trik. ita menggunakan sumber arus eksternal sebesar 3 . emudian hitung nilai tegangan * pada sumber arus eksternal ini seperti ditunjukkan pada gambar =-!H b. Pada gambar itu kita lihat i -3.
nilai * pada gambar =-!H b dapat dihitung $pakai GL( $* 1 $3.A( $-3(( / =( 4 $*/!( 3
Sehingga Th dapat dihitung dengan cara Th * / sumber arus eksternal
?.6 # / 3 ?.6 7
;adi kita peroleh rangkaian eki*alen The*eninnya seperti pada gambar =-!H c. perhatikan bahwa rangkaian itu tidak memiliki sumber tegangan $*Th( alias
*Th ?.
Teorema Norton
Teorema >orton menyatakan bahwa dimungkinkan untuk menyederhanakan suatu rangkaian yang linier, tidak peduli seberapa kompleks rangkaian itu, menjadi sebuah rangkaian eki*alen yang terdiri dari sebuah sumber arus yang disusun paralel dengan sebuah resistansi yang biasanya dihubungkan juga ke beban. Seperti pada teorema The*enin, kualiIkasi &linier' disini
identik dengan yang ditemukan pada Teorema Superposisi : semua persamaan harus linier $tidak mengandung perpangkatan atau akar(. +isalkan ada rangkaian seperti pada gambar berikut ini:
8ngat bahwa sebuah sumber arus adalah sebuah komponen yang kerjanya untuk menyediakan arus yang nilainya konstan, seberapapun tegangan yang diperlukan beban,sumber arus yang ideal akan tetap menyuplai arus yang konstan.
Seperti pada teorema the*enin, semua yang ada pada rangkaian asli kecuali resistansi beban disederhanakan dan direduksi menjadi suatu rangkaian yang eki*alen yang lebih sederhana untuk dianalisa. ;uga sama seperti teorema The*enin, cara untuk mendapatkan rangkaian pengganti >orton harus menghitung nilai arus >orton $8Norton( dan resistansi nortonnya $Norton(.
Sama seperti sebelumnya, langkah pertama adalah memngidentiIkasi resistansi beban dan menyingkirkannya dari rangkaian asli:
emudian, untuk menghitung nilai arus >orton $sebagai sumber arus pada rangkaian eki*alen >ortonnya(, ubah terminal terbuka yang ditempati
resistansi beban tadi dengan hubung singkat $short circuit( sedangkan pada teorema The*enin tadi, terminal resistansi beban dibuat open circuit.
)engan menggunakan analisa apa saja, anda akan memperoleh rangkaian seperti pada gambar ini:
Dntuk menghitung resistansi >ortonnya $Norton(, kita melakukan hal yang
sama sperti saat menghitung resistansi The*enin : dari rangkaian yang as li $tanpa resistor beban(, singkirkan/matikan semua beban $dengan aturan yang sama seperti Teorema Superposisi : sumber tegangan diganti short circuit sedangkan sumber arus: open circuit( lalu hitung resistansi yang JterlihatK dari titik-titik yang ditempati resistansi beban.
Setelah sumber-sumbernya dimatikan, maka resistor 1 dan 3 akan tampak
tersusun paralel bila dilihat dari tempat resistansi beban. +aka resistansi >orton dapat dihitung
Norton 1 3 5 7 3 7 ?." 7
Sekarang, rangkaian eki*alen >ortonnya yang dihubungkan juga dengan resistansi beban $2( tampak seperti pada gambar berikut ini:
Sekarang, kita akan lebih mudah menghitung arus dan tegangan resistor beban $2(.
8R2 8Norton 2 $Norton( / $Norton 4 2( 35 2 $?."( / $! 4 ?."( 5
#R2 8R2 2 2 $5 ( $! 7( " #
Sama seperti pada rangkaian eki*alen The*enin, kita hanya bisa
memperoleh inEormasi dari analisa ini yaitu tegangan adan arus dari 2.
>amun perhitungan ini lebih sederhana, apabila resistor beban ini berubah-ubah nilainya. ;adi kita tidak perlu menganalisa rangkaian secara
keseluruhan apabila resistansi bebannya berubah.
Ekivalensi (Kesamaan) Thevenin-Norton
arena teorema The*enin dan >orton adalah metode yang sama dalam mereduksi rangkaian yang kompleks menjadi rangkaian yang lebih
sederhana, maka ada suatu cara untuk mengkon*ersikan rangkaian eki*alen The*enin menjadi rangkaian eki*alen >orton, begitu pula sebaliknya.
nda dapt memperhatikan bahwa prosedur untuk menghitung resistansi
The*enin adalah sama dengan prosedur untuk menghitung resistansi >orton: matikan semua sumber dan hitung resistansi yang terlihat dari titik beban yang terbuka. Seperti pada contoh sebelumnya, resistansi >orton dan the*enin memiliki nilai yang sama. )ari kedua contoh sola sebelumnya, diketahui bahwa
Rthevenin RNorton !"# $
@erdasarkan Eakta ini, rangkaian eki*alen kedua teorema sama-sama terdiri dari sebuah sumber tunggal yang dirangkai dengan resistansi tunggal. al ini berarti baik itu teorema The*enin maupun >orton memiliki rangkaian eki*alensi yang harusnya bisa memproduksi tegangan yang nilainya sama pada terminal yang terbuka $tanpa terhubung dengan beban(. ;adi,
tegangan The*enin sama dengan arus >orton dikalikan dengan resistansi:
Ethevenin %Norton RNorton
;adi, apabila kita ingin mengubah rangkaian eki*alen >orton menjadi
rangkaian eki*alen The*enin, kita bisa menggunakan resistansi yang sama dan menghitung sumber tegangan The*enin dengan hukum <hm(.
@egitu juga sebaliknya, apabila kita ingin mengubah rangkaian eki*alen
The*enin menjadi rangkaian eki*alen >orton, kita bisa menggunakan hukum <hm untuk menghitung nilai arus >ortonnya:
