BAB I PENDAHULUAN
Notasi dan Simbul
Matematika selalu berkenaan dengan ide-ide dan konsep, oleh karena
itu untuk memudahkan uraian, penjelasan, atau keterangan diperlukan
seperangkat kesepakatan bersama sebagai dasar dalam memahami
matematika sehingga apa yang ingin diketahui menjadi lebih mudah dan
sederhana. Disamping itu dalam matematika diperlukan
lambang-lambang tertentu. Lambang-lambang-lambang yang telah disepakati tersebut
mempunyai makna tertentu, dan makna tersebut dinamakan dengan
notasi.
Istilah lain dari notasi adalah simbul. Penggunaan notasi haruslah
disepakati bersama oleh pengguna matematika. Notasi-notasi yang ada
dalam matematika dapat berkaitan dengan himpunan misalnya
penggunaan huruf kapital latin, operasi atau pengerjaan misalnya
penjumlahan beruntun atau perkalian beruntun, hubungan antara unsur
misalnya kesamaan atau ketidaksamaan, atau pernyataan yang
menunjukkan penunjuk misalnya kelipatan persekutuan terkecil, pembagi
persekutuan terbesar dan sebagainya.
Berikut ini dituliskan beberapa notasi dengan artinya.
Notasi yang berkaitan dengan operasi
x : perkalian
: : pembagian
: akar kuadrat
: Penjumlahan beruntun
: Perkalian beruntun
: integralNotasi yang berkaitan dengan hubungan
= : sama dengan
: tidak sama dengan> : lebih besar daripada
< : lebih kecil daripada
: lebih kecil atau sama dengan
: lebih besar atau sama dengan
: ekuivalen
: sama dan sebangun
: gabungan
: Irisan
: anggota : bukan anggota
Notasi yang berkaitan dengan petunjuk atau tujuan
KPK : kelipatan persekutuan terkecil (low commond multiple)
FPB : pembagi persekutuan terbesar (great commond devisor)
: biimplikasi ( ... jika dan hanya jika ... )
┴ : tegak lurus
└ : sudut 90o
║ : sejajar
: himpunan kosong
∆ : segitiga
ٱ : bujur sangkar (persegi)
Notasi yang berkaitan dengan himpunan
a. Himpunan bilangan Nol yaitu {0}
b. N = himpunan bilangan Asli (Natural) = { 1,2,3,4,5, ... }
c. W = himpunan bilangan Cacah (Whole) = { 0,1,2,3,4, ... }
d. Z = himpunan bilangan Bulat (Zahlen)
= {...,-3,-2,-1,0,1,2,3, ... } , sehingga dalam bilangan bulat terdapat
bilangan bulat positip (Z+), bulat negatip (Z-) dan bilangan nol
e. Q = himpunan bilangan rasional (Q = Quotient) yaitu bilangan yang
dapat dinyatakan dalam bentuk
b a
, dengan a,b Z, b
0 . Bilanganrasional juga dinamakan dengan bilangan desimal berulang.
Q = { x : x =
b a
f. Q = himpunan bilangan tak rasional yaitu bilangan yang tidak dapat
dinyatakan dalam bentuk
b a
dengan a,b Z. b
0 Bilangan tidakrasional juga disebut dengan istilah lain yaitu bilangan desimal tak
berulang.
g. R himpunan bilangan nyata (R = Real) yaitu gabungan dari bilangan-bilangan Asli, Cacah, Bulat, Rasional, dan tidak Rasional. Dengan kata
lain:
R = { N
W
Z
Q
Q}h. Himpunan bilangan tidak nyata (i = imajiner ) yaitu bilangan yang
dinyatakan dengan i dimana i = 1.
i. C = himpunan bilangan komplek yaitu bilangan yang dinyatakan dalam bentuk C = {x : x = a + bi, a,b Z, i = 1 }.
Notasi-notasi tersebut dapat digunakan dengan tujuan untuk
penyimbulan konsep dalam matematika yang sudah disepakati bersama.
Contoh:
1. Jika kita ingin menyatakan jumlah 10 suku pertama dari bilangan
genap adalah dengan menggunakan simbul
101
2
q
q
2. Diberikan dua bilangan bulat berbeda, misal x dan y. Kita akan
3. Untuk menyatakan dua garis lurus L1 dan L2 yang sejajar cukup
menggunakan simbul L1║ L2.
Terlihat dari contoh di atas maka penggunaan simbul dalam matematika
memberikan makna singkat dan lugas.
Induksi Matematika
Induksi matematika merupakan suatu metode yang penting dalam
pembuktian dan sering digunakan dalam berbagai buku. Induksi
matematika merupakan suatu metode yang digunakan untuk membangun
kevalidan pernyataan yang diberikan dalam istilah-istilah bilangan asli (N).
Walaupun kegunaannya agak dibatasi dalam konteks yang agak khusus,
namun keberadaannya merupakan suatu alat yang sangat diperlukan
dalam cabang-cabang matematika.
Dianggap bahwa kita sudah mengenal bilangan asli N = { 1,2,3, ... },
baik operasi biasa pada penjumlahan dan perkalian dan arti dari suatu
bilangan asli yang satu lebih kecil dari yang lain. Juga dianggap kita sudah
mengenal dengan sifat-sifat dasar dari bilangan asli berikut ini:
Sifat terurut baik dari N menyatakan bahwa setiap subset tidak kosong
dari N mempunyai unsur terkecil. Sifat yang lebih mendetail dari sifat
terurut baik bilangan asli adalah sebagai berikut:
Jika S adalah subset dari N dan jika S
, maka terdapat suatu m
Ssedemikian sehingga m k, untuk setiap k
S.Prinsip Induksi Matematika
Misal S subset dari N, maka berlaku sifat-sifat:
(1) 1
S(2) jika k
S, maka (k+1)
S, dan S = N Bukti:Anggaplah berlaku sebaliknya S
N. Maka himpunan N – S tidak kosong dan selanjutnya dengan sifat terurut dengan baik ia akan memuatsuatu unsur terkecil. Misal m adalah unsur terkecil dari N-S. Karena 1
S,maka menurut hipotesis (1), kita tahu bahwa m
1. Selanjutnya untuk m> 1 mengakibatkan bahwa m – 1 juga merupakan bilangan asli, Karena m
– 1 < m dan karena m adalah unsur terkecil dari N sedemikian sehingga m
S, ia mestilah merupakan kasus bahwa m-1
S.Selanjutnya kita gunakan hipotesis (2) untuk unsur ke ke k = m – 1 dan
menyimpulkan bahwa k+1 = (m-1) + 1 = m
S. Kesimpulan inibertentangan dengan pernyataan bahwa m S. Karena m diperoleh
dengan mengasumsikan bahwa N-S tidak kosong, hal ini juga
bertentangan dengan kesimpulan bahwa N-S kosong. Dengan demikian
kita telah menunjukkan bawa S = N.
Bentuk lain dari prinsip Induksi Matematika dinyatakan sebagai berikut:
Untuk setiap n
N, misalkan P(n) merupakan suatu pernyataan tentang(1) P(1) benar
(2) P(k) benar maka P(k+1) benar,
Maka P(n) adalah benar untuk setiap n
N.Contoh
Untuk setiap n
N, buktikan rumus penjumlahan berikut dengan induksimatematika.
Selanjutnya akan dibuktikan bahwa untuk n = k + 1 benar, maka
Karena rumus ini terpenuhi untuk n = k+1, kita menyimpulkan bahwa k+1
S. Jadi dari Induksi matematika terpenuhi. Oleh karena itu denganprinsip induksi matematika kita menyimpulkan bahwa S = N dan rumus
tersebut adalah benar untuk semua n
N.Prinsip Urutan
Prinsip adalah aturan atau sifat yang digunakan sebagai dasar atau
landasan dalam uraian yang berkaitan dengan bukti sesuatu. Prinsip
dapat diambil dari definisi, aksioma, atau dalil-dalil yang “dimunculkan”
kembali untuk digunakan pada bagian lain suatu konsep yang
memerlukan. Diantara prinsip dalam matematika adalah prinsip urutan
(Well Ordering Principle).
Prinsip urutan berkaitan dengan kepositipan dan ketaksamaan antara
bilangan-bilangan real. Sebagaimana halnya dalam Struktur Aljabar dari
sistem bilangan real. Cara yang dapat dilakukan untuk melakukan sifat
urutan adalah mengidentifikasi suatu subset khusus dari R dengan
Definisi 1.1
Misal P subset R dan P
. Untuk selanjutnya P disebut bilangan realpositip kuat, maka berlaku sifat-sifat berikut ini:
(1) Jika a,b
P, maka (a+b)
P(2) Jika a,b
P, maka (a.b)
P(3) Jika a
R, maka tepat dari salah satu yang berikut dipenuhia
P, a = 0, -a
PDua sifat yang pertama menjamin kesesuaian dari urutan dengan operasi
penjumlahan dan perkalian secara berurutan. Sifat (3) biasanya disebut
sifat trikotomi karena membagi R menjadi 3 jenis unsur yang berbeda.
Dinyatakan bahwa himpunan {-a: a
P} dari bilangan real negatip tidakmempunyai unsur persekutuan dengan P, dan selanjutnya himpunan R
merupakan gabungan dari tiga himpunan yang saling asing.
Definisi 1.2
a. Jika a
P, kita mengatakan bahwa a adalah suatu bilangan real positipkuat (strictly positip) dan dituliskan dengan a > 0, Jika a
P
{0},maka a disebut bilangan real tidak negatip dan dituliskan dalam bentuk
a 0.
b. Jika -a
P, kita mengatakan bahwa a adalah suatu bilangan real-a
P
{0}, maka a disebut bilangan real tidak positip dan dituliskandalam bentuk a 0.
c. Jika a, b
R dan jika a – b
P maka dituliskan dalam bentuk a > batau b < a.
d. Jika a,b
R dan jika a – b
P
{0}, maka a b atau b aUntuk kesepakatan bersama kita akan menuliskan a < b < c yang
berarti a < b dan b < c
Demikian juga jika a b dan b c maka a b c. demikian
seterusnya.
Berikut ini beberapa teorema yang berkaitan dengan prinsip keterurutan
Teorema 1.2
Misalkan a,b,c
Ra. Jika a > b dan b > c maka a > c
b. Tepat dari salah satu pernyataan berikut ini dipenuhi
a > b, a = b , a < b
c. Jika a b dan b a maka a = b
Bukti
a. a > b maka menurut definisi a – b > 0 atau a – b
Pb > c maka menurut definisi b – c > 0 atau b – c
PKarena a – b
P dan b – c
P maka menurut definisi diperoleh(a-b) + (b-c)
P.b. Dengan sifat trikotomi dalam definisi, maka tepat
salah satu dari yang berikut mungkin terjadi
a – b > 0, atau a-b = 0, atau –(a-b) = 0 sehingga
a > b atau a = b atau a < b.
c. Jika a
b, maka a – b
0, sehingga dari bukti (b) kita dapatkan a – b
P atau b-a
P yakni a > b atau b > a. Dalam kasus lainnya salahsatu dari hipotesisi tersebut kontradiksi. Jadi haruslah a = b.
Teorema 1.3
1. Jika a
R dan a
0, maka a2 > 02. 1 > 0
3. Jika n
N, maka n > 0Bukti
1. Dengan sifat trikotomi jika a
0, maka a
P atau –a
P. Jika a
Pmaka dengan definisi kita mempunyai a2 = a, untuk a
P. Dengancara yang sama Jika -a
P maka dengan definisi sebelumnyadiperoleh bentuk (-a)2 = (-a)(-a)
P. Dari teorema sebelumnyaberakibat bahwa:
(-a)(-a) = ((-1)a)((-1)a) = (-1)(-1)a2 = a2. Akibatnya bahwa a2
P. Jadikita simpulkan bahwa jika a
0, maka a2 > 0.2. Karena 1 = (1)2, menurut bukti di atas akan menyebabkan bahwa
3. Kita dapat menggunakan induksi matematika untuk membuktikan
pernyataan ini.
Pernyataan tersebut benar untuk n = 1 yakni 1 > 0. Selanjutnya kita
anggap benar untuk n = k, dengan k bilangan asli.
Karena 1 > 0 dan 1
P, maka k + 1
P, sehingga pernyataan di atasbenar adanya dengan menggunakan definisi sebelumnya.
Teorema 1.4
Misalkan a,b,c
R1. Jika a > b, maka a+c > b+c
2. Jika a > b, dan c > d maka a+c > b+d
3. Jika a > b, c>0 maka ca > cb
4. Jika a > b, c<0 maka ca < cb
5. Jika a >0 maka 1/a > 0
6. Jika a < 0 maka 1/a < 0.
Bukti
1. Karena a > b berarti menurut definisi sebelumnya a – b > 0. Karena a-b
> 0 sehingga a – b
P.(a – b ) = (a-b) + (c-c)
(a – b ) + (c – c ) = (a+c) – (b+c)
Sehingga (a+c) – (b+c)
P. Dengan kata lain (a+c) – (b+c) > 0Karena (a+c) – (b+c) > 0 berarti (a+c) > (b+c)
Hal ini berarti a - b
P dan c – d
P.Menurut definisi bilangan real positip kuat (1) diperoleh
(a-b) + (c-d)
P. Dengan kata lain (a-c) + (c-d) > 0, atau(a+c) – (b+d) > 0 sehingga berlaku (a+c) > (b+d)
3. Karena a > b, dan c > 0 berarti a – b > 0 dan c > 0.
Hal ini berarti a - b
P dan c
P.Menurut definisi bilangan real positip kuat (2) diperoleh
(a-b) c
P. Dengan kata lain (ac – bc)
P, atau(ac) – (bc) > 0 sehingga berlaku ac > bd
4. Karena a > b, dan c < 0 berarti a – b > 0 dan c < 0 atau –(c) > 0.
Hal ini berarti a - b
P dan -c
P.Menurut definisi bilangan real positip kuat (2) diperoleh
(a-b)(-c)
P. Dengan kata lain (bc – ac)
P, atau(bc) – (ac) > 0 sehingga berlaku bc > ac
5. Jika a > 0, maka a
0 (berdasarkan sifat trikotomi). Karena a > 0,berdasarkan sifat sebelumnya maka berlaku 1/a
0. Jika 1/a < 0,berdasarkan teorema sebelumnya diperoleh 1 = a(1/a) < 0.
Hal ini bertentangan dengan kenyataan bahwa 1 < 0. Jadi haruslah
1/a > 0.
6. Jika a < 0, maka a
0 (berdasarkan sifat trikotomi). Karena a < 0,berdasarkan sifat sebelumnya maka maka berlaku 1/a
0. Jika1/a < 0.
Teorema 1.5
Jika a,b R, maka a >
2 1
(a+b) > b.
Bukti.
Karena a > b, maka dapat diperoleh a + a > a + b atau 2a > a + b.
Demikian pula
a > b maka dapat diperoleh a + b > b + b atau a + b > 2b
Dari ketaksamaan 2a > a + b dan a + b > 2b didapatkan
2a > a+b > 2b
a=1/2(2a) > ½(a+b) > ½(2b)=b
a > ½(a+b) > b.
Akibat dari teorema di atas adalah:
jika a
R dan a > 0 maka a > 1/2a > 0.1.1 Prinsip Proporsi
Dalam setiap komunikasi, setiap orang penting untuk mempunyai
pikiran yang tepat dalam benaknya. Pernyataan “Setiap mahasiswa IKIP
Budi Utomo mempunyai cita-cita menjadi guru” belumlah merupakan
informasi yang khusus jika ternyata teman yang diajak berkomunikasi
melihat beberapa mahasiswa IKIP Budi Utomo ternyata setelah lulus tidak
Dalam matematika, terutama di kelas kita dapat menyampaikan konsep x2
= 1 di papan tulis, hal ini dimaksudkan apa yang dimaksudkan oleh
penulis dengan huruf x dan angka 1. Apakah x bilangan bulat? Apakah
bukan bilangan? Apakah angka 1 merupakan bilangan asli? atau 1
merupakan konsep yang lain. Dalam matematika seringkali juga muncul
istilah “untuk setiap”, “untuk semua”, “untuk sesuatu”, “ada”, dan
seterusnya.
Misalnya:
1. Untuk setiap bilangan bulat x, x2 = 1.
2. Terdapat suatu bilangan bulat x sedemikian sehingga x2 = 1.
Dari contoh di atas, jelaslah bahwa contoh 1 salah, akan tetapi
contoh 2 adalah benar karena kita dapat memilih a = 1 atau x = -1.
Berdasarkan contoh di atas, jika konteks yang dibicarakan adalah bilangan
bulat, maka pernyataan di atas akan menjadi lebih aman jika disingkat
dengan:
Untuk setiap x, x2 = 1 dan terdapat suatu x sedemikian sehingga
x2 = 1. Pernyataan pertama merupakan Universal Quantifier “untuk
setiap”, dan yang membuat pernyataan ini salah adalah pernyataan “
setiap bilangan bulat”. Pernyataan kedua merupakan Existential Quantifier
“terdapat suatu”, dan yang membuat pernyataan ini benar adalah “
palingb sedikit satu bilangan bulat”. Kedua quantifier ini sering terjadi
menyatakan pernyataan untuk setiap dan simbul untuk menyatakan
terdapat atau ada.
1.2 Konjektur
Teori bilangan penuh dengan masalah-masalah yang belum
terselesaikan atau belum ditemukan jawabnya. Masalah yang belum
terselesaikan tersebut dinamakan konjektur yang diambil dari kata
“conjecture” yang berarti dugaan atau perkiraan. Dalam tulisan ini
diperkenalkan beberapa konjektur, antara lain:
1. Terdapat definisi suatu bilangan perfek, yaitu suatu bilangan bulat
positip yang jumlah pembaginya yang positip adalah dua kali bilangan
dimaksud.
Contoh.
Pembagi positip 6 adalah 1, 2, 3, 6
Jumlah pembagi positip bilangan 6 adalah 1 + 2 + 3+ 6 = 12 = 2 x 6.
Pembagi positip bilangan 28 adalah 1, 2, 4, 7, 14, 28
Jumlah pembagi positip bilangan 28 adalah 1 + 2 + 4 + 7 + 14 + 28 =
56 = 2 x 28
Selain 6 dan 28 bilangan perfek yang lain adalah 496, 8.128, dan
33.500.336.
Berkaitan dengan bilangan perfek terdapat konjektur
- Banyaknya bilangan perfek adalah tak hingga.
- Jika (2n – 1) bilangan prima maka 2n-1(2n -1) adalah bilangan perfek.
2. Terdapat definisi suatu pasangan dua bilangan yang sekawan
(amicable), yaitu pasangan dua bilangan bulat positip yang
masing-masing jumlah pembaginya positip (tidak termasuk bilangannya) sama
dengan bilangan yang lain.
220 dan 284 adalah bilangan sekawan, karena:
Jumlah pembagi positip 220 adalah
1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 11 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110 = 284
Jumlah pembagi positip 284 adalah
1 + 2 + 4 + 71 + 142 = 220
Pasangan bilangan sekawan yang lain adalah 1184 dan 1210, 17296
dan 18416.
Suatu konjektur yang berkaitan dengan pasangan dua bilangan
sekawan adalah terdapat tak hingga banyaknya pasangan bilangan
bersekawan.
3. Terdapat definisi tentang pasangan bilangan prima (twine prime), yaitu
dua bilangan prima berurutan yang berselisih dua. Beberapa pasangan
pasangan bilangan prima adalah 3 dan 5, 5 dan 7, 17 dan 19, 29 dan
31, 41 dan 43.
Konjektur tentang pasangan bilangan prima menyatakan bahwa
banyaknya pasangan prima adalah tak hingga.
- Setiap bilangan bulat positip genap lebih dari 4 merupakan jumlah
dua bilangan prima ganjil.
Contoh
6 = 3 + 3 14 = 3 + 11
8 = 3 + 5 12 = 5 + 7
10 = 3 + 7 30 = 23 + 7
- Setiap bilangan bulat positip ganjil lebih dari 8 merupakan jumlah
tiga bilangan prima ganjil.
Contoh
9 = 3 + 3 + 3 13 = 5 + 5 + 3
101 = 11 + 43 + 47 19 = 5 + 7 + 7
11 = 3 + 3 + 5 37 = 11 + 13 + 13
5. Selain Goldbach, Pierre Fermat juga mempunyai dua konjektur terkenal
yaitu:
a.
2
2n + 1 adalah bilangan primaUntuk n = 0, diperoleh 2 + 1 = 3
Untuk n = 1, diperoleh 4 + 1 = 5
Untuk n = 2 , diperoleh 17
Untuk n = 3, diperoleh 257
Untuk n = 4, diperoleh 65.537
Untuk n = 5, diperoleh 4.294.967.297
Meskipun masih merupakan konjektur, pernyataan ini sering disebut
sebagai teorema terakhir Fermat. (Fermat’s last theorem)
Soal-soal
1. Tunjukkan formula berikut ini benar.
a. 1 + 3 + 5 + 7 + ... + (2n-1) = n2.
3. Misalkan a,b.c. d
R, buktikan pernyataan berikut:.e 1 < x2 < 4
.f
x
1