ANALISIS SPEKTRUM ENERGI DAN FUNGSI GELOMBANG POTENSIAL NON-CENTRAL MENGGUNAKAN SUPERSIMETRI MEKANIKA KUANTUM

(1)

ANALISIS SPEKTRUM ENERGI DAN FUNGSI GELOMBANG

POTENSIAL NON-CENTRAL MENGGUNAKAN

SUPERSIMETRI MEKANIKA KUANTUM

Antomi Saregar

Pendidikan Fisika IAIN Raden Intan Lampung, E-mail: antomisaregar@radenintan.ac.id

Abstrak: Tujuan Penelitian ini adalah (1) mendeskripsikan hasil fungsi gelombang dan energi dari sistem

potensial Non sentral hasil kombinasi potensial Poschl-Teller trigonometri plus potensial Rosen Morse, Coloumb, dan OH 3D, serta potensial Rosen Morse trigonometri plus Pochl-Teller yang dianalisis menggunakan metode Supersymmetry mekanika kuantum (SUSY QM); (2) mengetahui visualisasidari fungsi gelombangdan tingkat energy pada poin 1. Penelitian ini merupakan studi literatur yang dilakukan mulai bulan Juli 2013 s.d. Desember 2015. Potensial non sentral hasil kombinasi potensial Poschl-Teller trigonometri plus potensial Rosen Morse, Coloumb, dan OH 3D serta potensial Rosen Morse trigonometri plus Pochl-Teller merupakan potensial yang mempunyai sifat shape invariance.Perkembangan terakhir, metode SUSY telah berhasil digunakan untuk membuat analisis matematis secara lengkap dan tepat penyelesaian beberapa potensial non sentral dalam sistem tertutup. Dengan mengaplikasikan operator penurun pada fungsi gelombang tingkat dasar diperoleh fungsi gelombang tingkat dasar, sedangkan fungsi gelombang tingkat atas satu diperoleh dengan menggunakan operator penaik yang dioperasikan pada fungsi gelombang tingkat dasar dan seterusnya. Sedangkan nilai energinya dalam sistem tertutup diperoleh dengan menggunakan sifat shape invariant.

Kata Kunci: coulomb, metode supersymmetry, OH 3D, poschl-teller trigonometri, potensial non-sentral.

PENDAHULUAN

Salah satu tugas penting dari mekanika kuantum adalah menemukan solusi yang tepat dan akurat dari persamaan Schrödinger untuk potensial tertentu (Ballentine, 1999) (Gonul dan Kocak, 2005). Hal ini jelas bahwa mencari solusi yang tepat dari persamaan Schrödinger dengan metode biasa dan tradisional adalah mustahil untuk sistem fisika yang real, kecuali kasus-kasus tertentu seperti sistem atom hidrogen dan osilator harmonik (Gonul.B and Zorba, 2000 at all.). Dengan demikian, tidak dapat dihindari penggunaan metode baru untuk membantu kita memecahkan sistem fisika yang real. Di antara kasus-kasus di mana kita harus menolak metode biasa dan mencari metode baru, yakni dalam penyelesaian persamaan Schrödinger

dengan potensial non sentral. Adapun, metode yang berbeda yang digunakan

untuk memecahkan persamaan

Schrödinger dengan potensial non sentral antara lain, metode faktorisasi, metode NU (Salehi, 2011), supersimetri (SUSY QM) (Ikhdair and Sever, 2007), dan Romanovsky Polinomials (Suparmi at all,

2012). Supersymmetri, definisinya

(Ranabir Dutt, 1988), adalah simetri antara fermion dan boson. Secara teori, supersimetri terdiri dari satu set bidang

kuantum dan lagrangian, yang

menunjukkan sifat simetri. Lagrangian

ditentukan, melalui prinsip aksi

persamaan gerak dan perilaku dinamis dari partikel. Teori supersimetri menggambarkan model partikel, dibuat dari medanvakum, dan interaksi antar partikel. Supersimetri memanifestasikan dirinya dalam spektrum partikel dan

(2)

dalam hubungan antara proses interaksi yang berbeda bahkan jika ini melibatkan partikel spin yang berbeda dan statistik yang berbeda. Akhir-akhir ini, beberapa penulis telah menyelidiki pemecahan persamaan Schrödinger dengan beberapa potensial, diantaranya potensial Poschl-Teller (Chen, 2001), potensial Non-central(Yasuk at all, 2005; Saregar at all, 2013) (Cari at all, 2014; Saregar, 2015), Potensial Hulthén plus Manning-Rosen (Meyur dan Debnath, 2009), potensial Rosen-Morse trigonometri plus Scarf (Meyur dan Debnath, 2010), potensial

Eckart menggunakan metode NU

(Gaudarzi, Vahidi, 2011) dan potensial Poschl-Teller trigonometri plus Rosen Morse dengan menggunakan polinomial

Romanovsky (Gangopadhyaya, and

Sukhatme, 1996). Dalam makalah ini, kami menyelidiki nilai eigen energi dan fungsi gelombang dari sistem potensial Non sentral hasil kombinasi potensial Poschl-Teller trigonometri plus potensial Rosen Morse, dan Coloumb, serta potensial Rosen Morse trigonometri plus

Pochl-Teller yang dianalisis

menggunakan metode Supersimetri

mekanika kuantum (SUSY). Poschl-Tellertrigonometri digunakan untuk

menggambarkan getaran molekul,

sedangkan Rosen-Morse trigonometri

potensial digunakan untuk

menggambarkan esensi dari QCD quark-gluon dinamis, dalamderajat kebebasan asymptot dari quark (Salehi, 2011).

Fungsi gelombang sudut yang

divisualisasikan menggunakan Maple 12.

METODE PENELITIAN Tinjauan persamaan metode supersimetri mekanika kuantum

Witten telah mendefiniskan SUSY mekanika kuantum sebagai suatu operator supermuatan 𝑄_𝑖 yang komut dengan SUSY Hamiltonian (𝐻_𝑠𝑠) dan operator

supermuatan tersebut merupakan

penyusun dari Hamiltonian (Mustafa dan Kais, 2009), yaitu:

[𝑄𝑖, 𝐻𝑠𝑠] = 0, dimana i = 1, 2,3… (1) dan hubungan anti komut memenuhi {𝑄𝑖, 𝑄𝑗} = 𝛿𝑖𝑗𝐻𝑠𝑠, dimana 𝐻𝑠𝑠 adalah SUSY Hamiltonian, dan N adalah bilangan pembangkit.

Operator super muatan 𝑄₁dan𝑄₂ dapat dihubungkan dengan spin = ½ partikel yang bergerak pada satu garis (Suparmi, 2011). Terutama pada sistem ini, 𝑄𝑖 dapat didefinisikan sebagai, 𝑄₁ = 1 √2(𝜎1 𝑝 √2𝑚+ 𝜎2ϕ(𝑥)) dan 𝑄₂= 1 √2(𝜎2 𝑝 √2𝑚− 𝜎1𝜙(𝑥)) (2)

Dengan 𝜎_𝑖 merupakan matrik spin Pauli, dan 𝑝 = −𝑖ħ 𝜕

𝜕𝑥 merupakan operator

momentum linear. Sebagai contoh

komponen 𝐻_𝑠𝑠 ditulis sebagai 𝐻_±. Dengan menggunakan persamaan (1) dan (2) diperoleh:                             H H x dx x d m dx d m x dx x d m dx d m Hss 0 0 ) ( ) ( 2 2 0 0 ) ( ) ( 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2         ...(3) dengan, 𝐻₋ = −_2𝑚ℏ2 _𝑑𝑥𝑑2₂+ 𝑉₋(𝑥), dengan 𝑉₋(𝑥) = 𝜙2_{(𝑥) −} ћ √2𝑚𝜙 ′_(𝑥) _(4a) dan, 𝐻₊ = −_2𝑚ℏ2 _𝑑𝑥𝑑2₂+ 𝑉₊(𝑥), dengan 𝑉₊(𝑥) = 𝜙2_{(𝑥) +} ћ √2𝑚𝜙 ′_(𝑥) _(4b) Dengan 𝐻− dan 𝐻+ didefinisikan sebagai pasangan Hamiltonian Penurun dan Hamiltonian Penaik, sedangkan 𝑉−(𝑥) dan 𝑉+ (𝑥) merupakan pasangan potensial supersimetri.

Berdasarkan pers.(4a) dan (4b) persamaan Hamiltonian dapat difaktorkan menjadi, 𝐻− = 𝐴+𝐴 , dan 𝐻+ = 𝐴𝐴+ (5) dengan, 𝐴+ _{= −} ћ √2𝑚 𝑑 𝑑𝑥 + 𝜙(𝑥)dan

(3)

𝐴 =_√2𝑚ћ _𝑑𝑥𝑑 + 𝜙(𝑥) (6) Dengan, 𝐴+ disebut operator penaik (raising operator), dan 𝐴 sebagai operator penurun (lowering operator).

Potensial Shape Invariance

Sepasang potensial supersimetri (SUSY), yaitu 𝑉₋(𝑥) dan 𝑉₊(𝑥) dapat Dari model teori potensial yang diusulkan Witten bahwa Hamiltonian didefinisikan sebagai kuadrat dari operator supermuatan yang kemudian dikembangkan sebagai hasil kali operator penaik dan penurun

sehingga diperoleh Hamiltonian

supersimetrik yang merupakan sepasang Hamiltonian H+ dan H-. Sebagai akibatnya, masing-masing Hamiltonian terkait dengan potensial V+ dan V- dan ditunjukkan bahwa grafik dari kedua potensial tersebut mempunyai bentuk yang sama walaupun tidak berimpit. Karena kedua potensial mempunyai bentuk yang sama maka sistem kuantum yang terkait dikatakan sebagai shape invariant potential system (Suparmi,2011; Ballentine, 1999).

Pada bagian berikut ini akan kita lihat bagaimana eigenspectra dan eigenstate

(eigenfunction) dari sekelompok

Hamiltonian satu dimensi (atau sistem kuantum yang mempunyai dimensi lebih tinggi yang dapat di reduksi ke sistem satu dimensi) dapat dijabarkan secara aljabar

dengan menggunakan ide

shapeinvariance dan terkait dengan metode faktorisasi. Hamiltonian dari suatu sistem dengan spectrum diskrit dinyatakan sebagai 𝑉₊(𝑥; 𝑎_𝑗) = 𝑉₋(𝑥; 𝑎_𝑗+1) + 𝑅(𝑎_𝑗+1) (7) dengan,𝑉₊(𝑥; 𝑎_𝑗) = 𝜙2_{(𝑥, 𝑎} 𝑗) + ħ √2𝑚𝜙 ′_{(𝑥, 𝑎} 𝑗) (8a) 𝑉−(𝑥; 𝑎𝑗) = 𝜙2_{(𝑥, 𝑎}_{𝑗) −} ħ √2𝑚𝜙 ′_{(𝑥, 𝑎}_𝑗)_(8b)

denganj = 0, 1, 2,.., sedangkan parameter a ditentukan secara rekursif (berturutan), 𝑎𝑗+1 = 𝑓(𝑎𝑗) dan 𝑅(𝑎𝑗) adalah konstanta yang tidak bergantung dengan x.

Hubungan antara Hamiltonian Standar dan Hamiltonian SUSY dinyatakan sebagai,

𝐻 = 𝐻₋+ 𝐸₀ = −_2𝑚ħ2 _𝑑𝑥𝑑2₂+

𝑉₋(𝑥; 𝑎₀) + 𝐸₀ (9)

Berdasarkan pers. (9) diperoleh hubungan antara 𝑉(𝑥) dan 𝑉₋(𝑥) sebagai berikut,

𝑉(𝑥) = 𝑉₋(𝑥; 𝑎₀) + 𝐸₀ = 𝜙2_{(𝑥, 𝑎}

0) −_√2𝑚ħ 𝜙′(𝑥, 𝑎0) + 𝐸0 (10) dimana𝑉(𝑥) sering dinyatakan sebagai Potensial Efektif (𝑉𝑒𝑓𝑓). Sedangkan 𝜙(𝑥)

ditentukan dengan dugaan secara

intelektual berdasarkan bentuk potensial efektif sistem terkait.

Dengan mengulang prosedur sifat shape invariance, diperoleh generalisasi persamaan Hamiltonian sebagai berikut, 𝐻_𝑘 = −_2𝑚ħ2 _𝑑𝑥𝑑2₂+ 𝑉₋(𝑥; 𝑎𝑘) +

∑𝑘𝑖=1𝑅(𝑎𝑖) , dengan k = 0, 1, 2,… (11) Dengan membandingkan pers. (8) dan (9), diketahui bahwa 𝐸₀(−) = ∑𝑘𝑖=1𝑅(𝑎𝑖). Sehingga spektrum energi eigen nilai dari 𝐻₋ dapat digeneralisasi menjadi,

𝐸_𝑛(−)= ∑𝑛 𝑅(𝑎_𝑘

𝑘=1 ) (12)

Maka berdasarkan persamaan eigen nilai diperoleh,

𝐸_𝑛 = 𝐸_𝑛(−)+

𝐸₀ (13)

dengan𝐸0 merupakan energi tingkat dasar pada pasangan hamiltonian penurun.

Berdasarkan sifat operator penurun, maka persamaan fungsi gelombang tingkat dasar dapat diperoleh dari persamaan,

𝐴𝜓₀(−)= 0 (14)

Sedangkan untuk fungsi gelombang tingkat atasnya satu dan seterusnya (𝜓_𝑛−_{(𝑥; 𝑎}

0)) dapat ditentukankan dengan menggunakan operasi berantai operator

(4)

penaik terhadap fungsi gelombang keadaan dasar 𝜓₀−(𝑥; 𝑎₀). Secara umum persamaan fungsi gelombang ini dapat dituliskan,

𝜓_𝑛−_{(𝑥; 𝑎}

0) ~𝐴†(𝑥; 𝑎0)𝜓𝑛−1− (𝑥; 𝑎1) (15) Potensial yang kami gunakan dalam penelitian ini adalah potensial non sentral hasil kombinasi potensial Poschl-Teller trigonometri plus potensial Rosen Morse, Coloumb, dan OH 3D, serta potensial Rosen Morse trigonometri plus Pochl-Teller. Bentuk potensial non-sentral tersebut secara berurutan, ditunjukkan oleh persamaan, 𝑉_(𝑟,𝜃)= _2𝑚𝛼ћ2₂(𝜈(𝜈+1) sin2₍𝑟 𝛼) − 2𝜇 cot(𝑟_𝛼)) +_2𝑚𝑟ħ2₂(𝑎(𝑎−1)_𝑠𝑖𝑛₂_𝜃 +𝑏(𝑏−1)_𝑐𝑜𝑠₂_𝜃) ...(16) 𝑉(𝑟,𝜃) = −𝑒 2 𝑟 + ħ2 2𝑚𝑟2( 𝑎(𝑎−1) 𝑠𝑖𝑛2_𝜃 + 𝑏(𝑏−1) 𝑐𝑜𝑠2_𝜃)...(17) 𝑉(𝑟,𝜃) = 1/2𝑚𝜔2𝑟2+ ħ 2 2𝑚𝑟2( 𝑎(𝑎−1) 𝑠𝑖𝑛2_𝜃 + 𝑏(𝑏−1) 𝑐𝑜𝑠2_𝜃) ...(18) 𝑉_(𝑟,𝜃)= _2𝑚𝛼ћ2₂(𝑎(𝑎−1)_𝑠𝑖𝑛₂₍𝑟 𝛼) +_𝑐𝑜𝑠𝑏(𝑏−1)₂₍𝑟 𝛼) ) + ћ2 2𝑚𝑟2( 𝜈(𝜈+1) sin2_𝜃 − 2𝜇 cot 𝜃) ....(19 )

Dalam penelitian ini fungsi gelombang, dan spektrum energi potensialNon-Sentral diselesaikan dengan metode SUSY.

Potensial non central dimodifikasi menjadi PS menggunakan koordinat bola.Setelah PS terbentuk, dengan

menggunakan pemisahan variabel

diperoleh persamaan radial, polar dan azimuth.Persamaan radial dan polar yang diperoleh diselesaikan dengan metode SUSY, sedangkan persamaan azimuth

diselesaikan dengan persamaan

diferensial orde dua.Dari fungsi radial yang diselesaikan dengan metode SUSY, diperoleh fungsi gelombang radial dan tingkat energi, dari fungsi polar diperoleh

fungsi gelombang polar.Fungsi

gelombang polar dan azimuth disatukan, menjadi fungsi gelombang sudut.

HASIL DAN PEMBAHASAN a. Penyelesaian Persamaan Schrodinger

Potensial Non-Sentral Kombinasi Potensial Rosen Morse Plus Potensial Poschl-Teller trigonometri dengan Menggunakan Metode Supersimetri Bentuk persamaan Schrodinger untuk Potensial Rosen-Morse plus Poschl-Teller trigonometri dinyatakan, −_2𝑚ћ2 [_𝑟1₂_𝜕𝑟𝜕 (𝑟2 𝜕𝜓 𝜕𝑟) + 1 𝑟2_{sin 𝜃} 𝜕 𝜕𝜃(sin 𝜃 𝜕𝜓 𝜕𝜃) + 1 𝑟2_sin2_𝜃 𝜕2𝜓 𝜕𝜑2] + ћ2 2𝑚𝛼2[ 𝜈(𝜈+1) sin2₍𝑟 𝛼) − 2𝜇 cot(_𝛼𝑟)] 𝜓 + ћ2 2𝑚𝑟2[ 𝑎(𝑎−1) 𝑠𝑖𝑛2_𝜃 + 𝑏(𝑏−1) 𝑐𝑜𝑠2_𝜃] 𝜓 = 𝐸𝜓 ..(20) Dari pers.(20) diperoleh persamaan

Schrodinger bagian fungsi bagian radial dan sudut dan adzimut, secara berurutan dalam bentuk, 1 𝑟3 𝜕 𝜕𝑟(𝑟 2 𝜕 𝜕𝑟( 𝜒 𝑟) ) − 1 𝑟𝛼2[ 𝜈(𝜈+1) sin2₍𝑟 𝛼) − 2𝜇 cot(𝑟_𝛼)] 𝜒 −𝑙(𝑙+1)_𝑟3 𝜒 + 2𝑚 𝑟ћ2𝐸𝜒 = 0 .(21) −_2𝑚ћ2 𝑑_𝑑𝜃2𝐻₂+_2𝑚ћ2(𝑎(𝑎−1)+𝑚2− 1 4 𝑠𝑖𝑛2_𝜃 + 𝑏(𝑏−1) 𝑐𝑜𝑠2_𝜃) 𝐻 = ћ2 2𝑚(𝑙(𝑙 + 1) + 1 4)……(22)  = √_2π1 eimφ _...(23)

Kemudian kita selesaikan persamaan bagian radial terlebih dahulu. Dari pers.(21) diperoleh potensial efektif dalam bentuk, 𝑉_𝑒𝑓𝑓=_2𝑚𝛼ћ2₂[𝜈′(𝑣′+1) sin2₍𝑟 𝛼) − 2𝜇 cot(_𝛼𝑟)] + ћ2 2𝑚𝛼2𝑙(𝑙 + 1)𝑑0 ....(24) dengan𝜈′_{= √𝜈(𝜈 + 1) + 𝑙(𝑙 + 1) +}1 4− 1 2

Dengan memasukkan potensial efektif pada pers (24) kedalam pers (2.14) diperoleh,

(5)

𝜙₀2_{(𝑥) −} ħ (2𝑚)1/2𝜙0′(𝑥) = ћ2 2𝑚𝛼2[ 𝜈′(𝜈′+1) sin2₍𝑟 𝛼) − 2𝜇 cot(_𝛼𝑟)] +_2𝑚𝛼ћ22𝑙(𝑙 + 1)𝑑0− 𝐸0 ..(25)

dengan menggunakan dugaan yang tajam (yang telah terlatih), maka dimisalkan superpotensial dari pers (24) adalah,

𝜙(𝑥) = 𝐴 cot (𝑟

𝛼) − 𝐵

𝐴 (26)

Dengan menggunakan pers. (2.9) dan (25) diperoleh 𝐴†_{= −} ℏ √2𝑚 𝑑 𝑑𝑟+ 𝜙(𝑟) = − ℏ √2𝑚 𝑑 𝑑𝑟− ħ 𝛼(2𝑚)12 ((𝑣′₊ 1) cot (𝑟 𝛼) − 𝜇 (𝑣′₊₁₎) ...(27a) Dan 𝐴 = ℏ √2𝑚 𝑑 𝑑𝑟+ 𝜙(𝑟) = ℏ √2𝑚 𝑑 𝑑𝑟− ħ 𝛼(2𝑚)12 ((𝑣′_{+ 1) cot (}𝑟 𝛼) − 𝜇 (𝑣′₊₁₎) ...(27b)

Sehingga diperoleh fungsi

gelombang tingkat dasarnya ditulis, 𝜓0(−)=

𝐶 (sin (_𝛼𝑟))(𝑣 ′₊₁₎

exp (−_𝛼(𝑣𝜇𝑟_′₊₁₎)…..(28) dengan menggunakan persamaan (2.19)

kita peroleh fungsi gelombang sistem yang tereksitasi tingkat pertama yaitu 𝜓₁(−)(𝑥; 𝑎₀)~𝐴†_{(𝑥; 𝑎}

0)𝜓0−(𝑥; 𝑎1)(29) dapat ditulis kembali solusi energi persamaan Schrodinger untuk potensial non sentral Rosen Morse plus Poschl-Teller sebagai 𝐸_𝑛_𝑟=_2𝑚𝛼ћ2₂[(√𝜈(𝜈 + 1) + 𝑙(𝑙 + 1) +1 4+ 𝑛_𝑟+1₂)2+ 𝑙(𝑙 + 1)𝑑₀− 𝜇2 (√𝜈(𝜈+1)+𝑙(𝑙+1)+1₄+𝑛𝑟+1₂) 2] (30)

Dari pers.(30), diperoleh grafik tingkat energi untuk potensial non-sentral Poschl-Teller trigonometri plus Rosen Morse, dalam bentuk,

Gambar 1.Grafik Tingkat Energi Potensial Non

Sentral Poschl Teller Trigonometri plus Rosen Morse , dengan m =1, 𝑛𝑙= 1, μ =1, 𝑣 =2, dan 𝑛𝑟= 0,1,2,3,4, 5.

Gambar 1 menunjukan bahwa harga bilangan kuantum orbital dipengaruhi oleh nilai 𝑙, dengan m, 𝑛𝑙, μ dan 𝑣 konstan. Basarnya nilai 𝑙 menentukan kapasitas gangguan dari potensial Poschl Teller, dalam hal ini, semakin besar harga 𝑙, potensial Rosen Morse akan mengalami gangguan yang semakin besar dari potensial Poschl Teller.

Upaya mempermudah penyelesaian persamaan Schrodinger bagian sudut, dimisalkan,

ћ2

2𝑚(𝑙(𝑙 + 1) + 1

4) 𝐻 = 𝐸𝐻 (31) Potensial effektif dari potensial Resen Morse plus Potensial Poschl-Teller bagian sudut dituliskan sebagai

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 0 2 4 6 En (e V) nr En En'

(6)

𝑉_𝑒𝑓𝑓= ћ2 2𝑚(( 𝑎(𝑎−1)+𝑚2₋1 4 𝑠𝑖𝑛2_𝜃 + 𝑏(𝑏−1) 𝑐𝑜𝑠2_𝜃) (32)

Berdasarkan bentuk persamaan

potensial efektif tersebut, maka

persamaan superpotensial untuk Potensial Rosen morse plus Potensial Poschl-Teller bagian sudut dapat dimisalkan sebagai,

𝜙(𝜃) = 𝐴 tan 𝜃 + 𝐵 cot 𝜃 …(33) Sehingga diperoleh spektrum energi untuk sistem Poschl-Teller yaitu,

𝐸_𝑛 =_2𝑚ℏ2 (𝑏 + 𝑎′+2𝑛)2 _…(34) dengan 𝑎′_{= √𝑎(𝑎 − 1) + 𝑚}2₊1

2

Dengan menggunakan parameter berorde energi yang sama dengan eigen nilai dari kuadrat momentum sudut seperti yang dinyatakan pada pers. (34) maka diperoleh bilangan kuantum sudut yang dinyatakan sebagai, (𝑙(𝑙 + 1) +1 4) = (√𝑎(𝑎 − 1) + 𝑚2+ 1 2+ 𝑏+2𝑛)2 Maka 𝑙 = √𝑎(𝑎 − 1) + 𝑚2+ 𝑏 + 2𝑛 (35) Selanjutnya, dengan menggunakan operator penurun ditentukan fungsi gelombang tingkat dasar untuk potensial non-sentral Rosen Morse plus Poschl-Teller bagian sudut, yang bentuknya

𝜓0(−) = 𝐶(cosθ)𝑏(𝑠𝑖𝑛𝜃)𝑎′ = (cosθ)𝑏_{(𝑠𝑖𝑛𝜃)}√𝑎(𝑎−1)+𝑚2+1₂

…..(36)

Sedangkan untuk fungsi gelombang tereksitasi bisa dicari menggunakan operator penaik.

Tabel 1. Hasil perhitungan fungsi gelombang

polar potensial non sentral Poschl Teller plus Rosen Morse

No 𝑃𝑛𝑙,𝑚,𝑎,𝑏n l m a B a’    sin ) ; ( ) ( n n a P   1 𝑃₁₀₀₀ 1 0 0 0 0,5



2 2



) (cos 2 ) (sin   2 𝑃₁₀₂₄ 1 0 2 4 1,91





41 , 1 4 2 2 ) (sin ) (cos ) )(cos 83 , 4 ( ) .(sin 9     

Tabel 1. menunjukkan bentuk fungsi gelombang polar berkaitan dengan arah momentum sudut spin elektron serta

melukiskan ketergantungan rapat

probabilitas pada sudut. Secara umum definisi fungsi gelombang polar sama dengan fungsi gelombang radial yaitu

(7)

menyatakan probabilitas ditemukan elektron, namun keduanya memiliki perbedaannya pada pergerakannya jika fungsi gelombang radial berkaitan dengan menjauh atau mendekatnya elektron dari inti, maka fungsi gelombang polar berkaitan dengan putaran elektron terhadap inti.

b. Penyelesaian Persamaan Schrodinger

Potensial Non-Sentral Kombinasi Potensial Coulomb Plus Potensial Poschl-Teller trigonometri dengan Menggunakan Metode Supersimetri

Mengikuti prosedur pada poin a, diperoleh persamaan Schrodinger bagian radial, sudut, dan adzimut, secara berurutan ditulis, −_2𝑚ћ2 𝜕_𝜕𝑟2𝜒₂ +_2𝑚ћ2 𝑙(𝑙+1)_𝑟₂ 𝜒 −𝑒_𝑟2𝜒 = 𝐸𝜒 (37) −_2𝑚ћ2 𝑑_𝑑𝜃2𝐻₂+_2𝑚ћ2 (𝑎(𝑎−1)+𝑚2− 1 4 𝑠𝑖𝑛2_𝜃 + 𝑏(𝑏−1) 𝑐𝑜𝑠2_𝜃) 𝐻 = ћ2 2𝑚(𝑙(𝑙 + 1) + 1 4) 𝐻 (38)  = √_2π1 eimφ ₍₃₉₎

Penyelesaian bagian radial pada poin b, sehingga diperoleh potensial effektif, 𝑉_𝑒𝑓𝑓 = _2𝑚ћ2 𝑙(𝑙+1)_𝑟₂ −𝑒_𝑟2 (40)

Dengan permisalan

superpotensialnya,

𝜙(𝑥) = 𝐴 +𝐵_𝑟 (41)

sehingga diperoleh fungsi gelombang tingkat dasar, dengan bentuk,

𝜓0(−)= 𝐶𝑟(𝑙+1)𝑒𝑥𝑝 (−_ћ2𝑚𝑟_(𝑙+1)𝑒2) (42) dan fungsi gelombang tereksitasi tingkat pertama, dengan bentuk,

𝜓₁(−)(𝑥; 𝑎0) = − ℏ √2𝑚{( (𝑙+2) 𝑟 ) − 𝑚 ћ2_(𝑙+2)𝑒2− 𝑚 ћ2_(𝑙+1)𝑒2+ (𝑙+1) 𝑟 } {𝐶𝑟(𝑙+2)𝑒𝑥𝑝 (− 𝑚𝑟 ћ2_(𝑙+2)𝑒2)} (43) dan dengan proses yang sama pada poin a, maka diperoleh spektrum energi untuk sistem Coulomb,

𝐸_𝑛_𝑟 = −_2ћ₂_(𝑙+𝑛𝑚 𝑟+1)2𝑒

4 ₍₄₄₎

dari pers.(44), diperoleh grafik tingkat energi untuk potensial non-sentral Poschl-Teller trigonometri plus Coulomb, dalam bentuk,

Gambar 2. Grafik Tingkat Energi Potensial Non

Sentral Poschl Teller Trigonometri plus Coulomb, dengan m =1,𝑛𝑙= 1,dan 𝑛𝑟= 0,1,2,3,4, 5.

Gambar 2, menunjukkan bahwa

harga bilangan kuantum orbital

dipengaruhi oleh nilai 𝑙, dengan m dan 𝑛_𝑙 konstan. Basarnya nilai 𝑙 menentukan kapasitas gangguan dari potensial Poschl Teller, dalam hal ini, semakin besar harga 𝑙, potensial Coulomb akan mengalami gangguan yang semakin besar dari potensial Poschl Teller.

Sedangkan penyelesaian persamaan schrodinger potensial Coulomb plus Poschl-Teller trigonometri bagian sudut hasilnya sama dengan penyelesaian bagian sudut potensial Poschl Teller trigonometri pada poin a, sehingga tidak perlu dijabarkan kembali pada bahasan ini.

c. Penyelesaian Persamaan Schrodinger

Potensial Non-Sentral Kombinasi Potensial OH 3D Plus Potensial Poschl-Teller trigonometri dengan Menggunakan Metode Supersimetri

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 0 2 4 6 En ( e V) nr En En'

(8)

Mengikuti prosedur pada poin a, diperoleh persamaan Schrodinger bagian radial, sudut, dan adzimut, secara berurutan ditulis, −_2𝑚ћ2𝜕_𝜕𝑟2𝜒₂+1₂𝑚𝜔2_𝑟2_{𝜒 +} ћ2 2𝑚 𝑙(𝑙+1) 𝑟2 𝜒 = 𝐸𝜒 (45) − ћ2 2𝑚 𝑑2𝐻 𝑑𝜃2+ ћ2 2𝑚( 𝑎(𝑎−1)+𝑚2₋1 4 𝑠𝑖𝑛2_𝜃 + 𝑏(𝑏−1) 𝑐𝑜𝑠2_𝜃) 𝐻 = ћ2 2𝑚(𝑙(𝑙 + 1) + 1 4) 𝐻 (46)  = √_2π1 eimφ ₍₄₇₎

Penyelesaian bagian radial pada poin c, sehingga diperoleh potensial effektif,

𝑉_𝑒𝑓𝑓=1 2𝑚𝜔 2_𝑟2₊ ћ2 2𝑚 𝑙(𝑙+1) 𝑟2 (48)

Dengan permisalan superpotensialnya,

𝜙(𝑥) = 𝐴𝑟 +𝐵_𝑟 (49)

Sehingga diperoleh fungsi gelombang tingkat dasar, dengan bentuk,

𝜓₀(−)= 𝐶𝑟(𝑙+1)_{𝑒𝑥𝑝 (−}1 2

𝑚𝜔𝑟2

ħ ) (50) Dan fungsi gelombang tereksitasi tingkat pertama, dengan bentuk,

𝜓1(−)(𝑥; 𝑎0) =_√2𝑚2ℏ {𝑚𝜔𝑟 2 ħ − (𝑙 + 3 2)} {𝐶𝑟 (𝑙+1)_{𝑒𝑥𝑝 (−}1 2 𝑚𝜔𝑟2 ħ )} (51)

dan dengan proses yang sama pada poin a, maka diperoleh spektrum energi untuk sistem Coulomb yaitu,

𝐸_𝑛_𝑟= ħ𝜔(2𝑛𝑟+ 𝑙 +3₂) (52)

dari pers.(52), diperoleh grafik tingkat energi untuk potensial non-sentral Poschl-Teller trigonometri plus OH 3D, dalam bentuk

Gambar 3. Grafik Tingkat Energi Potensial Non

Sentral Poschl Teller Trigonometri plus OH 3D, dengan m =1, 𝑛𝑙= 1, dan 𝑛𝑟= 0,1,2,3,4, 5.

dipengaruhi oleh nilai 𝑙, dengan m dan 𝑛𝑙 konstan. Basarnya nilai 𝑙 menentukan kapasitas gangguan dari potensial Poschl Teller, dalam hal ini, semakin besar harga 𝑙, potensial OH 3D akan mengalami gangguan yang semakin besar dari potensial Poschl Teller.

d. Penyelesaian Persamaan Schrodinger

Potensial Non-Sentral Kombinasi Potensial Rosen Morse trigonometri Plus Potensial Poschl-Teller dengan Menggunakan Metode Supersimetri

Mengikuti prosedur pada poin a, diperoleh persamaan Schrodinger bagian radial, sudut, dan adzimut, secara berurutan ditulis, −_2𝑚ћ2 𝜕_𝜕𝑟2𝜒₂ +_2𝑚𝛼ћ2₂(𝑎(𝑎−1)_𝑠𝑖𝑛₂₍𝑟 𝛼) + 𝑏(𝑏−1) 𝑐𝑜𝑠2₍𝑟 𝛼) ) 𝜒 +_2𝑚𝛼ћ2₂𝑙(𝑙 + 1)𝑑0𝜒 = −_2𝑚ћ2 𝜖2_𝜒 ₍₅₃₎ −_2𝑚ћ2 𝑑_𝑑𝜃2𝐻2+ ћ2 2𝑚( 𝜈(𝜈+1)+𝑚2−1₄ 𝑠𝑖𝑛2_𝜃 − 2𝜇 cot 𝜃) 𝐻 = ћ2 2𝑚(𝑙(𝑙 + 1) + 1 4) 𝐻 (54) 0 5 10 15 20 25 30 0 2 4 6 En ( e V) nr En En'

(9)

 = √1

2πe

imφ ₍₅₅₎

Penyelesaian bagian radial pada poin d, sehingga diperoleh potensial effektif, 𝑉𝑒𝑓𝑓 = ћ 2 2𝑚𝛼2( 𝑎(𝑎−1)+𝑙(𝑙+1) 𝑠𝑖𝑛2(_𝛼𝑟) + 𝑏(𝑏−1) 𝑐𝑜𝑠2(𝑟_𝛼)) + ћ2 2𝑚𝛼2𝑙(𝑙 + 1)𝑑0 (56)

dengan permisalan superpotensialnya, 𝜙(𝑥) = 𝐴 tan (_𝛼𝑟) + 𝐵 cot(_𝛼𝑟) (57)

Sehingga diperoleh fungsi gelombang tingkat dasar, dengan bentuk,

𝜓0(−)=

𝐶 (cos (_𝛼𝑟))𝑏(𝑠𝑖𝑛 (_𝛼𝑟))√𝑎(𝑎−1)+𝑙(𝑙+1)+

1 4+12

(58)

dan fungsi gelombang tereksitasi tingkat pertama, dengan bentuk,

𝜓1(−)(𝑥; 𝑎0) =_𝛼√2𝑚ℏ {[(2𝑏 + 1) (𝑠𝑖𝑛 (𝑟_𝛼))2− (2𝑎′_{+ 1) (cos (}𝑟 𝛼)) 2 ]} {𝐶 (cos (_𝛼𝑟))𝑏(𝑠𝑖𝑛 (_𝛼𝑟))√𝑎(𝑎−1)+𝑙(𝑙+1)+ 1 4+12 } (59)

Dan dengan proses yang sama pada poin a, maka diperoleh spektrum energi untuk sistem Coulomb yaitu,

𝐸𝑛𝑟= ћ2 2𝑚𝛼2(√𝑎(𝑎 − 1) + 𝑙(𝑙 + 1) + 1 4+ 𝑏 + 2𝑛𝑟+1₂) 2 +_2𝑚𝛼ћ2₂𝑙(𝑙 + 1)𝑑0 (60)

dari pers.(60), diperoleh grafik tingkat energi untuk potensial non-sentral Poschl-Teller plus Rosen morse trigonometri, dalam bentuk

Gambar 4.Grafik tingkat energi potensial non

sentral Rosen Morse trigonometri plus Poschl Teller, dengan 𝑣 = 0, 1,2,3, … m =0, 𝑛𝑙= 0,1,2,3 …, dan 𝑛𝑟= 0,1,2,3,4, 5.

dipengaruhi oleh nilai 𝑙, dengan En adalah energi tidak terganggu dan En’ adalah energi terganggu. Nilai 𝑙 menentukan kapasitas gangguan dari potensial Rosen Morse, dalam hal ini, semakin besar harga 𝑙, potensial Poschl Teller akan mengalami gangguan yang semakin besar dari potensial Rosen Morse.

SIMPULAN DAN REKOMENDASI

Berdasarkan pembahasan, dapat

disimpulkan bahwa:

1. Potensial non sentral kombinasi dari potensial Poschl Teller Trigonometri plus potensial Rosen Morse, Coulomb, dan Osilator Harmonik 3D, serta kombinasi potensial Rosen Morse plus

Poschl Teller untuk kelompok

potensial shape invariance dapat diselesaikan dengan metode SUSY. 2. Hasil penyelesaian secara analitik dari

Potensial non-sentral pada poin 1, dapat divisualisasikan dengan simulasi

komputasi menggunakan software

Maple 12.

Berdasarkan kesimpulan dan

implikasi sebelumnya, dapat

0 2000 4000 6000 8000 10000 0 2 4 6 En ( e V) nr En En'

(10)

dikemukakan beberapa saran sebagai berikut:

1. mengkaji bentuk potensial lain dan menyimpulkan potensial mana yang menghasilkan tingkatan energi yang lebih tinggi.

2. Pengkajian lebih mendalam hasil teori terhadap Fisika terapan, misalnya material.

DAFTAR PUSTAKA

Ballentine. (1999) Quantum mechanics, Simon Fraser University

Cari, Suparmi, Saregar, A., Solution of the

Schrödinger Equation for

Trigonometric Scarf Plus

Poschl-Teller Non-Central Potential

Using Supersymmetry Quantum Mechanics. Indonesian Journal of Applied Physics. ISSN:2089 – 0133 Vol. 04 No.1 (2014) PP 1-13. Chen. C.Y and Dong. S. H. (2005).

Exactly complete solutions of the Coulomb potential plus a new ring-shaped potential, Phys. Lett. A 335 (2005) 374

Chen G. (2001). Acta Phys. Sinica, 50 (2001), 1651.

Combescure M., Gieresand F., and Kibler M. (2004). Are n = 1 and n = 2

supersymmetric quantum

mechanics equivalent? Journal of Physics A: Mathematical and General, 37(43):10385–10396.

Dutt. R, Gangopadhyaya. A, and

Sukhatme. UP. (1996). [arXiv: hep-th/9611087v1], Non Central

Potentials and Spherical

Harmonics Using Supersymmetry and Shape Invariance, Department

of Physics, Visva-Bharati

University, India

El Kineni A.H., and M. Daoud. (2001) Coherent States a la Klaude-Perelomov for the Poschl-Teller

potentials, Phys. Lett. A 283 (2001) 291-299

Gaudarzi H., Vahidi V. (2011)

Supersymmetric Approach for Eckart Potential Using the NU

Method.Adv. Studies Theor.

Phys., Vol. 5, 2011, no. 10, 469 – 476, Urmia University, Iran Gonul.B and Zorba, I. (2000). Phys. Lett.

A Vol 269 (2000) 83-88,

Supersymmetric Solution of Non-Central

Gonul.B and Kocak. M. (2005). [arXiv: quant-ph/0409085v3], Systemic Search of Exactly Solvable Non-Central Potentials, Department of Engineering Physics, Gaziantep University, Turkey

Ikhdair. SM and Sever. R. (2007). [arXiv

: quant-ph/0702186v1],

Polynomial Solution of Non Central Potentials, Department of Physics, Near East University, Turkey

Infield. L and Hull.TD, Rev. Mod Phys.23 (1951) 21 E. Schrödinger, Proc.R. Irish Acad. A46(1940) 9

Metin Aktas. (2007). Exact solutions to a new generalized non-central potential in three dimensions, arXiv: quant-ph /0701063v1. Meyur, S., Debnath, S. (2009). Solution of

the Schrödinger equation with

Hulthén plus Manning-Rosen

potential, Lat. Am. J. Phys. Educ.

3, 300-306.

Meyur. S., Debnath. S. (2010). Eigen spectra for Woods-Saxon plus Rosen-Morse potential, Lat. Am. J. Phys. Educ. Vol. 4, No. 3, Sept. Mustafa.M and Kais. M. (2009). (arXiv :

math-ph/4206v2), A Vann

Diagram for Supersymmetric,

Exactly Solvable, Shape Invariant,

and Infield-Hull Factorizable

Potentials, Department of Physics, Purdue University

(11)

Quan H.X., Guang L., Min W.Z., Bin N.L, and Yan. M. (2010). Solving Dirac Equation with New Ring-Shaped

Non Spherical Harmonic

Oscillator Potential, Com. Theor. Phys. (China) 53 (2010) 242 Ranabir Dutt, Avinash Khare, and Uday P.

Sukhatme. (1988).

Supersymmetry, shape invariance, and exactly solvable potentials. American Journal of Physics, 56(2):163–168.

Salehi. (2011). Determine the eigen function of Schrodinger equation with non-central potential by using NU method, App. Math. 2 (2011) 999-1004

Salehi. H. (2011). Aplied Mathematics, Determine the Eigen Function of Schrödinger Equation with Non-Central Potential by Using NU Method, Department of Physics, Shahid ChamranUniversity, Iran Sadeghi. J and Pourhassan. B. (2008).

Electronic Journal of Theoretical Physics, Exact Solution of the Non

- Central Modified Kratzer

Potential Plus a Ring - Shaped

Like Potential by The

Factorization Method, Sciences Faculty Department of Physics, Mazandaran University, Iran Saregar, A., Suparmi, Cari, Yuliani, H.

(2013). Analysis of Energy Spectra

and Wave Function of

Trigonometric Poschl-Teller plus

Rosen Morse Non-Central

Potentials Using Supersymmetric

Quantum Mechanics Approach, Research Inventy International Journal Engineering and Science. ISSN:2278-4721, Vol.2 Issue 3 (2013), PP 14-26.

Saregar, A. (2015) Solution of

Schrödinger Equation for Poschl-Teller Plus Scarf Non-Central Potential Using Supersymmetry Quantum Mechanics Aproach. Jurnal Ilmiah Pendidikan Fisika Al-‘BiRunNi’. ISSN: 2303-1832, Vol. 4, No. 1. pp 25-35

Sohnius M.F. (1985). Introducing

Supersymmetry (Cambridge CB3 9EW, NHC: England.

Suparmi, Cari, Handika. J., Yanuarif. C., Marini. H. (2012). IOSR Journal of Applied Physics.Approximate Solution of Schrodinger equation

for Modified Poschl-Teller

plusTrigonometric Rosen Morse Non-Central Potentials in Terms of Finite Romanovski Polinomials, Department of Physics, Sebelas Maret Universitas Indonesia.

Suparmi. (1992). Dissertation,

Semiclassical SUSY approace in

Quantum Mechanics,

(Unpublished Doctoral

dissertation) Department of Physics, Suny at Albany. USA. Yasuk. F., Berkdemir C., Berkdemir A.

(2005). Phys. A: Math. Gen, 38, pp 6579-6586. Potetials, Department of Engineering Physics, Gaziantep University, Turkey