Optimisasi Terpadu Persoalan Inventori dan Persoalan Transfortasi dengan Metode ITIO ( Inventory Transfortation Integrated Optimization)

(1)

Optimisasi Terpadu Persoalan Inventori dan Persoalan

Transfortasi dengan Metode ITIO ( Inventory Transfortation

Integrated Optimization)

T.P.Nababan, Sukamto , Karinda Puspita N

Jurusan Matematika Universitas Riau

Abstrak. Makalah ini akan membahas metode ITIO ( Inventory Transfortation

Integrated Optimization) yang merupakan solusi alternatif dari Optimisasi terpadu Persoalan Inventori dan Persoalan Transfortasi dengan produk tunggal.

Keywords: Inventori, Transportasi

PENDAHULUAN

Persoalan transportasi merupakan kasus khusus dari persoalan program linear dengan perencanaan pembiayaan minimum untuk mengatur pengiriman suatu produk yang sama dari sejumlah sumber ke sejumlah destinasi atau tempat tujuan. Perluasan model transportasi ini secara langsung meliputi situasi praktis dalam bidang inventori. Persoalan inventori muncul bila diperlukan untuk menyediakan atau pemesanan stok barang atau komoditas dengan tujuan untuk memenuhi permintaan sepanjang waktu tertentu, berhingga atau takberhingga. Persoalan transportasi dan inventori sangat berkaitan dengan persoalan optimisasi terpadu. Untuk menyelesaikan persoalan optimisasi terpadu pada inventori dan transportasi ini akan digunakan sebuah model alternatif yang disebut model ITIO (Inventory-Transportation Integrated Optimization).

Persoalan Transportasi Dan Persoalan Inventori

a. Persoalan Transportasi

Persoalan transportasi merupakan kasus khusus dari persoalan program linear dengan perencanaan pembiayaan minimum untuk mengatur pengiriman suatu produk tunggal dari sejumlah sumber ke sejumlah destinasi atau tempat tujuan. Sebuah model transportasi dari suatu siklus dengan m sumber dan n tujuan, dimana a adalah jumlah _i persediaan barang dari sumber i, dan b_j adalah permintaan barang dari tempat tujuan j .

Misalkan c_ij adalah biaya pengiriman per unit barang dari sumber i ke tujuan j dan x_ij adalah jumlah unit barang yang akan dikirimkan dari sumber i ke tujuan

,

j i1,2,,m dan j1,2,,n.

Dengan demikian secara umum formulasi program linear dari persoalan transportasi adalah sebagai berikut [5: h. 93]

min _    m i n j ij ijx c z 1 1 kendala



  m i j ij b x 1 , j1,2,,n (kendala permintaan)    n j i ij a x 1 , i1,2,,m (kendala persediaan) 0  ij x , i1,2,,m; j 1,2,,n. (1)

(2)

538| Semirata 2013 FMIPA Unila b. Persoalan Inventori

Persoalan inventori muncul bila diperlukan untuk menyediakan atau memesan stok barang atau komoditas dengan tujuan untuk memenuhi permintaan sepanjang waktu tertentu, berhingga atau tak berhingga. Huanco Tang et al. [5: h. 93] menyatakan pada model inventori ini diasumsikan bahwa tidak ada shortage, permintaannya tetap dan kontinu, persediaan akan ditambah lagi setiap waktu t, banyaknya permintaan harus memenuhi kebutuhan

Rt selama siklus dengan: QRt Q = jumlah permintaan 1 C = holding cost 2 C = ordering cost K = harga barang Sehingga diperoleh Biaya pemesanan = C₂ KRt, (2) Rata-rata biaya pemesanan pada waktu t = 2 KR,

t

C _

Rata-rata jumlah persediaan = , 2 1

Rt Rata-rata biaya menyimpan persediaan

= .

2 1

1Rt C

Diketahui rata-rata total biaya persediaan dalam siklus dinyatakan dalam bentuk matematis .: Rt C KR t C t C 2 ₁ 2 1 ) (    (3)

Untuk mendapatkan nilai t yang membuat C(t) minimum dengan menggunakan kalkulus diperoleh

R C C t 1 2 0 2  (4)

Kemudian uji persamaan (3) dengan uji turunan ke dua. Dari uji turunan ke dua dapat dilihat bahwa t adalah harga ₀ minimum yang membuat C(t) minimum, maka

min C(t)C(t₀) 2C₁C₂R

(5) Berdasarkan persamaan (2), karena

0

t minimum maka jumlah permintaannya

1 2 0 0 2 C R C Rt Q   (6)

Untuk menyatukan siklus permintaan, haruslah melakukan penyesuaian jumlah permintaan. Kemudian tentukan siklus standarnya menggunakan persanaan (5) sehingga jumlah permintaan setelah penyesuaian adalah sebagai berikut

R t Q

P ₀  ₀ (7)

Model Itio

Model ITIO (Inventory-Transportation Integrated Optimization) ini merupakan persoalan optimisasi terpadu yang sangat berkaitan dengan persoalan inventori dan persoalan transportasi. Diasumsikan bahwa pada tujuan tidak ada stok, persediaan tidak shortage, permintaan antar titik permintaan deterministik dan terjadi pada kelajuan konstan, total jumlah permintaan dari semua jumlah permintaan dari semua titik permintaan ditentukan. Misalkan m sumber dan n tujuan. Maka bentuk optimal model ITIO dapat ditulis sebagai berikut: min _ _ _          m i n j ij ij j m i n j n j j j ij ijx w h rx c C 1 1 1 1 1 ) ( 2 1 _ kendala j x i B x j w x Q w j S w ij n j i ij m i j ij n j j j j j                 , 0 , , , , 1 1 1  (8)

(3)

dengan

ij

c = ordering cost dari sumber i ke tujuan j

ij

x = jumlah barang yang dikirim dari sumber i ke tujuan j

j

w = jumlah barang yang dibutuhkan tujuan j

j

 = persediaan awal tujuan j

j

h = biaya penyimpanan unit barang tujuan j

j

s = stok aman (safe stock) tujuan j Q = jumlah barang yang dibutuhkan

ij

r = biaya pengiriman barang dari sumber i ke tujuan j

i

B = kapasitas persediaan sumber i

Disini, wj dan xij adalah variable

strategi. Pada persoalan (8), hal pertama yang dimaksudkan adalah biaya pemesanan, kedua adalah biaya inventori, ketiga adalah total biaya transportasi. Kendala pertama menunjukan bahwa penyimpanan pada setiap titik permintaan untuk setiap barang melebihi stok amannya, kedua menunjukan jumlah yang dibutuhkan dari semua titik permintaan untuk barang adalah total jumlah permintaannya, ketiga menunjukan bahwa total transportasi jumlah barang tujuan j adalah jumlah barang yang dibutuhkan, keempat menunjukan bahwa jumlah transportasi barang tujuan i lebih rendah dari kapasitas persediaannya.

Contoh Persoalan Optimisasi Terpadu Distribusi perusahaan minyak pusat A1

dan A2 mengirimkanan satu jenis minyak

ke empat pompa bensin, yaitu B1, B2, B3

dan B4. Tingkat permintaan R1 dari B1

adalah 15 ton per tahun, holding cost C1

adalah $160 per ton setiap tahun, ordering cost C2 adalah $240 setiap waktu

pemesanan, harga barang $1000 per ton, dengan stok aman S1 adalah 1.4 ton;

Untuk pompa bensin B2, dengan tingkat

permintaan R2 adalah 25 ton per tahun,

stok aman S2 adalah 2.8 ton, biaya yang

lain di samakan dengan pompa bensin B1;

Untuk pompa bensin B3, tingkat

permintaan R3 adalah 20 ton per tahun,

stok aman S3 adalah 2.2 ton, biaya yang

lain sama dengan pompa bensin B1; Untuk

pompa bensin B4, tingkat permintaan R4

adalah 16 ton per tahun, stok aman S4

adalah 1.8 ton, biaya yang lain sama dengan pompa bensin B1. Dalam setiap

siklus, perusahaan minyak pusat A dapat ₁ menyediakan 16 ton dan A dapat ₂ menyediakan 18 ton, Tabel 3.1 menunjukkan biaya pengiriman antara produk minyak pusat dan pompa bensin. Tabel 3.1 Tabel Biaya Pengiriman

UTC B ₁ B ₂ B 3 B 4 1

A ₁₃₀₀ ₁₂₈₀ ₁₀₅₀ ₁₅₇₀ 2

A ₁₁₆₀ ₁₄₄₀ ₁₃₁₀ ₁₂₅₀ Penyelesaian Model Inventori

Penyelesaikan model inventori dari contoh permasalahan dengan menentukan persediaan akan ditambah lagi setiap waktu t dan banyaknya jumlah permintaan adalah dengan menggunakan persamaan (4) dan (6), diperoleh :

 Untuk pompa bensin B1 :

tahun 45 . 0 15 160 240 2 2 1 1 2 01      R C C t = 5,4 bulan 160 15 240 2 2 1 1 2 01     C R C Q = 6,7 ton

 Untuk pompa bensin B2 :

bulan 2 . 4 tahun 35 . 0 2 0   t ton 7 . 8 2 0  Q

 Untuk pompa bensin B3 :

 Untuk pompa bensin B4 :

Sebagai siklus pengiriman empat pompa bensin yang berbeda, untuk menurunkan biaya transportasi, haruslah menyatukan siklus ke empat pompa bensin tersebut. Untuk menyatukan siklus ke empat pompa bensin adalah dengan menentukan C(t) minimum, yaitu dengan menggunakan persamaan (5), diperoleh

(4)

540| Semirata 2013 FMIPA Unila  min 31 . 1073 $ 15 240 160 2 2 ) ( ₀ ₁ ₂ ₁ 1  CC R      t C min ( ) $1385.64 2 0  t C  min ( ) $1239.35 3 0  t C  min ( ) $1108.51 4 0  t C

dari semua nilai min C(t₀) dapat dilihat bahwa nilai yang paling minimum adalah min ( ), 1 0 t C maka 5.4 1 0  t merupakan siklus standar, maka berdasarkan persamaan (7) jumlah permintaan setelah penyesuaian adalah

 Jumlah permintaan B ₁ setelah penyesuaian 1 0 0 0 1 12 1 1 1 R t t Q P     15 12 4 . 5 4 . 5 7 . 6     6.7 ton

 Jumlah permintaan B ₂ setelah penyesuaian : P2 = 11.2 ton.

 Jumlah permintaan B ₃ setelah penyesuaian : P3 = 8.9 ton

 Jumlah permintaan B ₄ setelah penyesuaian : P4 = 7.2 ton

Kemudian untuk memperoleh rata-rata total biaya persediaan dengan menggunakan persamaan (3), maka diperoleh

 Biaya persediaan dari B ₁

1 1 1 1 1 1 0 0 2 0 2 1 ) ( KR C Rt t C t C    12 4 . 5 15 160 2 1 15 1000 ) ( 240 12 4 . 5        = $.16073.-

Biaya persediaan dari B : C(t₂ 0 =$.26433.

 Biaya persediaan dari B : C(t₃ 0) =

$.21253.

 Biaya persediaan dari B : C(t₄ 0) =

$.17109.

Jadi, jumlah total biaya persediaan =

4 3 2 1 B B B B    = $16073 + $26433 + $21253 + $17109 = $ 80868.-

Penyelesaian Persoalan Transportasi Fungsi tujuan dari persoalan transportasi ini adalah meminimumkan total biaya transportasi pada persoalan (1), yaitu : 24 23 22 21 14 13 12 11 1250 1310 1440 1160 1570 1050 1280 1300 min x x x x x x x x z         Kendala . , , 2 , 1 ; , , 2 , 1 , 0 2 . 7 9 . 8 2 . 11 7 . 6 18 16 24 14 23 13 22 12 21 11 24 23 22 21 14 13 12 11 n j m i x x x x x x x x x x x x x x x x x ij                      (9)

Tabel 1. Solusi Awal Persoalan Transportasi

1 B B ₂ B 3 B 4 Persediaan 1 A 1300 1280 1050 1570 7.1 8.9 16 2 A 1160 1440 1310 1250 6.7 4.1 7.2 18 Permintaan 6.7 11.2 8.9 7.2 ₃₄

(5)

Tabel 2. Solusi Optimal Persoalan Transportasi 1 B B ₂ B 3 B 4 Persediaan 1 A 1300 1280 1050 1570 -300 -480 16 2 A 1160 1440 1310 -100 18 Permintaan 6.7 11.2 8.9 7.2 34 Persoalan transportasi ini dinamakan

seimbang karena total jumlah permintaan sama dengan total persediaan. Solusi awal dari persoalan transportasi ini dapat di lihat pada Tabel 1.

Sedangkan untuk menyelesaikan persoalan transportasi ini digunakan metode simpleks transportasi. Tabel 2 merupakan solusi optimal dari persoalan transportasi.

Dari Tabel 2, dapat dilihat bahwa bahwa solusi optimal sudah diperoleh, yaitu

.

2 .

7 ,

0 ,

2 .

4 ,

1 .

6 ,

0 ,

9 .

8 ,

1 .

7 ,

0

₁₂ ₁₃ ₁₄ ₂₁ ₂₂ ₂₃ ₂₄ 11



x



x



x



x



x



x



x



x

. Dengan nilai fungsi

tujuan z'z16(0)18(160)6.7(1000)11.2(1280)8.9(1050)7.2(1090)41109. Jadi, biaya transportasi adalah $41109. Sehingga total biaya logistik transportasi dan inventori = $80868 + $41109 = $121977.

Penyelesaian Optimisasi Terpadu Model ITIO

Dalam menggunakan model ITIO, sesuai dengan jumlah persediaan yang dibutuhkan untuk mengirim barang, daripada pengiriman dilakukan saat tujuan membutuhkan. Jadi, ordering cost dapat diabaikan. Model ITIO pada persoalan (8) adalah sebagai berikut.



          _ _ _ _   2 1 4 1 12 11 4 3 2 1 ) 160 1300 1280 ( 2 1 1000 min i j ij w w w w x x x C 1050x₁₃1570x₁₄1160x₂₁1440x₂₂1310x₂₃1250x₂₄ Kendala . , , 2 , 1 ; , , 2 , 1 , 0 18 16 0 0 0 0 34 8 . 1 2 . 2 8 . 2 4 . 1 24 23 22 21 14 13 12 11 4 24 14 3 23 13 2 22 12 1 21 11 4 3 2 1 4 3 2 1 n j m i x x x x x x x x x w x x w x x w x x w x x w w w w w w w w ij                                  (10 ) 7.1 8.9 6.7 4.1 7.2

(6)

542| Semirata 2013 FMIPA Unila

Perhatikan kembali contoh soal di atas. Seluruh informasi yang ada dapat dilihat pada Tabel 3. Angka-angka yang ada dalam persegi kecil adalah nilai r_ij.Tabel 3 Solusi Awal Model ITIO

1 B B ₂ B 3 B 4 Persediaan 1 A 1300 1280 1050 1570 16 2 A 1160 1440 1310 1250 18 Permintaan w₁ 1.4 w₂ 2.8 w₃ 2.2 w₄ 1.8 34

Untuk menyelesaikan persoalan optimisasi terpadu ini digunakan metode simpleks. Tabel 3.5 menunjukan bahwa solusi optimal sudah diperoleh, yaitu

. 8 . 1 , 0 , 0 , 2 . 16 , 0 , 2 . 13 , 8 . 2 , 0 ₁₂ ₁₃ ₁₄ ₂₁ ₂₂ ₂₃ ₂₄ 11  x  x  x  x  x  x  x  x

Tabel 3.5 Solusi Optimal Model ITIO

1 B B ₂ B 3 B 4 Persediaan 1 A 1300 1280 1050 1570 16 2 A 1160 1440 1310 18 Permintaan 16.2 2.8 13.2 1.8 34 Maka nilai fungsi tujuannya

. 75206 ) 8 . 1 ( 1250 ) 0 ( 1310 ) 0 ( 1440 ) 2 . 16 ( 1160 ) 0 ( 1570 ) 2 . 13 ( 1050 ) 8 . 2 ( 1280 ) 0 ( 1300 160 34 2 1 ) 8 . 1 0 0 2 . 16 0 2 . 13 8 . 2 0 ( 1000                _ _           z

Jadi, total biaya logistik model ITIO = $75206. Total biaya logistik transportasi dan inventori adalah $121977 dan total biaya logistik model ITIO adalah $75206. Sehingga dapat dilihat bahwa dengan menggunakan model ITIO dapat menghemat total biaya logistik dari pada menggunakan penyelesaian optimisasi persoalan transportasi dan inventori.

DAFTAR PUSTAKA Bronson, R. 1996. Teori dan Soal-soal

Operations Research Edisi Keempat. Terj. dari Theory and Problems of Operations Research, oleh Wospakrik, H.J. Penerbit Erlangga, Jakarta.

Gamal, M. D. H. 2007. Program Linear dan Integer. Penerbit Pusat Pengembangan Pendidikan Universitas Riau, Pekanbaru.

Hillier, F. S. & G. J. Lieberman. 1995. Pengantar Riset Operasi Edisi Kelima : Jilid 1. Terj. dari Introduction to 2.8 13.2

(7)

Operations Research, Fifth Editions, oleh Gunawan, E. & A. W. Mulia. Penerbit Erlangga, Jakarta.

Siagian, P. 1987. Penelitian Operasional: Teori dan Praktek. Penerbit Universita Indonesia, Jakarta.

Huanco Tang, Lixin Tian & Lin Jia. 2009. Inventory-Transportation Integrated

Optimization Problem: A Model of Product Oil Logistics. International Journal of Nonlinear Science. 1(8), 92-96.

Winston, W.L. 2004. Operations Research: Applications and Algorithms. International Student 4th Edition. Belmont, USA.