BAB 8 STATISTIKA Distribusi Sampel

BAB 8. DISTRIBUSI SAMPEL

BAB 8. DISTRIBUSI SAMPEL

Departemen Teknik Kimia

Departemen Teknik Kimia

Fakultas Teknik

Fakultas Teknik

Universitas Indonesia

Universitas Indonesia

Populasi VS Sampel

Populasi VS Sampel

Populasi

Populasi



Keseluruhan pengamatan yang diteliti.Keseluruhan pengamatan yang diteliti.



 Ada 2 macam, populasi terbatas d Ada 2 macam, populasi terbatas dan tak terbatas.an tak terbatas.



Ukuran populasi : Ukuran populasi : banyakbanyaknya pengamatan (N)nya pengamatan (N)



Karakteristik : ciri atau sifat dari Karakteristik : ciri atau sifat dari populasipopulasi



Parameter : hasil pengukuran karakteristik (µ dan Parameter : hasil pengukuran karakteristik (µ dan σ)σ)



Populasi VS Sampel

Populasi VS Sampel

(lanjutan)

(lanjutan)

Kelemahan Populasi :

Kelemahan Populasi :

1.

1.

Memerlukan

Memerlukan biaya

biaya yang

yang sangat

sangat mahal

mahal

2.

2.

Memerlukan

Memerlukan waktu

waktu yang

yang lama

lama

3.

3.

Memerlukan

Memerlukan tenaga

tenaga dalam

dalam jumlah

jumlah yang

yang

besar 

besar 

4.

Populasi VS Sampel

Populasi VS Sampel

(lanjutan)

(lanjutan)

Sampel Sampel 

Mengambil sebagian anggota dari populasi.Mengambil sebagian anggota dari populasi.



Sampel ada 2, sampel besar dan sampel kecil.Sampel ada 2, sampel besar dan sampel kecil.



Fungsinya untuk menyimpulkan atau Fungsinya untuk menyimpulkan atau mengetahuimengetahui

karakteristik atau parameter dari populasi (potret / karakteristik atau parameter dari populasi (potret / gambaran dari populasi).

gambaran dari populasi).



Ukuran sampel : banyaknya pengamatan (n)Ukuran sampel : banyaknya pengamatan (n)



Statistik : hasil Statistik : hasil pengukuran karakteristik (X dan S)pengukuran karakteristik (X dan S)



Populasi VS Sampel

(lanjutan)

Populasi   Sampel

Sampling

Besar / Kecil Terbatas / Tak terbatas

S σ X µ Statistik Parameter  n N Sampel Populasi

Populasi VS Sampel

(lanjutan)

Keuntungan Sampel :

1. Biaya lebih murah

2. Waktu yang lebih singkat

3. Tenaga yang diperlukan lebih sedikit

4. Data yang diperoleh lebih akurat

Sampel harus representatif dengan ciri-ciri :

1. Mempunyai ukuran tertentu yang memakai syarat

2. Mempunyai kesalahan kecil

3. Dipilih dengan prosedur yang benar berdasarkan

 Teknik Sampling 

 Ada 2 macam, sampel probabilitas dan non

probabilitas.

Sampel probabilitas ada empat teknik yang

semuanya dapat dilakukan dengan

pengembalian atau tanpa pengembalian, yaitu :

1.

Teknik pengambilan dengan acak sederhana

2.

Teknik pengambilan dengan acak sistematis

3.

Teknik pengambilan dengan acak stratifikasi

 Teknik Pengambilan dengan Acak 

Sederhana

Pengambilan sampel sebanyak n dimana

setiap anggota populasi mempunyai

kesempatan yang sama untuk terambil.

Teknik ini dipilih jika populasinya homogen.

Biasanya dilakukan dengan :

1.

Menggunakan undian.

 Teknik Pengambilan dengan Acak 

Sistematis

Dengan mengambil unsur ke-k dalam populasi

dimana titik awalnya ditentukan secara acak

diantara k unsur tersebut.

Sering digunakan karena dapat menarik

kesimpulan yang tepat mengenai parameter

populasi sebab sampelnya menyebar secara

merata di seluruh populasi.

 Teknik Pengambilan dengan Acak 

Stratifikasi

Dilakukan dengan membagi populasi menjadi

beberapa strata (tingkatan) kemudian sampel diambil secara acak dari setiap tingkatan.

Teknik ini dilakukan bila populasinya heterogen.

Cara pengambilan sampel untuk setiap tingkatan tidak sama, harus sebanding dengan jumlah anggota

setiap tingkatan (proporsional). Rumusnya :

n

 N

 N

 Teknik Pengambilan dengan Acak Kluster

Mengambil beberapa kluster (kelompok) secara

acak kemudian semua atau sebagian dari

anggota masing-masing kelompok diambil

secara acak sebagai sampel.

Distribusi Sampel

 Ada empat macam distribusi sampel :

1.

Distribusi sampel rata-rata

2.

Distribusi sampel proporsi

3.

Distribusi sampel beda dua rata-rata

Distribusi Sampel Rata-rata

Bila populasi terbatas berukuran N dengan rata-rata

µ_x dan simpangan baku σ_x diambil sampel berukuran

n secara berulang tanpa pengembalian, maka diperoleh :

1. Distribusi sampel rata-rata 2. Simpangan baku X X = µ µ koreksi faktor disebut 1 - N n - N dimana 1 - N n - N n X X σ = σ

Distribusi Sampel Rata-rata

(lanjutan)

Bila n>=30, maka distribusi sampelnya akan

mendekati distribusi normal sehingga variabel random Z dapat dihitung dengan rumus :

X X X X

X

-X

Z

σ µ = σ µ =

Distribusi Sampel Rata-rata

(lanjutan)

Contoh :

Kecepatan maksimum 2000 mobil mempunyai rata-rata 135,5 km/jam dengan simpangan baku 5,2 km/jam. Jika sampel sebesar 150 mobil dipilih secara acak tanpa pengembalian, hitung probabilitas kecepatan maksimum rata-rata dari 150 mobil tersebut yang lebih besar dari 136,1 km/jam!

Jawab :

Jadi probabilitas kecepatan maksimum rata-rata mobil yang lebih besar dari 136,1 km/jam adalah P(X>136,1) = P(Z>1,46) = 1- P(Z<1,46)=1-0,9279=0.0721 1,46 41 , 0 135,5 -136,1 -X Z 0,41 1 2000 150 2000 . 150 5,2 1 - N n - N n X X X X = = σ µ = = − − = σ = σ

Distribusi Sampel Proporsi

Bila populasi berukuran N mengandung jenis p sebanyak X, maka proporsi p adalah X/N.

Jika dari populasi tersebut diambil sampel berukuran n yang juga

mengandung proporsi x/n dan sampel diambil berulang maka distribusi sampel proporsinya mempunyai :

1. Rata-rata 2. Simpangan baku 3. Variabel random  N X  p  pˆ = µ = µ

( )

1 - N n - N . n  p -1  p  pˆ = σ  pˆ  p - pˆ Z σ =

Distribusi Sampel Proporsi

(lanjutan)

Contoh :

Diketahui sebanyak 10% dari ibu-ibu rumah tangga di Yogyakarta memakai detergen A untuk mencuci pakaiannya. Jika dari populasi tersebut diambil sampel berukuran 100 :

a. Tentukan rata-rata dan simpangan baku dari populasi ibu-ibu rumah tangga yang memakai detergen A!

b. Bila dari sampel tersebut ternyata terdapat paling sedikit 15 ibu rumah tangga yang memakai detergen  A, tentukan probabilitasnya!

Jawab :

a. Rata-rata = 0,1

b. Proporsi yang memakai detergen A adalah 15/100 = 0,15

P(Z>1,67) = 0,5 - 0,4525 = 0,0475 ( ) 0,03 100 0,1.0,9 n  p -1  p  pˆ = = = σ 1,67 0,03 0,1 -0,15  p - pˆ Z  pˆ = = σ =

Distribusi Sampel Beda Dua Rata-rata

Terdapat 2 populasi. Populasi 1 sebanyak N₁ dan mempunyai rata-rata µ₁ serta simpangan baku σ₁. Populasi 2 sebanyak N₂mempunyai rata-rata µ₂ serta simpangan baku σ₂.

Dari populasi 1 diambil sampel acak sebanyak n₁ dengan rata-rata X₁ dan dari populasi 2 sampel acak sebanyak n₂ dengan rata-rata X₂ dimana kedua

sampel tersebut dianggap saling bebas.

Dari sampel X₁ dan X₂ dapat dibuat sampel baru yang juga bersifat acak, yaitu sampel beda dua rata-rata. Rata-rata dan simpangan baku dari distribusi

sampel beda dua rata-rata adalah :

( ) ( ) ( )

(

)

( ) 2 1 2 1 2 1 X X 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 1 2 1 X X 2 1 X X -2 X 1 X Z : random Variabel 1  N  N n n  N  N . n n :  baku Simpangan -: rata -Rata − − − σ µ µ − − = − − + − + σ + σ = σ µ µ = µ

Distribusi Sampel Beda Dua Rata-rata

(lanjutan)

Contoh :

Di suatu universitas diketahui rata-rata tinggi badan

mahasiswa laki-laki adalah 164 cm dengan simpangan baku 5,3 cm. Sedangkan mahasiswa perempuan

tinggi badannya rata-rata 153 cm dengan simpangan baku 5,1 cm. Dari dua populasi tersebut diambil

sampel acak yang saling bebas masing-masing 150 orang, berapa probabilitas rata-rata tinggi mahasiswa laki-laki paling sedikit 12 cm lebihnya daripada rata-rata tinggi mahasiswa perempuan?

Distribusi Sampel Beda Dua Rata-rata

(lanjutan)

(

)

( )

(

)

(

)

0,0475 0,4525 -0,5 1,67) P(Z asnya  probabilit sehingga 1,67 0,6 11 -12 Z sehingga 12 X -X maka  perempuan, mahasiswa  badan tinggi rata -rata daripada lebihnya cm 12 sedikit  paling laki -laki mahasiswa  badan tinggi rata -rata Karena 6 , 0 11 -X -X -X -X Z 0,6 150 1 , 5 150 5,3 n n :  baku Simpangan cm 11 153 -164 : rata -Rata  perempuan mahasiswa  badan tinggi rata -rata X laki -laki mahasiswa  badan tinggi rata -rata X Misal orang 150 n : 2 sampel dan cm 5,1 , cm 153 : 2  populasi orang 150 n : 1 sampel dan cm 5,3 , cm 164 : 1  populasi Diketahui : Jawab 2 1 2 1 X -X 2 1 2 1 2 2 2 2 2 1 2 1 X -X 2 1 X X 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1 2 1 2 1 = = ≥ = = ≥ = σ µ µ = = + = σ + σ = σ = = µ − µ = µ = = = = σ = µ = = σ = µ −

Distribusi Sampel Beda Dua Proporsi

 Ada 2 populasi. Populasi 1 berukuran N₁ terdapat jenis X₁ dengan proporsi X₁/N₁. Populasi 2 berukuran N₂ terdapat jenis X₂ dengan proporsi X₂/N₂. Bila populasi 1 diambil sampel acak berukuran n₁ maka sampel ini akan

mengandung jenis x₁ dengan proporsi x₁/n₁. Demikian juga dengan populasi 2 diambil sampel acak berukuran n₂ maka sampel ini akan mengandung jenis x₂ dengan proporsi x₂/n₂.

Sampel 1 dan 2 dapat membentuk sampel acak baru yaitu sampel beda dua proporsi. Distribusinya mempunyai :

( ) ( ) (

) (

)

(

)

(

) (

)

2 1 2 1 1  pˆ - pˆ 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 1 1 1  pˆ - pˆ 2 1 2  pˆ - pˆ  p - p - pˆ - pˆ Z : random Variabel 1  N  N n n  N  N . n  p -1  p n  p -1  p :  baku Simpangan  p - p : rata -Rata σ = − − + − + + = σ = µ

Distribusi Sampel Beda Dua Proporsi

(lanjutan)

Contoh :

5% barang di gudang timur cacat, sedangkan

barang yang cacat di gudang barat sebanyak

10%. Bila diambil sampel acak sebanyak 200

barang dari gudang timur dan 300 barang dari

gudang barat, tentukan probabilitas persentase

barang yang cacat dalam gudang barat 2%

Distribusi Sampel Beda Dua Proporsi

(lanjutan)

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( pˆ - pˆ 0,02) P (Z -1,3) 0,5 0,4032 0,9032 90,32% P adalah asnya  probabilit Jadi 1,3 -023 , 0 0,05 -02 , 0 Z : diperoleh sehingga 0,02  pˆ - pˆ maka  timur  gudang di daripada  banyak lebih 2%  barat gudang di cacat  barang Karena 023 , 0 0,05 -0,1 - pˆ - pˆ  p - p - pˆ - pˆ Z 0,023 200 0,95 0,05 300 0,9 0,1 n  p -1  p n  p -1  p sampel dalam timur gudang di cacat yang  barang  proporsi  pˆ sampel dalam  barat gudang di cacat yang  barang  proporsi  pˆ 0,05  p 200, n : timur Gudang 0,1  p 300, n :  barat Gudang : Jawab 2 1 2 1 2 1  pˆ - pˆ 2 1 2 1 2 2 2 1 1 1  pˆ - pˆ 2 1 2 2 1 1 2 1 2 1 = = + = > = > = = > = σ = = + = + = σ = = = = = =

LATIHAN

1. Pada suatu pengiriman barang yang terdiri dari

2000 tube elektronika telah diketahui terdapat 600 unit tube yang tidak memenuhi standar mutu. Jika sampel acak sebanyak 500 unit dipilih dari

populasi tersebut tanpa pengembalian, berapakah probabilitas sampel populasi yang tidak memenuhi standar mutu :

a. akan kurang dari 150/500

b. antara 144/500 sampai dengan 145/500 c. lebih besar dari 164/500

LATIHAN

(lanjutan)

2. Besi baja yang diproduksi perusahaan A

mempunyai rata-rata daya regang sebesar 4500 lbs dan variansi sebesar 40000 lbs, sedangkan yang diproduksi perusahaan B mempunyai rata-rata daya regang sebesar 4000 lbs dan variansi sebesar 

90000 lbs. Misalkan sampel random sebanyak 50 diambil dari perusahaan A dan sampel random sebanyak 100 diambil dari perusahaan B,

berapakah probabilitas rata-rata daya regang beda dua rata-rata dari dua sampel itu yang lebih besar  dari 600 lbs?

Sampel Random adalah sampel yang diambil dari suatu populasi dan tiap elemennya mempunyai peluang yang sama untuk terambil.

SAMPEL RANDOM & DISTRIBUSI

SAMPLING

Sifat Distribusi Sampling :

1. Jika sampel random dengan n elemen diambil

dari suatu populasi dengan mean µ dan

variansi , maka distribusi sampling harga mean

mempunyai mean = dan variansi =

2. Jika populasinya berdistribusi normal, maka distribusi

sampling harga mean berdistribusi normal juga

3. Jika sampel-sampel random diambil dari suatu populasi

yang berdistribusi sembarang dengan mean µ dan

variansi , maka untuk n > 30 :

Sampel Random :

1. Dengan Pengembalian :

dan atau

2. Tanpa Pengembalian :

dan

Jika N sangat besar relative terhadap n, (N tidak disebutkan), maka :

atau

Contoh :

1)   Suatu sampel random dengan 60 mahasiswa diambil

dari suatu populasi dengan N orang mahasiswa yang mempunyai IQ rata-rata (mean = 120) dan variansi = 280. (sampel diambil tanpa pengembalian)

c) Jika N = 400, hitung :

(i) (P(110

≤ ≤

 125 )

(ii) P( ≥130)

Jawab :

Diketahui : µ = 120 = 280

a) Jika N = 400 :

= µ = 120

P( ≥130) P(120≤ ≤130) = P(0 ≤ Z ≤ ) = P(0 ≤ Z ≤ 5,00)  A = 0,5 P( ≥130) = 0,5 – 0,5 = 0

= P(-4,63≤ Z ≤ 2,31 ) = 0,5 + 0,4896

2) Suatu sampel dengan 40 elemen diambil dari suatu

populasi dengan mean = 4,14 dan variansi = 84,64. Hitung probabilitas bahwa mean sampel terletak

antara 40 dan 45. Jawab :

Diketahui : µ = 41,4, = 86,64, n = 40

N tidak disebutkan (anggap bahwa N besar sekali) Distribusi sampling harga mean :

DISTRIBUSI NORMAL :

µ : nilai rata-rata populasi

xi : nilai variabel random

τ : standard deviasi populasi

SOAL :

Seorang siswa memperoleh nilai ujian matakuliah A=60, sedangkan nilai rata-rata kelas=65 dan standard

deviasi=10.

Pada matakuliah B ia memperoleh nilai ujian=62,

sedangkan nilai rata-rata kelas=66 dan standard deviasi=5 Pertanyaan : Pada matakuliah manakah siswa tersebut

SOAL :

Sebuah pabrik bola lampu setiap bulannya rata-rata

memproduksi sebanyak 25.000 unit bola lampu dengan standard deviasi=4000 unit. Bila produksi lampu selama satu periode tertentu dianggap berdistribusi normal, maka hitunglah probabilitas akan diperoleh :

a) Tingkat produksi perbulan antara 26.000 – 27.500 b) Tingkat produksi kurang dari 27.000 unit

SOAL :

Ujian negara statistik pada akhir tahun 1990 diikuti

sebanyak 2.000 peserta dengan rata-rata nilai ujian=58 dari variansi=100. Bila distribusi nilai ujian dianggap

berdistribusi normal, maka hitunglah probabilitas :

a) Peserta yang memperoleh nilai (Xi ≥ 70)

b) Bila nilai ujian untuk lulus=53,5 maka berapa persen yang tidak lulus

c) Bila terdapat 5% peserta yang memperoleh

nilai A, maka berapa nilai minimal (terendah) untuk memperoleh nilai A

PENDEKATAN DISTRIBUSI NORMAL MENJADI DISTRIBUSI BINOMIAL

SOAL :

Bila diketahui bahwa 64% anggota MPR yang dipilih

memiliki umur 50 tahun. Jika dari anggota MPR tersebut dipilih 100 orang anggota secara random maka

berapakah probabilitasnya :

a) Bahwa proporsi dari anggota MPR tersebut ≤ 60%

nya berumur 50 tahun

b) Bahwa proporsi dari anggota MPR tersebut

SOAL :

Pengawas produksi ban Bridgestone menemukan

bahwa rata-rata produksi ban yang cacat mencapai 2% dari total produksi yang ada. Bila dari seluruh produksi tersebut diambil sebanyak 400 ban secara random

(acak), maka berapakah probabilitasnya :

a) Ban yang cacat ≤ 3% (Xi ≤ 3%)

DISTRIBUSI SAMPLING MEAN : SOAL :

Pabrik alat elektronik SONY memproduksi sejenis

adaptor yang memiliki rata-rata umur pemakaian = 800

 jam(µ) dengan standar deviasi = 40 jam (S).

Hitunglah probabilitasnya bila dipilih 16 sampel secara random akan memiliki umur rata-rata :

a) Kurang dari 775 jam

b) Antara 780 jam – 820 jam c) Lebih dari 810 jam