TINJAUAN PUSTAKA
Pada bagian ini akan dijelaskan beberapa konsep dasar yang berkaitan dengan permasalahan, seperti definisi dan teorema yang dijadikan landasan dalam pene-litian ini.
2.1 Graf
Graf G adalah pasangan (V (G), E(G)) dengan V (G) adalah himpunan tidak kosong dan berhingga dari objek-objek yang disebut titik, dan E(G) adalah him-punan (mungkin kosong) pasangan tak berurut dari titik-titik yang berbeda di V (G) yang disebut sisi (Abdusakir et al.,2009). Titik disajikan dalam bentuk noktah atau lingkaran kecil dan sisi disajikan dalam bentuk garis atau kurva yang memasangkan dua titik. Titik pada graf dapat dinomori dengan huruf, seperti a, b, c, · · · , u, v, · · · , dengan bilangan asli, 1, 2, 3, · · · atau gabungan ked-uanya. Sedangkan sisi yang menghubungkan titik u dengan titik v dinyatakan dengan pasangan (u, v) atau dinyatakan dengan lambang e1, e2, · · · . Jadi, jika e
adalah sisi yang menghubungkan titik u dan titik v, maka e dapat ditulis sebagai e = (u, v), u dan v disebut sebagai titik ujung dari sisi e. Sisi-sisi yang memiliki titik ujung sama disebut sisi ganda dan suatu sisi yang menghubungkan sebuah titik ke dirinya sendiri disebut loop. Cara yang paling mudah dalam menya-jikan graf adalah dengan menggunakan gambar atau grafis, dengan bentuk inilah sifat-sifat graf dapat dikenali secara detail.
Contoh 2.1 Berikut merupakan contoh representasi grafis dari sebuah graf
Andaikan G adalah sebuah graf. Misalkan u dan v adalah titik di G. Sebuah jalan dengan panjang m yang menghubungkan titik u dan v di G merupakan se-buah barisan m sisi dalam bentuk {u = vv, u1}, {v1, v2}, ..., {vm−1, vm = v}, juga
dapat dinotasikan dengan u = v0 ↔ v1 ↔ v2 ↔ · · · ↔ vm−1 ↔ vm = v. Untuk
lebih sederhananya, sebuah jalan dengan panjang m yang menghubungkan titik u dan v dinotasikan dengan u ←→ v. Sebuah jalan dengan u 6= v dikatakant terbuka dan sebuah jalan dengan u = v dikatakan tertutup. Sebuah jalan memu-ngkinkan terdapat sisi yang berulang. Sebuah jalan tanpa perulangan sisi disebut sebagai lintasan. Lebih lanjut dalam sebuah lintasan sangat memungkinkan juga terdapat penggunaan titik secara berulang. Sebuah lintasan tanpa pengulan-gan titik, kecuali mungkin titik-titik ujungnya, disebut sebagai sebuah lintasan sederhana. Panjang lintasan adalah jumlah sisi pada lintasan tersebut. Sebuah lintasan dikatakan terbuka apabila u 6= v dan dikatakan tertutup (cycle) apabila u = v. Sebuah lingkaran adalah suatu lintasan tertutup. Jarak dari u dan v, yaitu d(u, v) merupakan panjang dari lintasan terpendek yang menghubungkan u dan v.
Teorema 2.1 Andaikan G adalah sebuah graf. Setiap jalan yang menghubungkan titik u dan titik v di G memuat lintasan yang menghubungkan titik u dan titik v. Bukti. Andaikan W : u = v0 ↔ v1 ↔ v2 ↔ · · · ↔ vm = v adalah sebuah
jalan yang menghubungkan titik u dan titik v. Jika semua titik v1, v2, · · · vt−1
adalah berbeda, maka W adalah sebuah lintasan yang menghubungkan u dan v. Jika tidak, maka terdapat bilangan i dan j dengan i ≤ j sehingga vi = vj.
Buang jalan vi ↔ vi+1 ↔ · · · ↔ vj−1 sehingga dihasilkan sebuah jalan W0 yang
menghubungkan u dengan v dan lebih pendek dari jalan W . Jika W0 memuat titik tengah yang berulang, maka ulangi proses di atas sehingga pada akhirnya ditemukan sebuah jalan W00 yang tidak memuat titik tengah berulang. jalan W00 adalah sebuah lintasan yang menghubungkan titik u dengan titik v.
2.2 Matriks Ketetanggaan (Adjacency)
Merepresentasikan graf secara grafis merupakan cara yang mudah untuk men-jelaskan suatu graf, tetapi memiliki kelemahan ketika akan mempelajari graf melalui hitungan matematis atau ketika mengolah data graf menggunakan ap-likasi komputer. Merepresentasikan graf dalam bentuk matriks akan memberikan
kemudahan untuk menyelesaikan permasalahan yang melibatkan graf dengan bantuan komputer.
Matriks ketetanggaan dari graf G, dinotasikan dengan A(G), adalah matriks (n × n) dengan unsur pada baris ke-i dan kolom ke-j bernilai 1 jika titik vi
terhubung langsung dengan titik vj serta bernilai 0 jika titik vi tidak terhubung
langsung dengan titik vj.
aij = 1, jika vi ke vj ∈ E(G) 0, jika vi ke vj ∈ E(G)/
Oleh definisi matriks ketetanggaan, diperoleh aij = aji untuk semua 1 ≤ i, j ≤ n.
Akibatnya, matriks ketetanggaan A(G) dari G adalah matriks simetris. Contoh 2.2 Berikut adalah sebuah graf
Gambar 2.2 : Graf 4-wheel (W)
Matriks ketetanggaan dari graf pada gambar 2.2 adalah
A(G) = 0 1 0 1 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0
2.3 Graf Terhubung
Titik u dan v di G dikatakan terhubung jika terdapat sebuah jalan di G yang menghubungkan titik u dengan titik v. Sebuah titik dalam sebuah graf adalah ter-hubung dengan dirinya sendiri. Sehingga relasi 2 titik terter-hubung adalah refleksif. Jika u dan v adalah 2 titik yang terhubung maka terdapat jalan yang menghu-bungkan u dengan v, tetapi dengan bergerak mundur diperoleh sebuah jalan yang menghubungkan v dengan u. Sehingga v terhubung dengan u. Jadi relasi 2 titik terhubung adalah relasi simetrik. Selanjutnya jika u dan v adalah terhubung dan titik v dan w adalah terhubung, maka terdapat jalan yang menghubungkan u dengan v dan jalan yang menghubungkan v dengan u. Hal ini berakibat bahwa jalan yang menghubungkan u dengan v, kemudian dilanjutkan dengan jalan yang menghubungkan v dengan w adalah sebuah jalan yang menghubungkan u de-ngan w. Sehingga titik u terhubung dede-ngan titik w. Jadi relasi 2 titik terhubung adalah transitif. Dapat disimpulkan bahwa relasi 2 titik terhubung adalah relasi ekivalensi.
Kelas ekivalensi dari relasi 2 titik terhubung disebut sebagai komponen ter-hubung dari graf G. Sebuah graf G dikatakan terter-hubung jika G mempunyai tepat satu komponen terhubung, artinya sebuah graf dikatakan terhubung jika untuk setiap pasangan titik u dan v terdapat sebuah jalan yang menghubungkan titik u dengan titik v. Berikut diberikan sebuah cara untuk mendeteksi keterhubungan dari sebuah graf.
Teorema 2.2 Andaikan G adalah sebuah graf atas n titik dengan matriks kete-tanggaan A. Graf G adalah terhubung jika dan hanya jika matriks A + A2+ · · · +
An−1 mempunyai entri yang semuanya positif.
Bukti. Andaikan G adalah sebuah graf terhubung dan misalkan B = A + A2 + · · · + An−1. Teorema 2.1 menjamin bahwa untuk setiap pasangan titik i dan j
terdapat sebuah lintasan sederhana yang menghubungkan titik i dengan titik j. Karena G mempunyai n titik dan pada lintasan sederhana tidak terdapat titik berulang kecuali i = j, jika i 6= j terdapat lintasan sederhana dengan panjang kurang dari n yang menghubungkan i dengan j. Hal ini berarti untuk setiap pasangan titik i dan j yang berbeda, terdapat sebuah bilangan bulat positif k dengan 1 ≤ k ≤ n − 1 sehingga entri a(k)ij ≥ 0. Sehingga semua entri selain entri diagonal dari matriks B adalah positif. JIka i = j, maka terdapat sebuah
lingkaran dengan panjang 2 yang memuat titik i, sehingga entri a(2)ii ≥ 0 untuk semua i = 1, 2, · · · , n. Jadi entri diagonal dari matriks B adalah positif. Dapat disimpulkan bahwa semua entri dari matriks B = A + A2 + · · · + An−1 adalah
positif.
Selanjutnya, misalkan setiap entri dari matriks A + A2+ · · · + An−1 adalah
positif. Akibatnya untuk setiap pasangan titik i dan j terdapat sebuah bilangan positif k dengan 1 ≤ k ≤ n − 1 sehingga a(k)ij ≥ 0. Hal ini berarti untuk se-tiap pasangan titik i dan j di G terdapat sebuah jalan dengan panjang k yang menghubungkan i dan j. Sehingga oleh definisi G adalah sebuah graf terhubung. Contoh 2.3 Berikut contoh graf terhubung dan tidak terhubung
Gambar 2.3 : Contoh graf terhubung dan graf tidak terhubung
Gambar 2.3(a) menunjukkan graf terhubung karena terdapat jalan dari seti-ap pasangan titik di G dan gambar 2.3(b) menunjukkan graf yang tidak terhubung karena tidak terdapat jalan yang menghubungkan titik v5 dengan titik lainnya.
Proposisi-proposisi berikut menjelaskan beberapa sifat-sifat jalan pada se-buah graf terhubung.
Proposisi 2.3 Misalkan G merupakan sebuah graf terhubung dengan u, v ∈ G. Maka, setiap jalan u ←→ v dapat diperpanjang menjadi jalan um m+2t←→ v untuk suatu bilangan bulat positif t.
Bukti. Ambil u dan v merupakan titik di G dan misalkan W : u = v0 ↔ v1 ↔
v2 ↔ · · · ↔ vm−1 ↔ vm = v merupakan jalan u m
←→ v di G. Maka jalan W0 yang
dimulai dari u berjalan ke v sepanjang jalan W dan kemudian berpindah t kali mengelilingi lingkaran v ↔ vt−1 ↔ v merupakan sebuah jalan u
m+2t
Proposisi 2.4 Misalkan G merupakan sebuah graf terhubung dengan u, v, w adalah titik yang berbeda di G dan m adalah sebuah bilangan positif. Terdapat u←→ w dan vm ←→ w jika dan hanya jika terdapat um ←→ v di G.2m
Bukti. Andaikan u dan v adalah dua titik berbeda di G sehingga terdapat u←→m w dan v ←→ w untuk suatu titik w di G. Maka um ←→ w yang dilanjutkanm dengan jalan w ←→ v adalah sebuah um ←→ v. Sebaliknya, asumsikan bahwa2m
W : u = v0 ↔ v1 ↔ v2 ↔ · · · ↔ v2m−1↔ v2m= v
merupakan u←→ v di G. Jika w = v2m m, maka terdapat u m
←→ w dan v←→ w dim
G.
2.4 Primitifitas suatu Graf
Sebuah graf terhubung G dikatakan primitif, jika terdapat bilangan bulat positif k sedemikian hingga untuk setiap pasangan titik u dan v di G terdapat jalan u←→ v.k
Teorema 2.5 Andaikan G adalah suatu graf, G dikatakan primitif jika dan hanya jika terhubung dan mengandung lingkaran dengan panjang ganjil.
Bukti. Andaikan G adalah suatu graf dan G adalah primitif, maka terdapat bilangan bulat positif k sehingga untuk setiap pasangan titik u dan titik v di G terdapat u ←→ v. Akibatnya, G adalah terhubung. Untuk setiap pasangank titik u dan titik v di G terdapat jalan dengan panjang m untuk semua m ≥ k. Misalkan m adalah ganjil. Untuk setiap titik u dan titik v di G dapat dibentuk
jalan dengan panjang ganjil.
Andaikan u ←→ u adalah jalan yang menghubungkan titik u ke dirinya sendiri. Misalkan puv adalah lintasan yang menghubungkan titik u ke titik v.
Jalan u ←→ v dapat dibentuk dari titik u ke titik v melalui lintasan puv dan
kembali ke titik u melalui lintasan puvyang sama. Misalkan l(wuu) adalah panjang
jalan dari titik u ke titik u. l(wuu) adalah genap, agar wuu mempunyai panjang
ganjil maka wuu harus melewati 1 lingkaran ganjil disebarang titik, misalkan titik
x. Jalan wuu yang terdiri dari lintasan pux, lintasan pxx, dan lintasan pxu adalah
suatu jalan wuu dengan panjang ganjil. Sehingga untuk setiap titik u dan v di G
Contoh 2.4 Berikut contoh graf primitif
Gambar 2.4 : Contoh graf primitif
Pada Gambar 2.4, graf tersebut merupakan graf primitif karena memuat lingkaran dengan panjang ganjil 3 yaitu v1 ↔ v5 ↔ v2 ↔ v1.
2.5 Matriks Tak Negatif dan Eksponen dari Graf 2.5.1 Matriks Tak Negatif
Matriks tak negatif A merupakan sebuah matriks yang setiap entri aij dari A
adalah bilangan bulat tak negatif. Jika setiap entri aij dari matriks A adalah
bilangan bulat positif, maka matriks tersebut disebut matriks positif. Contoh matriks tak negatif dan matriks positif dapat dilihat pada 2 buah matriks berikut.
A = 1 2 0 4 0 1 1 1 0
, matriks tak negatif; B = 4 2 6 8 4 4 8 7 1 , matriks positif.
Secara umum, sebuah matriks ketetanggaan A dikatakan primitif jika terdapat sebuah bilangan bulat positif k sedemikian sehingga Ak adalah sebuah matriks
positif. Matrik ketetanggaan dari graf pada gambar 2.4 adalah sebagai berikut
A(G) = 0 1 0 1 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0
Matriks ketetanggaan dikatakan primitif jika semua entri ak
ij dari matriks
Ak bernilai positif. Perhatikan matriks berikut
a. Untuk k = 1; diperoleh A1 = 0 1 0 1 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0
Bukan merupakan matriks positif karena terdapat 11 entri bernilai 0 yang bukan merupakan bilangan bulat positif.
b. Untuk k = 2; diperoleh A2 = 3 1 3 0 1 1 3 1 2 2 3 1 3 0 1 0 2 0 2 2 1 2 1 2 3
Bukan merupakan matriks positif karena terdapat 4 entri bernilai 0 yang bukan merupakan bilangan bulat positif.
c. Untuk k = 3; diperoleh A3 = 2 7 2 6 7 7 4 7 2 5 2 7 2 6 7 6 2 6 0 2 7 5 7 2 4
Bukan merupakan matriks positif karena terdapat 1 entri bernilai 0 yang bukan merupakan bilangan bulat positif.
d. Untuk k = 4; diperoleh A4 = 20 11 20 4 11 11 19 11 14 18 20 11 20 4 11 4 14 4 12 14 11 18 11 14 19
Karena seluruh entri aij ≥ 0, maka A4 merupakan matriks positif, sehingga
2.5.2 Eksponen dari Graf
Eksponen dari sebuah graf G merupakan bilangan bulat positif terkecil k sehingga untuk setiap pasang titik u dan v di G terdapat jalan dari u ke v dengan panjang k dan dinotasikan dengan exp(G). Eksponen lokal u dan v, dinotasikan expG(u, v),
merupakan bilangan bulat terkecil k sehingga u ←→ v untuk semua m ≥ k,m sehingga
exp(G) = maxu,v∈V (G){expG(u, v)}
Teorema 2.6 Andaikan G adalah sebuah graf dan A = (aij) adalah sebuah
ma-triks ketetanggaan dari G. Misalkan ak
ij adalah elemen (i, j) dari matriks Ak,
maka ak
ij menyatakan banyaknya jalan berbeda dengan panjang k yang
menghu-bungkan titik i dengan titik j di G.
Bukti. Pembuktian dilakukan dengan induksi matematika. Untuk k = 1, entri a1ij = aij dari A menyatakan banyaknya jalan dengan panjang 1 yang menghu-bungkan titik i dengan titik j. Asumsikan bahwa entri akij dari Ak menyatakan banyaknya jalan dengan panjang k yang menghubungkan titik i dengan titik j. Selanjutnya akan diperlihatkan bahwa a(k+1)ij adalah banyaknya jalan dari i ke j dengan panjang k + 1 di G dengan k ≥ 1.
Setiap jalan dari titik i ke j di G dengan panjang k + 1 yang terdiri dari jalan i ke l dengan panjang k untuk l = 1, 2, · · · , n, dan dilanjutkan dengan sisi dari titik l ke titik j, sehingga ak
ilalj menyatakan jalan dengan panjang k + 1
dari titik i ke titik j di G untuk k = 1, 2, · · · , n. Jika tidak terdapat jalan yang panjangnya k dari titik i ke titik j di G, maka a(k)ij = 0 sehingga a(k)ij aij = 0.
Hal ini berakibat tidak terdapat jalan yang panjangnya k + 1 dari titik i ke titik j yang melalui titik l di G sehingga diperoleh banyaknya jalan dengan panjang k + 1 dari titik i ke titik j di G adalah
a(k)i1 a1j + a(k)i2 a2j+ ... + a(k)inanj = n X i=1 akilalj karena Ak+1 = AkA maka a(k)ij = n X akilalj
Sehingga a(k+1)ij adalah menyatakan banyaknya jalan dari titik i ke titik j yang
panjangnya k + 1 di G.
Contoh matriks untuk graf pada Gambar 2.4, nilai k = 6 yang diperoleh adalah jalan dengan panjang terkecil dari setiap pasang titik yang ada di G, maka eksponen dari graf pada Gambar 2.4 adalah exp(A)=exp (G(A))=4.
2.6 Scrambling Index
2.6.1 Scrambling Index Graf Primitif
Sebuah graf dikatakan primitif jika dan hanya jika terhubung dan mengandung lingkaran dengan panjang ganjil. Menurut Alkelbek dan Kirkland (2009a), untuk titik u, v dan w dari graf G, jika {u, w}, {v, w} ∈ E(G), maka titik w dikatakan sebagai tetangga persekutuan luar bersama (common out-neighbour) dari titik u dan v. Scrambling index dari graf primitif G adalah bilangan bulat positif terkecil k sehingga untuk setiap pasang dua titik u dan v yang berbeda di G, terdapat sebuah titik w dengan sifat terdapat u ↔ w dan vk ↔ w, yang dapatk juga dikatakan sebagai bilangan bulat terkecil k sehingga setiap pasang titik dari G mempunyai tetangga persekutuan luar bersama di Gk. Scrambling index dari
G akan dinotasikan sebagai k(G). Untuk setiap dua titik u dan v yang berbeda, scrambling index lokal dari u dan v adalah bilangan bulat positif ku,v(G) yang
didefinisikan sebagai
ku,v(G) = min w∈V{k : u
k
↔ w dan v ↔ w}k
Dari definisi scrambling index k(G) dan scrambling index lokal ku,v(G)
diperoleh hubungan k(G) ≥ ku,v(G). Karena G adalah graf terhubung, maka
untuk setiap bilangan bulat l ≥ ku,v(G) dapat ditemukan sebuah titik w
0
sehing-ga terdapat u ↔ wl 0 dan v ↔ wl 0. Hal ini mengakibatkan nilai dari k(G) yang juga disebut dengan scrambling index global adalah maksimum dari nilai-nilai scrambling index lokal ku,v(G) yang didefinisikan sebagai berikut:
k(G) = max
Berdasarkan definisi, scrambling index lokal dari graf pada Gambar 2.4 sebagai berikut, kv1,v2(G) =min{2, 2, 2, 3, 1} = 1 kv1,v3(G) =min{2, 1, 2, 1, 1} = 1 kv1,v4(G) =min{3, 2, 3, 4, 2} = 2 kv1,v5(G) =min{2, 1, 2, 3, 2} = 1 kv2,v3(G) =min{2, 2, 2, 3, 1} = 1 kv2,v4(G) =min{1, 2, 1, 2, 2} = 1 kv2,v5(G) =min{1, 2, 1, 2, 2} = 1 kv3,v4(G) =min{3, 2, 4, 3, 2} = 2 kv3,v5(G) =min{2, 1, 2, 3, 2} = 1 kv4,v5(G) =min{1, 2, 1, 2, 2} = 1
Dari definisi diperoleh
k(G) = max
u,v∈V (G){ku,v(G)}
= max
u,v∈V (G){1, 1, 2, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 1}
= 2
Sehingga scrambling index dari graf diatas k(G) = 2.
Scrambling index dari suatu graf dapat diperoleh dari matriks ketetang-gaannya. Scrambling index dari matriks primitif A adalah bilangan bulat positif terkecil k sedemikian sehingga untuk setiap dua baris dari Ak memiliki paling
se-dikit satu entri positif pada kolom yang sama, dan dinotasikan oleh k(A). Scram-bling index dari matriks primitif A juga dapat didefinisikan sebagai bilangan bulat positif terkecil k sedemikian sehingga Ak(AT)k seluruh entrinya bernilai positif. Perhatikan contoh matriks dari graf primitif pada Gambar 2.4.
1. Untuk k = 1, diperoleh A1 = 0 1 0 1 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0
A tidak memiliki scrambling index 1, karena pada baris ketiga dan keempat tidak memiliki entri positif di kolom yang sama.
2. Untuk k = 2, diperoleh A2 = 3 1 3 0 1 1 3 1 2 2 3 1 3 0 1 0 2 0 2 2 1 2 1 2 3
karena setiap dua baris dari Ak dengan k = 2 memiliki paling sedikit satu entri positif pada kolom yang sama, maka k(A)=2.
Chen dan Liu (2010) memperlihatkan hubungan antara scrambling index dan eksponen dari graf primitif, jika G adalah graf primitif dengan order n ≥ 2 dan u, v adalah pasangan titik dari G
ku,v(G) ≤ expG(u, v) 2 dan k(G) = exp(G) 2
dimana dae adalah integer terkecil ≥ a.
Graf pada Gambar 2.4 memiliki exp(G) = 4, maka nilai scrambling indexnya adalah k(G) = exp(G) 2 = 4 2 = 2
2.6.2 Scrambling Index dari Lingkaran Ganjil
Graf berbentuk cycle (s-graf cycle) dengan titik sebanyak s dengan s ≥ 3 disebut graf cycle dan ditulis Cs. Graf cycle yang banyak titiknya ganjil disebut cycle
sering disebut sebagai graf lingkaran karena gambarnya dapat dibentuk menjadi lingkaran. Gao dan Shao (2013) memberikan teori mengenai scrambling index pada lingkaran dengan panjang s adalah ganjil,
Cs: v1 ↔ v2 ↔ · · · ↔ vs− 1 ↔ vs ↔ v1
Proposisi 2.7 Andaikan Cs adalah sebuah lingkaran dengan panjang ganjil s ≥ 3,
maka k(Cs) = (s − 1)/2.
Bukti. Jalan yang menghubungkan titik v1 dengan vs dengan panjang genap
terpendek adalah
v1 ↔ v2 ↔ · · · ↔ vs−1 ↔ vs
dengan panjang s − 1. Oleh proposisi 2.4 terdapat titik w ∈ Cs sehingga ada
jalan v1 (s−1)/2 ←→ w dan vs (s−1)/2 ←→ w. Sehingga kv1,vs(Cs) = (s − 1)/2, Akibatnya k(Cs) ≥ (s − 1)/2.
Selanjutnya diperlihatkan bahwa k(Cs) ≤ (s−1)/2. Pertama, diperlihatkan
bahwa untuk setiap dua titik berbeda vidan vj di Csterdapat jalan yang
menghu-bungkan vidan vj dengan panjang genap m ≤ (s−1). Jika d(vi, vj) adalah genap,
maka terdapat jalan dari vi ke vj dengan panjang genap m = d(vi, vj) ≤ s − 1.
Jika d(vi, vj) adalah ganjil, maka terdapat jalan yang menghubungkan u dan v
dengan panjang genap m = s − d(vi, vj) ≤ s − 1. Proposisi 2.3 menjamin bahwa
untuk setiap dua titik vi dan vj yang berbeda terdapat vi (s−1)
←→ vj. Oleh proposisi
2.4, untuk setiap dua titik u dan v yang berbeda terdapat titik w di Cs sehingga
ada jalan vi
(s−1)/2
←→ w dan vj
(s−1)/2
←→ w. Sehingga k(Cs) ≤ (s − 1)/2, Karena
ter-penuhi k(Cs) ≥ (s − 1)/2 dan k(Cs) ≤ (s − 1)/2, maka k(Cs) = (s − 1)/2.
2.6.3 Graf dengan Scrambling Index 1
Walni (inpress) memberikan syarat perlu dan cukup untuk graf dengan scram-bling index 1.
Proposisi 2.8 Andaikan G adalah sebuah graf primitif dengan n ≥ 3 titik dan tanpa loop. Scrambling index k(G) = 1 jika dan hanya jika memenuhi dua kondisi
berikut.
1. Setiap titik dari graf G berada pada sebuah segitiga.
2. Untuk titik u dan v yang terletak pada dua segitiga berbeda, terdapat jalan dengan panjang 2 yang menghubungkan u dan v.
Bukti. Andaikan k(G) = 1, dan misalkan u adalah sebarang titik di G. Karena G terhubung, maka terdapat sebuah titik v di G sehingga {u, v} adalah sebuah sisi di G. Karena k(G) = 1, terdapat sebuah titik w sehingga {u, w} dan {v, w} masing-masing adalah sebuah sisi dari graf G. Akibatnya, sisi {u, v}, {u, w} dan {v, w} membentuk sebuah segitiga yang memuat u. Jadi setiap titik di G terletak pada sebuah segitiga. Andaikan x dan y adalah dua titik di graf G yang terletak pada sebuah segitiga berbeda. Karena k(G) = 1, maka terdapat sebuah titik z di G sehingga {x, z} dan {y, z} masing-masing adalah sebuah sisi pada graf G. Akibatnya jalan x ↔ z ↔ y adalah sebuah jalan yang menghubungkan x dan y dengan panjang 2.
Sekarang misalkan G adalah primitif dan memenuhi kondisi (1) dan kondisi (2) pada proposisi 2.8. Untuk setiap dua titik u dan v yang berbeda diperlihatkan bahwa ku,v(G) = 1. Jika u dan v terletak pada sebuah segitiga, maka terdapat
titik w pada segitiga sehingga ada jalan u←→ w dan v1 ←→ w. Jadi k1 u,v(G) = 1.
Jika u dan v berada pada dua segitiga yang berbeda, maka kondisi (2) menjamin bahwa terdapat jalan dengan panjang 2 yang menghubungkan u dan v. Hal ini berakibat terdapat titik w di graf G sehingga ada u ↔ w dan v1 ↔ w. Jadi1 ku,v(G) = 1. Oleh definisi k(G) = max
