1
1
MATEMATIKA
MATEMATIKA
SET 10
SET 10
POLINOMIAL & TEOREMA SISA
POLINOMIAL & TEOREMA SISA
A.
A. RINGKASAN RINGKASAN MAMATERITERI
a.
a. Suatu Suatu polinompolinom p p(( x x ) bila dibagi () bila dibagi ( x x – –aa) maka sisanya (S)) maka sisanya (S)
S =
S = p p((aa))
b.
b. Suatu Suatu polinompolinom p p(( x x ) bila dibagi oleh () bila dibagi oleh ( x x – a)( – a)( x x – b) maka sisanya (S( – b) maka sisanya (S( x x ))))
S S x x x x aa b b aa p p bb x x bb a a bb p p aa
(
(
)
)
==(
(
−−)
)
(
(
)
)
++(
(
)
)
(
(
)
)
− − − − − − c.c. Suatu Suatu polinompolinom p p(( x x ) bila dibagi oleh () bila dibagi oleh ( x x – –aa)()( x x – –bb)()( x x – –c c ) maka sisanya (S() maka sisanya (S( x x ))))
S S x x x x bb xx c c a b a c a b a c p p aa x x aa xx c c b a b c b a b c p p bb x x aa
(
(
)
)
(
(
)
)
(
(
)
)
(
(
)
)
(
(
)
)
(
(
)
)
(
(
)
)
(
(
)
)
(
(
)
)
(
(
)
)
(
(
)
)
= = − − −− ++ ++ − − −− − − −− − − −− − −(
(
(
(
)
)
(
(
)
)
(
(
)
)
(
(
)
)
(
(
)
)
x x bb c a c b c a c b p p c c − − − − −− d. Bilad. Bila p p(( x x ) habis dibagi () habis dibagi ( x x – –aa))
p
p((aa) = 0) = 0
e.
e. Bila Bila (( x x – –aa) faktor dari) faktor dari p p(( x x ) maka p(a) = 0) maka p(a) = 0
f.
f. Untuk Untuk polinom polinom derajat derajat 3, 3, p(x) p(x) = = 00
ax
ax 33 + + bx bx 22 + +cx cx + +d d = 0 yang memiliki akar-akar = 0 yang memiliki akar-akar x x 1
1,, x x 22,, x x 33 maka berlaku maka berlaku
1. 1. x x xx x x bb a a 1 1++ 22 ++ 33 ==- -2. 2. x x xx xx xx xx x x c c a a 1 1 22 ++ 11 33++ 22 33 ==
1
1
0
0
M M A A T T E E R R I I D D A A N N L L A A T T I I H H A AN N S S B B M M P P T T N N T T O O P P L L E E V V E E L L - - X X I I I I
S S M M
A A
2
2
3. 3. x x xx x x d d a a 1 1× × 22×× 33 == g. Untukg. Untuk p p(( x x ) polinom derajat 4 dan) polinom derajat 4 dan p p(( x x ) = 0) = 0
ax
ax 44 + +bx bx 33 + +cx cx 22 + +dx dx + +ee = 0 yang memiliki akar-akar = 0 yang memiliki akar-akar x x 1
1,, x x 22,, x x 33 maka berlaku maka berlaku
1. 1. x x xx xx x x bb a a 1 2 3 4 1++ 2++ 3++ 4 ==- -2. 2. x x xx xx xx xx xx xx xx xx xx xx x x c c a a 1 1 22 ++ 11 33 ++ 11 44 ++ 22 33 ++ 22 44 ++ 33 44 == 3. 3. x x xx xx xx xx xx xx xx xx xx xx x x d d a a 1 1 22 33 ++ 11 22 44 ++ 11 33 44 ++ 22 33 44 == - -4. 4. x x xx xx x x ee a a 1 2 3 4 1× × 2× × 3×× 4 == h.
h. Mencari akar Mencari akar polinom dpolinom derajat tiga erajat tiga atau lebih atau lebih bisa menggunakan bisa menggunakan skema Hornerskema Horner
Contoh Soal
Contoh Soal
1. Jika
1. Jika x x 44 + + ax ax 33 + ( + (bb – 10) – 10) x x 22 + + 1515 x x – 6 = – 6 = f f (( x x )()( x x – 1) dengan – 1) denganf f (( x x ) habis dibagi) habis dibagi x x – 1, maka nilai – 1, maka nilai bb
adalah . . . .
adalah . . . . (Soal SBMPTN Tahun 2013 Kode 130)(Soal SBMPTN Tahun 2013 Kode 130)
A. A. 22 B. B. 11 C. C. 00 D. -1 D. -1 E. -2 E. -2 Pembahasan: Pembahasan: f
f (( x x ) habis dibagi () habis dibagi ( x x – 1) – 1)
f f (1) = 0(1) = 0 x x 44 + +ax ax 33 + ( + (bb – 10) – 10) x x 22 + 15 + 15 x x – 6 = – 6 =f f (( x x )()( x x – 1) ... (1) – 1) ... (1) substitusi substitusi x x = 1 = 1 1 + 1 +aa + +bb – 10 + 15 – 10 + 15 – 6 – 6 = 0= 0 a a + +bb = 0 = 0 ... (2)... (2) turunkan pers (1) turunkan pers (1) 4 4 x x 33 + 3 + 3ax ax 22 + 2( + 2(bb – 10) – 10) x x + 15 = + 15 =f f ’(’( x x )()( x x – 1) + – 1) + f f (( x x ) . 1) . 1 masukkan masukkan x x = 1 = 1 4 + 3 4 + 3aa + 2 + 2bb – 20 – 20 + 15 = + 15 = 00 3 3aa + 2 + 2bb = 1 . . . (3) = 1 . . . (3)
eliminasi (2) dan (3) akan didapat
eliminasi (2) dan (3) akan didapat
b
b = -1 = -1
Jawaban: D Jawaban: D
3
3
2. Diketahui2. Diketahuigg(( x x ) =) =ax ax 22 – –bx bx + +aa – –bbhabis dibagihabis dibagi x x – 1. Jika – 1. Jikaf f (( x x ) adalah suku banyak yang bersisa) adalah suku banyak yang bersisa
a
a ketika dibagi ketika dibagi x x – 1 dan bersisa 3 – 1 dan bersisa 3ax ax + + bb22 + 1 ketika dibagi + 1 ketika dibagi gg(( x x ), maka nilai), maka nilai aa adalah . . . . adalah . . . .
(Soal SNMPTN Tahun 2011 Kode 253) (Soal SNMPTN Tahun 2011 Kode 253)
A. -1 A. -1 B. -2 B. -2 C. C. 11 D. D. 22 E. E. 33 Pembahasan: Pembahasan: • • gg(1) = 0(1) = 0 →→ aa – –bb + +aa – –bb = 0 = 0 f f (1) =(1) =aa 22aa – 2 – 2bb = 0 = 0 a a = =bb . . . (1) . . . (1) • • f f (( x x ) :) :gg(( x x ))→→SS(( x x ) = 3) = 3ax ax + +bb22 + 1 + 1 f f (( x x ) =) =gg(( x x ) .) . hh(( x x ) ) + 3+ 3ax ax + +bb22 + 1 + 1 substitusi substitusi x x = 1 = 1 f f (1) =(1) =gg(1) .(1) .hh(1) + 3(1) + 3aa + +bb22 + 1 + 1 a a = 0 . = 0 . hh(1) + 3(1) + 3aa + +bb22 + 1 + 1 2 2aa + +bb22 + 1 = 0 + 1 = 0 substitusi substitusi (1)(1) 2 2aa + +aa22 + 1 = 0 + 1 = 0 ( (aa + 1) + 1)22 = 0 = 0 a a = -1 = -1 Jawaban: Jawaban: AA 3. Diketahui
3. Diketahui f f (( x x ) ) == x x 33 – – ((aa –– bb)) x x 22 –– x x ++ bb + 1 habis dibagi oleh ( + 1 habis dibagi oleh ( x x – 1). Jika kurva – 1). Jika kurva y y == f f (( x x ))
bersinggungan dengan garis
bersinggungan dengan garis x x ++ y y = -1 di titik (2, -3), maka nilai = -1 di titik (2, -3), maka nilaiaa adalah . . . . adalah . . . .(Soal SNMPTN(Soal SNMPTN Tahun 2011 Kode 559) Tahun 2011 Kode 559) A. -4 A. -4 B. -2 B. -2 C. C. 11 D. D. 33 E. 5 E. 5 Pembahasan: Pembahasan: • • f f (1) (1) = = 00 1 – ( 1 – (aa – –bb) – 1 +) – 1 + bb + 1 = 0 + 1 = 0 --aa + 2 + 2bb = -1 = -1 . . . (1). (1) •
• f f (( x x ) bersinggungan dengan) bersinggungan dengan x x + + y y = -1 = -1
f f ’(’( x x ) = m) = mgsgs = -1 = -1 3 3 x x 22 – 2( – 2(aa – –bb)) x x – 1 = m – 1 = m gs gs
4
4
substitusi substitusi x x = 2 = 2 3(2)2 3(2)2 – – 2(2(aa – –bb))22 – 1 = -1 – 1 = -1 12 12 – – 44aa + 4 + 4bb – 1 = -1 – 1 = -1 -4 -4aa + 4 + 4bb = -12 = -12 a a – –bb = 3 . . . (2) = 3 . . . (2) (1)(1) dan dan (2) (2) dieliminasi dieliminasi makamaka aa = 5 = 5
Jawaban: E Jawaban: E
4.
4. Diketahui Diketahui sisa sisa pembagianpembagianf f (( x x ) =) = x x 44 – –aa22 x x 33 + +aa22 x x 22 – 2 – 2aa – 3 oleh – 3 oleh x x + 1 adalah + 1 adalahaa dan danaa > 0. Titik > 0. Titik
minimum grafik
minimum grafikf f adalah . . . . adalah . . . . (SNMPTN 2011 Kode 559)(SNMPTN 2011 Kode 559)
A. A. (1, (1, -6)-6) B. B. (0, (0, -7)-7) C. C. (2, (2, -7)-7) D. D. (-6, (-6, 1)1) E. E. (1, (1, -7)-7) Pembahasan: Pembahasan: • • f f (-1) =(-1) =aa 1 + 1 +aa22 + +aa22 + – 2 + – 2aa – 3 = – 3 =aa 2 2aa22 – 3 – 3aa – 2 = 0 – 2 = 0 (2 (2aa + 1)( + 1)(aa – 3) = 0 – 3) = 0 a a = - = - 11 2 2 atau atauaa = 2= 2 • • ambilambilaa = 2 ( = 2 (aa > 0) > 0) f f (( x x ) =) = x x 44 – 4 – 4 x x 33 + 4 + 4 x x 22 – 7 – 7 f f ’( ’( x x ) = 4) = 4 x x 33 – 12 – 12 x x 22 + 8 + 8 x x f f “(“( x x ) = 12) = 12 x x 22 – 24 – 24 x x + 8 + 8 •
• syarat syarat maksimum, maksimum, minimumminimum
f f ‘(‘( x x ) = 0) = 0 4 4 x x 33 – 12 – 12 x x 22 + 8 + 8 x x = 0 = 0 4 4 x x (( x x 22 – 3 – 3 x x + 2) = 0 + 2) = 0 4 4 x x (( x x – 2)( – 2)( x x – 1) = 0 – 1) = 0 f f ‘(0) = -7 ‘(0) = -7 f f “(0) = 8 “(0) = 8 > 0 (minimum)> 0 (minimum) f f ‘(2) = -7 ‘(2) = -7 f f “(2) = 8 “(2) = 8 > 0 (minimum)> 0 (minimum) f f ‘(1) = 0 ‘(1) = 0 f f “(1) = -4 “(1) = -4 < 0 (maksimum)< 0 (maksimum) Jawaban:
Jawaban: B dan CB dan C
5.
5. Jika Jika suku suku banyakbanyak p p(( x x ) dibagi dengan () dibagi dengan ( x x + 1) memberikan sisa 13 dan jika dibagi ( + 1) memberikan sisa 13 dan jika dibagi ( x x – 1) – 1)
memberikan sisa 7, maka jumlah koefisien dari suku-suku
memberikan sisa 7, maka jumlah koefisien dari suku-suku p p(( x x ) dengan pangkat) dengan pangkat x x genap genap
adalah . . . .
5
5
A. A. 00 B. B. 33 C. C. 66 D. 10 D. 10 E. 20 E. 20 Pembahasan: Pembahasan: p p(-1) = 13(-1) = 13 p p(1) = 7(1) = 7 bila bila p p(( x x ) =) =aann x x nn + +aa n n-1-1 x x nn -1 -1 + +aa n n-2-2 x x nn -2 -2 + . . . + a0 + . . . + a0 bilabilann ganjil maka ganjil maka
p p(-1) = -(-1) = -aann + +aann-1-1 – –aann-2-2 + . . . + + . . . + aa00 p p(1) =(1) =aann + +aann-1-1 + +aann-2-2 + . . . + + . . . + aa00 ++ 13 + 7 = 2[ 13 + 7 = 2[aann-1-1 + +aann-3-3 + . . . + + . . . +aa00]] 10 = 10 =aann-1-1 + +aann-3-3 + . . . + + . . . +aa00 Jawaban: D Jawaban: D 6.
6. Diketahui Diketahui suku suku banyakbanyak f f (( x x ) bersisa -2 bila dibagi) bersisa -2 bila dibagi x x + 1, bersisa 3 bila dibagi + 1, bersisa 3 bila dibagi x x – 2. Suku – 2. Suku
banyak
banyakgg(( x x ) bersisa 3 bila dibagi) bersisa 3 bila dibagi x x + 1 dan sisa 2 bila dibagi + 1 dan sisa 2 bila dibagi x x – 2. Jika – 2. Jikahh(( x x ) =) =f f (( x x ) .) .gg(( x x ), maka), maka
sisa
sisahh(( x x ) dibagi) dibagi x x 22 – – x x – 2 adalah . . . . – 2 adalah . . . . (Soal SNMPTN Tahun 2011 Kode 659/578/559)(Soal SNMPTN Tahun 2011 Kode 659/578/559)
A. A. 33 x x – 2 – 2 B. B. 44 x x – 2 – 2 C. C. 3x 3x + + 22 D. D. 44 x x + 2 + 2 E. E. 55 x x – 2 – 2 Pembahasan: Pembahasan: • • f f (-1) = -2(-1) = -2 f f (2) = 3(2) = 3 • • gg(-1) = 3(-1) = 3 g g(2) = 2(2) = 2 h
h(( x x ) dibagi) dibagi x x 22 – – x x – 2 memiliki sisa – 2 memiliki sisaSS(( x x ) =) =ax ax + +bb, maka, maka
h h(( x x ) = () = ( x x – 2)( – 2)( x x + 1) + + 1) +ax ax + +bb f f (( x x ) . g(x) = () . g(x) = ( x x – 2)( – 2)( x x + 1) + + 1) +ax ax + +bb x x = -1 = -1→→f f (-1) .(-1) .gg(-1) = -(-1) = -aa + +bb = -6= -6 x x = 2 = 2→→ f f (2) .(2) .gg(2) = 2(2) = 2aa + +bb = 6 = 6 –– -3 -3aa = = -12-12 a a = 4= 4→→bb = -2 = -2 sehingga sehinggaSS(( x x ) = 4) = 4 x x – 2 – 2 Jawaban: B Jawaban: B
6
6
7. Diketahui
7. Diketahui f f (( x x ) suku banyak derajat tiga dengan koefisien) suku banyak derajat tiga dengan koefisien x x 33 sama dengan 1, yang habis sama dengan 1, yang habis
dibagi (
dibagi ( x x – 3)( – 3)( x x + 1). Jika + 1). Jika f f (4) = 30, maka(4) = 30, makaf f (2) = . . . .(2) = . . . . (Soal UM UGM Tahun 2006 Kode 372)(Soal UM UGM Tahun 2006 Kode 372)
A. -8 A. -8 B. -7 B. -7 C. -12 C. -12 D. D. 00 E. E. 77 Pembahasan: Pembahasan: misal misal • • f f (( x x ) = () = ( x x– 3)(– 3)( x x + 1)(+ 1)( x x ++ p p)) x x = 4 = 4 f f (4) (4) = = 5(4 5(4 ++ p p) = 30) = 30 p p = 2 = 2 • • f f (( x x ) = () = ( x x – 3)( – 3)( x x + 1)( + 1)( x x + 2) + 2) f f (2) = (-1)(3)(4)(2) = (-1)(3)(4) f f (2) = -12(2) = -12 Jawaban: Jawaban: CC 8. Diketahui
8. Diketahui p p(( x x ) =) = ax ax 55 + +bx bx – 1, dengan – 1, dengan aa dan dan bb konstan. Jika konstan. Jika p p(( x x ) dibagi dengan () dibagi dengan ( x x – 2.006) – 2.006)
bersisa 3, maka bila
bersisa 3, maka bila p p(( x x ) dibagi dengan () dibagi dengan ( x x + 2.006) akan bersisa . . . . + 2.006) akan bersisa . . . . (Soal SPMB Tahun(Soal SPMB Tahun 2006 Kode 420) 2006 Kode 420) A. -1 A. -1 B. -2 B. -2 C. -3 C. -3 D. -4 D. -4 E. -5 E. -5 Pembahasan: Pembahasan: • • p p(2.006) = 3(2.006) = 3 a a(2.006)(2.006)55 + +bb(2.006) – 1 = 3(2.006) – 1 = 3 a a(2.006)(2.006)55 + +bb(2.006) (2.006) = = 44 • • p p(-2.006) =(-2.006) =aa(-2.006)(-2.006)55 + +bb(-2.006) – 1(-2.006) – 1 = -= -aa(2006)(2006)55 – 2.006 – 2.006bb – 1 – 1 = -( = -(aa(2006)(2006)55 + +bb(2.006)) – 1(2.006)) – 1 = = -4 -4 – – 11 = -5 = -5 Jawaban: E Jawaban: E
7
7
9. Diketahui9. Diketahuihh(( x x ) =) = x x 22 + 3 + 3 x x – 4 merupakan salah satu faktor dari – 4 merupakan salah satu faktor dari gg(( x x ) =) = x x 44 + 2 + 2 x x 33 – –ax ax 22 – 14 – 14 x x + +bb..
Jika
Jikagg(( x x ) dibagi dengan) dibagi dengan x x + 1 akan bersisa . . . . + 1 akan bersisa . . . . (Soal SPMB Tahun 2006 Kode 121)(Soal SPMB Tahun 2006 Kode 121)
A. A. 00 B. B. 33 C. C. 99 D. 12 D. 12 E. 24 E. 24 Pembahasan: Pembahasan: g g(( x x ) :) : x x 22 + 3 + 3 x x – 4 – 4 g g(( x x ) : () : ( x x + 4)( + 4)( x x – 1) – 1) g g(1) = 0(1) = 0 g g(-1) =(-1) = y y 1 + 2 – 1 + 2 –aa – 14 + – 14 +bb = 0 = 0 1 – 2 – 1 – 2 –aa + 14 + + 14 +bb = = y y –– 4 – 28 = -4 – 28 = - y y maka
maka y y = 24 = 24
Jawaban: E Jawaban: E
10. Diketahui
10. Diketahui p p(( x x ) = (x – 1)() = (x – 1)( x x 22 – – x x – 2) – 2) qq(( x x ) ) ++ ax ax + + bb dengan dengan qq(( x x ) suatu suku banyak. Jika) suatu suku banyak. Jika p p(( x x ))
dibagi dengan (
dibagi dengan ( x x + 1) bersisa 10 dan jika dibagi dengan ( + 1) bersisa 10 dan jika dibagi dengan ( x x – 1) bersisa 20, maka jika – 1) bersisa 20, maka jika p p(( x x ))
dibagi dengan (
dibagi dengan ( x x – 2) bersisa . . . . – 2) bersisa . . . . (Soal SPMB Tahun 2006 Kode 320)(Soal SPMB Tahun 2006 Kode 320)
A. -10 A. -10 B. B. 00 C. C. 55 D. 15 D. 15 E. 25 E. 25 Pembahasan: Pembahasan: p p(( x x ) = (x – 1)() = (x – 1)( x x 22 – – x x – 2) – 2) qq(( x x ) +) +ax ax + +bb • • -(-1) -(-1) = = 1010 --aa + +bb = 10 . . . (1) = 10 . . . (1) • • p p(1) = 20(1) = 20 a a + +bb = 20 . . . (2) = 20 . . . (2)
eliminasi (1) dan (2) didapat
eliminasi (1) dan (2) didapat
a
a = 5 = 5 bb = 15 = 15
maka
maka p p(( x x )) = ()) = ( x x – 1)( – 1)( x x – 2)( – 2)( x x + 1) + 5 + 1) + 5 x x + 15 + 15
sisa pembagian
sisa pembagian p p(( x x ) oleh) oleh x x – 2 adalah – 2 adalah
p p(2) = 5(2) + 15(2) = 5(2) + 15 p p(2) = 25(2) = 25 Jawaban: E Jawaban: E
8
8
Soal Latihan
Soal Latihan
1. Jika
1. Jika x x 4 +4 +ax ax 33 + ( + (bb – 10) – 10) x x 22 + 15 + 15 x x – 6 = – 6 =f f (( x x )()( x x – 1) dengan – 1) denganf f (( x x ) habis dibagi) habis dibagi x x – 1, maka nilai – 1, maka nilai bb
adalah . . . .
adalah . . . . (Soal SBMPTN Tahun 2013 Kode 130)(Soal SBMPTN Tahun 2013 Kode 130)
A. A. 22 B. B. 11 C. C. 00 D. -1 D. -1 E. -2 E. -2 2.
2. Salah Salah satu satu akar akar persamaanpersamaan x x 44 – 5 – 5 x x 33 + 5 + 5 x x 22 + 5 + 5 x x – 6 = 0 adalah 2. Jumlah akar-akar yang lain – 6 = 0 adalah 2. Jumlah akar-akar yang lain
persamaan tersebut adalah . . . .
persamaan tersebut adalah . . . .(Soal SPMB Tahun 2005 Kode 480)(Soal SPMB Tahun 2005 Kode 480)
A. A. 66 B. B. 55 C. C. 44 D. D. 33 E. E. 22 3. Diketahui
3. Diketahuif f (( x x ) =) = x x 33 – 5 – 5 x x + 20, + 20,gg(( x x ) = 2) = 2 x x 33 + 5 + 5 x x 22 + 11, dan + 11, danhh(( x x ) =) = x x + 3. Jika + 3. Jikaaa dan danbb merupakan merupakan
masing-masing sisa hasil pembagian
masing-masing sisa hasil pembagian f f (( x x ) dan) dangg(( x x ) oleh) olehhh(( x x ), maka), makaaa + +bb = . . . . = . . . .(Soal SPMB(Soal SPMB Tahun 2005 Kode 280) Tahun 2005 Kode 280) A. -20 A. -20 B. 10 B. 10 C. 34 C. 34 D. 118 D. 118 E. 142 E. 142 4.
4. Jika Jika salah salah satu satu akar akar suku suku banyakbanyakf f (( x x ) = 0 adalah) = 0 adalahaa, maka salah satu akar (, maka salah satu akar ( x x 22 + 3 + 3 x x + 6) + 6)f f (( x x + 2) + 2)
= 0 adalah . . . .
= 0 adalah . . . . (Soal SPMB Tahun 2006 Kode 521)(Soal SPMB Tahun 2006 Kode 521)
A. A. aa + 2 + 2 B. B. aa + 3 + 3 C. C. aa – 3 – 3 D. D. 22aa E. E. aa – 2 – 2
9
9
5.5. Diketahui Diketahui suku suku banyakbanyak gg(( x x ) ) == ax ax 22 –– bx bx – – ((aa ++ bb) habis dibagi) habis dibagi x x – 4 dan salah satu akar – 4 dan salah satu akar
persamaan suku banyak
persamaan suku banyakf f (( x x ) = 0 adalah 4. Jika) = 0 adalah 4. Jikaf f (( x x ) dibagi) dibagigg(( x x ) sisanya) sisanyaax ax + +bb – 2, maka nilai – 2, maka nilai
a
a adalah . . . . adalah . . . . (Soal SNMPTN Tahun 2011)(Soal SNMPTN Tahun 2011)
A. A. 66 7 7 B. B. 55 7 7 C. C. 44 7 7 D. D. 22 7 7 E. E. 11 7 7
