FORMULA HERON: TINJAUAN DI GEOMETRI EUKLID DAN GEOMETRI SFERIK 1. Sangadji 2

(1)

PROSIDING ISBN : 978‐979‐16353‐3‐2

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Jurusan Pendidikan Matematika FMIPA UNY, 5 Desember 2009 1033 T‐8 FORMULA HERON: TINJAUAN DI GEOMETRI EUKLID DAN GEOMETRI SFERIK1 Sangadji2 Abstrak

Formula Heron mempunyai dua versi. Versi pertama adalah Formula Heron dalam geometri Euklid atau geometri bidang datar yang terkenal dengan nama Rumus s, dan versi kedua adalah formula Heron dalam geometri sferik atau geometri pada luasan bola. Makalah ini membahas dan membuktikan Formula Heron dalam dua versi. Bukti formula Heron versi kedua lebih signifikan dan sulit dari bukti formula Heron versi pertama.

Kata kunci: Formula Heron, luas segitiga sferik, segitiga sferik, geometri Euklid, geometri sferik.

Pendahuluan

Formula Heron adalah formula yang signifikan, baik dalam geometri Euklid maupun geometri sferik. Esensi dari formula Heron adalah menyatakan luas segitiga dengan panjang ketiga sisinya. Untuk bukti Formula Heron versi pertama, sudah banyak dikenal dan tidak sulit. Sedangkan bukti Formula Heron versi kedua memerlukan dua lemma, yaitu formula luas segitiga sferik dan formula cosinus dan sinus dalam segitiga siku‐siku sferik, dan juga formula cosinus untuk sisi‐sisi sferik. Dalam bukunya (lihat Daftar Pustaka no.1), pengarangnya menyatakan bahwa petunjuk untuk membuktikan Formula Heron versi geometri sferik adalah dengan memberikan soal‐soal 10.20, 10.21, 10.22, 10.23, 10.24, and 10.25.

Dalam makalah ini, saya membuktikan Formula Heron versi geometri sferik dengan cara saya sendiri, tanpa menggunakan petunjuk di atas.

Formula Heron dalam Geometri Euklid Teorema (Formula Heron Euklid)

Misalkan a ,,b cadalah panjang sisi‐sisi ABCΔ yang terletak berturut‐turut di

1_{Disajikan pada Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika di UNY 5 Desember 2009.}

2

(2)

PROSIDING ISBN : 978‐979‐16353‐3‐2

Jurusan Pendidikan Matematika FMIPA UNY, 5 Desember 2009 1034 depan titik‐titik sudut A,B,C.Maka luasnya adalah ) )( )( ( | |ΔABC = s s−a s−b s−c , di mana . 2 c b a s= + + Bukti 2 sin |

|ΔABC =bc A. Dengan formula cosinus, . 2 cos 2 2 2 bc a c b A= + − Sehingga didapat

[

]

1/2 2 / 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 )( )( ( 2 2 2 2 4 ) )( )( )( ( 4 ) ( )( ) ( 4 ) 2 )( 2 ( ) ( 4 4 1 2 ) ( 4 2 2 cos 1 2 sin | | c s b s a s s b c a c b a a c b c b a c b a c b a a c b a c b c b a a c b a c b bc a c b bc a c b c b bc a c b c b bc A bc A bc ABC − − − = ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ + + + − + − + − = + − − + − + + + = − − − + = + − − − + + = − + − = − + − = − = = Δ Formula Heron dalam Geometri Sferik Yang dimaksud dengan luna adalah bagian dari luasan bola antara dua bidang setengah lingkaran besar yang membuat sudut θ satu sama lain. Jadi luas dari luna

dengan sudut θ dan jari‐jari (lingkaran besar/bola) ∫ adalah

2 2 ₂ 4 2 ∫ = ∫ = π θ π θ L Lemma 1

Misalkan ΔABC adalah segitiga pada luasan bola dengan jari‐jari ∫ . Maka luas ABC Δ adalah

(

+ + −π

)

∫ = ΔABC 2 A B C

(3)

PROSIDING ISBN : 978‐979‐16353‐3‐2

Jurusan Pendidikan Matematika FMIPA UNY, 5 Desember 2009 1035

Bukti

ABC

Δ dalam hal ini punya sifat bahwa ketiga sisinya terletak pada lingkaran‐ lingkaran besar.

Tiga buah luna yang bersesuaian dengan sudut‐sudut A, B, C dan juga ketiga luna antipodalnya, luas mereka akan menutupi luasan bola satu kali dan juga luas ΔABC dan antipodalnya masing‐masing dua kali. Jadi didapat:

( )

2

(

)

4 4 , 2 _∫2 _A₊_B₊_C ₌ _π_∫2₊ _Δ_ABC yang memberikan ΔABC =∫2

(

A+B+C−π

)

Lemma 2

Misalkan ΔABC adalah segitiga siku‐siku di C pada luasan bola satuan dengan pusat di O. Maka berlaku , sin sin cos cos c b a A= dan . sin sin sin c a A= Bukti B a A b c C O b x y z E D a A B b a c C

(4)

PROSIDING ISBN : 978‐979‐16353‐3‐2

Jurusan Pendidikan Matematika FMIPA UNY, 5 Desember 2009 1036 Misalkan luasan bola satuan S berpusat di O(0,0,0) dalam ruang berdimensi tiga R3. Maka, kita dapatkan vektor‐vektor

(

)

(

0,sin ,cos

)

. , cos , 0 , sin a a B b b A = = Menggunakan perkalian silang, kita berturut‐turut memperoleh Ar×Br=

(

−cosbsina,−sinbcosa,sinbsina

)

, dan . sin sin 1 1 sin || || || || || || Ar×Br = Ar Br c= ⋅ ⋅ c= c Pada pihak lain, menggunakan perkalian titik kita juga memperoleh . cos sin cos || || cos || || || ) 0 , 1 , 0 ( || ) ( ) 0 , 1 , 0 ( − ⋅ Ar×Br = − Ar×Br A= Ar×Br A= c A But . cos sin ) sin sin , cos sin , sin cos ( ) 0 , 1 , 0 ( ) ( ) 0 , 1 , 0 ( − ⋅ Ar×Br = − ⋅ − b a − b a b a = b a Sehingga dapat disimpulkan

sinccosA=sinbcosa, atau . sin sin cos cos c b a A= Untuk membuktikan formula kedua, . sin sin sin || || sin || || || ) 0 , 1 , 0 ( || || ) ( ) 0 , 1 , 0 ( || − ⋅× Ar×Br = − Ar×Br A= Ar×Br A= c A Tetapi , sin || ) cos sin , 0 , sin sin ( || || ) sin sin , cos sin , sin cos ( ) 0 , 1 , 0 ( || || ) ( ) 0 , 1 , 0 ( || a b a b a a b a b a b B A = − − = − − × − = × × − r r Sehingga kita memperoleh , sin sin sinc A= a atau . sin sin sin c a A=

(5)

PROSIDING ISBN : 978‐979‐16353‐3‐2

Teorema (Formula cosinus untuk sisi‐sisi sferik)

Misalkan ΔABCadalah segitiga pada luasan bola satuan dan pusatnya di titik O. Misalkan sisi‐sisi a, b, dan c dari ΔABC berturut‐turut terletak di hadapan titik‐ titik sudut A, B, and C. Maka berlaku . cos sin sin cos cos cosc= a b+ a b C

Formula tersebut dapat dibaca di Daftar Pustaka no. 2 C:\Spherical Triangle, Relationships Between Sides and Angles of a Spherical Triangle.htm

Di bawah ini adalah bukti kita:

Bukti

Pada ΔADB, menggunakan formula Phytagoras, kita peroleh

). cos( cos cosc= h a−x Then,

(

)

. sin sin cos cos cos cos cos cos cos x a h x a h x a h c + = − =

Pada ΔACD, menggunakan Lemma 2 di

atas, kita peroleh juga ; sin sin cos cos b x h C=

dan dengan formula Phytagoras lagi kita peroleh

cosb=cosxcosh.

Menggabungkan tiga hasil terakhir di atas dapat kita simpulkan

(

)

(

)

. cos sin sin cos cos sin cos sin cos cos cos cos C b a b a x h a h x a c + = + = Teorema (Formula Heron Sferik)

Misalkan a ,,b cadalah panjang sisi‐sisi dari segitiga sferik ΔABCpada luasan bola yang berjari‐jari ∫ yang terletak berturut‐turut di hadapan titik‐titik sudut A,B,C. Maka luasnya adalah A C b x c D h B a-x

(6)

PROSIDING ISBN : 978‐979‐16353‐3‐2

Jurusan Pendidikan Matematika FMIPA UNY, 5 Desember 2009 1038 . sin sin cos cos cos arccos sin sin cos cos cos arccos sin sin cos cos cos arccos | | 2 ⎪ ⎪ ⎭ ⎪⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧ − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ∫ = Δ π b a b a c a c a c b c b c b a ABC Bukti Menggunakan Lemma 1 di atas, kita peroleh luas ΔABC ). ( | |_Δ_ABC ₌_∫2 _A₊_B₊_C₋_π Juga, menggunakan Formula Cosinus untuk sisi‐sisi sferik kita peroleh C b a b a

c cos cos sin sin cos

cos = + atau ekivalennya, b a b a c C sin sin cos cos cos cos = − atau ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = b a b a c C sin sin cos cos cos arccos . Dengan cara yang sama, kita peroleh juga ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = c a a c b B sin sin cos cos cos arccos dan ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = c b c b a A sin sin cos cos cos arccos . Jadi, menggunakan hasil‐hasil di atas dapat kita simpulkan . sin sin cos cos cos arccos sin sin cos cos cos arccos sin sin cos cos cos arccos | | 2 ⎪ ⎪ ⎭ ⎪⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧ − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ∫ = Δ π b a b a c a c a c b c b c b a ABC

(7)

PROSIDING ISBN : 978‐979‐16353‐3‐2

Simpulan

1. Teorema (Formula Heron dalam Geometri Euklid )

Misalkan a ,,b cadalah panjang sisi‐sisi ΔABC that are yang terletak berturut‐ turut di hadapan titik‐titik sudut A,B,C.Maka luasnya adalah ) )( )( ( | |ΔABC = s s−a s−b s−c , di mana . 2 c b a s= + + 2. Teorema (Formula Heron dalam Geometri Sferik )

Misalkan a ,,b cadalah panjang sisi‐sisi dari segitiga sferik ΔABCpada luasan bola yang berjari‐jari ∫ yang terletak berturut‐turut di hadapan titik‐titik sudut A,B,C. Maka luasnya adalah . sin sin cos cos cos arccos sin sin cos cos cos arccos sin sin cos cos cos arccos | | 2 ⎪ ⎪ ⎭ ⎪⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧ − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ∫ = Δ π b a b a c a c a c b c b c b a ABC Daftar Pustaka

1. Baragar, Arthur. A Survey of Classical and Modern Geometries with Computer Activities. Prentice Hall, Upper Saddle River, New Jersey, USA. 2001.

2. C:\Spherical Triangle, Relationships Between Sides and Angles of a Spherical Triangle.htm