Model Matematika. Persamaan atau pertidaksamaan Matematika Tujuan

(1)

(2)

Kehidupan Nyata

Bahasa Matematika

Model Matematika

Persamaan atau pertidaksamaan Matematika

Bisa Disajikan

Diperlukan Alat Bantu

(3)

Kemampuan yang akan

dibahas

Menentukan nilai optimum dari

fungsi tujuan sebagai

(4)

Program Linear

adalah suatu metode

untuk mencari nilai optimum suatu bentuk linear f(x,y) = ax + by pada daerah himpunan penyelesaian

(5)

Nilai optimum

dapat ditentukan dengan tahapan:

1. Menentukan model matematika

2. Menggambar daerah himpunan penye lesaian sistem pertidaksamaan linear 3. Menentukan koordinat titik sudut pada

daerah tersebut

4. Menentukan nilai optimum bentuk linear pada titik-titik tersebut

(6)

Untuk menggambar daerah himpunan

penyelesaian sistem pertidaksamaan

(7)

Y

Persaaman garis nya: X

(a,0) (0,b)

O

2

3 Persaaman garis nya:

bx + ay = ab

3x + 2y = 6

(8)

2 .

Menentukan daerah pertidaksamaan

X Y x y

ax + by



c; a > 0

ax + by



c; a > 0

(9)

Contoh menentukan daerah

pertidaksamaan

Y 2 x + 3y  6, 0 + 0  6 ™ X Y a b bx + ay  ab bx + ay  ab Titik uji (0,0) gbr garis: x + 3y = 6,

(10)

Contoh 1:

Nilai maksimum fungsi sasaran

Z= 6x + 8y dari sistem

pertidaksamaan linear:

adalah….





















0 ,

0

48

4

2

60

2

4 y

x

y

x

y

x

(11)

Pembahasan:

X Y O ₁₅ ₂₄ 12 30

Titik-titik potong garis batas

4x + 2y = 60

2x + 4y = 48 x2

x1

(12)

4x + 2y = 60 4x + 8y = 96 -6y = -36 y = 6 4x + 2y = 60 4x + 12 = 60 4x = 48 x = 12

(13)

Substitusi titik-titik sudut ke: Z = 6x + 8y

(0,0) _{Z = 6.0 + 8.0 = 0}

(15,0) _{Z = 6.15 + 8.0 = 90}

(12,6) _{Z = 6.12 + 8.6 = 72 + 48 = 120} (0,12) Z = 6.0 + 8.12 = 96

(14)

Contoh 2:

Pesawat penumpang mempunyai

tempat duduk 48 kursi. Setiap

penumpang kelas utama boleh

membawa bagasi 60 kg sedang kelas

ekonomi 20 kg.

(15)

Pesawat hanya dapat membawa bagasi 1440 kg. Harga tiket kelas utama Rp.

150.000,00 dan kelas ekonomi Rp 100.000, 00.

Supaya pendapatan dari penjualan tiket pada saat penuh mencapai maksimum

jumlah tempat duduk kelas utama haruslah…

(16)

Pembahasan:

Rp100.000 Rp150.000 Harga tiket 1440 kg 20 kg 60 kg bagasi 48 y x Tempat duduk Jumlah Kelas Ekonomi (y) Kelas utama (x) kelas kapasitas

(17)

Syarat adalah

Tempat duduk tidak boleh lebih dari 48



x + y



48 Bagasi tidak boleh lebih dari 1440 kg



60x + 20y



1440 atau

3x + y



72 Banyak penumpang kelas utama dan

ekonomi harus



0, yaitu x



0 dan y



0

(18)

Jadi model matematisnya:

x + y



48 3x + y



72 x



0 y



0

Himpunan penyelesaian dari syarat (model matematis) merupakan daerah

(19)

Fungsi sasaran

adalah

memaksimumkan laba yaitu: f(x,y)=

150000x + 100000y

(20)

48 (0,48) (24,0) 72 X Y 0

garis: x + y = 48

garis: 60x + 20y = 1440

3x + y = 72

(12, 36)

(21)

Titik potong kedua garis:

x + y = 48

3x + y = 72

-2x = -24

x = 12,

Jadi titik potongnya: (12, 36)

(22)

Substitusi titik-titik sudut (24,0),

(12,36) dan titik (0,48) ke

f(x,y) = (150x + 100y)1000

(24,0)



f(x,y) = 150.24 + 100.0

(23)

(12,36)



f(x,y)=150.12 +100.36

=1800 + 3600 = 5.400.000 (maks)

(0,48)



f(x,y)=150.0 + 100.48

= 4.800.000

Supaya laba maksimum, maka

(24)

Contoh

3:

Dengan persediaan kain polos 20 m dan

kain bergaris 10 m, seorang penjahit akan

(25)

Model I :

memerlukan

1 m kain polos dan 1,5 m kain bergaris.

Model II:

memerlukan

(26)

Bila pakaian tersebut dijual, setiap

model I memperoleh untung Rp 15.000, 00

dan

model II memperoleh untung Rp. 10.000.

Laba maksimum yang diperoleh adalah…

(27)

Pembahasan:

Laba max? Rp10.000 Rp15.000 Laba 10 m 0,5 m 1,5 m bergaris 20 m 2 m 1m Polos Tersedia Model II (y) Model I (x) Model Kain

(28)

Fungsi sasaran

adalah

memaksimumkan

(29)

Syarat adalah

Kain polos tidak boleh lebih dari 20 m

 x + 2y  20

Kain bergaris tidak boleh lebih dari 10 m

 1,5x + 0,5y  10 atau

3x + y  20

Banyak model I dan II harus  0

(30)

Jadi model matematisnya:

x + 2y  20

3x + y  20

x  0

y  0

Himpunan penyelesaian dari syarat

(model matematis) merupakan daerah yang diarsir pada gambar berikut:

(31)

20 (0,10) (20/3,0) 20 X Y 0

garis: x + 2y = 20

garis: 3x + y = 20

(4, 8)

(32)

Titik potong garis batas:

x + 2y = 20

3x + y = 20

-5x = -20

x = 4,

Jadi titik potongnya: (4, 8)

y = 8

x1 x2

x + 2y = 20

6x + 2y = 40

Titik potong(4, 8)

(33)

Substitusi titik-titik sudut (20/3,0), (4,8) dan titik (0,10) ke f(x,y) = (15x + 10y)1000 (20/3,0) f(x,y) = 15.20/3 + 100.0 = 100 (4,8)f(x,y)= 15.4 +10.8 = 60 + 80 = 140 (maks) (0,10)f(x,y)=15.0 + 10.10 = 100

(34)

Contoh 4:

Nilai maksimum fungsi f(x,y) =2x + 3y yang memenuhi sistem pertidaksamaan

linear: x + 2y  6,

x – y  -1, x – 4  0, adalah….

(35)

6 3 -1 1 x = 4 X

grs: x + 2y = 6

grs: x - y = -1

Y

(36)

Titik-titik potong garis batas

x + 2y = 6

x – y = -1

x = 4

4 + 2y = 6

2y = 2

y = 1

A(4,1)

x = 4

4 – y = -1

B(4,5)

(37)

6 3 -1 1 x = 4 x Y A(4,1) B(4,5)

x + 2y = 6

x - y = -1

3y = 7

y = 7/3

C

(38)

x – 7/3 = -1

x = 4/3 Titik C(4/3,7/3)

(39)

Substitusi titik-titik sudut A(4,1),

B(4,5) dan titik C(4/3,7/3) ke

(40)

A(4,1) f(x,y) = 2.4 + 3.1 = 11

B(4,5) f(x,y) = 2.4 + 3.5 = 23 (maks)

C(4/3,7/3)f(x,y) =2.4/3 + 3.7/3

= (8 + 21)/3 = 29/3

Fungsi sasaran ber nilai maksimum, di titik (4,5). Jadi nilai maksimum 23

(41)

(42)

Nilai optimum dari fungsi tujuan f = ax + by

dapat juga ditentukan dengan menggunakan

garis selidik ax + by = k

yang melalui titik terjauh atau titik terdekat dari

titik pusat koordinat pada daerah himpunan

(43)

Langkah-langkah mencari nilai optimum dengan garis selidik :

1. Menentukan nilai k, misalnya sama dengan k₁, sehingga

ax + by = k₁ mudah digambar

2. Menggambar garis-garis yang sejajar dengan garis ax + by = k₁ :

a. Jika garis ax + by = k₂ merupakan garis yang

paling kanan pada daerah penyelesaian, k₂

(44)

Seorang penjahit profesional mempunyai bahan

30 meter wol dan 20 meter katun. Ia akan membuat stelan jas dan rok untuk dijual. Satu stel jas

memerlukan 3 meter wol dan 1 meter katun,

Sedangkan untuk satu stel rok memerlukan 1 meter Wol dan 2 meter katun.

Berapa stel jas dan rok yang harus ia buat agar ia

mendapatkan keuntungan Sebesar-besarnya, apabila harga satu stel jas

(45)

Perhatikan model matematika dan fungsi tujuannya ::

Model Matematika :

3x + y ≤ 30 x + 2y ≤ 20

x  0 ; y  0 x є C ; y є C Fungsi tujuan : “ Memaksimumkan”

(46)

Fungsi tujuan : f = 150.000x + 75.000y

Buatlah garis-garis yang memenuhi 150.000x + 75.000y = k

 Melalui titik (0,0) 150.000x + 75.000y = 0

75.000y = -150.000x y = -2x

 Buat garis – garis lain yang sejajar dengan garis y = -2x

(47)

y (0,30) (10,0) (0,10) (20,0) x+2y ≤ 20 (8,6)

(48)

Dari grafik, terlihat bahwa garis putus-putus (garis selidik) yang paling kanan melalui titik (8,6).

Jadi nilai maksimumnya =

150.000 (8) + 75.000 (6) = 1.650.000

Sehingga Penjahit profesional itu agar mendapatkan Keuntungan maksimum harus membuat

(49)

(50)

X Y O ₄ 4 -1 -2 3 2 Perhatikan gambar

Soal-1

Nilai maksimum f(x,y) = x – 2y + 4 adalah…..

(51)

X Y O ₄ 4 -2 3 2

Perhatikan gambar, persamaan-persamaan garisnya adalah

Pembahasan-1

x + y = 4 x - y = -2

(52)

X Y O ₄ 4 -1 -2 3 2

Perhatikan gambar, koordinat titik-titik sudutnya

Pembahasan-1

A(3,…) B(3,…) C(…,…)

(53)

Pembahasan-1

X Y O ₄ 4 -1 -2 3 2 B(3,…) C(…,…) D(-2,0) A(3,…) titik potong x = 3 dan x + 2y = -2 diperoleh A(3, -5/2)

(54)

Pembahasan-1

X Y O ₄ 4 -1 -2 3 2 A(3,-5/2) B(3,…) C(…,…) D(-2,0) B(3,…) titik potong x = 3 dan x + y = 4 diperoleh B(3, 1)

(55)

Pembahasan-1

X Y O ₄ 4 -1 -2 3 2 B(3,1) C(…,…) D(-2,0) C(…,…) titik potong x – y = -2 dan x + y = 4 diperoleh C(1,3)

(56)

Pembahasan-1

X Y O ₄ 4 -1 -2 3 2 A(3,-5/2) B(3,1) C(1,3) D(-2,0) Titik-titik A(3,-5/2), B(3,1), C(1,3) dan D(-2,0) disubstitusi ke f(x,y) = x – 2y + 4

(57)

Pembahasan-1

Titik-titik A(3,-5/2), B(3,1), C(1,3) dan D(-2,0) disubstitusi ke f(x,y) = x – 2y + 4

Diperoleh: f(3,-5/2) = 3 + 5 + 4 = 12 f(3,1) = 3 – 2 + 4 = 5 f(1,3) = 1 – 6 + 4 = -2 f(-2,0) = -2 – 0 + 4 = 2

(58)

Contoh 5

Pedagang makanan membeli tempe

seharga Rp250,00 per buah dijual de-

ngan laba Rp50,00 per buah, sedang

kan tahu seharga Rp400,00 per buah

dijual dengan laba Rp100,00 per buah.

(59)

Pedagang tersebut mempunyai modal

Rp145.000,00 dan kiosnya dapat me-

nampung 400 buah maka keuntungan

maksimum pedagang tersebut adalah….

(60)

Pembahasan:

Rp100,00 Rp50,00 Laba Rp145.000,00 Rp400,00 Rp250,00 Harga beli 400 y x Daya tampung Modal Tahu (y) Tempe (x) jenis kapasitas Laba max?

(61)

Fungsi sasaran

adalah

memaksimumkan

(62)

Syarat adalah

Jumlah tahu tidak boleh lebih dari 400

 x + y  400

Modal tidak boleh lebih dari Rp145.000

 250x + 400y  145000 atau

5x + 8y  2900

Banyak tempe dan tahu harus  0

(63)

Jadi model matematisnya:

x + y



400 5x + 8y



2900

x



0 y



0 Himpunan penyelesaian dari syarat

(64)

(400,0) 400 580 (0,362½) X Y 0

garis: x + y = 400

garis: 5x + 8y = 2900

(100,300)

(65)

Titik potong garis batas: x + y = 400 5x + 8y = 2900 -3y = -900 y = 300, _{x = 100} x5 x1 5x + 5y = 2000 5x + 8y = 2900 Titik potong(100,300)

(66)

Substitusi titik-titik sudut (400,0), (100,300) dan titik (0,362½) ke f(x,y) = 50x + 100y (400,0) f(x,y) = 50.400 + 100.0 = 20000 (100,300)f(x,y)= 50.100 +100.300 = 35000 (0,362½)f(x,y)=50.0 + 100.362½ = 36250 (max)