SKL Nomor 2 : Memahami operasi bentuk aljabar, konsep persamaan dan pertidaksamaan linear, persamaan garis, himpunan, relasi, fungsi, sistem persamaan linear, serta menggunakannya dalam pemecahan masalah.
1. Mengalikan bentuk aljabar.
3 * a = 3a a * a = a2 a2 * a3 = (a*a)*(a*a*a) = a5 2a3 * 4a2 = 2*4*a3*a2 = 8a5
2. Menghitung operasi tambah, kurang, kali, bagi atau kuadrat bentuk aljabar
Penjumlahan dan pengurangan (khusus pada suku sejenis = suku dengan variabel sama) :
a + a = 2a 2a – 3a = (2 – 3)a = -1a
2a + 2b + 4a = 6a + 2b 2a2 + 3a3 - 5a2 = -3a2 + 3a3 Perkalian pada bentuk aljabar dengan suku lebih dari satu :
a x b = ab a x –b = -ab -a x b = - ab -a x –b = ab
a x a = a2 a x ab = a2b b x ab = ab2 a2b x ab3 = a3b4
a(b + c) = ab + ac a(b – c) = ab – ac
(a + b)(c + d) = a(c + d) + b(c + d) = ac + ad + bc + bd Pembagian pada bentuk aljabar :
a5 : a2 = a3 8a4 : 4a2 = (8 : 4)(a4 : a2) = 2a2 Pengkuadratan bentuk aljabar :
(3a)2 = (32)(a2) = 9a2 (2a4b3)2 = (22)(a4)2(b3)2 = 4a8b6 (a + b)2 = (a + b)(a + b) = a(a + b) + b(a + b) = a2 + ab + ab + b2 = a2 + 2ab + b2 (a – b)2 = (a – b)(a – b) = a(a – b) + b(a – b) = a2 – ab + ab – b2 = a2− b2
3. Menyederhanakan bentuk aljabar dengan memfaktorkan
Bentuk soal Bentuk hasil pemfaktoran Keterangan
Bentuk aljabar dengan FPB
1. ab + ac a(b + c) a adalah FPB dari ab dan ac
2. ab – ac a(b – c) a adalah FPB dari ab dan ac
Bentuk aljabar ax2 + bx + c 1. ax2 + bx + c (px + r)(qx + s) p*q = a r*q + p*s = b r*s = c 2. ax2− bx + c (px − r)(qx − s) p*q = a −r*q + p*−s = −b −r*−s = c 3. ax2− bx − c (px − r)(qx + s) p*q = a −r*q + p*s = −b −r*s = −c
Bentuk aljabar selisih dua kuadrat
a2 − b2 (a + b)(a – b)
4. Menentukan irisan atau gabungan dua himpunan dan menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan irisan atau gabungan dua himpunan.
Diketahui dua himpunan A dan B, maka berlaku :
− Himpunan Bagian :
o Himpunan A dikatakan sebagai himpunan bagian dari himpunan B ⇒ “A ⊂ B” jika semua/setiap anggota himpunan A merupakan anggota himpunan B.
o Himpunan A dikatakan bukan himpunan bagian dari himpunan B ⇒ “A ⊄ B” jika terdapat satu atau lebih anggota himpunan A yang bukan merupakan anggota himpunan B.
o Setiap himpunan A merupakan himpunan bagian dari himpunan A itu sendiri ⇒ “A
⊂ A”
o Jika n(A) adalah banyaknya anggota himpunan A, maka banyaknya himpunan bagian yang mungkin dari himpunan A = 2n(A)
− Hubungan antara dua himpunan :
o Himpunan A dan himpunan B dikatakan saling lepas atau saling asing jika tidak ada anggota persekutuan antara himpunan A dan B.
o Himpunan A dan himpunan B dikatakan saling berpotongan (tidak saling lepas) jika A dan B mempunyai anggota persekutuan, dan terdapat anggota A yang bukan anggota B dan terdapat anggota B yang bukan anggota A
o Himpunan A sama dengan himpunan B → “A = B” jika anggota A tepat sama dengan anggota B
o Himpunan A ekuivalen dengan himpunan B jika banyaknya anggota A sama dengan banyaknya anggota B.
− Operasi Himpunan :
o Irisan himpunan A dan himpunan B ⇒ “A ∩ B” adalah sebuah himpunan baru yang anggotanya adalah anggota A yang sekaligus menjadi anggota B
Jika A ⊂ B maka A ∩ B = A
Jika A = B maka A ∩ B = A atau A ∩ B = B
o Gabungan himpunan A dan himpunan B ⇒ “A ∪ B” adalah sebuah himpunan baru yang anggotanya adalah semua anggota A dan semua anggota B yang bukan anggota A ∩ B.
A ∪ B = {x/x ∈ A atau x ∈ B} Jika A ⊂ B maka A ∪ B = B Jika A = B maka A ∪ B = A = B
Jika n(A) adalah banyaknya anggota himpunan A, n(B) = banyaknya anggota himpunan B, dan n(A ∩ B) = banyaknya anggota A irisan B, maka banyaknya anggota A gabungan B adalah :
n(A ∪ B) = n(A) + n(B) - n(A ∩ B)
o Selisih (defference) himpunan A dan himpunan B ⇒ “A − B” atau “A\B” adalah himpunan baru yang anggotanya adalah anggota himpunan A yang bukan anggota himpunan B.
A − B ={ x/x ∈ A atau x ∉B} B − A ={ x/x ∈ B atau x ∉A}
o Komplemen himpunan A adalah suatu himpunan baru yang anggota-anggotanya merupakan anggota himpunan Semesta (S) tetapi bukan anggota A.
Ac = A′ = { x/x ∈ S dan x ∉A} o Sifat-sifat operasi dua himpunan
Pada irisan dua himpunan A∩B = B∩Α (komutatif)
A∩(Β∩C) = (A∩Β)∩C (Assosiatif)
A∩Α = Α A∩∅ = ∅ A∩S = Α (identitas)
Pada gabungan dua himpunan A∪B = B∪C (komutatif)
A∪(B∪C) = (A∪B)∪C (Assosiatif)
Distributif irisan terhadap gabungan A∩(B∪C) = (A∩B)∪(Α∩C) Distributif gabungan terhadap irisan
A∪(B∩C) = (A∪B)∩(Α∪C) Sifat komplemen
A∪Αc = S A∩Ac = ∅ Ac∩S = Ac (Ac)c = A Hukum De Morgan
(A∪B)c = Ac∩ Bc (A ∩ B)c = Ac∪ Bc 5. Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan relasi dan fungsi.
− Relasi antara himpunan A dan B adalah pemasanagan anggota himpunan A dengan anggota himpunan B berdasarkan aturan tertentu.
− Relasi dapat disajikan dengan : (1) diagram panah, (2) diagram kartesius, (3) himpunan pasangan berurutan.
− Pemetaan atau fungsi adalah relasi dari himpunan A ke B yang memasangkan setiap anggota A dengan tepat satu anggota B.
− Syarat-syarat pemetaan dan fungsi : ◊ Pada diagram Panah :
» Semua anggota A mempunyai pasangan di B, dan
» Tidak ada satupun anggota A yang berpasangan dengan lebih dari satu anggota B ◊ Pada diagram kartesius :
» Semua anggota A mempunyai pasangan di B (ditandai dg titik koordinat) » Tidak ada dua atau lebih titik koordinat yang yang segaris vertikal (keatas) ◊ Pada himpunan pasangan berurutan :
» Semua anggota A ditulis sekali pada setiap pasangan.
Contoh Pemetaan Contoh bukan pemetaan
1. a. b.
Pada contoh (a) berlaku :
{1,2,3} disebut domain (daerah asal)
{a,b,c,d} disebut kodomain (daerah kawan} (a,c,d} disebut range (daerah hasil)
2.
3. {(1,a) , (2,c) , (3,c)} {(1,a) , (1,c) , (2,b) , (3,d)}
− Notasi pemetaan/fungsi :
◊ Sebuah fungsi f memasangkan setiap x anggota A dengan y anggota B dituliskan notasinya adalah f : x → y dibaca “ fungsi “f memetakan x ke y”. y disebut bayangan atau peta dari x
oleh fungsi f atau dapat ditulis dalam bentuk rumus f(x) = y.
− Jika banyaknya anggota A adalah n(A) dan banyaknya anggota B adalah n(B) maka banyaknya 1 2 3 a b c d 1 2 3 a b c d 1 2 3 a b c 1 2 3 a b c d 1 2 3 A d c b a 1 2 3 A B d c b a
pemetaan yang mungkin dibuat dari A ke B adalah = n(B)n(A) dan banyaknya pemetaan yang mungkin dibuat dari B ke A adalah = n(A)n(B)
− Korespondensi satu-satu antara himpunan A dan B adalah jika setiap anggota A mempunyai pasangan hanya satu anggota B dan setiap anggota B hanya berpasangan dengan satu anggota A.
− Jika n(A) = n(B) = k maka banyaknya korespondensi satu-satu yang mungkin dibuat dari A ke B adalah = 1 x 2 x 3 x 4 x ... x k
6. Menentukan gradient, persamaan garis dan grafiknya.
– Gradien adalah ukuran kemiringan sebuah garis terhadap garis mendatar (horisontal). Jika sebuah garis membentuk sudut α dengan garis mendatar maka gradien garis tersebut = tg α atau m = komponen y
komponen x
Jika sebuah titik A(x1 , y1) dan B (x2 , y2) maka gradien garis yang melalui titik A dan B
adalah mAB = y2−y1 x2−x1
Jika diketahui sebuah garis mempunyai persamaan → y = ax + b maka gradien garis itu adalah m = a ==>>> tips menentukan gadien jika dalam soal diketahui sebuah persaman garis adalah mengubah persamaan garis itu sehinnga berbentuk y = ax + b.
– Persamaan garis :
Persamaan garis yang melalui titik P(x1 , y1) dan mempunyai gradien m mempunyai
persamaan ==>>> y – y1 = m(x – x1)
Persamaan garis yang melalui titik A(x1 , y1) dan B (x2 , y2) adalah ==>>
y− y1 y2−y1=
x−x1 x2−x1 Jika garis k sejajar dengan garis l maka gradien kedua garis sama besar. ==>>> mk = ml Jika garis a tegak lurus dengan garis b maka perkalian gradien garis itu sama dengan -1
==>>>> ma x mb = - 1
Menentukan persamaan garis yang sejajar dengan garis y = ax + b dan melalui titik A(x1 , y1) ==>>>> y – y1 = a(x – x1)
Menentukan persamaan garis yang tegak lurus dengan garis y = ax + b dan melalui titik A(x1 , y1) ==>>>> y – y1 = −1a (x – x1)
7. Menentukan penyelesaian system persamaan linear dua variable. Contoh Soal :
Amir membeli 2 kg gula dan 3 kg terigu dengan harga Rp. 16.000,- Agung membeli 3 kg gula dan 4 kg terigu di toko yang sama dengan harga Rp. 23.000,- Berapa harga 1 kg gula dan 1 kg terigu di toko itu?
Jawab :
− Dengan metode/cara eliminasi :
6x + 3y = 36 000 |x 1| 6x + 3y = 36 000 3x + 4y = 23 000 |x 2| 6x + 8y = 46 000 _ 0 – 5y = –10 000 y = – 10 000 / 5 y = 2 000 6x + 3y = 36 000 |x 4| 24x + 12y = 144 000 3x + 4y = 23 000 |x 3| 9x + 12y = 69 000 _ 15x + 0 = 75 000 x = 75 000 / 15 x = 5 000
● dengan cara/metode substitusi : (i) 6x + 3y = 36 000 <=> 6x = 36 000 – 3y x = 36 000 − 3y 6 x = 6 000 – ½y (ii) 3x + 4y = 23 000 <=> 3(6 000 – ½y) + 4y = 23 000 18 000 – 3/ 2 y + 4y = 23 000 – 3/ 2 y + 4y = 23 000 – 18 000 −3 8 2 y = 5 000 52y = 5 000 y = 5 000 ∗2 5 =2 000
● Dengan cara/metode grafik :
○ Gambar garis berdasarkan persamaan (1) dan (2) pada koordinat kartesius. ○ Penyelesaian adalah koordinat titik potong kedua garis.
● Dengan metode gabungan antara eliminasi dan substitusi :
○ Lakukan eliminasi terhadap salah satu variabel hingga diperoleh nilai variabel itu.
○ Nilai variabel yang telah diperoleh kemudian disubstitusikan pada salah satu persamaan hingga diperoleh nilai variabel yang lain.
