MATEMATIKA UMUM KELAS X / GANJIL
BAB 5
FUNGSI LANJUTAN DAN GRAFIKNYA (fungsi linear, fungsi kuadrat, dan fungsi rasional)
A. Definisi Fungsi
Fungsi dalam matematika adalah suatu relasi yang menghubungkan setiap anggota x dalam suatu himpunan yang disebut daerah asal (domain) dengan suatu nilai tunggal f(x) dari suatu himpunan kedua yang disebut daerah kawan (codomain). Himpunan nilai yang diperoleh dari relasi tersebut disebut daerah hasil (range). Jika ada dua himpunan, yaitu himpunan A dan himpunan B, maka suatu fungsi dari himpunan A ke himpunan B adalah suatu relasi yang khusus, yaitu relasi dimana setiap anggota A dikawankan dengan tepat satu anggota B.
Untuk mendefinisikan fungsi dapat digunakan notasi berikut. f : A → B (dibaca f memetakan A ke B
Dengan demikian kita telah mendefinisikan fungsi f yang memetakan setiap elemen himpunan A kepada B. Notasi ini hanya mengatakan bahwa ada sebuah fungsi f yang memetakan dua himpunan, A kepada B. Tetapi bagaimana tepatnya pemetaan tersebut tidaklah terungkapkan dengan baik.
1. Fungsi Linear
Fungsi linear adalah suatu fungsi yang hanya memiliki satu variabel (misalnya ) dimana eksponen (pangkat) tertinggi dari variabelnya adalah satu.
Catatan : Pada fungsi linear, variabel tidak boleh terdapat pada penyebut. Notasi, Daerah Asal, dan Daerah Hasil Fungsi Linear
Fungsi dinotasikan dengan huruf kecil, seperti f, g, atau h. pada gambar diatas fungsi f memetakan himpunan A ke himpunan B dinotasikan dengan f: A B.
Fungsi f yang memetakan x anggota himpunan A ke y anggota himpunan B dinotasikan sebagai f: x y atau f: x f(x).
Himpunan dari nilai x disebut daerah asal atau domain f. daerah asal f dinonasikan dengan Df.
gambar grafik berdasarkan daerah asal:
Ket : ( ) bulat kosong untuk bertanda < dan > ( ) bulat penuh untuk bertanda ≤ dan ≥ Untuk darerah asal tak hingga -∞ / +∞
Contoh 1: Tentukan daerah asal, daerah hasil, dan persamaan grafik fungsi linear berikut.
Penyelesaian:
Menentukan daerah asal (Df)
Dari gamabar terlihat nilai x paling kiri adalah negative tak hingga sehingga x > -∞ Nilai x paling kanan adalah x = 1 dan titik ujung (1,2) bulat penuh sehingga x ≤ 1.
Menentukan daerah hasil (Rf)
Nilai terendah adalah y = -2 dan titik ujung (1,2) bulat penuh sehingga y ≥ -2. Nilai y tertinggi adalah positif tak hingga sehingga y < +∞
Dengan demikian, daerah hasil grafik adalah * | + atau * | + Bentuk umum persamaan grafik diatas adalah y = f(x) = ax +b.
Dari gambar grafik melalui titik A(1,2) dan B(0,1) maka yA = f(xA) = ax + b -2 = a × 1 + b -2 = a + b yB = f(xB) = ax + b 1= a × 0 + b b = 1 maka, -2 = a + 1 a = -2-1 a = -3 sehingga diperoleh y = f(x) = -3x + 1
Contoh 2 : Gambarkan sketsa grafik f(x) = 3x – 2 dengan Df = * | + dan tentukan
daerah hasilnya!
Penyelesaian :
Langkah 1 : menggambar sketsa grafik
Menentukan dua titik yang dilalui grafik fungsi y = f(x) = 3x – 2
X 0 1 -2 2
Y=f(x) -2 1 8 4
Daerah asal Df = * | + sehingga titik ujung grafik paling kiri dengan absis -2 bulat
kosong dan titik ujung grafik paling kanan degan absis 2 bulat kosong. Sketsa grafik fungsi y = f(x) = 3x – 2 dengan Df = * | + adalah sebagai berikut.
Langkah 2 : menentukan daerah hasil grafik Rf
Nilai y terendah adalah y = -8 dan titik ujung (2,-8) bulat kosong sehingga y > -8. Nilai y tertinggi adalah y = 4 dan titik ujung (2,4) bulat penuh sehingga y ≤ 4. Dengan demikian, daerah hasil grafik adalah * | +
2. Fungsi Kuadrat
Fungsi kuadrat adalah suatu fungsi yang hanya memiliki satu variabel (misalnya ) dimana eksponen (pangkat) tertinggi dari variabelnya adalah dua.
Catatan : Pada fungsi linear, variabel tidak boleh terdapat pada penyebut.
a. Unsur-unsur Fungsi Kuadrat Bentuk Umum ( ) , adalah sebagai berikut Titik puncak/ekstrem ( ( )) atau ( ) dengan
Sumbu simetri : garis
Nilai Ekstrem (maksimum atau minimum) : (
) atau ,
Titik A disebut: 1) Titik puncak;
2) Titik ekstreme (terendah);atau 3) Titik balik minimum
Titik B disebut: 4) Titik puncak;
5) Titik ekstreme (tertinggi);atau 6) Titik balik maksimum
b. Sifat – sifat grafik fungsi kuadrat f(x) = ax2 + bx + c Berdasarkan nilai a, b, dan c
Nilai a > 0 grafik terbuka keatas. Nilai a < 0 grafik terbuka kebawah Nilai a > 0 dan b > 0 atau a < 0 dan b < 0 titik puncak dikiri sumbu Y
Nilai a > 0 dan b < 0 atau a < 0 dan b > 0 titik puncak dikanan sumbu Y
Nilai c > 0 grafik memotong sumbu Y positif. Nilai c < 0 grafik memotong sumbu Y negative
Berdasarkan nilai diskriminan (D)
Jika D = 0, grafik memotong sumbu X di satu titik atau menyinggung sumbu X Jika D > 0, grafik memotong sumbu X di dua titik berlainan
Jika D < 0, grafik tidak memotong atau tidak menyinggung sumbu X Perhatikan grafik funhsi berikut
c. Langkah – Langkah Menentuka Daerah Hasil Fungsi Kuadrat
Menentukan koordinat titik-titik ujung grafik (m, f(m)) dan (n, f(n)) serta titik balik grafik Menggambar sketsa grafik
Menentukan daerah hasil grafik dari gambar dengan cara melihat nilai y terendah, niali y tertinggi, titik ujung grafik bulat kosong atau bulat penuh.
Contoh 1:
Perhatikan grafik fungsi Kuadrat berikut,
Tentukan ;
a. Daerah asal dan daerah hasil grafik fungsi kuadrat diatas
b. Selidiki nilai a dan diskriminan setiap grafik fungsi kuadrat tersebut Penyelesaian:
a) Dari ganbar terlihat nilai x paling kiri adalah x = -5 dan titik ujung (-5,6) bulat kosong sehingga x - 5
Nilai x paling kanan adlaah positif tak hingga sehingga x < +∞
Dengan demikian, daerah asal grafik adalah * | + atau * | + Nilai y terendah adalah y = -2 dan titik (-3, -2) pada grafik sehingga y -2
Nilai y tertinggi positif tak hingga sehingga y +
Dengan demikian, daerah hasil grafik adalah * | + atau * | + b) Grafik terbuka ke atas sehingga nilai a 0.
Grafik memotong sumbu X di dua titik sehingga nilai D 0
Contoh 2: Gambarkan grafik dari fungsi kuadrat f(x) = -x2 + 2x + 3 dengan Df = * | + lalu
tentukan daerah asalnya! Penyelesaian:
Menggambar sketsa grafik
1) Menentukan koordinat titik potong grafik dengan sumbu X. Grafik memotong sumbu X jika y = f(x) = 0
F(x) = 0 -x2 + 2x + 3 = 0 x2 - 2x – 3 = 0 (x – 3) (x + 1) = 0 (x – 3) = 0 atau (x + 1) = 0 x = 3 atau x = -1
diperoleh koordinat titik potong dengan sumbu X yaitu (3,0) dan (-1,0) 2) Menentukan koordinat titik potong grafik dengan sumbu Y.
Grafik memotong Y jika x = 0 Untuk x = 0 diperoleh: f(0) = -02 +2(0) + 3 = 3
Diperoleh koordinat titik potong dengan sumbu Y yaitu (0,3)
3) Menentukan koordinat titik balik (xp,yp), dari fungsi kuadrat f(x) = -x 2 + 2x + 3 dieroleh nilai a = -1, b = 2, dan c = 3 xp = = ( ) = = 1 yp = f(xp) = f(1) = -(1)2 +2(1) + 3 = -1 + 2 + 3 = 4
Diperoleh koordinat titik balik (1,4)
4) Daerah asal * | + sehingga titik ujung grafik paling kiri berbasis -2 tidak berlubang dan titik ujung grafik paling kanan positif tak hingga.
Menentukan ordinat titik ujung grafik paling kiri y = f(- 2)
= - (-2)2 + 2(-2) + 3 = -4 – 4 + 3
= -5
Diperoleh koordinat titik ujung grafik paling kiri (-2,-5). Nilai a = - 1 0 maka grafik terbuka ke bawah
Sketsa grafik fungsi kuadrat f(x0 = -x2 + 2x + 3 dengan Df = * | + sebagai berikut.
Menentukan daerah hasil grafik
Dari gambar terlihat, niali y terendah adalah negative tak hingga sehingga y - . Nilai y tertinggi adalah y = 4 dan titik (1,4) pada grafik sehigga y .
Dengan demikian, daerah hasilnya adalah Rf = * | + atau
Rf = * | +
3. Fungsi Rasional
Fungsi rasional didefenisikan sebagai fungsi yang dinyatakan sebagai rasio dari dua fungsi polinomial satu variabel dengan bentuk umum ( ) ( )
( ) ( )
Asimtot horizontal grafik ( ) didefenisikan sebagai garis horizontal dengan persamaan umum dengan k adalah konstanta real, dimana jika x bertambah tanpa batas ( ) atau berkurang tanpa batas ( ), grafik akan mendekati garis horizontal atau ( ) .
Asimtot fungsi rasional aljabar ( ) ( ) ( ) hanya bergantung pada rasio antara suku utama pembilang dan suku utama penyebutnya.
b. Asimtot Miring
Asimtot miring adalah ganti dari asimtot horizontal ketika suku utama pembialang satu lebih besar daripada derajat suku utama penyebutnya. Asimtot miring didefenisikan sebagai suatu garis miring dengan gradient tertentu terhadap arah horizontal, yang akan didekati oleh kurva grafik pada ujung-ujung intervalnya. Persamaan umum asimtot miring adalah , dengan .
Asimtot miring bisa ditentukan dengan melakukan operasi pembagian cara bersusun panjang pada fungsi rasional. Asimtot miring diperoleh dari hasil baginya.
c. Asimtot Vertikal
Asimtot vertikal grafik ( ) didefenisikan sebagai garis vertikal dengan persamaan umum dengan h adalah konstanta real, dimana jika y bertambah tanpa batas ( ) atau berkurang tanpa batas ( ), grafik akan mendekati garis vertikal .
Untuk fungsi rasional aljabar ( ) ( )
( ) dalam bentuk paling sederhana ( ( ) dan ( )
tidak memiliki faktor yang sama), asimtot vertikal diperoleh dengan mengatur fungsi penyebut ( ) dan menyelesaikannya.
d. Langkah-langkah Menggambar Sketsa Grafik Fungsi Rasional Tentukan intersep y dengan mensubstitusikan ke fungsi ( ) Tentukan intersep x dengan mensubstitusikan ke fungsi ( ) Menentukan asimtot horizontal atau asimtot miring
Menentukan asimtot vertikal
Gambar unsur-unsur dari fungsi rasional pada bidang kartesius sehingga terdapat beberapa daerah karena adanya asimtot
Lakukan uji daerah
Contoh 1 : Perhatikan grafik fungsi rasional berikut
a. Daerah asal dan daerah hasil fungsi kuadrat tersebut b. Asimtot datar dan aimtot tegak
c. Persamaan grafik fungsi rasional tersebut Penyelesaian:
a. Dari gambar terlihat nilai x paling kiri adalah negative tak hingga sehingga x > - . Nilai x paling kanan adalah positif tak hingga sehingga x < + .
Grafik tidak memiliki nilai di x = 2.
Dengan demikian, daerah asal grafik adalah * | + atau * | +.
Nilai y terendah adalah negative tak hingga sehingga nilai y > - Nilai y tertinggi adalah positif tak hingga sehingga nilai y < + Grafik tidak melalui grafik y = 1.
Dengan demikian, daerah hasil grafik adalah * | + atau * | +.
Jadi, daerah asal grafik adalah = * | + dan daerah hasilnya = * | +. b. Dari gambar terlihat, ketika x - , y 1 dan ketika x + y 1. Dengan demikian, y = 1
merupakan asimtot datar.
Dari gambar terlihat, ketika x menyebabkan y - .
Ketika x menyebabkan y → + . Dengan demikian, x = 2 merupakan asimtot tegak. Jadi, asimtot datar grafik adalah y = 1 dan asimtot tegaknya x = 2.
c. Dari gambar terlihat grafik memiliki asimtot datar y = 1 dan asimtot tegak x = 2 sehingga persamaan grafik berbentuk y = f(x) =
dengan cx + d 0.
Grafik memiliki asimtot datar y = 1 maka : = 1 maka, d = -2c . . . (1)
Grafik memiliki asimtot tegak x = 2 maka: = 2 maka, d = -2c . . . (2)
Grafik melalui titik A(-1,0) maka = f( ) 0 = f(-1) 0 = -a + b = 0 b = a . . . (3)
Dari persamaan (1), (2), dan (3) diperoleh b = a, c = a, dan d = -2a. Misalkan dipilih a = 1 maka diperoleh b = 1, c = 1, dan d = -2.
Substitusikan nilai a = 1, b = 1, c = 1, dan d = -2 ke dalam persamaan y = f(x) =
Sehingga diperoleh y = f(x) =
Jadi, persamaan grafik fungsi tersebut adalah f(x) =
dengan x 2.
1. Tentukan daerah asal, daerah hasil, dan persamaan grafik fungsi linear berikut.
2. Perhatikan gambar berikut!
Tentukan ;
a. Daerah asal dan daerah hasil grafik fungsi kuadrat diatas
b. Selidiki nilai a dan diskriminan setiap grafik fungsi kuadrat tersebut
3. Perhatikan gambar berikut!
Tentukan :
a. Daerah asal dan daerah hasil fungsi kuadrat tersebut
b. Asimtot datar dan aimtot tegak c. Persamaan grafik fungsi rasional
tersebut LATIHAN SOAL
