6
FUNGSI LINEAR DAN FUNGSI
KUADRAT
5.1.Fungsi Linear
Pada Bab 5 telah dijelaskan bahwa fungsi linear merupakan fungsi yang variabel bebasnya paling tinggi berpangkat satu. Bentuk umum fungsi linear adalah
f (x) = ax + b, dengan a, b ∈R, dan a ≠ 0 (6.1) Grafik fungsi linear berbentuk kurva garis lurus yang memotong sumbu-x di (x, 0) dan sumbu-y di (0, y). Koefisien arah atau gradien m dari fungsi linear merupakan nilai yang menentukan perbandingan dari perubahan nilai y dengan perubahan nilai x, yang nilainya dapat berharga positif atau negatif. Jika m positif berarti arah garis fungsi linear tersebut adalah dari kiri bawah ke kanan atas, dan jika m negatif maka arah garis fungsi linear adalah dari kiri atas ke kanan bawah. Perhatikan Gambar 6.1. berikut:
Gambar 6.1. Ruas garis AB.
Komponen y dari garis AB = y2 – y1. Sedangkan komponen x dari garis AB =
x2– x1. Sehingga
Perubahan komponen Perubahan komponen
y m
x
2 1
2 1
y y m
x x
(6.2)
Jika garis melalui titik pangkal (0, 0), maka gradien garisnya adalah
y m
x
Contoh 1
Tentukan gradien garis yang melalui a. Titik P(2, -5) dan titik Q(-9, 3) b. Titik pangkal dan titik A(-2, -8). Penyelesaian:
b. Melalui titik pangkal dan titik A(-2, -8) 8
Jadi, gradien garis yang melalui titik pangkal dan titik A(-2, -8) adalah m = 4.
5.1.1. Persamaan Garis Lurus yang Melalui Satu Titik Perhatikan Gambar 6.2. di bawah ini:
Gambar 6.2. Persamaan garis lurus.
Pada garis l terdapat titik A dengan koordinat (x1, y1) dan titik B dengan
koordinat bebas, yaitu (x, y). Jika gradien garis l dinyatakan dengan m, maka AB terdiri astas semua titik (x, y) dengan hubungan seperti berikut:
1 1
adalah:
y – y1 = m(x – x1) (6.4)
Contoh 2.
Tentukanlah persamaan garis yang melalui titik A(-3, 4) dengan gradien -2. Penyelesaian:
Titik A(-3, 4) berarti x1 = -3, y1 = 4.
Gradien -2 berarti m = -2.
Persamaan garis dengan gradien m dan melalui titik (x1, y1) adalah:
y – y1 = m(x – x1)
Jadi, persamaan garis yang melalui titik A(-3, 4) dan bergradien -2 adalah y = -2x – 2.
5.1.2. Persamaan Garis Lurus yang Melalui Dua Titik
Perhatikan kembali Gambar 6.1. Gradien garis yang melalui titik (x1, y1) dan
(x2, y2) adalah 2 1
. Selanjutnya, dengan menggunakan Persamaan (6.4)
Contoh 3
Perhatikan Gambar 6.3. berikut
Gambar 6.3. Persamaan garis l.
Tentukanlah persamaan garis l. Penyelesaian:
5.1.3. Hubungan Dua Buah Garis Lurus
d. Persamaan garis k berpotongan dengan garis l jika kedua garis tersebut memiliki sebuah titik persekutuan yang disebut titik potong. Titik potong antara kedua persamaan garis diperoleh apabila k = l.
Contoh 4.
Tentukan persamaan garis yang melalui titik A(6, 2) dan sejajar dengan garis yang melalui titik P(2, -5) dan Q(-6, 3).
Penyelesaian:
Garis yang melalui P(2, -5) dan Q(-6, 3). P(2, -5) berarti x1 = 2, y1 = -5.
Q(-6, 3) berarti x2 = -6, y2 = 3.
Misalkan gradien garis yang melalui titik P(2, -5) dan Q(-6, 3) adalah m1 maka:
2 1
1
2 1
3 ( 5) 8 1
6 2 8
y y m
x x
Misalkan pula gradien garis yang melalui titik A(6, 2) adalah m2.
Karena persamaan garis yang melalui titik A(6, 2) dengan garis yang melalui titik P(2, -5) dan Q(-6, 3) adalah sejajar, maka
m1 = m2 = -1.
Sehingga persamaan garis dengan gradien m2 = -1 dan melalui titik A(6, 2) adalah:
y – y1 = m2 (x – x1)
⇔ y – 2 = -1(x – 6) ⇔ y – 2 = -x + 6 ⇔ y = -x + 6 + 2 ⇔ y = -x + 8
Jadi, persamaan garis yang melalui titik A(6, 2) dan sejajar dengan garis yang melalui titik P(2, -5) dan Q(-6, 3) adalah y = -x + 8. ∎
Contoh 5.
Carilah titik potong y = 10 – 2x dan y = x + 2. Penyelesaian:
Titik potong kedua persamaan diperoleh jika kedua persaman tersebut dipersamakan. Sehingga:
10 – 2x = x + 2 ⇔ 3x = 8 ⇔ x = 8/3.
Untuk x = 8/3, maka diperoleh y = (8/3) + 2 = 14/3.
Gambar 6.4. Persamaan garis y = 10 – 2x dan y = x + 2.
∎
5.2.Fungsi Kuadrat
Fungsi f: R⟶ R yang berbentuk f (x) = ax2 + bx + c, dengan a ≠ 0 disebut fungsi kuadrat. Grafik fungsi kuadrat berbentuk parabola dengan persamaan y = ax2 + bx + c. Dalam grafik fungsi, akar fungsi dapat dilihat dari titik potongnya terhadap sumbu-x.
Salah satu cara yang dapat dilakukan untuk menentukan akar fungsi kuadrat adalah dengan menggunakan rumus berikut:
12
. Artinya grafik hanya akan memotong sumbu-x di satu titik.
Jika nilai D > 0, maka terdapat dua akar fungsi kuadrat 1
. Artinya grafik fungsi memotong sumbu-x di dua titik.
Jika D < 0, maka nilai D adalah imajiner (bernilai negatif) sehingga akar real tidak ada atau grafik tidak memotong sumbu-x.
Gambar 6.5. Kurva fungsi kuadrat f(x) = ax2 + bx + c berdasarkan nilai a dan diskriminan D. Fungsi kuadrat f (x) = ax2 + bx + c, selalu memiliki nilai ekstrim maksimum atau nilai ekstrim minimum tergantung pada nilai a. Jika a > 0 maka parabola terbuka ke atas dan mempunyai nilai minimum. Sedangkan jika a < 0 maka parabola terbuka ke bawah dan mempunyai nilai maksimum.
2 dengan nilai minimum -13/8.
Soal Latihan
1. Tentukan titik potong dari a. 4x + y = 12 dan 2x + y = 8. b. 7x + 5y = 2 dan 5x + 7y = -2
2. Misalkan titik potong dari soal No.1 adalah (x0, y0), maka tentukanlah
a. x0– y0
b. x0 + y0
3. Tentukan akar-akar persamaan kuadrat berikut: a. y = x2 + 2x – 3
b. y = 4x – x2
4. Jika x1 dan x2 adalah akar-akar persamaan kuadrat x2 – 6x – 5 = 0, maka
berapakah x12 + x22.
