Matematika - FUNGSI KUADRAT

Contoh penerapan fungsi kuadrat dalam kehidupan nyata

PENGERTIAN FUNGSI KUADRAT

Fungsi kuadrat adalah fungsi yang berbentuk :

f(𝑥) = 𝑎𝑥² + 𝑏𝑥 + 𝑐 atau 𝑦 = 𝑎𝑥² + 𝑏𝑥 + 𝑐 Dengan a, b, dan c merupakan bilangan real, dan a ≠ 0

Contoh:

1. 𝑓(𝑥) = 𝑥² + 6𝑥 − 8 2. 𝑓(𝑥) = 2𝑥² − 𝑥 − 3 3. 𝑓(𝑥) = 2𝑥² + 7𝑥 + 6 4. 𝑓(𝑥) = 𝑥² + 8𝑥 + 16

Grafik fungsi kuadrat 𝑦 = 𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥² + 𝑏𝑥 + 𝑐 berbentuk parabola yang posisinya ditentukan oleh nilai a

SIFAT GRAFIK FUNGSI KUADRAT DITINJAU DARI NILAI DISKRIMINAN

Pada grafik fungsi kuadrat 𝑦 = 𝑎𝑥² + 𝑏𝑥 + 𝑐, untuk menentukan fungsi memotong, menyinggung, atau tidak memotong dan tidak menyinggung dengan sumbu 𝑥, ditinjau dari nilai diskriminan, yaitu 𝐷 = 𝑏² − 4𝑎𝑐.

1. Jika D > 0, maka parabola memotong sumbu 𝑥 pada dua titik yang berbeda

2. Jika D = 0, maka parabola menyinggung sumbu 𝑥

3. Jika D < 0, maka parabola tidak memotong dan menyinggung sumbu 𝑥

SIFAT GRAFIK FUNGSI KUADRAT DITINJAU DARI NILAI DISKRIMINAN

Contoh soal:

Tentukan sifat grafik fungsi kuadrat berikut :

1. 𝑦 = 𝑥

²

+ 8𝑥 + 12

2. 𝑓(𝑥) = −2𝑥

²

+ 𝑥 + 3

3. 𝑦 = 𝑥

²

+ 10𝑥 + 25

4. 𝑓(𝑥) = −3𝑥

²

+ 4𝑥 −5

Pembahasan

1. 𝑦 = 𝑥

²

+ 8𝑥 + 12 a = 1, b = 8, c = 12

𝐷 = 𝑏

²

− 4𝑎𝑐 𝐷 = 8

²

− 4.1.12 = 64 − 48

= 16 > 0

Karena a = 1 > 0 dan D > 0 maka fungsi kuadrat terbuka ke atas dan memotong sumbu 𝑥

2. f(x) = −2𝑥

²

+ 𝑥 +3 a = −2, b = 1, c = 3

𝐷 = 𝑏

²

− 4𝑎𝑐

𝐷 = 1

²

− 4. (−2). 3 = 1 + 24

= 25 > 0

Karena a = 1 > 0 dan D > 0 maka

fungsi kuadrat terbuka ke atas

dan memotong sumbu 𝑥

Pembahasan

𝐷 = 𝑏

²

− 4𝑎𝑐

𝐷 = 10

²

− 4.1.25 = 100 − 100 = 0

Karena a = 1 > 0 dan D = 0 maka fungsi kuadrat terbuka ke atas dan menyinggung sumbu 𝑥

4. f x = −3𝑥

²

+ 4𝑥 − 5 a = −3, b = 4, c = −5

𝐷 = 𝑏

²

− 4𝑎𝑐

𝐷 = 4

²

− 4. (−3). (−5 )

= 16 −60 = −44 < 0

Karena a = −3 < 0 dan D < 0 maka fungsi kuadrat terbuka ke bawah dan tidak memotong sumbu 𝑥

3. 𝑦 = 𝑥

²

+ 10𝑥 + 25

a = 1, b = 10, c = 25

Tentukan sifat-sifat grafik dari fungsi kuadrat(𝑓 𝑥 = 𝑦) berikut ini bila ditinjau dari nilai diskriminannya dan sketsalah grafiknya (seperti pada slide 6 dan 7:

1. 𝑓 𝑥 = 𝑥

²

− 2𝑥 + 8

2. 𝑓 𝑥 = 2𝑥

²

+ 8𝑥 + 11

3. 𝑦 = 𝑥

²

+ 2𝑥 −15

4. 𝑓 𝑥 = −𝑥

²

+ 𝑥 + 6

Kerjakanlah Latihan soal di samping ini di buku tulismu, kemudian:

1. fotolah hasilnya dan

2. beri nama file: namamu_kelasmu_Tugas 3.3.1.

Contoh nama file: Fauzan_9.1_Tugas 3.3.1.

3. Kirimlah tugasmu melalui google classroom

MENGGAMBAR GRAFIK FUNGSI KUADRAT

Oleh: Harti Rahayu, S.P., M.Pd

Cara 1.

Langkah-Langkah menggambar grafik fungsi kuadrat

Grafik fungsi kuadrat adalah grafik berbentuk kurva (parabola atau hiperbola)

1. Memperkirakan karakteristik grafik fungsi kuadrat dengan memperhatikan nilai a dan nilai diskriminannya

2. Menentukan titik potong dengan sumbu 𝑥 (nilai y atau𝑓(𝑥) nya sama dengan 0) 3. Menentukan titik potong dengan sumbu y (nilai 𝑥 = 0)

4. Menentukan sumbu simetri: 𝑥 = − ^𝑏

2𝑎

5. Menentukan titik puncak x, y = − ^𝑏

2𝑎 , − ^{𝑏2−4𝑎𝑐}

4𝑎 atau hitung nilai y menggunakan nilai 𝑥 yang diperoleh pada perhitungan no. 4 dengan mensubtitusikan/mengganti nilai x ke dalam persamaan 𝑓(𝑥)

6. Menggambarkan dan menghubungkan titik-titik koordinat tersebut (bentuk kurva/parabola/ hyperbola) pada diagram kartesius

Contoh:

Gambarlah grafik fungsi kuadrat

𝑦 = 𝑥² − 2𝑥 − 8 Jawab:

Dari persamaan 𝑦 = 𝑥² − 2𝑥 − 8 diperoleh nilai a = 1, b = −2, dan c = −8

Secara sepintas kita akan mengetahui sketsa grafik menggunakan nilai a dan D:

1. Nilai 𝑎 = 1 > 0 artinya grafik akan terbuka ke atas

2. Nilai 𝐷 = 𝑏² − 4𝑎𝑐

= −2 ² − 4 1 −8 = 4 + 32 = 36,

Nilai D = 36 > 0 artinya grafik akan memotong sumbu 𝑥 pada dua titik.

Sketsa grafiknya, seperti

gambar di bawah ini

1. Tentukan titik potong dengan

sumbu 𝑦 (nilai 𝑥 = 0) y = 𝑥² − 2𝑥 − 8

𝑦 = 0² − 2 0 − 8 𝑦 = −8

Jadi diperoleh titik

potong dengan sumbu 𝑦 adalah (0,−8)

Letakkan titik 𝑦 tersebut ke dalam koordinat kartesius pada Langkah 1

Langkah-Langkah menggambar grafik fungsi kuadrat:

𝑦 = 0 𝑥² − 2𝑥 − 8 = 0

𝑥 − 4 𝑥 + 2 = 0

𝑥 − 4 = 0 dan 𝑥 + 2 = 0

𝑥 = 4 𝑥 = −2

Jadi diperoleh titik potong dengan sumbu 𝑥 adalah (4,0) dan (−2,0)

2. Tentukan titik potong dengan sumbu 𝑥 (nilai 𝑦 atau 𝑓 𝑥 = 0)

Letakkan titik potong sumbu x tersebut ke dalam koordinat kartesius

3. Menentukan koordinat titik puncak/titik balik (𝑥, 𝑦) adalah (− ^𝑏

2𝑎 , − ^{𝑏2−4𝑎𝑐}

4𝑎 ), 𝑥 = − ^𝑏

2𝑎 = − ⁻²

2 1 = 1

𝑦 = − ^{𝑏2−4𝑎𝑐}

4𝑎 = − ^{−2 2−4 1 −8}

4 1

= − ⁴⁺³²

4 = − ³⁶

4 = −9

atau dari langkah 3 diketahui nilai sumbu simetri 𝑥 = 1, maka subtitusikan ke 𝑦 =

𝑥²−2𝑥 − 8 = 1² − 2 1 − 8 = 1 − 2 − 8 = 9

Jadi koordinat titik

puncaknya adalah (1,−9)

4. Menggambar grafik fungsi

kuadrat, dari titik-tik koordinat yang telah kita hitung dan

poreleh sebelumnya, yaitu:

- titik potong dengan sumbu 𝑥 adalah (4,0) dan (−2,0)

- titik potong dengan sumbu 𝑦 adalah (0,−8)

- sumbu simetri 𝑥 = 1 - koordinat titik baliknya adalah (1,−9)

Cara 2.

Menggambar grafik fungsi kuadrat menggunakan tabel

Contoh:

Gambarlah grafik fungsi: 𝑓: 𝑥 → −𝑥² − 2 Penyelesaian:

1. Kita tentukankan dahulu nilai domain atau 𝑥 nya, misal {−2,−1,0,1,2}

2. Subtitusikan masing-masing setiap nilai 𝑥 ke dalam fungsi 𝑓 𝑥 = −𝑥² − 2 untuk memperoleh nilai y

𝑥 = −2➔ 𝑓 −2 = −(−2)² − 2 = −4 − 2 = −6

𝑥 = −1➔ 𝑓 −1 = −(−1)² − 2 = −1 − 2 = −3

𝑥 = 0 ➔ 𝑓 0 = −(0)² − 2 = 0 − 2 = −2

𝑥 = 1 ➔ 𝑓 1 = −(1)² − 2 = −1 − 2 = −3

𝑥 = 2 ➔ 𝑓 2 = −(2)² − 2 = −4 − 2 = −6

3. Kemudian kita buat tabelnya:

x −2 −1 0 1 2

y −6 −3 −2 −3 −6

(x,y) (−2, −6) (−1,−3) (0, −2) (1,−3) (2,−6)

4. Letakkan titik-titik koordinat tersebut ke dalam koordinat kartesius berikut

kemudian hubungkan titik-titik koordinat tersebut hingga terbentuk kurva parabola, seperti gambar di bawah ini

Kerjakanlah soal-soal berikut dalam kertas berpetak atau

milimeter block), kemudian fotolah hasilnya dan kirimkan melalui email ke rahayuharti23@gmail.com

Gambarlah grafik fungsi kuadrat berikut,

menggunakan langkah-langkahnya pada cara 1.

1. 𝑦 = 𝑥

²

+ 8𝑥 + 12

2. 𝑓(𝑥) = −2𝑥

²

+ 𝑥 + 3

Gambarlah grafik fungsi kuadrat menggunakan cara 2/table dengan domain = { −2, −1, 0, 1, 2}

1. 𝑦 = 𝑥

²

− 5𝑥 + 6

2. 𝑓 𝑥 = −3𝑥

²

− 1

Pada saat peresmian Lapangan tembak Tigin Priyatna di Lanud Atang Sanjaya, Pangkop Udara 1 yang didampingi oleh Danlanud Atang Sanjaya beserta

jajarannya menembakkan suatu peluru ke

atas. Tinggi peluru pada saat t detik

dirumuskan oleh ℎ(𝑡) = 40𝑡 − 5𝑡

²

(dalam

satuan meter). Tinggi maksimum yang dapat

ditempuh oleh peluru tersebut adalah ….

Seorang pemain bola basket Kabupaten Bogor mempunyai tinggi 180 cm, sedangkan tinggi ring adalah 3 meter. Pemain basket tersebut melempar bola pada jarak sejauh 4 meter dari posisi horizontal ring dan diasumsikan posisi awal bola tepat berada di atas kepalanya. Ternyata lemparannya mempunyai tinggi maksimum 3,8 meter dan secara horizontal

berjarak 2,5 meter dari pemain. Jika trayektori

(lintasan) lemparannya berbentuk parabola, maka bola tersebut akan tepat masuk ke ring saat

ketinggian maksimum ….

Dua orang berangkat pada waktu yang sama dari jasinga menuju taman safari Cisarua, serta bepergian melalui jalan- jalan yang saling tegak lurus. Seseorang bepergian dengan kecepatan 4 km/jam lebih cepat dari yang lainnya.

Setelah 2 jam mereka terpisah pada

jarak 40 km. Tentukan jumlah jarak yang ditempuh kedua orang tersebut.

"Jika seseorang maju dengan percaya diri ke arah mimpinya, dan berusaha untuk menjalani kehidupan yang dia bayangkan, dia akan

bertemu dengan keberhasilan yang tidak terduga dalam jam-jam umum."

- Henry David Thoreau