Kelompok 6 :
Arief Rachman Rida A. (5115122623)
Cut Zarmayra Zahra (5115120353)
Fajar Muttaqin (5115122606)
Inggih Piany Syanita (5115122568)
Moh. Syamsul Nur (5115122604)
Reza Irhamsyah (5115122572)
Siti Mardiah (5115122581)
Yusup Fawzi Yahya (5115122591)
PENDIDIKAN TEKNIK ELEKTRO REGULER 2012 FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS NEGERI JAKARTA
Tujuan
1. Mahasiswa dapat memahami teori persamaan parsial di dalam suatu rangkaian listrik
I. PENDAHULUAN
Pada pembahasan sebelumnya telah kita pelajari mengenai uraian pecahan parsial untuk memudahkan kita mengubah persamaan menjadi anti Laplace-nya. Pemecahannya adalah dengan memfaktorkan terlebih dahulu penyebutnya atau dengan mendeferensialkan persamaan awalnya.
s2+2s+5
¿(s2+2s+1)+4
¿(s+1)2+22 II. LANJUTAN URAIAN PARSIAL
Pada resume sebelumnya mengenai sudah dibahas bahwa Uraian Parsial merupakan suatu metode atau cara penyederhanaan suatu fungsi dalam (s) agar mudah untuk di anti-Laplace kan atau diubah ke fungsi (t).
Pada pembahasan sebelumnya telah dijelaskan bahwa persamaan pada penyebut dapat diuraikan dengan cara memfaktorkannya. Namun pada kenyataannya, ada persamaan yang tidak bisa difaktorkan. Untuk menyelesaikan soal jenis seperti itu, maka berikut cara menyederhanakannya dengan menggunakan metode pecahan parsial.
Contoh 1
Tentukan persamaan parsial dari persamaan berikut :
I(s)= 1 s2+2s+5
Jawab :
Langkah penyelesaian :
1. Sederhanakan dahulu penyebutnya, yaitu : s2
+2s+5
Persamaan tersebut merupakan contoh persamaan yang tidak bisa difaktorkan dengan mudah, maka cara untuk menyederhanakannya dengan memecahnya menjadi bagian riil akar dan bagian yang imajiner.
BAGIAN RIIL AKAR
s2+2s+5=(s+1)2+22
(s+1−2j) (s+1+2j)
1 s2
+2s+5= k1
(s+1−2j)+
k2
(s+1+2j)
1
(s+1+2j)=k1+
k2(s+1−2j)
(s+1+2j)
k1=41j=−j 2
4 j =−41 j
Dalam bentuk umum angka 1 diatas adalah angka rill, sedangkan angka 2 adalah imajiner, sehingga faktorisasi penyebut dari persamaan di atas adalah :
2. Setelah mendapat bentuk sederhana dari penyebutnya, maka persamaan awal dapat kita ubah menjadi bentuk seperti ini :
……(1)
3. Kemudian seperti pada contoh sebelumnya pada uraian pecahan parsial, untuk mendapatkan nilai K1, kalikan persamaan 1 tersebut dengan (s+1−2j):
1(s+1−2j)
s2+2s+5 =
k1(s+1−2j)
(s+1−2j) +
k2(s+1−2j)
(s+1+2j)
s+1−2j=0, sehingga s=−1+2j
Masukkan nilai s ke dalam persamaan sehingga diperoleh:
1 4 j=k1+
k2.0
4j
Maka K1 dapat diperoleh :
1
(s+1−2j)=
k1(s+1+2j)
(s+1−2j) +k2
k2=−41j=−−j 2
4j =14 j 1(s+1+2j)
s2+2s+5 =
k1(s+1+2j)
(s+1−2j) +
k2(s+1+2j)
(s+1+2j)
s+1+2j=0, sehingga s=−1−2j
Kemudian masukkan nilai s ke dalam persamaan sehingga diperoleh : 1
−4 j= k1.0 −4 j k1+k2
Maka K2 dapat diperoleh :
5. Maka pecahan parsialnya menjadi :
1 s2+2s+5=
−1 4 j
(s+1−2j)+
1 4 j
(s+1+2j)
Deret Fourier adalah deret yang digunakan dalam bidang rekayasa. Deret ini pertama kali ditemukan oleh seorang ilmuan Perancis Jean-Baptiste Joseph Fourier (1768-1830). Derat Fourier ini merupakan deret dalam bentuk sinusoidal (sinus dan cosinus) yang digunakan untuk merepresentasikan fungsi-fungsi periodik/berulang dengan persamaan sederhana.
Contoh fungsi berulang yaitu :
1. Gelombang gigi gergaji
2. Gelombang segi empat
4. Gelombang sinusoida
Gelombang - gelombang periodik tersebut mempunyai arti yang penting dalam bidang elektronika, dan umumnya tidak membentuk persamaan sederhana. Menurut Fourier fungsi berulang dapat ditulis dalam bentuk deret sinusoida tak terhingga, asalkan fungsi tersebut mempunyai syarat Dirichlet.
Syarat Dirichlet yaitu :
Priodik, dan mempunyai perioda 2π atau T Bernilai tunggal
Dalam periode mempunyai maksimal dan minimal tertentu
Jika fungsi itu tidak continue, maka dalam 1 periode harus mempunyai discontiunitas yang tertentu jumlahnya
Dalam 1 periode mempunyai harga rata-rata tak terhingga
f(t)=12a0+a1co s ωt+a2cos2ωt+a2cos3ωt+…+b1sinωt+b2sin 2ωt+b3sin 3ωt
Bila diringkas, bentuk fungsi deret Fourier adalah:
f(t)=12a0+
∑
n=1
∞
(ancos(nωt)+bnsin(nωt))
Deret ini disebut juga deret Fourier trigonometri yaitu f(t) dimana :
a dan b = koefisien fourier
a0 = ordinat rata-rata atau komponen searah
ω=2Tπ = koefisien sudut dasar
an cos n ωt + bn sin n ωt = komponen harmonis ke n
Gambar dibawah ini adalah contoh kombinasi dua sinusoida yang mempunyai frekuensi secara harmonic:
IV. INTEGRAL FUNGSI SINUSOIDA
Untuk menghitung koefisien pada deret Fourier, diperlukan acuan penyelesaian dari integral fungsi-fungsi sinusoida/ perkalian dari fungsi-fungsi sinusoida.
Integral fungsi-fungsi sinusoida yang diperlukan antara lain adalah:
1. Fungsi sinusoida 1: f(t)=
∫
2. Fungsi sinusoida 2: f(t)=
∫
¿12
∫
4. Fungsi sinusoida 4 f(t)=
∫
¿18
∫
6. Fungsi sinusoida 6 terdapat pada soal dan pembahasan
7. Fungsi sinusoida 7 f(t)=
∫
8. Fungsi sinusoida 8 terdapat pada soal dan pembahasan 9. Fungsi sinusoida 9 terdapat pada soal dan pembahasan
V. SOAL DAN JAWABAN
1. Berapa nilai dari fungsi sinusoida 6 berikut :
Jawab :
2. Berapa nilai dari fungsi sinusoida 8 berikut :
f(t)=
∫
3. Berapa nilai dari fungsi sinusoida 9 berikut :
f(t)=
∫
4. Tentukan nilai dari fungsi berikut :
f(t)=
∫
Kemmerly, Jack E.. Jr, William H. Hayt. 2005. Rangkaian Listrik. Jakarta: Erlangga.
