BAB 6 Trigonometri fixs docx

(1)



c

a

b

BAB 6 TRIGONOMETRI

A. PENGUKURAN SUDUT 1. Satuan Derajat

1o_{= 60’ ( menit)} 1’ = 60” (detik) 2. Satuan Radian

B. PERBANDINGAN TRIGONOMETRI PADA SEGITIGA SIKU-SIKU 1. Sinus, Kosinus dan Tangen pada Segitiga Siku-Siku

Perhatikan gambar berikut !

Dari gambar di atas diperoleh beberapa rumus trigonometri : basic concept :

 

de a 1 c

1 sin 4 cosec

mi c sin a

sa b 1 b

2 cos 5 sec

mi c cos c

de a 1 b

3 tan 6 tan

sa b tan a

     



     



     



2. Nilai Perbandingan Trigonometri untuk Sudut-Sudut Istimewa

Definisi:

(2)

Dalam bentuk tabel tersaji sebagai berikut :

Sin Cos Tan

00 ₀ ₁ ₀

300 ₁

2

1 ₃ 2

1 ₃ 3

450 ₁

2 2

1 2 2

1

600 ₁

3 2

1 2

3

900 ₁ ₀ _~

1200 ₁

3 2

1 2

  3

1350 ₁

2 2

1 ₂ 2

 – 1

1500 ₁

2

1 3 2

 1 3

3



1800 ₀ _{– 1} ₀

2100 ₁

2

 1 3

2

 1 3

3

2250 ₁

2 2

 1 2

2

(3)

Kuadran I 0o < x< 90o Kuadran II

90o < x< 180o

Kuadran III

180o < x < 270o 270o < x < 360oKuadran IV x y

2400 ₁

3 2

 1

2

 3

2700 _{– 1} ₀ _~

3000 ₁

3 2

 1

2

3



3150 ₁

2 2

 1 2

2

– 1

3300 ₁

2

 1 3

2

1 ₃ 3



3600 ₀ ₁ ₀

C. PEMBAGIAN SUDUT DAN SUDUT BERELASI DALAM TRIGONOMETRI 1. Pembagian Sudut dalam Trigonometri

2. Sudut-Sudut Berelasi

70

Kuadran I Kuadran II

sin ( 90o_–₎ _{= cos} _{sin ( 90}o₊₎ _{= cos} cos ( 90o_–₎ _{= sin} _{cos ( 90}o₊₎ _{= - sin} tan ( 90o_–₎ _{= cot} _{tan ( 90}o₊₎ _{= - cot} Kuadran II Kuadran III

sin (180o_–₎ _{= sin} _{sin (180}o₊₎ _{= - sin} cos (180o_–_{) = - cos} _{cos (180}o₊₎ _{= - cos} tan (180o_–_{) = - tan} _{tan (180}o₊_{) = tan} Kuadran III Kuadran IV

sin ( 270o_–_{) = - cos} _{sin ( 270}o₊₎ _{= - cos} cos ( 270o_–_{) = - sin} _{cos ( 270}o₊_{) = sin} tan ( 270o_–_{) = cot} _{tan ( 270}o₊_{) = - cot}

Kuadran IV sin ( 360o_– _{) = - sin}

(4)

Y

X x



y r

D. KOORDINAT KUTUB

1. Koordinat kutub

Jika sebuah titik diketahui P (x,y) maka:

r =

√

x

2

+

y

2

tan =

y

x

_{, 0}o

¿

θ

≤

360

o maka koordinat kutubnya adalah P (r, )

2. Koordinat kartesius

Jika diketahui panjang r dan , maka: x

cos x r cos

r y

sin y r sin

r

  �  

Jadi Koordinat kartesiusnya P (x,y)

E. IDENTITAS TRIGONOMETRI

F. PERSAMAAN TRIGONOMETRI SEDERHANA

Penyelesaian Persamaan Trigonometri sin x = sin , cos x = cos , tan x = tan 

Basic concept : Sudut dalam derajat:

1. sin x = sin  maka x = + k.360o_{atau x = (180}o_– _{) + k. 360}o 2. cos x = cos  maka x = �+ k . 360o

Basic concept :

Untuk setiap sudut  tertentu berlaku:

1. tan = sin cos

 

2. sin2 cos2 1

3. tan2  1 sec2

(5)

A B C

a b

c

R R

R O

A B

C a b

c

A B

C a b

c G. ATURAN SINUS UNTUK SEGITIGA

H. ATURAN KOSINUS UNTUK SEGITIGA

I. LUAS SEGITIGA

1. Luas segitiga dengan besar sudut dan dua sisi yang mengapit sudut itu diketahui

Basic concept :

1. L = 1

2 bc sin A

2. L = 1

2 ac sin B Basic concept :

Pada setiap  ABC berlaku

a b c

sinA sinB sinC  _{= 2 R} Dengan a = BC; b = AC; c = AB, dan R := jari-jari lingkaran

Basic concept :

(6)

3. L = 1

2 ab sin C

2. Luas Segitiga dengan Besar Dua Sudut dan Satu Sisi yang Terletak di antara Kedua Sudut Diketahui

Basic concept :

Pada setiap  ABC berlaku:

1. L = 2

a sinB.sinC

2sinA _{3. L =}

2

c sinA.sinB 2sinC

2. L = 2

b sinA.sinC 2sinB

3. Luas Segitiga dengan Ketiga Sisinya Diketahui Basic concept :

Rumus Heron :

Pada setiap  ABC berlaku: L = S(S a)(S b)(S c)  

Dengan L = Luas  ABC , BC = a, AC = b, dan AB = c

S =





1 _{a b c}

2   adalah setengah keliling  ABC.

J. JUMLAH DAN SELISIH SUDUT

Rumus jumlah dan selisih sudut trigonometri yang penting dipelajari adalah :

 sin (A + B) = sin A cos B + cos A sin B  sin (A – B) = sin A cos B – cos A sin B  cos (A + B) = cos A cos B – sin A sin B  cos (A – B) = cos A cos B + sin A sin B







tan A tan B tan A B

1 tanA tan B



 









tan A tan B tan A B

1 tanA tan B



 

(7)

 2 sin A cos B sin A B







sin A B







K. SUDUT RANGKAP

Ada tiga sudut rangkap trigonometri :  Sin 2A = 2 sin A cos A

PAKET SOAL DAN PEMBAHASAN

(8)

C. Pembahasan :

Metode supertrik : jadikan 1 fungsi yang sama , yang besar diubah ke kecil sinx sin30 ada 2 :

(9)

Hasil dari Pembahasan :









cos cos

2 2

     

2



 





 



0 0 0 0

45 a 45 a 45 a 45 a

sin cos

2 2 sin45 ₂

2 Pembahasan :

(10)





sin p q sin30 1 sinp cosq cosp sinq

2

Nilai dari

0 0

cos140 cos 100 ... sin 140 sin100

 _

Pembahasan :

0 0

cos140 cos 100 ? sin 140 sin100

2

140 100 140 100

sin sin

(11)

B. 1 2



E. 1

C. 1 2 Pembahasan :

Metode supertrik : sin A sin B = sama, berarti kita tambahi fungsi cos di depannya !









cos A B cos 3

1 1 1

cosA cosB sinAsinB cosAcosB

2 4 2

2 1 3 cosAcosB

4 4

maka:

3 1 cos A B cosA cosB sinAsin 1

4 4

  

  �  



 

�

     

Jawaban:E 6. UN 2011

Himpunan penyelesaian persamaan cos 2x + cos x = 0, untuk

0 0

0 � �x 180 _adalah…

A. {450_,1200_} B. {450_,1200_} C. {600_,1350_} D. {600_,1200_} E. {600_,1800_} Pembahasan :

(12)





?

? cos 2x cosx 0

cek x 45 ke persamaan: cos 2.45 cos45 0

cos 90 cos 45 1

0 2 0 (bukan HP) 2

cek x 120 ke persamaan: cos 2.120 cos120 0

cos240 cos 120 1 1

0 bukan HP 2 2

cekx 135 ke persamaan: cos 2.135 cos135 0

cos 270 cos 135 1

cekx 180 ke persamaan: cos 2.180 cos180 0

(13)





misal:cosx p

2p 2p 0 2p p 1 0 p 0 p 1 *p 0

cosx cos90 x 90 k.360

u /k 0 x 90 u /k 1 x 270 *p 1

cosx cos0 x 0 k.360

x 0 TM ,karena selangterbuka x 360 TM ,karena selangterbuka HP: 90,27

  Pembahasan :





sin 75 sin 165 sin165 sin75 165 75 165 75

2cos sin

2 2

1 1 2cos120sin45 2. . 2

(14)

A. Pembahasan :

Metode supertrik : sin A sin B = sama, berarti kita tambahi fungsi cos di depannya !





(15)





sin cos cos sin

5

1 _{cos sin} 3 2 _{cos sin}

5 5 5

maka:

sin sin cos cos sin

1 2 1

sin dan cos ( dan sudut lancip).

5 13 Pembahasan :

sin ( ) sin cos cos sin sin sin

4

  

, dan sudut lancip. Nilai





(16)

A. 1 D. 1 4

B. 3

4 _{E. 0}

C. 1 2 Pembahasan :

Metode supertrik : sin  sin  = sama, berarti kita tambahi fungsi cos di depannya !









cos cos

3 1 cos cos sin sin

2 1 1 cos cos

4 2 2 1 1 cos cos

4 4

maka:

1 1

cos cos cos sin sin 0

4 4

  

   

  



  

        

Jawaban:E

13. UN 2012

Himpunan penyelesaian persamaan cos 4x + 3 sin 2x = – 1, untuk

0 0

0 � �x 180 _adalah…

(17)





cos4x 3sin2x 1 0

1 2sin 2x 3 sin2x 1 0 misal:sin2x p

1 2p 3p 1 0 sin 2x sin210 ada 2:

PAKET SOAL LATIHAN

(18)

C. 6 3 3 D. 10 2 5 E. 10 3 1







3. sin 45 cos 30 + cos 45 sin 30 = …

A.





1 ₆ ₂

4  _D.





1 ₃ ₂

2 

B.





1 ₆ ₂

2  E.

1 ₈ 4

C.





1 ₃ ₂

4 

4. Jika 2   x , dan cosec x = 3 , maka tan x = …

A. 2 2 D.

3 ₂ 4



B. 3 ₂

2 _E.

1 ₂ 4



C. 1 ₂ 4

5. Jika cos A = 3

5 maka sin 2 A =…

A. 24

7 D.

24 7

�

B. 24

7



E. 24

5



C. 24

5

6. Cos 350_{– cos 75}0_{= …}

A. – 2 sin 550_{sin 20}0 _{D. 2 cos 55}0_{sin 20}0 B. 2 sin 550_{sin 20}0 _{E. – 2 cos 55}0_{cos 20}0 C. – 2 sin0_{55 cos 20}0

7. Pada segitiga PQR, sisi p = 4 cm, sisi r = 8 cm, dan sudut Q = 300_{. Luas} segitiga PQR adalah…

(19)

B. 24 cm2 _{E. 8 cm}2 C. 20 cm2

8. Diketahui panjang sisi – sisi suatu segitiga adalah 10 cm, 12 cm, dan 14 cm. Luas segitiga tersebut adalah…

A. 60 cm2 _{D. 24 6 cm}2

B. 70 cm2 _{E. 42 3 cm}2

C. 24 3 cm2

9. Pada segitiga ABC, diketahui �A 60 0, a = 6 cm dan�C 45 0. Panjang b = …cm

A. 3 2 D. 4 3

B. 2 3 E. 5

C. 2 6

10. Jika a kuadran I dan b kuadran II, dan

3 sin a sin b

5

 

serta 4

cos a cos b 5

 

, maka sin (a + b) =…

A. 1 ₃

2 _{D. 0}

B. 1 ₂

2 _{E. – 1}

C. 1 2

11. Pada segitiga siku – siku ABC diketahui cos A cos B = 1

6 , nilai cos (A – B) = ….

A. 1

3 _{D. 1}

B. 1

3

3 _E.2 2

(20)

12. Nilai dari

0 0

cos70 cos50 ... sin70 sin 50

 _

10 , dengan A sudut tumpul. Nilai sin 3A =…

A.

(21)

C. 44 125



16. Diketahui

1 4 1 1

sin A dan cos B

2  5 2 2_{. Nilai cos (A + B) – cos (A – B ) = ….}

A. 14 25



D. 14 25

B. 7 25



E. 14 50

C. 7 25

17. Jika

1 3

sin sin dan cos cos

2 2

      

, maka nilai tan



 



...

A. 1

2 _D.2 5

B. 1

15

3 _E.3 5

C. 15

18. Himpunan penyelesaian dari 2 cos2_{x + 2 sinx = 0, untuk 0}0_{≤ x ≤ 360}0 adalah…

A. {300_,500_} B. {1500_,2100_} C. {900_,2100_,3300_} D. {2400_,3300_} E. {1500_,2100_,3300_}

19. Himpunan penyelesaian dari persamaan cos 4x0_{+ 7 cos 2x}0_{+ 4 = 0, untuk}

0 0

0  x 360 _adalah…

A. {300_,1500_,2400_,3300_} B. {300_,1200_,2400_,3300_} C. {300_,1500_,2700_,3300_} D. {600_,1200_,2400_,3000_} E. {600_,1500_,2400_,3000_}

20. Banyaknya himpunan penyelesaian dari persamaan trigonometri sin 4x0₌ cos x0_{, untuk}00� �x 1800_adalah…

A. 1 D. 4

(22)