Kelompok 8
Bab 12
Anggota :
Gustania (208 700 838)
Ijang Badruzaman (208 700 849)
Ijang Maulana (208 700 850)
Jihan Pahlevi (208 700 863)
Informatika C / Smstr III
Menyatukan Semua :
Strategi Untuk Menyelesaikan Setiap Bukti
Dalam Bab ini
Menangani bukti-bukti mudah dengan cepat
Menggunakan bukti bersyarat untuk menangani bukti-bukti sedang
Memberikan bukti-bukti sulit sebuah jalan untuk kemudahan
Beberapa masalah logis hampir terpecahkan dengan sendirinya. Beberapa terlihat sulit pada pertama kalinya tapi akan segera mudah ketika anda tahu apa yang harus dilakukan. Beberapa lainnya tetap bersih keras pada setiap langkah sampai anda memaksa mereka masuk dalam kepatuhan.
Bab ini adalah tentang semua apa yang orang bijak sebut “kebijaksanaan untuk mengetahui perbedaan”. Dan kebijaksanaan yang anda dapat akan menjadi keyakinan yang anda butuhkan untuk menulis bukti-bukti sentensial logis (SL) dengan mudah ketika mungkin dan dengan ketekunan bila diperlukan.
Seperti halnya sistem keadilan Amerika yang menyatakan seorang terdakwa “tidak bersalah sampai terbukti bersalah,” dalam bab ini, saya menganjurkan pendekatan yang sama dengan bukti-bukti : “Mudah sampai terbukti-bukti Sulit.” Pertama, saya tunjukkan bagaimana cara membuat penaksiran cepat dari sebuah argument untuk mendapat pengertian dasar bahwa betapa itu sulit untuk dibuktikan. Selanjutnya, saya jelaskan sedikit langkah ringkas-dan-cepat yang cukup untuk menangani bukti-bukti mudah dalam waktu lima menit atau kurang.
Untuk bukti-bukti yang lebih sulit, saya tunjukkan bagaimana dan kapan menempatkan teknik bukti bersyarat dari bab 11. Teknik ini sering kali cukup melengkapi bukti-bukti yang agak sulit.
Dan yang terakhir, untuk salah satu yang sangat sulit, saya tunjukkan bagaimana menggunakan bentuk dari sebuah pernyataan SL untuk memudahan anda dengan memecah premis panjang dan bekerja melewati batas kewajaran untuk melengkapi bukti-bukti. Saya juga akan menunjukkan sebuah metode lanjutan dari bukti tidak langsung.
Bukti-bukti Mudah : Menggunakan Pendekatan Mendasar
Anda tidak membutuhkan sebuah senjata mesin untuk membunuh seekor nyamuk. Dengan cara yang sama, anda tidak perlu memikirkan sebuah strategi brilian untuk memecahkan satu masalah yang mudah. Anda hanya perlu menghabiskan lima menit untuk melihat apa yang terlintas di depan anda dan mencatat beberapa ide. Bagian selanjutnya memperlihatkan kepada anda beberapa cara cepat untuk menulis bukti-bukti sederhana dengan bebas dan cepat.
Lihat masalahnya
Melihat tidak berarti sekedar melihat. Tiga saran yang saya bahas pada bagian selanjutnya hanya mengambil waktu kurang dari semenit, tapi itu adalah menit yang bermutu.
Apakah premis-premis terlihat agak sama terhadap konklusi, ataukah keduanya berbeda ? Jika keduanya terlihat sama, pembuktian mungkin tidak akan menjadi sulit; dengan kata lain, itu mungkin tipuan.
Dalam salah satu kasus, pikirkan apa yang telah terjadi untuk menghilangkan perbedaan. Dapatkah anda berpikir dari setiap firasat sebagaimana prosesnya ?
Itu semua diperlukan dalam langkah ini—bekerja dan berpikir dari dasarnya.
Memperhatikan panjang premis dan konklusi
Secara umum, premis-premis pendek dan sebuah konklusi panjang menandakan sebuah bukti mudah, sedangkan premis-premis panjang dan sebuah konklusi pendek menandakan sebuah bukti yang agak sulit.
Ketika diberikan premis-premis yang cukup pendek, anda hampir dapat membangun setiap konklusi yang anda suka. Bagaimanapun, pada akhirnya, cukup memecah premis-premis panjang untuk menghasilkan konklusi pendek dapat menjadi tipuan.
Pada bagian yang akan datang “Catat Hal yang Mudah,” saya perlihatkan kepada anda serangkaian cara untuk memecah premis-premis. Untuk sekarang, sekedar memperoleh pengertian dasar dari betapa sulit bukti yang berdasarkan peraturan dari pengalaman : Lebih pendek premis-premis, lebih mudah pembuktian.
Cari ulang potongan dari argumen
Ketika anda memperhatikan potongan dari argumen yang telah diulang dari sebuah argumen, garis bawahi mereka untuk membuat mereka terlihat jelas. Strategi terbaik untuk potongan ini adalah sering membiarkan mereka sendiri dari pada memecahnya.
Untuk contoh, lihat argumen ini :
(P Q) ~(R & S), R & S : ~(P Q)
Anda dapat memisahkan pernyataan (P Q) ~(R & S) untuk memecahnya, tapi tidak
ada alasan untuk itu. Setelah memperhatikan potongan (P Q) dan (R & S) diulang pada argumen, ini satu langkah bagi solusi itu sendiri :
1. (P Q) ~(R & S) P
2. R & S P
3. ~(P Q) 1,2 MT
Untuk sekarang, perhatikan saja potongan pendek ini untuk mempercepat cara anda.
Catat Hal yang Mudah
Kurang dari satu menit, bagian ini memberikan anda empat dari strategi satu-menit untuk memudahkan anda. Saya menyebut tipe ini kitchen-sinking, karena anda menggunakan apa saja dalam pembuktiannya kecuali the kitchen sink.
melihat cara ini mudah.
Memecah pernyataan dengan Simp dan DS
Simp dan DS adalah aturan termudah untuk memecah pernyataan-& dan pernyataan-0 (lihat bab 9 untuk semua keperluan Simp dan DS anda). Lebih cepat anda memecah premis, lebih baik lagi kesempatan anda membangun konklusi.
Perluas pilihan anda dengan Impl dan Contra
Gunakan Impl (lihat bab 10) untuk merubah pernyataan-0 menjadi pernyataan-, dan
sebaliknya. Kemudian gunakan Contra untuk merubah setiap pernyataan-untuk contrapositivenya.
Gunakan aturan untuk menulis ulang setiap pernyataan yang anda bisa karena pada setiap petunjuk, ini adalah cara termudah untuk memperluas pilihan anda nanti.
Gunakan MT dan MP sedapat mungkin
Kesempatan menggunakan MT dan MP (seperti yang terlihat di bab 9) adalah mudah untuk di tandai dan cenderung memberikan pernyataan sederhana yang anda kerjakan.
Rubah semua pernyataan negatif dengan DeM
Pada umumnya, DeM adalah satu-satunya cara anda untuk merubah empat bentuk negatif dari pernyataan SL menjadi positif.
DeM bekerja langsung dalam pernyataan dari bentuk ~(x & y) dan ~(x v y), sebagaimana saya liput pada bab 10. Tapi, meskipun anda sedang menghadapi pernyatan- dan pernyataan-sisa dua
bentuk negatif, anda dapat menggunakan DeM setelah mengerjakan beberapa aturan lain untuk mengahasilkan pernyataan ini kedalam bentuk ~(x & y) dan ~(x v y).
Contohnya, untuk merubah ~(x y) gunakan langkah ini :
1. ~(x y) P
2. ~(~x v y) 1 Impl
3. x&~ y 2 DeM
4. x 3 Simp
5. ~y 3 Simp
Hanya dalam beberapa langkah, anda telah merubah pernyataan yang terlihat kompleks menjadi dua pernyataan sederhana.
Bahkan ketika anda dibebani dengan bentuk yang sulit ~(x y), anda dapat menggunakan
Equiv dan kemudian memecah setiap potongan dari DeM. Untuk contonhya, lihatlah langkah ini :
2. ~((x & y) v (~x & ~y)) 1 Equiv
3. ~(x & y) & ~(~x & ~y) 2 Dem
4. ~(x & y) 3 Simp
5. ~(~x & ~y) 3 Simp
Pada poin ini, selanjtunya anda dapat menggunakan DeM lagi untuk menyederhanakan pernyataan 4 dan 5. Tentu, ini tahapan extra, tapi anda telah merubah pernyataan yang tidak dapat dilalui menjadi dua pernyataan sedrehana.
Kapan menyelesaikanya
Sekiranya anda telah menghabiskan waktu lima menit dengan masalah yang banyak. Anda telah melihat dan mengingatnya ke kepala anda. Anda baru saja mencatat beberapa pernyataan sederhana – atau mungkin tidak ada yang dicatat – dan anda baru saja mendapat ide.
Saran saya : lima menit. Hanya itu yang dapat saya beri dengan strategi dasar. Dan itu akan bertambah jika premis terlalu panjang dan konklusi terlalu pendek. Jika pembuktian anda tidak dapat diselesaikan dalam lima menit, anda perlu beristirahat sehingga anda lebih produktif dalam lima menit selanjutya ketimbang frustasi.
Bahkan jika anda memiliki taktik baru untuk menyelesaikannya, anda tidak perlu memulainya dari awal. Setiap pernyataan yang telah anda buktikan adalah milik anda untuk dipertahankan dan digunakan sepanjang dari hasil pembuktian.
Bukti sedang : Kapan Menggunakan Bukti Bersyarat
Istirahat sepenuhnya menjadikan kita siap pada bagian ini. Setelah anda berhenti berharap bahwa ini adalah masalah yang sederhana, ini waktunya untuk menempatkan bukti bersyarat.
Gunakan bukti bersyarat sebagai pilihan pertama anda sedapat mungkin karena itu cenderung menjadi cara tercepat untuk sebuah solusi dari masalah dengan kesulitan sedang.
Untuk menentukan kapan bukti bersyarat memungkinkan, lihatlah konklusi yang sedang anda coba buktikan dan pastikan dengan delapan bentuk dasar. (Periksa bab 5 pada ikhtisar semua delapan bentuk dasar dari pernyataan SL).
Anda selalu dapat menggunakan bukti bersyarat untuk tiga dari delapan bentuk dasar. Yang saya sebut bentuk umum. Anda juga dapat menggunakan bukti bersyarat untuk dua dari bentuk itu, yang saya sebut bentuk-kurang-umum, tapi diperlukan lebih sedikit kerja. Dan yang terakhir, anda tidak dapat menggunakan bukti bersyarat untuk sisa dari tiga bentuk, yang saya sebut bentuk tidak umum :
x y (x y) x & y
x v y ~(x y) ~(x y)
~(x & y) ~(x v y)
Pada bagian ini, saya bahas kapan anda dapat menggunakan bukti bersyarat. Saya simpan sisa kasusnya untuk bagian “Bukti Sulit : Apa yang Harus Dilakukan Ketika Menemukan Kesulitan”.
Tiga Bentuk Umum : x
y, x
v
y, dan ~(x & y)
Jelas, anda selalu dapat menggunakan bukti bersyarat pada setiap konklusi dalam bentuk
x y. Tetapi, anda dapat juga dengan mudah menggunakan bukti bersyarat pada setiap konklusi
dalam bentuk xv y dan ~(x & y).
Anda dapat merubah setiap konklusi dari bentuk x v y ke dalam bentuk bersyarat hanya dengan menggunakan Impl. Aturan ini merubahnya menjadi ~x y.
Contoh, sekiranya anda ingin membuktikan argumen ini :
R : ~(P & Q) v (Q & R)
1. R P
Tidak banyak yang terjadi disini, tapi setelah anda menyadari bahwa konklusi equivalen terhadap (P & Q) (Q & R), anda dapat menggunakan bukti bersyarat :
2. P & Q AP
3. Q 2 Simp
4. Q & R 1, 3 Conj
5. (P & Q) (Q & R) 2–4 CP
Setelah AP anda telah habis, semua sisa yang dilakukan menunjukkan betapa pernyataan yang baru saja anda buat equivalen terhadap konklusi yang sedang anda coba buktikan :
6. ~(P & Q) v (Q & R) 5 Impl
Bentuk lain yang mudah untuk dikerjakan adalah ~(x & y). Ketika konklusi anda masuk dalam bentuk ini, anda perlu menggunakan DeM untuk mengeluarkannya dari bentuk negatif, rubah itu ke dalam ~x v ~y.Dari sini, gunakan Impl untuk merubah itu ke dalam x ~y
~P Q, P ~R : ~(~Q & R)
1. ~P Q P
2. P ~R P
Pengertian disini menyadarkan anda bahwa konklusi equivalen terhadap Q v ~R (oleh DeM), yang kenudian equivalen terhadap ~Q ~R (oleh Impl). Sekali lagi, anda dapat menggunakan bukti bersyarat :
3. ~Q AP
4. P 1, 3 MT
5. ~R 2, 4 MP
6. ~Q ~R 3–5 CP
Seperti contoh sebelumnya, setelah anda menghabiskan AP anda, anda perlu menyelesaikan bentuk uraian dari pernyataan yang telah anda buat untuk konklusi yang anda mulai dengan :
7. Q v ~R 6 Impl
8. ~(~Q & R) 7 DeM
Dua Bentuk Kurang Umum : (x
y) dan ~(x
y)
Jika saya katakan itu sekali, saya telah mengatakannya ribuan kali : mengerjakan pernyataan-selalu tidak pasti. Tapi, untungnya, prinsip ini sama halnya dengan bentuk umum.
Selalu ingat, dan jangan pernah lupa, bahwa langkah pertama dengan pernyataan-adalah
selalu mengisarkan operator- dengan menggunakan Equiv. Mengetahui bahwa sedikit dari saran
saya akan membuat anda kembali setengah jalan dari awal jika anda tidak tahu.
Untuk mengerjakan konklusi yang terdapat dalam bentuk x y, pertama yang harus anda gunakan adalah Equiv untuk merubah itu kedalam (x & y) v (~x & ~y). Anda harus mengakui bahwa pernyataan-0 sama halnya dengan bentuk umum, yang membolehkan anda untuk menggunakan Impl untuk merubah itu kedalam ~(x &
y) (~x & ~y).
Misalnya, anda ingin membuktikan argumen ini :
((~P v Q) v ~R) ~(P v R) : P R
1. ((~P v Q) v ~R) ~(P v R) P
untuk merubah konklusi kedalam (P & R) v (~P & ~R), dan dari sini, rubah itu kedalam ~(P &
R) (~P & ~R) menggunakan Impl. Periksalah :
2. ~(P & R) AP 3. ~P v ~R 2 DeM
Sekarang, anda sedang mencoba untuk membuktikan ~P & ~R.. Pertanyaan besar pada poin ini adalah “Bagaimana saya menggunakannya pada premis yang banyak pada baris 1 ?” (Inilah mengapa saya mengatakan bahwa premis yang panjang sulit untuk dibuktikan). Baiklah, hal yang pertama : pada akhirnya anda tidak dapat memisah premis menjadi potongan kecil dengan menggunakan DeM pada bagian kedua :
4. ((~P v Q) v ~R)(~P & ~R) 1 DeM
Bagian kedua pada pernyataan ini terlihat seperti apa yang sedang coba anda buktikan untuk bukti bersyarat anda. Jadi, jika anda dapat membangun bagian pertama pada pernyataan ini, anda dapat menggunakan MP untuk mendapat bagian kedua. Tujuannya sekarang, kemudian, adalah membuktikan pernyataan (~P v Q) v ~R.
Tapi, sekarang mungkin anda ingin tahu bagaimana anda mendapatkan Q dari mana. Pengertian yang benar disini adalah anda dapat menggunakan Add kepada Q dalam ~P v ~R :
5. (~P v ~R) v Q 3 Add
Bagian selanjutnya dari bukti ini hanya memerlukan rangkaian dari manipulasi dengan Assoc
dan Comm :
6. ~P v (~R v Q) 5 Assoc 7. ~P v (Q v ~R) 6 Comm 8. (~P v Q) v ~R 7 Assoc
Akhirnya, anda melihat sekilas Holy Grail : anda dapat menggunakan baris 8 bersama baris 4 untuk memperoleh apa yang anda butuhkan untuk menghabiskan premis anda :
9. ~P & ~R 4, 8 MP 10. ~(P & R)(~P & ~R) 2–9 CP
Seperti biasa, setelah menghabiskan AP, anda perlu membuat pernyataan yang baru anda bangun tampak seperti konklusi :
12. PR 11 Equiv
Baiklah, jadi itu adalah penunjang dari bukti. Tapi merubah konklusi sulit kedalam bentuk yang lebih teratur membuat itu seluruhnya memungkinkan.
Membuktikan konklusi dalam bentuk kurang umum bisa menjadi sulit. Contoh ini tentu saja member gambaran dari apa yang saya sebut kesulitan tingkat sedang. Saya beri sebuah contoh bagaimana membuktikan konklusi dalam bentuk ~(x y) nanti dalam bab ini, dalam bagian “Bukti Sulit : Apa yang Harus Dilakukan Ketika Menjadi Sulit”.
Tiga Bentuk Tidak Umum : x & y, ~(x
y), dan ~(x
v
y)
Ketika konklusi masuk dalam kategori ini, bukti bersyarat hampir tidak pernah menjadi sebuah pilihan karena, seperti sebuah aturan, anda tidak dapat merubah tiga bentuk ini ke dalam bentuk x y.
Untuk mengerti mengapa anda tidak dapat menggunakan bukti bersyarat dalam kasus ini, pertama perhatikan bahwa tidak ada aturan untuk merubah sebuah pernyataan dalam bentuk x & y ke dalam pernyataan-Dengan cara yang sama, pernyataan dalam sisa dua bentuk tidak umum
adalah mudah merubahnya ke dalam pernyataan-&, tapi sekali lagi anda akan terhenti jika anda mencoba merubah mereka ke dalam pernyataan-
Kapanpun anda menghadapi konklusi yang termasuk dalam bentuk tidak umum, saran saya adalah melangkah dan mencoba satu bukti langsung atau bukti tak langsung. Dalam salah satu kasus, anda mungkin melihatnya pada sebah bukti sulit.
Bukti Sulit : Apa Yang Harus Dilakukan Ketika Menjadi Sulit
Ketika usaha awal gagal pada pembuktian, dan anda tidak dapat menggunakan bukti bersyarat, anda mungkin sedang menghadapi bukti yang sulit. Dalam kasus ini, anda menghadapi sebuah pilihan yaitu memilih bukti langsung atau bukti tak langsung.
Bagian yang akan datang memperlihatkan kepada anda beberapa strategi yang membantu anda melalui bukti yang benar-benar sulit.
Memilih dengan cermat diantara bukti langsung dan bukti tak
langsung
Jika anda menemukan masalah dengan konklusi yang tidak dapat dirubah kedalam pernyataan-yang mengharuskan anda menggunakan bukti bersyaratpertimbangkan bukti
langsung yang anda pilih pertama kali kecuali ketika anda menyingkirkan salah satu dari tiga pengecualian yang saya tulis dalam bagian ini.
gunakan beberapa ide pada bagian ini selanjutnya, anda mungkin menemukan bukti langsung tanpa merubahnya menjadi bukti tak langsung. Dan yang terburuk, jika anda perlu mengubah kedalam bukti tak langsung, anda tetap dapat menggunakan semua pernyataan yang ada dengan mencari bukti tak langsung.
Pemilihan ini tidak benar dalam arah sebaliknya : jika anda memilih bukti tak langsung terlalu cepat kemudian anda mengabaikannya dan mencoba lagi bukti langsung, anda tidak dapat menggunakan pernyataan apapun yang anda temukan sementara anda mencari bukti tak langsung.
Pengecualian #1 : Ketika konklusi terlalu pendek
Bukti tak langsung sangat membantu ketika pernyataan konklusi sebagian besar terlalu pendek atau semua premis terlalu panjang. Dalam kasus ini, rubahlah konklusi pendek yang menyusahkan kedalam premis pendek yang membantu dalam situasi yang sama-sama untung.
Pengecualian #2 : Ketika konklusi terlalu panjang tetapi negatif
Bukti tak langsung baik digunakan terutama untuk menangani konklusi dalam bentuk yang negatif -
~ (x
v
y) dan ~(x
y) –
karena konklusi negatif akan menjadi premis positif. Misal :
sebagai premis. sekarang anda dapat mulai untuk mengeluarkanya :4. Q v R 2 Add membuangnya dari bukti langsung untuk sementara dan anda tidak mendapatkan apapun. Saya minta untuk tunggu sebentar. Merubah dari bukti langsung ke bukti tak langsung adalah selalu mudah. Dan meskipun anda telah menggunakan bukti bersyarat, anda selalu dapat merubah ke dalam butki tak langsung hanya dengan menambahkan AP lainnya. (Lihat bab 11 untuk contoh bagaimana AP
bekerja).
Bekerja mundur dari keSimpulan
biasanya, itu benar-benar terjadi : anda mampu memperoleh sini ke sana. Tapi, terkadang, itu tidak bekerja dengan baik. Jadi, jika anda bingung dan anda tidak mendapatkannya dari sini, itu mungkin lebih mudah untuk mendapatkan dari sini ke sana.
Dalam bab 9, saya tunjukkan contoh cepat bekerja mundur dari kesimpulan. Pada bagian ini anda gunakan kemampuan ini untuk menulis bukti yang sangat sulit. Misal, anda ingin membuktikan argument ini :
P Q, (P R) S, (~Q v ~S) & (R v ~S) : ~(Q R)
Konklusi ini adalah dari bentuk ~(xy), satu dari dua bentuk kurang umum. Jadi jika anda
ingin menggunakan bukti bersyarat, anda harus merubah kembali konklusi. Disini, menulis bukti sampai selesai sebelum memulai adalah ide yang bagus :
99. ~(Q R)
Anda mulai dengan penomoran baris terakhir dari bukti 99. Anda tidak memerlukan banyak baris, tapi anda bisa memberi nomor baru di akhirnya. Seperti yang anda lihat, baris terakhir mengandung konklusi dalam segala halnya.
Kemudian mulai berkpikir mundur dari konklusi tentang bagaimana anda menyelesaikan konklusi pada khususnya. Dalam kasus ini, cara terbaik untuk membuktikan adalah menggunakan bukti bersyarat, yang berarti bahwa konklusi harus menjadi pernyataan-Dan langkah terakhir
adalah menggunakan Equiv untuk merubah pernyataannya menjadi bentuk umum ~(x & y) :
98. ~(Q R) & ~(R Q)
99. ~(Q R) 98 Equiv
Sekarang, anda harus menentukan apa langkah yang baru saja anda bayangkan sebelumnya. Pada kesempatan ini, anda menggunakan DeM untuk mengeluarkan pernyataan 97 dari bentuk negatif :
97. ~(Q R) v ~(R Q)
98. ~(Q R) & ~(R Q) 97 DeM
99. ~(Q R) 98 Equiv
Setelah anda bisa menguasainya, anda bias melihat langkah berikutnya dari mengubah pernyataan 97 kedalam pernyataan-dengan menggunakan Impl :
95. ~(R Q)
97. ~(Q R) v ~(R Q) 96 Impl
98. ~(Q R) & ~(R Q) 97 DeM
99. ~(Q R) 98 Equiv
Setelah semua itu, sekarang anda mempunyai the Holy Grail di tangan anda. Anda tahu bagaimana akhir ceritanya : memiliki asumsi Q R dan menggunakannya untuk membangun
~(R Q), anda mengahabiskan asumsi ini dengan mengikuti dua sub-pernyataan ini menggunakan
operator
Dan sekarang, tentu saja, anda tahu banyak tentang bagaimana ceritanya dimulai. Khususnya, anda tahu AP anda harus menjadi Q R. Sehingga, anda tahu langkah awal anda terlihat seperti ini :
1. P Q P
2. (P R) S P
3. (~Q v ~S) & (R v ~S) P
4. Q R AP
Tujuannya sekarang adalah membangun pernyataan ~(R Q), dimana itu adalah langkah mundur terakhir yang anda bayangkan. Ketika anda melihat AP anda pada baris 1, mungkin sesuatu terlewat oleh anda :
5. P R 1,4 HS
Kemudian anda lihat pada baris 2 dan anda merasa ini seperti hari ulang tahun anda :
6. S 2,5 MP
Lalu ? baris 3 merupakan satu-satunya premis yang tertinggal, dan bentuknya mungkin sangat-sangat sama :
7. (~Q & R) v ~S 3 Dist
Kemudian anda mendapatkan pemecahan yang lain :
8. ~Q & R 6,7 DS
Ketika anda melihat poin ini pada pembuktian, ada gunanya mengetahui bagaimana memanipulasi delapan bentuk dasar :
9. ~(Q v ~R) 8 DeM
10. ~(~R v Q) 9 Comm
Pada poin ini, anda telah mencapai tujuan anda, dan semua yang anda perlu lakukan adalah memberi nomor baru pada baris terakhir :
12. (Q R) ~(R Q) 4-11 CP
13. ~(Q R) v ~(R Q) 12 Impl
14. ~((Q R) & (R Q)) 13 DeM
15. ~(Q R) 14 Equiv
Mendalami penyataan SL
Dari sekarang, anda mungkin semakin ahli dalam memperhatikan delapan bentuk umum kedalam pernyataan. Terkadang, meskipun demikian, ini tidaklah cukup. Ketika bukti menjadi sulit, itu sering kali tergantung dari pemahaman anda terhadap struktur dari pernyataan pada tingkat yang lebih dalam.
Anda mungkin memperhatikan bahwa tiga dari aturan equivalensi memecah pernyataan ke dalam tiga bagian (x, y, dan z) daripada hanya dua. Aturan ini adalah Exp, Assoc, dan Dist (lihat bab 10). Anda mungkin tidak menggunakan aturan ini lebih banyak dari pada aturan lainnya, tapi untuk bukti yang sulit anda perlu memastikannya. Setelah anda mulai mencari kesempatan untuk menggunakan aturan ini, anda akan menemukannya di sekitar anda.
Misalnya, lihat tiga pernyataan ini : (P v Q) v R
(P &Q) v R (P & Q) v (R v S)
Dapatkah anda melihat bahwa semua pernyataan ini memiliki kedua bentuk dasar yang sama X v Y ? Tetapi, jangan biarkan kesamaan ini membingungkan anda dalam struktur dasar dalam perbedaan penting struktur terdalam dari pernyataan ini.
Misalnya, anda dapat mengaplikasikan Assoc ke dalam pernyataan yang pertama tapi tidak yang kedua, dan Dist ke pernyataan kedua tapi tidak yang pertama. Dan anda dapat mengaplikasikan
Assoc dan Dist kedua-duanya dalam pernyataan yang ketiga. Perbedaan ini menjadi penting ketika bukti menjadi sulit. Baca bagian ini untuk mendapat beberapa tips dalam memperhatikan dan memanfaatkan perbedaan ini.
Gunakan Exp
Exp : x y z) adalah equivalen terhadap (x & y) z
Contoh, periksa pernyataan ini :
Pernyataan ini ada dalam bentuk x y. Tapi anda dapat juga melihatnya dalam dua cara lain.
Satu kemungkinan, menggunakan (P & Q) sebagai potongan tunggal, adalah dengan memperhatikan pernyataan seperti ini :
x y z)
Dalam kasus ini, anda dapat menggunakan Exp untuk merubah pernyatan ke dalam
((P & Q) & R) S
Pilihan kedua, gunakan (R S) sebagai potongan tunggal, adalah dengan memperhatikan
pernyataan seperti ini :
(x & y) z
Kali ini, anda dapat menggunakan Exp dalam petunjuk lain, seperti ini :
P (Q (R S))
Menggabungkan Assoc dengan Comm
Assoc : (x & y)& z adalah equivalen terhadap x &(y & z) (x v y) v z adalah equivalen terhadap x v (y v z)
Contoh, perhatikan pernyataan ini :
~(P v Q) (R v S)
Satu cara untuk sampai di sini adalah mengaplikasikan Impl sehingga anda mendapat ini :
(P v Q) v (R v S)
Sekarang, anda bisa menerapkan Assoc ke dalam dua petunjuk yang berbeda :
P v (Q v (R v S)) ((P v Q) v R) v S
Anda juga bias menggunakan Comm untuk mengatur ulang variable dalam sebuah rangkaian cara yang bebeda. Misalnya, agar bekerja dengan P v(Q v(R vS)), anda bisa mendapatkan :
P v(Q v(S vR))
( Q v(R vS)) vP
Jika anda dapat mengungkapkan pernyataan hanya dengan menggunakan operator-V (atau hanya operator-&), anda bisa menggunakan kombinasi dari Assoc dan Comm untuk mengatur ulang variabel dalam urutan apapun yang anda suka, dimana itu bisa menjadi alat yang sangat ampuh yang membantu membemtuk sebuah pernyataan kedalam apapun yang anda perlukan.
Menjadi Dist
Dist : x & (y v z) adalah equivalen terhadap (x & y) v (x & z) x v (y & z) adalah equivalen terhadap (x v y) & (x v z)
Dist juga mempunyai dua bentuk senilai untuk diketahui, dengan sub-pernyataan dalam tanda kurung di depan :
x v (y & z) adalah equivalen terhadap (x & y) v (x & z) x & (y v z) adalah equivalen terhadap (x v y) & (x v z)
Kebanyakan professor menemukan ini-dua bentuk lain dari aturan yang diterima. Bagaimanapun, sedikit memaksa anda menggunakan Comm untuk merubah (x v z)& z ke dalam z &(x v z) sebelum menerapkan Dist. Atau, sama, itu membutuhkan anda menggunakan Comm ke dalam (x & y)& z ke dalam z &(x & y) sebelum menerapkan Dist.
Misalnya, anda ingin membuktikan pernyataan ini :
P v (Q & (R v S))
Anda bisa menggunakan dua cara Dist di sini. Pertama, gunakan (R v S) sebagai potongan tunggal, perhatikan pernyataan seperti ini :
x v (y & z)
Sekarang anda bisa menulis ulang pernyataan sehingga terlihat seperti ini :
(P v Q) & (P v (R v S))
Keuntungan di sini adalah anda bisa menggunakan Simp untuk memisahkan pernyataannya ke dalam dua pernyataan terkecil :
P v Q P v (R v S)
P v ((Q & R) v (Q & S))
Sekarang, anda memiliki tiga sub-pernyataan- P, (Q & R), dan (Q & S)- diikuti pernyataan-V, yang berarti bahwa anda dapat menggunakan Assoc dan Comm untuk mengatur ulang mereka apapun yang anda suka (selama anda bisa memegangnya dalam tanda kurung utuh).
Salah satu kegunaan besar dari Dist adalah memungkinkan anda merubah operator utama dari pernyataan bentuk & ke bentuk v. Dengan mengubah operator utama dalam cara ini, anda dapat merubah konklusi tidak umum-yaitu, salah satunya anda tidak bisa menggunakan bukti bersyarat-ke dalam bentuk yang umum satunya.
Misal, perhatikan pernyataan ini :
P & (Q v R)
Kebanyakan kasus, ketika anda menghadapi konklusi dalam bentuk x & y, anda bisa melupakan bukti bersyarat. Tapi, pada kasus ini, anda bisa menggunakan Dist untuk merubahnya ke dalam :
(P & Q) v (P & R)
Sekarang, anda memiliki konklusi dalam bentuk umum, dan anda bisa menggunakan Impl
untuk merubahnya ke dalam pernyataan-:
~(P & Q) → (P & R)
Demikian pula, bentuk tidak umum lainnya adalah ~(x → y). Mengetahui bentuk ini mungkin membuat anda mengabaikan bukti bersyarat dalam konklusi berikut :
~( P → ~(Q vR))
Tapi, untungnya, anda bisa mengeluarkan konklusi ini dari bentuk negatifnya dalam dua langkah. Pertama, gunakan Impl untuk membuatnya seperti ini :
~(~ P v~(Q vR))
Selanjutnya, gunakan DeM :
P & (Q v R)
bersyarat.
Memecah premis panjang
Seperti yang telah saya sebutkan beberapa kali, memecah premis panjang bisa menjadi sulit. Terkadang, meskipun, di sana tidak ada jalan lain. Contoh, lihat argumen ini :
(P & Q) v (Q R), Q, ~R : P
1. (P & Q) v (Q R) P
2. Q P
3. ~R P
Kunci untuk yang satu ini-apakah anda melakukannya dengan bukti langsung atau bukti tak langsung-adalah untuk menemukan cara untuk memecah premis yang panjang. Saya sarankan bukti langsung.
Ketika bekerja dengan premis yang panjang, tentukan mana bentuk dari pernyataan SL itu. Melakukan sesering mungkin membantu anda pada tahap selanjutnya.
Bentuk dari premis pertama adalah x v y. Ketika menghadapi pernyataan-V, pertama coba gunakan Impl :
4. ~(P & Q) (Q R) 1 Impl
Kemudian anda bisa melihat pernyataan ini sebagai x →(y → z), yang memungkinkan anda mencoba Exp :
5. (~(P & Q) & Q) R 4 Exp
Anda dalam kondisi yang baik sekarang karena anda telah mengisolasi R sebagai bagian kedua dari pernyataan. Jadi, anda bisa menggunakan MT :
6. ~(~(P & Q) & Q) 3,5 MT
Berhati-hatilah bahwa anda tidak mencoba untuk mengganti operator – di sini. Hal pertama terapkan pada seluruh pernyataan, sedangkan yang kedua terapkan hanya kepada sub-pernyataan (P & Q).
Sekarang, bentuk dari pernyataannya adalah ~(x & y), yang berarti waktu yang tepat menggunakan DeM bagi anda :
Sisanya menyarankan langkah sendiri :
8. P & Q 2,7 DS
9. P 8 Simp
Perhatikan bahwa mencari bentuk dari pernyataan adalah membantu megupas lapisan demi lapisan dari premis ini. Terkadang, ketika pelajar melihat bukti sulit seperti ini, mereka bertanya “Tapi bagaimana jika saya tidak melihatnya ? dan bagaimana jika saya tidak bisa membayangkan langkah selanjtunya ?”.
Berita baiknya adalah bahwa anda hampir selalu bisa menemukan lebih dari satu cara untuk membuktikannya. Jadi, saya tunjukkan bahwa meskipun anda memulainya dengan berbeda, anda biasanya masih dapat menemukan cara untuk membuatnya bekerja.
Di sini bukti sama yang baru saja saya bahas, tetapi dengan langkah awal yang berbeda :
1. (P & Q) v (Q R) P
2. Q P
3. ~R P
Dalam kasus ini, di mulai dengan menerapkan Impl bukan kepada operator utamanya tapi pada bagian kedua dari pernyataannya :
4. (P & Q) v (~Q v R) 1 Impl
Kali ini, anda bisa melihat pada pernyataan ini sebagai benutk dari x v(y v z), yang berarti anda bisa menggunakan Assoc :
5. ((P & Q) v ~Q) v R 4 Assoc
Terkejut, terkejut-sekali lagi anda dalam posisi menggunakan DS. Bagaimanapun, ini waktunya anda bisa menggunakannya dua kali dalam barisan :
6. (P & Q)v ~Q 3,5 DS
7. P & Q 2,6 DS
Dan, sekali lagi, jawabnya muncul :
Membuat asumsi cerdas
Pada bab 11, saya tunjukkan bagaimana cara menggunakan bukti tak langsung dengan mengasumsikan negasi dari konklusi dan kemudian membalikkanya.
Tapi, dengan butki tak langsung, anda tidak terbatas untuk menggunakan negasi dari konklusi. Faktanya, anda bisa membuat asumsi apapun dan kemudian coba untuk menyanggahnya. Jika anda berhasil, kemudian anda membuktikan negasi dari asumsi, dan ini sering kali membantu anda membuktikan konklusi.
Meskipun anda bisa membuat asumsi apapun, strategi di sini adalah mengambil sebuah asumsi yang akan dengan cepat mengarah pada sebuah kontradiksi. Contohnya, ini adalah argument yang telah saya buktikan sah di bagian sebelumnya “Memecah premis panjang” :
(P & Q) v (Q R), Q, ~R : P
1. (P & Q) 0 (Q R) P
2. Q P
3. ~R P
Dalam bukti ini, anda sedang mencari cara cepat untuk memecah premis. Kali ini, anda membuat asumsi premis yang akan membuat ini terjadi :
4. ~(P & Q) AP
Sebagai bukti tak langsung, sekarang anda mencari kontradiksi. Tetapi, ini hanya mengambil beberapa baris :
5. Q R 1,4 DS
6. R 2,5 MP
7. R & ~R 3,6 Conj
Seperti biasanya, langkah selanjutnya adalah menghabiskan AP anda :
8. P & Q 4-7 IP
Sekarang, melengkapi bukti adalah hal yang sepele :
