PENERAPAN KONSEP VEKTOR

(1)

(2)

Matematika Kelas XII

( Semester Genap )

Program Studi

Ilmu Alam

Standar

Kompetensi

Uraian Materi

Pendahuluan

Nomor Topik Bahasan

5.3

“Penerapan Konsep Vektor

untuk Menyelesaikan

Masalah”

Menu

Referensi

Petunjuk

Media Presentasi

Pembelajaran

O l e h : O l e h :

Teopilus Malatuni Teopilus Malatuni ( SMA Negeri 1 Kaimana ) ( SMA Negeri 1 Kaimana ) Contoh Soal

Contoh Soal

Uji

Kompetensi

(3)

Petunjuk Belajar

Petunjuk Belajar

Media Presentasi Pembelajaran ini dibuat dengan menggunakan Media Presentasi Pembelajaran ini dibuat dengan menggunakan salah satu aplikasi dari keluarga Microsoft Office yaitu Microsoft salah satu aplikasi dari keluarga Microsoft Office yaitu Microsoft Office PowerPoint 2003. Dalam pengoperasiannya dilengkapi Office PowerPoint 2003. Dalam pengoperasiannya dilengkapi dengan tombol-tombol navigasi yang sangat simpel yang berada di dengan tombol-tombol navigasi yang sangat simpel yang berada di panel sebelah kiri (Menu) dan di bar bagian bawah; sehingga panel sebelah kiri (Menu) dan di bar bagian bawah; sehingga memudahkan pemakai untuk menggunakannya, karena semua memudahkan pemakai untuk menggunakannya, karena semua kendali pengoperasian dilakukan melalui tombol-tombol navigasi kendali pengoperasian dilakukan melalui tombol-tombol navigasi tersebut. Misalnya untuk melihat contoh soal lakukan klik pada tersebut. Misalnya untuk melihat contoh soal lakukan klik pada tombol Contoh Soal. Begitu juga dengan pilihan topik lainnya, Anda tombol Contoh Soal. Begitu juga dengan pilihan topik lainnya, Anda hanya melakukan klik pada judul topik sesuai pilihan dalam setiap hanya melakukan klik pada judul topik sesuai pilihan dalam setiap tombol. Untuk menampilkan slide berikutnya klik pada tombol tombol. Untuk menampilkan slide berikutnya klik pada tombol Lanjut atau untuk kembali ke slide di depannya pilih tombol Balik. Lanjut atau untuk kembali ke slide di depannya pilih tombol Balik. Jika Anda telah menampilkan suatu topik maka animasi dari topik Jika Anda telah menampilkan suatu topik maka animasi dari topik dalam tombol di sebelah kiri akan muncul yang mengindikasi-kan dalam tombol di sebelah kiri akan muncul yang mengindikasi-kan bahwa topik tersebut sedang aktif. Dalam uraian materi terdapat bahwa topik tersebut sedang aktif. Dalam uraian materi terdapat gambar-gambar animasi sebagai visualisasi dari konsep yang gambar-gambar animasi sebagai visualisasi dari konsep yang disampaikan. Untuk melihat animasi tersebut klik pada sembarang disampaikan. Untuk melihat animasi tersebut klik pada sembarang tempat dalam slide. Kata (kalimat) berwarna dan bergaris bawah tempat dalam slide. Kata (kalimat) berwarna dan bergaris bawah merupakan link silahkan klik pada kata atau kalimat tersebut untuk merupakan link silahkan klik pada kata atau kalimat tersebut untuk melihat isinya.

melihat isinya.

Semoga media ini bermanfaat bagi mereka yang Semoga media ini bermanfaat bagi mereka yang menggunakan-nya. Salam hangat!

nya. Salam hangat!

Standar

Kompetensi

Uraian Materi

Pendahuluan

untuk Menyelesaikan

Masalah”

Menu

Petunjuk

MATEMATIKA

KELAS XII

Contoh Soal

Uji

Kompetensi

(4)

Standar Kompetensi

Ю Merancang dan menggunakan model matematika program _{Merancang dan menggunakan model matematika program}

linear serta menggunakan sifat dan aturan yang berkaitan

dengan barisan, deret, matriks, vektor, transformasi, fungsi

eksponen, dan logaritma dalam pemecahan masalah.

Kompetensi Dasar

Kompetensi Dasar

Ю Menggunakan sifat-sifat dan operasi aljabar vektor dalam _{Menggunakan sifat-sifat dan operasi aljabar vektor dalam}

pemecahan masalah;

Ю Menggunakan sifat-sifat dan operasi perkalian skalar dua _{Menggunakan sifat-sifat dan operasi perkalian skalar dua}

vektor dalam pemecahan masalah.

Standar Kompetensi dan Kompetensi Dasar

Standar Kompetensi dan Kompetensi Dasar

Standar Kompetensi dan Kompetensi Dasar minimal yang harus dicapai Standar Kompetensi dan Kompetensi Dasar minimal yang harus dicapai setelah menyelesaikan topik ini adalah:

setelah menyelesaikan topik ini adalah:

Standar

Kompetensi

Uraian Materi

Pendahuluan

untuk Menyelesaikan

Masalah”

Menu

Referensi

Petunjuk

MATEMATIKA

KELAS XII

Contoh Soal

Uji

Kompetensi

(5)

Pendahuluan

Bagi Anda yang telah mempelajari Fisika pasti pernah mendengar kata vektor. Vektor merupakan suatu besaran selain besaran skalar yang sudah Anda kenal dalam Fisika. Perbedaan kedua besaran ini adalah:

Standar

Kompetensi

Uraian Materi

Pendahuluan

untuk Menyelesaikan

Masalah”

Menu

Petunjuk

MATEMATIKA KELAS XII

KELAS XII

Skalar : Besaran yang hanya mempunyai nilai saja

(menunjukkan suatu bilangan real tertentu). Contoh: suhu, massa, dan sebagainya.

Vektor : Besaran yang mempunyai besar (nilai) dan arah. Biasanya digunakan untuk menyelidiki gerak perpindahan, pergeseran, kecepatan, percepatan dan sebagainya.

Contoh Soal

Uji

Kompetensi

(6)

Uraian Materi

Uraian Materi

Standar

Kompetensi

Uraian Materi

Pendahuluan

untuk Menyelesaikan

Masalah”

Menu

Referensi

Petunjuk

MATEMATIKA

KELAS XII

A.

Notasi Vektor

B.

Aljabar Vektor

C.

Vektor Basis

D.

Vektor Posisi

E.

Perkalian Skalar Vektor (Perkalian Titik)

F.

Perkalian Silang Vektor

G.

Sudut antara Dua Vektor di Ruang (R

33))

H.

Contoh Soal

Uji

Kompetensi

Silahkan pilih Materi yang ingin disampaikan

(dipelajari):

(7)

A. Notasi Vektor

A. Notasi Vektor

Secara geometris vektor dinyatakan sebagai ruas garis yang panjang dan arahnya tertentu.

A

B

u

Secara analitis vektor dinyatakan sebagai pasangan terurut bilangan real.

• Untuk vektor di bidang (R2) : u = (x, y) atau u = x

y

x y z

• Untuk vektor di ruang (R3₎_:_u_{= (x, y, z) atau}_u₌

Standar

Kompetensi

Uraian Materi

Pendahuluan

untuk Menyelesaikan

Masalah”

Menu

Petunjuk

MATEMATIKA KELAS XII

KELAS XII

Vektor sering dinotasikan dengan huruf latin kecil. Misalnya: u, atau u. Ruas garis AB menunjukkan sebuah vektor.

u = AB ; A = titik pangkal dan B = titik ujung Arah anak panah = arah vektor

Panjang ruas garis = panjang/besar/nilai vektor

u, gambar 1

Contoh Soal

Uji

Kompetensi

(8)

B. Aljabar Vektor

B. Aljabar Vektor

Sebelum membahas aljabar vektor perlu dipahami beberapa ketentuan berikut.

u

untuk Menyelesaikan

Masalah”

Menu

MATEMATIKA

KELAS XII

• Dua vektor dikatakan sama jika besar dan arahnya sama.

(Lihat gambar 2). =

v

• Suatu vektor v dikatakan invers dari vektor u jika berlaku u + v = 0;

0 adalah vektor nol. Jadi dua

vektor saling invers jika besarnya sama tetapi berlawanan arah. (Lihat gambar 3).

u

v = -u

Ю Penjumlahan Vektor

Penjumlahan vektor dapat dilakukan dengan dua cara, yaitu dengan aturan segitiga dan aturan jajargenjang. Untuk memperoleh hasil jumlah (resultante) dari vektor u dan v, perhatikan ilustrasi dalam gambar 4 dan 5.

gambar 2

gambar 3

Dua vektor yang sama

Dua vektor yang saling invers (berlawanan) Standar

Standar

Kompetensi

Uraian Materi

Pendahuluan

Referensi

Petunjuk

Contoh Soal

Uji

Kompetensi

(9)

u

v

u+v

u

v

u+v

Dengan aturan segitiga:

• Tempatkan titik pangkal vektor v sehingga berimpit dengan titik ujung vektor u; • Vektor (u + v) diperoleh

dengan cara

menghubungkan titik pangkal vektor u dengan titik ujung vektor v.

Dengan aturan jajargenjang:

• Tempatkan titik pangkal vektor v

sehingga berimpit dengan titik pangkal vektor u;

• Bentuklah jajargenjang dengan sisi-sisi yang sejajar dengan u dan v; • Vektor (u + v) adalah diagonal

jajargenjang dengan titik pangkal vektor u.

Standar

Kompetensi

Uraian Materi

Pendahuluan

untuk Menyelesaikan

Masalah”

Menu

Petunjuk

MATEMATIKA KELAS XII

KELAS XII _{gambar 4} _{gambar 5}

Contoh Soal

Uji

Kompetensi

(10)

Standar

Kompetensi

Uraian Materi

Pendahuluan

untuk Menyelesaikan

Masalah”

Menu

Referensi

Petunjuk

MATEMATIKA

KELAS XII

KELAS XII Ю Pengurangan Vektor

Pengurangan vektor u dengan vektor v adalah penjumlahan vektor u dengan invers vektor v.

u

u-v

v

-v

-v u

v-u

v

-u

gambar 6 _{u - v = u + (-v)} gambar 7 _{v - u = v + (-u)}

Ю Hasil Kali Vektor dengan Skalar Misalkan vektor u dan sebuah

bilangan real (skalar) m. Hasil kali m dengan vektor u (mu) adalah penggandaan vektor u sebanyak m dan arah mu sama dengan arah vektor u.

u

gambar 8

u

v

-u

3

u

-2

u

2

u

Contoh Soal

Uji

Kompetensi

(11)

C. Vektor Basis

Standar

Kompetensi

Uraian Materi

Pendahuluan

Contoh Soal

untuk Menyelesaikan

Masalah”

Menu

Petunjuk

Uji

Kompetensi

MATEMATIKA KELAS XII

KELAS XII

Vektor basis : Vektor dengan panjang 1 satuan panjang.

Vektor Basis dalam Bidang (R2₎ _{Vektor Basis dalam Ruang (R}₃₎

X

Y Z

X Y

O O _i_(1,0)

j(0,1)

i(1,0,0) j(0,1,0)

k(0,0,1)

Vektor i dan j merupakan vektor basis dalam R2_.

i : vektor satuan searah sumbu X₊ j : vektor satuan searah sumbu Y₊

Vektor i, j, dan k merupakan vektor basis dalam R3_.

i : vektor satuan searah sumbu X₊ j : vektor satuan searah sumbu Y₊ k : vektor satuan searah sumbu Z₊

(12)

D. Vektor Posisi

D. Vektor Posisi

Standar

Kompetensi

Uraian Materi

Pendahuluan

untuk Menyelesaikan

Masalah”

Menu

Referensi

Petunjuk

MATEMATIKA

KELAS XII

Vektor Posisi : Vektor yang berpangkal pada titik pangkal koordinat. Komponen sebuah vektor dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dari vektor satuan.

2 2

2 _y _z

x |

|r   

Vektor Posisi dalam Bidang (R2)

R(x,y)

Titik R(x,y) adalah vektor posisi OR dalam R2_yaitu:

R(x,y,z) Vektor Posisi dalam Ruang (R3)

X

Y Z

X Y

O O

Titik R(x,y,z) adalah vektor posisi OR dalam R3_yaitu:

gambar 11 gambar 12

x_i y_j

r

y_j x_i

z_k

r = (x,y) = x_i + y_j

r = (x,y,z) = x_i + y_j+z_k Panjang dari r :

2 2 _y x

|

|r  

Panjang dari r :

| |rr

Vektor satuan dari r : e = Contoh Soal

Contoh Soal

Uji

Kompetensi

(13)

Standar

Kompetensi

Uraian Materi

Pendahuluan

untuk Menyelesaikan

Masalah”

Menu

Petunjuk

MATEMATIKA KELAS XII

KELAS XII

U(u₁,u_2,u₃)

OU = u dan OV = v adalah vektor-vektor posisi.

Y Z

O

gambar 13

v

Contoh Soal

Uji

Kompetensi

u

V(v₁,v_2,v₃)

UV = UO + OV = -u + v

= v – u

=

Jarak atau panjang vektor UV adalah:

Jika dinyatakan dengan kombinasi linear maka:

X

v₁ – u₁ v₂ – u₂ v₃ – u₃

UV = v – u

= (v₁ – u₁)i + (v₂ – u₂)j + (v₃ – u₃)k

2 3 3

2 2

2 1

1 u v u ) (v u )

(v

UV|   ) (   

(14)

E. Perkalian Skalar Vektor (Perkalian Titik)

Standar

Kompetensi

Uraian Materi

Pendahuluan

untuk Menyelesaikan

Masalah”

Menu

Referensi

Petunjuk

MATEMATIKA

KELAS XII

Hasil kali titik (dot product) dua vektor adalah sebuah skalar. Didefinisikan:

u.v = |u||v| Cos 

 = sudut antara u dan v

v u



gambar 14

Jika : 0o _ _ _ ₉₀o _maka_u.v_{> 0}

 = 90o maka u.v = 0

90o _ _ _ 180omaka u.v < 0

X

Y Z

O

i(1,0,0) j(0,1,0)

k(0,0,1)

gambar 15

i.i = | i || i | Cos 0o_{= 1}_{analog, maka:}

i.i = j.j = k.k = 1

i.j = | i || j | Cos 90o_{= 0}₍_i _ _j_{) analog, maka}_i.j₌_j.k₌_k.i₌₀

u.v = (u₁_i + u₂_j + u₃_k).(v₁_i + v₂_j + v₃_k) = u₁v₁ + u₂v₂ + u₃v₃

atau secara geometris:

u.v = |u||v| Cos 

Misalkan vektor u = (u₁_i + u₂_j + u₃_k) dan vektor v = (v₁_i + v₂_j + v₃_k). Perkalian titik kedua vektor adalah:

Contoh Soal

Uji

Kompetensi

(15)

Standar

Kompetensi

Uraian Materi

Pendahuluan

untuk Menyelesaikan

Masalah”

Menu

Petunjuk

MATEMATIKA KELAS XII

KELAS XII

Didefinisikan:

u x v = |u||v| Sin 

 = sudut terkecil antara u dan v

Arah u x v ditentukan berdasarkan arah putaran tangan kanan.

v

u 

gambar 16

X

Y Z

O

i(1,0,0) j(0,1,0)

k(0,0,1)

gambar 17 _i_x_i_{= |}_i_||_i_{| Sin}₀o_{= 0}_{analog, maka:}

i x i = j x j = k x k = 0

i x j = |i||j| Sin 90o_{= 1}₍_i _ _j₎ Berdasarkan definisi maka:

i x j = k j x k = i k x i = j j x i = -k k x j = -i i x k = -j

Hasil kali silang (cross product) dua vektor adalah sebuah vektor.

u x v

v

u 

v x u

F. Perkalian Silang Vektor

F. Perkalian Silang Vektor

Contoh Soal

Uji

Kompetensi

(16)

Standar Standar Kompetensi Kompetensi Uraian Materi Uraian Materi Pendahuluan Pendahuluan “Penerapan Konsep Vektor untuk Menyelesaikan Masalah”

Menu

Referensi Referensi Petunjuk Petunjuk MATEMATIKA MATEMATIKA KELAS XII

KELAS XII Hasil dari perkalian silang dua vektor sama dengan menentukan nilai

determinan matriks ordo 3. Salah satu cara yang mudah dipakai adalah cara Sarrus.

Vektor u = (u₁_i + u₂_j + u₃_k) dan vektor v = (v₁_i + v₂_j + v₃_k).

u x v =

2 1 2 1 3 2 1 3 2 1 3 2 1 3 2 1 v v u u v v v u u u v v v u u u j i k j i k j i 

u x v =

             1 2 2 1 3 1 1 3 2 3 3 2 v u v u v u v u v u v u (–) (–) (–) (+) (+) (+)

( u₂v₃i + u₃v₁j + u₁v₂k ) – ( u₂v₁k + u₃v₂i + u₁v₃j )

u x v =

(17)

G. Sudut antara Dua Vektor di Ruang (R

G. Sudut antara Dua Vektor di Ruang (R ))

Standar

Kompetensi

Uraian Materi

Pendahuluan

untuk Menyelesaikan

Masalah”

Menu

Petunjuk

MATEMATIKA KELAS XII

KELAS XII

X

Y O

gambar 18

Z







u



sudut antara vektor satuan i dengan vektor u.



sudut antara vektor satuan j

dengan vektor u.



sudut antara vektor satuan k

dengan vektor u.

Jika u = u₁_i + u₂_j + u₃_k maka :

Y O

gambar 19

Z



a

b Vektor a = a1i + a2j + a3k dan vektor b = b₁_i + b₂_j + b₃_k maka

sudut antara kedua vektor:

| || |

. Cos

b a

b a  

3 3 2 2 1

1b a b a b

a

Cos   



A(a₁,a₂,a₃)

B(b₁,b₂,b₃)

Contoh Soal

Uji

Kompetensi

u i

u i.

u u₁ Cos   

u j

u j .

u u₂

Cos   

u k

u k .

u u₃

(18)

Menu

KELAS XII Contoh SoalContoh Soal

Contoh Soal Contoh Soal Uji Uji Kompetensi Kompetensi

1. Diketahui koordinat P(2, 3, 5) dan Q(1, 5, 2) a) Nyatakan komponen dari PQ

b) Nyatakan PQ sebagai kombinasi linear vektor basis b) Hitung panjang PQ

Penyelesaian: X Y O Z q p Q(1,5,2) P(2,3,5)

a) PQ = PO + OQ = -p + q = q - p

                                   3 2 1 5 3 2 2 5 1 PQ

b) Bila dinyatakan sebagai

kombinasi linear vektor basis, maka:

PQ = -i + 2j – 3k

2 2

2 ₂ ₍ ₃₎ )

1

(    

|PQ|

c)  (1 2)2 (5 3)2 (2 5)2

14



(19)

Menu

Petunjuk Petunjuk MATEMATIKA KELAS XII

2. Tentukan besar sudut antara vektor u = 3i – 2j + k dengan sumbu-sumbu koordinat.

Penyelesaian:

Misalkan:  sudut antara vektor u dengan sumbu X  sudut antara vektor u dengan sumbu Y  sudut antara vektor u dengan sumbu Z

14 1 ) 2 ( 3 |

| u  2   2  2 

o

1 ₃₆_,₇

14 14 3 cos arc 14 14 3 14 3 | |

Cos _ 

           u u   o

2 ₁₂₂_,₃

14 14 2 cos arc 14 14 2 14 2 | | Cos                  u u   o

3 ₇₄_,₅

14 14 cos arc 14 14 14 1 | |

Cos _ 

(20)

Menu

3. Diketahui vektor a = (–1, 0, 2) dan b = (–3, 0, 1). Tentukan besar sudut antara vektor a dan b.

Penyelesaian:

Misalkan:  adalah sudut antara vektor a dan b.

o 45 2 2 1 cos

arc  

        2 2 2 2 2

2 ₀ ₂ _. ₍ ₃₎ ₀ ₁

) 1 ( ) 1 ( 2 ) 0 ( 0 ) 3 ( 1 Cos             2 2 1 2 5 5 10 . 5 5

Cos   

Jadi besar sudut antara vektor a dan b = 45o

(21)

Standar

Kompetensi

Uraian Materi

Pendahuluan

untuk Menyelesaikan

Masalah”

Menu

Petunjuk

MATEMATIKA KELAS XII

Contoh Soal

Uji

Kompetensi

4. Ditentukan vektor a = –3i + 2j – 2k dan b = i – 4j + 3k. Hitunglah a x b. Penyelesaian:

a x b =

4

13 2

3 4

13 2 2

3 4

13  2  2      _



i j k i j k i j

(–) (–) (–) ₍₊₎ ₍₊₎ ₍₊₎

a x b = ( 2(3)i + (-2)1j +(-3)(-4)k ) – ( 2(1)k + (-2)(-4)i + (-3)3j ) = ( 6i – 2j + 12k ) – ( 2k + 8i – 9j )

= – 2i + 7j + 10k

(22)

Standar

Kompetensi

Uraian Materi

Pendahuluan

untuk Menyelesaikan

Masalah”

Menu

Referensi

Petunjuk

MATEMATIKA

KELAS XII

KELAS XII Uji KompetensiUji Kompetensi

Contoh Soal

Uji

Kompetensi

1. Vektor a mempunyai titik pangkal (3, -2, 4). Jika komponen vektor a

adalah (5, 7, -2) maka titik ujung vektor a adalah .... a. ( 8, 5, -2 ) b. ( 8, 5, 2 ) c. ( 7, 5, 2 )

(23)

Standar

Kompetensi

Uraian Materi

Pendahuluan

untuk Menyelesaikan

Masalah”

Menu

Petunjuk

MATEMATIKA KELAS XII

Contoh Soal

Uji

Kompetensi

d. ( 2, 9, -6 ) e. ( -2, -9, 6 )

Lihat jawaban Lihat jawaban Coba lagi?

Coba lagi?

(24)

Standar

Kompetensi

Uraian Materi

Pendahuluan

untuk Menyelesaikan

Masalah”

Menu

Referensi

Petunjuk

MATEMATIKA

KELAS XII

Contoh Soal

Uji

Kompetensi

d. ( 2, 9, -6 ) e. ( -2, -9, 6 )

(25)

Standar

Kompetensi

Uraian Materi

Pendahuluan

untuk Menyelesaikan

Masalah”

Menu

Petunjuk

MATEMATIKA KELAS XII

Contoh Soal

Uji

Kompetensi

d. ( 2, 9, -6 ) e. ( -2, -9, 6 ) Penyelesaian:

Misalkan titik ujung vektor a adalah (a₁, a₂, a₃) maka:

   

 

  

 

 

 

 

  

 

 

 

  

 

       

 _aa ₄2 7₂ a_a 5₂

8 a

5 3 a

4 a

) 2 ( a

3 a

2 7 5

3 3

2 2

1 1

3 2

1

(26)

Menu

Referensi Referensi Petunjuk Petunjuk MATEMATIKA MATEMATIKA KELAS XII KELAS XII Contoh Soal Contoh Soal Uji Uji Kompetensi Kompetensi

2. Diketahui vektor u = – 2i + 4j – 6k. Tentukan besar sudut antara

vektor u dengan sumbu-sumbu koordinat. Penyelesaian:

Misalkan:  sudut antara vektor u dengan sumbu X  sudut antara vektor u dengan sumbu Y  sudut antara vektor u dengan sumbu Z

14 2 56 ) 6 ( 4 ) 2 ( |

| u   2  2   2  

o

1 ₁₀₅_,₅

14 14 cos arc 14 14 14 2 2 | | Cos                  u u   o

2 ₅₇_,₇

7 14 cos arc 7 14 14 2 4 | |

Cos _ 

           u u   o

3 ₁₄₃_,₃

14 14 3 cos arc 14 14 3 14 2 6 | |

Cos _ 

(27)

Jadi jarak tempuh pesawat dari posisi A ke B adalah satuan panjang.

Standar

Kompetensi

Uraian Materi

Pendahuluan

untuk Menyelesaikan

Masalah”

Menu

Petunjuk

MATEMATIKA KELAS XII

KELAS XII

Contoh Soal

Uji

Kompetensi

3. Posisi sebuah pesawat pada waktu t jika disimulasikan dalam ruang ditentukan oleh vektor (t, 2t, –t). Pada waktu t = 1 pesawat berada di posisi A dan akan berada di posisi B setelah t = 2. Hitung jarak

tempuh pesawat dari posisi A ke B.

Penyelesaian:

Posisi pesawat di A (t = 1) yaitu pada koordinat (1, 2, –1) Posisi pesawat di B (t = 2) yaitu pada koordinat (2, 4, –2)

6 ))

1 ( 2 ( ) 2 4 ( ) 1 2 ( | AB

|   2   2     2 

6

Uji Kompetensi

(28)

Menu

Referensi Referensi Petunjuk Petunjuk MATEMATIKA MATEMATIKA KELAS XII KELAS XII Contoh Soal Contoh Soal Uji Uji Kompetensi Kompetensi Uji Kompetensi Uji Kompetensi

4. Ditentukan vektor a = (4, – 2, 1), b = (–2, 3, –2), dan c = (–1, 4, 3) . Hitunglah a x (b + c).

Penyelesaian:

a x (b+c) =

7

3 2

4 1

7

3 2 1

4 1

7

3 2 1

4        j i k

k i j

j i

(–) (–) (–) ₍₊₎ ₍₊₎ ₍₊₎

( (-2)1i + 1(-3)j + 4(7)k ) – ( (-2)(-3)k + 1(7)i + 4(1)j ) = ( – 2i – 3j + 28k ) – ( 6k + 7i + 4j )

= ( – 2 – 7)i + ( – 3 – 4)j + (28 – 6)k

b + c = _

                            1 73 3 41 2 32

= – 9i – 7j + 24k

a x (b+c) =

(29)

Standar

Kompetensi

Uraian Materi

Pendahuluan

untuk Menyelesaikan

Masalah”

Menu

Petunjuk

MATEMATIKA KELAS XII

KELAS XII ReferensiReferensi

Ю Purcell, Edwin J. dan Dale Varberg, Kalkulus dan Geometri Analitis, Jilid 2, Erlangga, Jakarta, 1999.

Ю Suryadi D., H.S., Teori dan Soal Ilmu Ukur Analitik Ruang, Ghalia Indonesia, Jakarta, 1999.

Ю Noormandiri B.K., Buku Pelajaran Matematika SMA, Jilid 3A, Erlangga, Jakarta, 2004.

Contoh Soal

Uji

Kompetensi

(30)

Standar

Kompetensi

Uraian Materi

Pendahuluan

untuk Menyelesaikan

Masalah”

Referensi

Petunjuk

MATEMATIKA

KELAS XII

KELAS XII Biodata TimBiodata Tim

Menu

Contoh Soal

Uji

Kompetensi

Nama : Teopilus Malatuni, S.Pd. N I P : 132 225 903

Pekerjaan: Guru SMA Negeri 1 Kaimana, Provinsi Irian Jaya Barat

Tugas : Mengajar Mata Pelajaran Matematika, Teknologi Informasi & Komunikasi

Alamat : Jalan Veteran, Kompleks SMAN 1 Kaimana 98654 Telp/Fax : Kantor (0957) 21016; Rumah (0957) 21312; HP 081344039940

E-mail : teo_malatuni@telkom.net

Nama : Ani Juniati N I P : 

Pekerjaan: Staf Administrasi SMA Negeri 1 Kaimana, Provinsi Irian Jaya Barat

Tugas : Menangani dan mengoperasikan komputer pada bagian Tata Usaha

Alamat : Jalan Pedesaan Kaimana

Telp/Fax : Kantor (0957) 21016; Rumah (0957) 21740; HP 081344043041