Teori Relativitas Khusus

(1)

Agus Suroso (agussuroso@fi.itb.ac.id)

Fisika Teoretik Energi Tinggi dan Instrumentasi, Institut Teknologi Bandung

12 April 2017

(2)

Teori Relativitas Khusus

Materi

1

Relativitas, Galileo vs Einstein

2

Relativitas Simultanitas

3

Relativitas Waktu

4

Relativitas Panjang

5

Transformasi Lorentz

6

Relativitas Kecepatan

7

Momentum

8

Energi

(3)

Teori Relativitas Khusus Relativitas, Galileo vs Einstein

1

Relativitas, Galileo vs Einstein

2

Relativitas Simultanitas

3

Relativitas Waktu

4

Relativitas Panjang

5

Transformasi Lorentz

6

Relativitas Kecepatan

7

Momentum

8

Energi

(4)

Prinsip Relativitas Galileo

Prinsip relativitas Galileo: ”The laws of mechanics must be the same in all inertial frames of reference.”

Transformasi Galileo:

x

⁰

= x − vt y

⁰

= y z

⁰

= z t

⁰

= t.

(1) Dari persamaan tersebut, diperoleh

u

_x⁰

= u

_x

− v . (2)

(5)

Prinsip Relativitas Einstein

Einstein:

1

The principle of relativity: The laws of physics must be the same in all inertial reference frames.

2

The constancy of the speed of light: The speed of light in

vacuum has the same value, c = 3.00 × 10

⁸

m/s, in all inertial

frames, regardless of the velocity of the observer or the velocity

of the source emitting the light.

(6)

Teori Relativitas Khusus Relativitas Simultanitas

1

Relativitas, Galileo vs Einstein

2

Relativitas Simultanitas

3

Relativitas Waktu

4

Relativitas Panjang

5

Transformasi Lorentz

6

Relativitas Kecepatan

7

Momentum

8

Energi

(7)

Teori Relativitas Khusus Relativitas Simultanitas

Relativitas dari Simultanitas

Dua orang yang bergerak relatif satu sama lain tidak akan sepakat

apakah dua kejadian terjadi simultan (bersamaan) atau tidak.

(8)

Teori Relativitas Khusus Relativitas Waktu

1

Relativitas, Galileo vs Einstein

2

Relativitas Simultanitas

3

Relativitas Waktu

4

Relativitas Panjang

5

Transformasi Lorentz

6

Relativitas Kecepatan

7

Momentum

8

Energi

(9)

Dilasi waktu

Dilasi waktu:

∆t = ∆t

0

q 1 −

^v_c²2

, (3)

(10)

Relativitas Waktu: Dilasi Waktu

Misal terdapat sebuah kereta api yang bergerak dengan kecepatan v (konstan) terhadap stasiun. Lalu terjadi dua kejadian yang berurutan di dalam kereta api. Orang yang berada di dalam kereta api (Sally) akan mengamati selang waktu terjadinya kedua kejadian tersebut sebagai ∆t

₀

dan orang yang diam di stasiun (Sam) mengamati selang waktu

∆t. Maka, hubungan kedua nilai tersebut adalah

∆t = γ∆t

₀

, (4)

dengan γ ≡ 1/ p

1 − β

²

disebut faktor Lorentz dan β ≡

^v_c

disebut faktor kecepatan. Terlihat bahwa ∆t ≥ ∆t

0

.

waktu diri (proper time) adalah waktu yang diukur oleh jam

yang bergerak bersama kejadian.

(11)

Dilasi waktu: waktu hidup Muon

(12)

Teori Relativitas Khusus Relativitas Panjang

1

Relativitas, Galileo vs Einstein

2

Relativitas Simultanitas

3

Relativitas Waktu

4

Relativitas Panjang

5

Transformasi Lorentz

6

Relativitas Kecepatan

7

Momentum

8

Energi

(13)

Relativitas Panjang: Kontraksi Panjang

Sally naik kereta api dengan kecepatan v , dan Sam diam di stasiun. Keduanya ingin mengukur panjang rel.

Menurut Sally, panjang rel adalah L = v ∆t

₀

, sedangkan menurut Sam L

₀

= v ∆t. Perbandingan panjang rel menurut kedua pengamat adalah

L

₀

= ∆t

₀

∆t → L = L

₀

p

1 − β

²

= L

₀

γ . (5)

terjadi kontraksi panjang!

Panjang diri (proper length, L

0

) adalah panjang ’suatu benda’

yang diukur oleh pengamat yang diam terhadap benda.

(14)

Manakah yang disebut waktu diri (proper time)?

Ahmad yang sedang berdiri di samping rel kereta api melihat temannya, Budi, sedang makan nasi goreng di dalam kereta api yang bergerak dengan kecepatan konstan. Candra, yang duduk di samping Budi di dalam kereta, mengukur waktu makan Budi sejak suapan pertama hingga terakhir. Waktu makan Budi menurut Candra, Ahmad, dan Budi sendiri masing-masing adalah ∆t

_C

,

∆t

_A

, dan ∆t

_B

.

Di antara ∆t

_C

, ∆t

_A

, dan ∆t

_B

manakah yang menyatakan waktu

proper?

(15)

Waktu di manakah yang berjalan lebih lambat?

Berdasar cerita sebelumnya, menurut Ahmad waktu di manakah

(kereta atau stasiun) yang berjalan lebih lambat?

(16)

Manakah yang disebut panjang diri (proper length)?

Dadang sedang berlari membawa tongkat bambu dengan arah memanjang tongkat searah dengan arah lari. Erwin sedang duduk di tepi jalan sambil mengamati Dadang. Menurut Dadang, panjang tongkat tersebut adalah L

_D

sedangkan menurut Erwin panjang tongkat tersebut adalah D

E

.

Manakah yang disebut panjang diri (proper length)?

(17)

Dilasi waktu dan kontraksi panjang

(18)

Teori Relativitas Khusus Transformasi Lorentz

1

Relativitas, Galileo vs Einstein

2

Relativitas Simultanitas

3

Relativitas Waktu

4

Relativitas Panjang

5

Transformasi Lorentz

6

Relativitas Kecepatan

7

Momentum

8

Energi

(19)

Transformasi Lorentz

Sebelum Einstein mengusulkan TRK, Lorentz telah menurunkan persamaan transformasinya

x

⁰

= γ (x − vt) , (6)

y

⁰

= y , (7)

z

⁰

= z, (8)

t

⁰

= γ t − vx /c

²

. (9)

Transformasi Lorentz dapat digunakan

untuk menjelaskan relativitas dari

simultanitas, dilasi waktu, dan kontraksi

panjang.

(20)

Transformasi Lorentz

Kerangka O

⁰

melihat kerangka O bergerak ke kiri, sehingga berlaku pula

x = γ x

⁰

+ vt

⁰

, (10)

y = y

⁰

, (11)

z = z

⁰

, (12)

t = γ t

⁰

+ vx

⁰

/c

²

. (13)

(21)

Teori Relativitas Khusus Relativitas Kecepatan

1

Relativitas, Galileo vs Einstein

2

Relativitas Simultanitas

3

Relativitas Waktu

4

Relativitas Panjang

5

Transformasi Lorentz

6

Relativitas Kecepatan

7

Momentum

8

Energi

(22)

Relativitas kecepatan

Dari persamaan (10) dan (13), diperoleh

∆x = γ ∆x

⁰

+ v ∆t

⁰

, (14)

∆t = γ ∆t

⁰

+ v ∆x

⁰

/c

²

. (15) Dengan sedikit aljabar, diperoleh

u = u

⁰

+ v

1 + u

⁰

v /c

²

, (16)

dengan u ≡ ∆x /∆t adalah kecepatan menurut kerangka O,

u ≡ ∆x /∆t adalah kecepatan menurut kerangka O

⁰

, dan v

adalah kecepatan kerangka O

⁰

terhadap O.

(23)

Relativitas Kecepatan

1

Dua benda bergerak saling mendekat dengan kecepatan masing-masing 0, 5c. Berapakah kecepatan relatif satu benda terhadap lainnya? Bagaimana pula jika kecepatan kedua benda 0, 9c?

2

Sebuah mobil yang sedang bergerak dengan kecepatan v menyalakan lampu depan. Berapakah kecepatan cahaya menurut orang yang diam di tepi jalan?

Apa kesimpulan Anda?

(24)

Teori Relativitas Khusus Momentum

1

Relativitas, Galileo vs Einstein

2

Relativitas Simultanitas

3

Relativitas Waktu

4

Relativitas Panjang

5

Transformasi Lorentz

6

Relativitas Kecepatan

7

Momentum

8

Energi

(25)

Teori Relativitas Khusus Momentum

Konsep-baru Momentum

(Mekanika klasik) Misal dalam suatu laboratorium terjadi peristiwa tumbukan elastik dua benda. Peristiwa tsb diamati oleh pengamat A yang diam di lab dan pengamat B yang bergerak dengan kecepatan konstan terhadap lab. Momentum yang diukur oleh A dan B akan berbeda, namun keduanya sepakat bahwa kekekalan momentum berlaku.

(Relativitas) Jika definisi momentum tetap p = m

^∆x_∆t

, maka efek relativitas menyebabkan kekekalan momentum pada peristiwa tumbukan di atas tidak berlaku.

Solusi: definisikan momentum sebagai p = m ∆x

∆t

₀

= m ∆x

∆t

₀

= γmv ⇒ ~ p = γm~ v . (17)

(26)

Teori Relativitas Khusus Energi

1

Relativitas, Galileo vs Einstein

2

Relativitas Simultanitas

3

Relativitas Waktu

4

Relativitas Panjang

5

Transformasi Lorentz

6

Relativitas Kecepatan

7

Momentum

8

Energi

(27)

Energi relativistik

Tinjau suatu benda yang dipercepat dari keadaan diam hingga memiliki kecepatan sebesar u. Usaha yang diperlukan untuk melakukan hal tsb adalah

W = Z

x2

x1

Fdx = Z

x2

x1

dp

dt dx . (18)

Dengan mengingat definisi momentum (17), diperoleh dp

dt = d dt

mu

p1 − v

²

/c

²

= m (1 − v

²

/c

²

)

^3/2

dv

dt . (19)

Ingat pula bahwa dx = vdt.

(28)

Energi relativistik

Akhirnya, W =

Z

t 0

m (1 − v

²

/c

²

)

^3/2

dv dt (vdt)

= m Z

u

0

v

(1 − v

²

/c

²

)

^3/2

dv

= mc

²

p1 − v

²

/c

²

− mc

²

= γmc

²

| {z }

E_akhir

− mc

²

|{z}

Eawal

(20)

(29)

Energi relativistik

Hasil ini menunjukkan bahwa benda yang diam memiliki energi sebesar mc

²

, dan setelah mencapai laju v energi totalnya menjadi γmc

²

.

Energi kinetik benda, didapat dari energi total dikurangi energi diam,

K = (γ − 1) mc

²

. (21)

(30)

Untuk kecepatan rendah, v << c

Ingat bahwa untuk nilai x → 0, berlaku

(1 + x )

²

= 1 + 2x + x

²

≈ 1 + 2x, (1 + x )

³

= 1 + 3x + 3x

²

+ x

³

≈ 1 + 3x, (1 + x )

⁴

= 1 + 4x + 6x

²

+ 4x

³

+ x

⁴

≈ 1 + 4x,

. . . dst.

Secara umum, untuk x → 0,

(1 + x )

ⁿ

≈ 1 + nx. (22)

Sehingga

γ =

1 − v

²

c

²

⁻¹₂

≈ 1 + 1 2

v

²

c

²

. (23)

(31)

Untuk kecepatan rendah, v << c

Sehingga,

(γ − 1) ≈ 1 + 1 2

v

²

c

²

− 1 = 1 2

v

²

c

²

. (24)

Jadi,

K = 1 2

v

²

c

²

× mc

²

= 1

2 mv

²

, (25)

sama dengan energi kinetik pada fisika klasik.

(32)

Energi relativistik

Suku mc

²

tidak bergantung pada kecepatan benda, disebut energi diam,

E

_diam

= mc

²

(26)

Energi total adalah jumlah dari energi kinetik K dengan energi diam E

diam

,

E

_total

= K + E

_diam

= γmc

²

. (27)

Hubungan energi dan momentum,

E

_total²

= p

²

c

²

+ m

²

c

⁴

. (28)

(33)

Penutup

The relativity theory arose from necessity, from serious and deep contradictions in the old theory from which there seemed no escape. The strength of the new theory lies in the consistency and

simplicity with which it solves all these difficulties.

¹

1

A. Einstein and L. Infield, The Evolution of Physics (New York: Simon and

Schuster, 1961).

(34)