IMPLEMENTASI ALGORITMA DIJKSTRA DALAM PENCARIAN RUTE TERPENDEK TEMPAT WISATA KOTA MEDAN SKRIPSI ALOSYUS GESTART PARULIAN SIMAMORA

(1)

IMPLEMENTASI ALGORITMA DIJKSTRA DALAM PENCARIAN RUTE TERPENDEK TEMPAT WISATA KOTA

MEDAN

SKRIPSI

ALOSYUS GESTART PARULIAN SIMAMORA 120803085

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

MEDAN

2017

(2)

IMPLEMENTASI ALGORITMA DIJKSTRA DALAM PENCARIAN RUTE TERPENDEK TEMPAT WISATA KOTA

MEDAN

SKRIPSI

Diajukan untuk melengkapi tugas dan memenuhi syarat mencapai gelar Sarjana Sains

ALOSYUS GESTART PARULIAN SIMAMORA 120803085

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

MEDAN

2017

(3)

PERSETUJUAN

Judul :Implementasi Algoritma Dijkstra Dalam Pencarian Rute Terpendek Tempat Wisata Kota Medan

Kategori : Skripsi

Nama : Aloysius Gestart Parulian Simamora Nomor Induk Mahasiswa : 120803085

Program Studi : Sarjana (S1) Matematika

Departemen : Matematika

Fakultas : Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

(FMIPA) Universitas Sumatera Utara

Diluluskan di

Medan, Januari 2018

Komisi Pembimbing, Pembimbing 1,

Dra. Normalina Napitupulu, M. Sc NIP. 19631106 198902 2 001

Disetujui oleh:

Departemen Matematika FMIPA USU Ketua,

Dr. Syanto, M. Kom

NIP. 19590813 198601 1 002

(4)

PERNYATAAN

IMPLEMENTASI ALGORITMA DIJKSTRA DALAM PENCARIAN RUTE TERPENDEK TEMPAT

WISATA KOTA MEDAN

SKRIPSI

Saya mengakui bahwa skripsi ini adalah hasil karya saya sendiri, kecuali beberapa kutipan dan ringkasan yang masing-masing disebutkan sumbernya.

Medan, Januari 2018

ALOSYUS GESTART PARULIAN SIMAMORA 120803085

(5)

PENGHARGAAN

Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Tuhan Yesus Kristus dengan kasih dan berkatNya penulis dapat menyelesaikan penyusunan skripsi ini dengan judul Implementasi Algoritma Dijkstra Dalam Pencarian Rute Terpendek Tempat Wisata Kota Medan

Terima kasih juga penulis sampaikan kepada :

1. Ibu Dra. Normalina Napitupulu, m. Si selaku pembimbing yang telah membimbing penulis selama penulisan skripsi ini.

2. Bapak Drs. Marihat Situmorang, M. Kom dan Ibu Asima Manurung, S.

Si, M. Si selaku dosen penguji yang telah memberikan kritik dan saran yang membangun dalam penyempurnaan skripsi ini.

3. Bapak Dr. Suyanto, M. Kom dan Bapak Drs. Rosman Siregar, M.Si selaku Ketua dan Sekretaris Departemen Matematika FMIPA-USU Medan.

4. Bapak Dr. Kerista Sebayang, M. S selaku Dekan FMIPA USU serta seluruh civitas akademika di lingkungan FMIPA USU.

5. Ayahanda Jabahot Gestart Simamora dan Ibunda Erna Gestart Fransisca Sinabang serta saudara penulis Leny Gestart Cicilya Simamora, Gregorius Gery Gestart Simamora dan Maytri Gestart Ignatius Simamora yang selama ini memberikan bantuan dan dorongan kepada penulis.

6. Teman

(6)

IMPLEMENTASI ALGORITMA DIJKSTRA DALAM PENCARIAN RUTE TERPENDEK TEMPAT WISATA KOTA MEDAN

ABSTRAK

Penentuan jalur terpendek dari suatu tempat ke tempat lain adalah salah satu masalah yang banyak ditemui dalam kehidupan sehar-hari. Algoritma Dijkstra merupakan salah satu algoritma untuk menemtukan jalur terpendek dari suatu verteks ke verteks lainnya pada suatu grap berbobot positif. Penggunaan algoritma Dijkstra juga akan mengasilkan gambaran permasalahan dalam suatu pmodelan matematika. Pada penelitian ini penulis meneliti tempat-tempat wisata yang ada di Kota Medan agar dapat dikunjungi dengan rute terpendek. Tempat wisata tersebut adalah Lapangan Merdeka, Kota Tua, Masjid Raya Medan, Istana Maimun, Rahmat Gallery, Wonder Water World, Taman Wisata Cadika, Kebun Binatang Medan, Hairos Waterpark, Graha Annai Velangkanni, Taman Penangkaran Asam Kumbang dan Gedung Area. Algoritma Dijkstra akan memberikan keluaran berupa jalur tersingkat yang dapat ditempuh untuk mengunjungi semua tempat wisata yang ada, adapun jalur tersebut adalah v₁-v₂-v₄-v₃-v₁₂-v₆-v₅-v₁₂-v₁₁-v₁₀-v₉- v8-v7 dengan panjang jalur 45,9km.

Kata kunci : Algoritma Dijkstra, Jalur Terpendek

(7)

IMPLEMENTATION OF DIJKSTRA ALGORITHM IN SEARCH OF THE SHORTEST ROUTE OF MEDAN CITY TOUR

ABSTRACT

Determining the shortest path from one place to another is one of the many problems encountered in everyday life. Dijkstra's algorithm is one of the algorithms to find the shortest path from a vertex to another vertex on a positive weighted grap. The use of Dijkstra's algorithm will also produce an overview of the problem in a mathematical model. In this study the authors examine the existing attractions in the city of Medan to be visited with the shortest route. The tourist attractions are Merdeka Square, Old Town, Masjid Raya Medan, Maimun Palace, Rahmat Gallery, Wonder Water World, Cadika Park, Medan Zoo, Hairos Waterpark, Graha Annai Velangkanni, Taman Asam Kumbang and Gedung Area.

Dijkstra's algorithm will provide the shortest path that can be taken to visit all the existing attractions, while the path is v1-v2-v4-v3-v12-v6-v5-v12-v11-v10-v9-v8-v7

with long line 46.9km.

Keywords: Dijkstra Algorithm, Shortest Path

(8)

DAFTAR ISI

Halaman

PERSETUJUAN i

PERNYATAAN ii

PENGHARGAAN iii

ABSTRAK iv

ABSTRACT v

DAFTAR ISI vi

DAFTAR TABEL vii

DAFTAR GAMBAR viii

BAB 1 PENDAHULUAN 1

1. 1 Latar Belakang 1

1. 2 Perumusan Masalah 2

1. 3 Batasan Masalah 2

1. 4 Tujuan Pustaka 3

1. 5 Tinjauan Penelitian 3

1. 6 Kontribusi Penelitian 4

1. 7 Metodologi Penelitian 5

BAB 2 LANDASAN TEORI 6

2. 1 Teori Graf 6

2. 1. 1 Pengertian Graf 6

2. 1. 2.Istilah dalam Graf 6

2. 1. 3. Terminologi dalam Graf 10

2. 1. 4. Jenis Graf 12

2. 2 Algoritma Dijkstra 14

BAB 3 HASIL DAN PEMBAHASAN 16

3. 1 Algoritma Dijkstra dalam Pencarian Rute Terpendek 16 3. 2 Algoritma Dijkstra dalam Pencarian Rute Terpendek

pada Jalur Menuju Tempat-tempat wisata di Kota Medan 16

3. 3 Pengolahan Data 19

BAB 4 KESIMPULAN DAN SARAN 32

4. 1 Kesimpulan 32

4. 2 Saran 32

DAFTAR PUSTAKA 33

(9)

DAFTAR TABEL

Nomor Judul Halaman

Tabel

Tabel 3.1 Jarak Antarverteks 14

(10)

DAFTAR GAMBAR

Nomor Judul Halaman

Gambar

Gambar 2.1 Adjacent 7

Gambar 2.2 Path 6

Gambar 2.3 Graf G 10

Gambar 2.4 Graf G 11

Gambar 2.5 Graf Terhubung 13

Gambar 2.6 Graf Tidak Terhubung 14

Gambar 3.1 Peta Wisata Kota Medan 17 Gambar 3.2 Jarak Antarlokasi Tempat Wisata 18

Gambar 3.3 Lintasan 1 20

(11)

BAB 1 PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Sebagai ibukota Provinsi Sumatera Utara, kota Medan memiliki banyak predikat seperti kota budaya dan kota pariwiata. Predikat ini menggambarkan keadaan kota di mana terdapat banyak mahasiswa dan wisatawan dari luar daerah tinggal dan singgah di kota Medan. Kota Medan memiliki banyak sekali tempat untuk di kunjungi bagi wisatawan baik dari dalam negeri maupun luar negeri.

Pariwisata merupakan hal yang tidaklah asing bagi semua orang dan merupakan bisnis yang besar, Industri pariwisata akan berkembang apabila pertumbuhan pengunjung wisata yang terus meningkat akan memberi kontribusi pendapatan ekonomi yang semakin meningkat, beberapa faktor yang dapat menjamin industri pariwisata yaitu ketersediaan informasi tentang pariwisata.Untuk berwisata biasanya hal yang perlu diperhatikan adalah menentukan jadwal pariwisata, setiap orang yang melakukan perjalanan pariwisata pasti memilih jarak terpendek untuk dapat mencapai tujuan karena dapat menghemat waktu, tenaga dan biaya bahan bakar ketika kita berwisata dengan jadwal yang tidak diatur, waktu dan biaya tidak dapat dikontrol, Akibatnya ialah pengeluaran dari anggaran berwisata menjadi membengkak, dan waktu berlibur yang menjadi padat.

Liburan merupakan salah satu cara yang dilakukan oleh seseorang untuk menghilangkan rasa stress maupun kepenatan dalam kehidupan sehari-hari.

Biasanya seseorang berlibur memilih tempat yang sejuk dan nyaman. Kota medan merupakan salah satu tempat di Indonesia yang banyak terdapat lokasi untuk berlibur, tentunya dengan banyak destinasi wisata menarik yang layak untuk dikunjungi. Tempat-tempat menarik yang dapat dikunjungi di kota Medan di antaranya Lapangan merdeka, Kota Tua, Masjid Raya Medan, Istana Maimun, Rahmat Gallery, Wonder Water World, Taman Wisata Cadika, Kebun Binatang

(12)

Medan, Hairos Waterpark, Graha Annai Velangkanni, Penangkaran Buaya Asam Kumbang dan Gedung Arca.

Dari permasalahan diatas maka penulis membuat sistem pencarian jalur terpendek dan rekomendasi objek wisata, yang diharapkan dapat membantu menentukan jalur obyek wisata lain yang dapat dijadikan untuk mengatur jadwal dari berwisata ataupun dapat digunakan menjadi bahan pertimbangan untuk menentukan alternative lokasi obyek wisata yang satu arah atau yang lokasinya berdekatan, sehinnga dapat menghemat waktu.

Dari penjelasan di atas penelitian ini perlu adanya suatu cara dalam menyelesaikan masalah, dari beberapa cara yang ada yang sesui untuk pencarian jalur terpendek adalah dengan mengunakan algoritma dijkstra. Algoritma ini dipilih karena dapat menyelesaikan pencarian jalur terpendek dari satu simpul ke semua simpul yang ada pada suatu graf berarah dengan bobot dan nilai tidak negative.

1.2 Perumusan Masalah

Berdasarkan latar belakang di atas, maka permasalahan dari penelitian ini dirumuskan bagaimana menggunakan algoritma Dijkstra dalam menentukan jalur lokasi wisata yang efektif untuk penggunanya dengan penyebaran yang optimal.

1.3 Batasan Masalah

Batasan masalah dalam penelitian ini adalah:

a. Jalur yang dilalui searah

b. Data yang di ambil dari Google Maps

c. Tempat wisata yang diteliti sebanyak 12 tempat

d. Titik awal dimulai pada tempat wisata Lapangan Merdeka

(13)

1.4 Tujuan Penelitian

Tujuan dari penelitian ini adalah mengoptimalkan jalur lokasi wisata menggunakan algoritma Dijkstra sehingga diperoleh jalur yang efektif bagi wisatawan untuk mengunjungi seluruh tempat wisata yang ada di Kota Medan.

1.5 Tinjauan Pustaka

Graf adalah suatu diagram yang memuat informasi tertentu jika diinterpretasikan seara tepat. Dalam kehidupan sehari-hari graf digunakan untuk menggambarkan berbagai macam struktur yang ada. Tujuannya adalah sebagai visualisasi objek- objek agar lebih mudah dimengerti. Beberapa contoh graf sering dijumpai dalam kehidupan sehari-hari antara lain: struktur organisasi, bagan alir pengambilan mata kuliah, peta, rangkaian listrik dan lain-lain. Tiap diagram memuat sekumpulan objek beserta garis-garis yang menghubungkan objek-objek tersebut.

Garis bisa berarah ataupun tidak berarah. Garis yang berarah biasanya digunakan untuk menyatakan hubungan yang mementingkan urutan antarobjek. Urutan objek akan memiliki arti yang lain jika arah garis diubah (Rinaldi Munir, 2005).

Graf G adalah pasangan (V(G), E(G)) dengan V(G) adalah himpunan titik kosong dan berhingga dari objek yang disebut titik, dan E(G) adalah himpunan (mungkin kosong) pasangan tak berurutan dari titik-titik berbeda di V(G) yang disebut sisi. Banyaknya unsur di V(G) disebut order dari G dan dilambangkan dengan p(G), dan banyaknya unsur di E(G) disebut ukuran dari G dan dilambangkan dengan q(G). Jika graf yang dibicarakan hanya graf G, maka order dan ukuran dari G masing-masing cukup ditulis p dan q. Graf dengan order p dan ukuran q dapat disebut graf-(p, q). (Abdussakir, 2009).

Nama graf diberikan karena graf dapat disajikan dalam secara grafik atau gambar, dan justru dengan bentuk gambar inilah sifat-sifat graf dapat dikenali

(14)

secara detail. Titik disajikan dalama bentuk nokta atau lingkaran kecil dan sisi disajikan dalam bentuk garis atau kurva yang memasangkan dua titik. Penyajian graf secara gambar tidak harus tunggal. Penempatan posisi titik dan sisi tidak menjadi perhatian yang serius. (Abdussakir, 2009)

Pencarian rute terpendek telah diterapkan di berbagai bidang untuk mengoptimasi kinerja suatu sistem, baik untuk meminimalkan biaya atau mempercepat jalannya suatu proses. Salah satu aplikasi pencarian rute terpendek yang paling menarik untuk dibahas adalah pada masalah transportasi. Dalam pencarian rute terpendek, penghitungan dapat dilakukan dengan beberapa macam algoritma. Secara garis besar algoritma penghitungan rute terpendek dibagi menjadi dua kelas berdasarkan metode pemberian labelnya, yaitu algoritma labelsetting dan algoritma label correcting (Raden, 2007).

Algoritma Dijkstra merupakan algoritma yang paling sering digunakan dalam pencarian rute terpendek, sederhana penggunaannya dengan menggunakan simpul-simpul sederhana pada jaringan jalan yang tidak rumit (Chamero, 2006).

Adapun nama algoritma sendiri berasal dari nama penemunya yaitu Edsger Dijkstra (Imron, 2011).

Algoritma Dijkstra merupakan salah satu varian dari algoritma greedy, yaitu salah satu bentuk algoritma populer dalam pemecahan persoalan yang terkait dengan masalah optimasi. Sesuai dengan artinya yang secara harafiah berarti tamak atau rakus, algoritma greedy ini hanya memikirkan solusi terbaik yang akan diambil pada setiap langkah tanpa memikirkan konsekuensi ke depan (Kartika, 2002)

1.6 Kontribusi Penelitian

Manfaat dari penelitian ini adalah sebagai berikut:

a. Diperoleh efektivitas penggunaan algoritma Dijkstra dalam pengoptimalan jalur lokasi wisata.

b. Diperoleh waktu yang lebih efektif dalam mengunjungi lokasi wisata.

(15)

c. Sebagai acuan bagi penelitian selanjutnya yang berhubungan dengan algoritma Dijkstra.

1.7 Metodologi Peneitian

Langkah-langkah yang akan dilakukan dalam menyelesaikan penelitian ini adalah :

1. Mencari literatur dari beberapa buku, jurnal dan karya tulis yang berhubungan dengan Algoritma Dijkstra.

2. Pengumpulan data berupa data yang diperoleh secara langsung yang dikumpulan melalui google maps

3. Pengolahan Data

4. Menarik kesimpulan dan saran dari penelitian yang dilakukan.

(16)

BAB 2 LADASAN TEORI 2.1 Teori Graf

2.1.1 Pengertian Graf

Graf adalah suatu diagram yang memuat informasi tertentu jika diinterpretasikan secara tepat. Dalam kehidupan sehari-hari, graf digunakan untuk menggambarkan berbagai macam struktur yang ada. Tujuannya adalah sebagai visualisasi obyek- obyek agar lebih mudah dimengerti. Beberapa contoh graf yang sering dijumpai dalam kehidupan sehari-hari antara lain: struktur organisasi, bagan alir pengambilan mata kuliah, peta, rangkaian listrik, dan lain-lain.

Tiap-tiap diagram memuat sekumpulan obyek (kotak, titik, dan lain-lain) beserta garis-garis yang menghubungkan obyek-obyek tersebut. Garis bisa berarah ataupun tidak berarah. Garis yang berarah biasanya digunakan untuk menyatakan hubungan yang mementingkan urutan antar objek-objek. Urut-urutan objek akan mempunyai arti yang lain jika arah garis diubah. Sebagai contoh adalah garis komando yang menghubungkan titik-titik struktur sebuah organisasi. Sebaliknya, garis yang tidak berarah digunakan untuk menyatakan hubungan antar objek- objek yang tidak mementingkan urutan.

2.1.2 Istilah Dalam Graph

1. Incident

Jika e merupakan busur dengan simpul-simpulnya adalah v dan w yang ditulis e=(v,w), maka v dan w disebut “terletak” pada e, dan e disebut incident dengan v dan w.

(17)

2. Degree

Di dalam Graph ada yang disebut dengan Degree, Degree mempuyai 3 jenis antara lain :

· - Degree dari suatu verteks x dalam undigraph adalah jumlah busur yang incident dengan simpul tersebut.

· - Indegree dari suatu verteks x dalam digraph adalah jumlah busur yang kepalanya incident dengan simpul tersebut, atau jumlah busur yang “masuk”

atau menuju simpul tersebut..

· - Outdegree dari suatu verteks x dalam digraph adalah jumlah busur yang ekornya incident dengan simpul tersebut, atau jumlah busur yang “keluar”

atau berasal dari simpul tersebut.

3. Adjacent

Pada graph tidak berarah, 2 buah simpul disebut adjacent bila ada busur yang menghubungkan kedua simpul tersebut. Simpul v dan w disebut adjacent. Pada graph berarah, simpul v disebut adjacent dengan simpul w bila ada busur dari w ke v.

Gambar 2.1 Adjacent

4. Successor dan Predecessor

Pada graph berarah, bila simpul v adjacent dengan simpul w, maka simpul v adalah successor simpul w, dan simpul w adalah predecessor dari simpul v.

(18)

5. Path

Sebuah path adalah serangkaian simpul-simpul berbeda yang adjacent secara berturut-turut dari simpul satu ke simpul berikutnya.

Gambar 2.2 Path

6. Bertetangga (adjacent)

Dua buah titik, titik u dan titik v pada graph tak berarah G dikatakan bertetangga bila keduanya terhubung langsung dengan sebuah sisi. Dengan kata lain, u bertetangga dengan v jika (u,v) adalah sebuah sisi pada graph G.

7. Titik terpencil (isolated vertex)

Titik terpencil adalah titik yang tidak mempunyai sisi yang bersisian dengannya.

Atau, dapat juga dikatakan bahwa titik terpencil adalah titik yang tidak satupun bertetangga dengan titik-titik lainnya.

8. Jalan (walk)

Misalkan G adalah sebuah graph. Sebuah jalan (walk) di G adalah sebuah barisan berhingga (tak kosong) yang suku-sukunya bergantian titik dan sisi, sedemikian hingga dan adalah titik-titik akhir sisi ei, untuk . Katakan W adalah sebuah jalan dari titik (titik awal) ke titik (titik akhir), sedangkan titik-titik disebut titik-titik internal W dan k disebut panjang jalan W. Dengan kata lain, jalan (walk) ialah di mana sisi dan titiknya boleh berulang.

9. Jejak (trail)

Jejak adalah jalan yang sisi-sisinya tidak ada yang sama, tetapi titiknya boleh ada yang sama.

10. Sirkit

Sirkit adalah Jejak tertutup.

(19)

11. Siklus/lintasan tertutup (sikel)

Sikel adalah sebuah sirkit yang titik awal dan semua titik internalnya berbeda (titik awal dan titik akhirnya sama dimana titik dan sisinya tidak ada yang berulang).

12.Terhubung dan tidak terhubung

Suatu graph G dikatakan terhubung jika dan hanya jika setiap 2 titik dalam G terhubung sedangkan suatu graph G dikatakan tidak terhubung jika dan hanya jika ada 2 titik dalam G yang tidak terhubung.

13.Komplemen

Misalkan G sebuah graph sederhana. Komplemen G dilambangkan dengan , adalah graph sederhana yang himpunan titiknya sama dengan himpunan titik G dan dua titik u dan v di berhubungan langsung jika dan hanya jika di G titik u dan v tidak berhubungan langsung.

14.Derajat titik, himpunan derajat, dan barisan derajat

Jika v adalah suatu titik pada graf G, maka himpunan semua titik yang terhubung langsung dengan v disebut lingkungan dari v dan ditulis NG(v). Banyak sisi di G yang terkait langsung dengan v disebut derajat dari titik v di graf G, ditulis degG

deg(𝑣𝑣) = |𝑁𝑁(𝑣𝑣)|

Titik yang berderajat 0 disebut titik terasing atau titik terisolasi. Titik yang berderajat 1 disebut titik ujung atau titik akhir. Titik yang berderajat genap disebut titik genap dan titik yang berderajat ganjil disebut titik ganjil. Derajat maksimum titik di G dilambangkan dengan D(G) dan derajat minimum titik di G dilambangkan dengan d(G).

(v). Keterangan lingkungan dan/atau derajat dari sebuah titik v di graf G juga dapat disingkat dengan N(v) dan deg(v). Jika dikaitkan dengan konsep lingkungan, derajat titik v di graf G adalah banyaknya anggota dalam lingkungan dari titik v atau dapat dituliskan :

(20)

a b

d c

2. 1. 3. Terminologi dalam Graf

Misalkan G graf, u dan v adalah titik di G (tidak harus berbeda). Jalanu-v pada graf G adalah barisan berhingga yang berselang-seling, yaitu :

𝑊𝑊: 𝑢𝑢 = 𝑣𝑣0, 𝑒𝑒1, 𝑣𝑣1, 𝑒𝑒2, 𝑣𝑣2, … , 𝑒𝑒𝑛𝑛, 𝑣𝑣𝑛𝑛 = 𝑣𝑣

antara titik dan sisi, yang dimulai dari titik dan diakhiri dengan titik, dengan : 𝑒𝑒_𝑖𝑖 = 𝑣𝑣_𝑖𝑖−1𝑣𝑣_𝑖𝑖

𝑖𝑖 = 1, 2, 3, … , 𝑛𝑛

Adalah sisi di G. 𝑣𝑣0 disebut titik awal, 𝑣𝑣𝑛𝑛 disebut titik akhir, titik 𝑣𝑣1, 𝑣𝑣2, … , 𝑣𝑣𝑛𝑛−1

disebut titik internal, dan n menyatakan panjang dari W. Jika 𝑣𝑣₀ ≠ 𝑣𝑣_𝑛𝑛, maka W disebut jalan terbuka. Jika 𝑣𝑣₀ = 𝑣𝑣_𝑛𝑛, maka W disebut jalan tertutup. Jalan yang tidak mempunyai sisi disebut jalan trivial. Karena dalam graf dua titik hanya akan dihubungkan oleh tepat satu sisi, maka jalan 𝑢𝑢-𝑣𝑣

𝑊𝑊: 𝑢𝑢 = 𝑣𝑣₀, 𝑒𝑒₁, 𝑣𝑣₁, 𝑒𝑒₂, 𝑣𝑣₂, … , 𝑒𝑒_𝑛𝑛, 𝑣𝑣_𝑛𝑛 = 𝑣𝑣 dapat ditulis menjadi

𝑊𝑊: 𝑢𝑢 = 𝑣𝑣0, 𝑣𝑣1, 𝑣𝑣2, … , 𝑣𝑣𝑛𝑛−1 = 𝑣𝑣 Perhatikan graf Gberikut :

Dari gambar tersebut, maka dapat diketahui bahwa, jika : 𝑊𝑊₁ = 𝑎𝑎, 𝑏𝑏, 𝑐𝑐

𝑊𝑊2 = 𝑎𝑎, 𝑏𝑏, 𝑑𝑑, 𝑐𝑐, 𝑎𝑎

disimpulkan bahwa 𝑊𝑊₁ adalah jalan terbuka dan 𝑊𝑊₂ adalah jalan tertutup.

Gambar 2.3 Graf G

(21)

a c

e

f

b d

Jalan W yang semua sisinya berbeda disebut trail, pada gambar 2.3, contoh trail adalah 𝑊𝑊₂, karena 𝑊𝑊₂ merupakan jalan dan semua sisi yang dilaluinya berbeda, dapat disimpulkan juga bahwa 𝑊𝑊₂ merupakan jalan tertutup dan sekaligus merupakan trail. Lintasan adalah jalan terbuka yang semua titiknya berbeda, 𝑊𝑊1

merupakan contoh lintasan, karena merupakan jalan terbuka, dan semua titiknya berbeda. Dapat disimpulkan juga bahwa setiap lintasan merupakan trail, tetapi tidak semua trail merupakan lintasan.

Graf berbentuk lintasan dengan titik sebanyak 𝑛𝑛 dinamakan graf lintasan order 𝑛𝑛dan ditulis 𝑃𝑃_𝑛𝑛. Jalan tertutup 𝑊𝑊 tak trivial yang semua sisinya berbeda disebut sirkuit atau trail tertutup tak trivial. Perhatikan graf 𝐺𝐺berikut :

𝑊𝑊1 = 𝑎𝑎, 𝑒𝑒, 𝑏𝑏, 𝑑𝑑, 𝑒𝑒, 𝑐𝑐, 𝑎𝑎 𝑊𝑊₂ = 𝑎𝑎, 𝑒𝑒, 𝑏𝑏, 𝑑𝑑, 𝑒𝑒, 𝑑𝑑, 𝑐𝑐, 𝑎𝑎

dapat disimpulkan bahwa 𝑊𝑊₁ merupakan jalan tertutup, karena memiliki titik awal dan titik akhir yang sama yaitu 𝑣𝑣0=𝑣𝑣𝑛𝑛=𝑎𝑎, dan merupakan trail karena tidak ada satu sisi yang dilalui lebih dari sekali, sehingga 𝑊𝑊₁ disebut sirkuit. Sedangkan 𝑊𝑊₂ merupakan jalan tertutup dan bukan trail, karena sisi 𝑒𝑒-𝑑𝑑 dilalui lebih dari satu kali, sehingga 𝑊𝑊₂ bukan sirkuit.

Jalan tertutup tak trivial yang semua titiknya berbeda disebut sikel. Dengan demikian setiap sikel pasti merupakan sirkuit, tetapi tidak semua sirkuit merupakan sikel.

Gambar 2.4 Graf G

(22)

2.1.4 Jenis Graf

1. Graf sederhana (simple graph).

Graf sederhana merupakan graf yang tidak mengandung gelang maupun sisi- ganda. Pada graf ini sisi merupakan pasangan tak-terurut (unordered pairs) sehingga jika menuliskan sisi (u,v) sama saja dengan (v,u) dan G=(V,E) terdiri dari himpunan tidak kosong simpul-simpul dan E adalah himpunan pasangan tak- terurut yang berbeda yang disebut sisi.

2. Graf tak-sederhana (unsimple-graph).

Graf yang mengandung sisi ganda atau gelang dinamakan graf tak-sederhana (unsimple graph).

3. Graf berhingga (limited graph)

Graf berhingga adalah graf yang jumlah simpulnya, n, berhingga.

4. Graf tak-berhingga (unlimited graph)

Graf yang jumlah simpulnya, n, tidak berhingga banyaknya disebut graf tak- berhingga.

5.Graf tak-berarah (undirected graph)

Graf yang sisinya tidak mempunyai orientasi arah disebut graf tak-berarah.

6. Graf berarah (directed graph atau digraph)

Graf yang setiap sisinya diberikan orientasi arah disebut sebagai graf berarah.

7. Graf Bidang (planar graph)

Graf bidang merupakan representasi dari graf planar yang digambarkan dengan sisi-sisi yang tidak saling berpotongan. Graf ini merupakan graf planar yang sudah tergambar tanpa sisi-sisi yang berpotongan.

(23)

a b

f c

d e

8.. Graf Lengkap (complete graph)

Graf lengkap ialah graf sederhana yang setiap simpulnya mempunyai sisi ke semua simpul lainnya. Sebuah graf lengkap dengan n buah simpul dilambangkan dengan Kn. Setiap simpul pada Kn berderajat n – 1, sehingga jumlah sisi yang ada adalah n(n – 1)/2.

9. Graf Bipartit (bipartite graph)

Graf bipartite merupakan sebuah graf G yang himpunan simpulnya dapat dikelompokkan menjadi dua himpunan bagian V₁ dan V₂, sedemikian sehingga setiap sisi di dalam G menghubungkan sebuah simpul di V₁ ke sebuah simpul di V₂. Dengan kata lain, setiap pasang simpul di V₁ (demikian pula dengan simpul- simpul di V₂

Misalkan 𝑢𝑢 dan 𝑣𝑣 titik berbeda pada graf 𝐺𝐺. Titik 𝑢𝑢 dan 𝑣𝑣 dikatakan terhubung (connected), jika terdapat lintasan 𝑢𝑢-𝑣𝑣di 𝐺𝐺. Suatu graf 𝐺𝐺 dikatakan terhubung (connected), jika untuk setiap titik 𝑢𝑢 dan 𝑣𝑣 yang berbeda di 𝐺𝐺 terhubung. Dengan kata lain, suatu graf 𝐺𝐺 dikatakan terhubung (connected), jika untuk setiap titik 𝑢𝑢 dan 𝑣𝑣 di 𝐺𝐺 terdapat lintasan 𝑢𝑢-𝑣𝑣di 𝐺𝐺. Sebaliknya, jika ada dua titik 𝑢𝑢 dan 𝑣𝑣di 𝐺𝐺, tetapi tidak ada lintasan 𝑢𝑢-𝑣𝑣 di 𝐺𝐺, maka 𝐺𝐺 dikatakan tak terhubung (disconnected). Berikut contoh sederhana dari graf terhubung dan graf tidak terhubung :

) tidak bertetangga.

10. Graf terhubung (connected graph) & graf tidak terhubung (disconnected graph)

Gambar 2.5 Graf Terhubung

(24)

a b c

d e

f

11. Sub Graf

Subgraf (Upagraf) merupakan sebuah graf yang ada pada sebuah graf yang lain.

Misalkan bilamana sebuah graf G = (V,E), maka G₁ = (V₁,E₁

Abdussakir (2007) mengemukakan bahwa graf berbobot adalah graf yang masing- masing sisinya diberi label bilangan real positif, yang disebut bobot. Misalkan 𝐺𝐺graf dan 𝑒𝑒 sisi di 𝐺𝐺. Bobot dari 𝑒𝑒, dinotasikan dengan 𝑤𝑤(𝑒𝑒), adalah bilangan real positif yang dipasangkan pada 𝑒𝑒. Panjang lintasan pada graf berbobot adalah jumlah dari masing-masing bobot sisi yang terdapat pada lintasan tersebut. Untuk duat titik terhubung 𝑢𝑢 dan 𝑣𝑣 pada graf berbobot 𝐺𝐺, maka jarak antara 𝑢𝑢 dan 𝑣𝑣, dinotasikan dengan 𝑑𝑑(𝑢𝑢, 𝑣𝑣), adalah panjang lintasan terkecil dari lntasan-lintasan 𝑢𝑢-𝑣𝑣 yang terdapat di 𝐺𝐺. Jika masing-masing sisi mempunyai bobot 1, maka 𝐺𝐺 dapat dianggap sebagai graf.

2.2 Algoritma Dijkstra

)

12. Graf Berbobot

Algortima ini ditemukan oleh Edsger W. Dikstra dan di publikasi pada tahun 1959 pada sebuah jurnal Numerische Mathematik yang berjudul “A Note on Two Problems in Connexion with Graphs“[1]. Algoritma ini sering digambarkan sebagai algoritma greedy (tamak). Sebagai contoh, ada pada buku Algorithmics (Brassard and Bratley [1988, pp. 87-92])

Gambar 2.6 Graf Tidak Terhubung

(25)

Dijkstra merupakan salah satu varian bentuk algoritma popular dalam pemecahan persoalan terkait masalah optimasi pencarian lintasan terpendek sebuah lintasan yang mempunyai panjang minimum dari verteks a ke z dalam graph berbobot, bobot tersebut adalah bilangan positif jadi tidak dapat dilalui oleh node negatif. Namun jika terjadi demikian, maka penyelesaian yang diberikan adalah infiniti (Tak Hingga). Pada algoritma Dijkstra, node digunakan karena algoritma Dijkstra menggunakan graph berarah untuk penentuan rute listasan terpendek.

Langkah penyelesaian Algoritma Dijkstra sebagai berikut:

1. Beri nilai bobot (jarak) untuk setiap titik ke titik lainnya, lalu set nilai 0 pada node awal dan nilai tak hingga terhadap node lain (yang belum terisi).

2. Set semua node “Belum terjamah” dan set node awal sebagai “Node keberangkatan”.

3. Dari node keberangkatan, pertimbangkan node tetangga yang belum terjamah dan hitung jaraknya dari titik keberangkatan.

4. Setelah selesai mempertimbangkan setiap jarak terhadap node tetangga, tandai node yang telah terjamah sebagai “Node terjamah”. Node terjamah tidak akan pernah di cek kembali, jarak yang disimpan adalah jarak terakhir dan yang paling minimal bobotnya.

5. Set “Node belum terjamah” dengan jarak terkecil (dari node keberangkatan) sebagai “Node Keberangkatan” selanjutnya dan lanjutkan dengan kembali ke langkah 3.

(26)

BAB 3

HASIL DAN PEMBAHASAN

3.1 Algoritma Dijkstra dalam Pencarian Rute Terpendek

Algoritma dijkstra meggunakan prinsip greedy dalam mencari solusi optimum pada setiap langkah yang dilalui. Algoritma ini membandingkan setiap nilai dari simpul pada satu level dan akan dibandingkan lagi untuk rute yang baru.

Dijkstra merupakan salah satu varian bentuk algoritma popular dalam pemecahan persoalan terkait masalah optimasi pencarian lintasan terpendek sebuah lintasan yang mempunyai panjang minimum dari verteks a ke z dalam graph berbobot, bobot tersebut adalah bilangan positif jadi tidak dapat dilalui oleh node negatif.

Namun jika terjadi demikian, maka penyelesaian yang diberikan adalah infiniti (Tak Hingga). Pada algoritma Dijkstra, node digunakan karena algoritma Dijkstra menggunakan graph berarah untuk penentuan rute listasan terpendek.

3.2 Algoritma Dijkstra dalam Pencarian Rute Terpendek pada Jalur Menuju Tempat-tempat wisata di Kota Medan

Kota Medan merupakan salah satu kota besar yang ada di Indonesia. Tentunya sebagai kota besar, kota Medan memiliki banyak destinasi tempat wisata yang layak untuk dikunjungi. Karena kota Medan merupakan kota yang cukup padat, tentu dapat terjadi kemacetan dimanapun. Untuk dapat mencapai setiap destinasi wisata yang ada tentu perlu pertimbangan mengenai jalur yang akan di tempuh karena padatnya kota Medan. Maka dari itu penulis menggunakan metode dijkstra sebagai algoritma yang akan digunakan dalam penelitian ini. Tempat wisata yang akan diteliti adalah sebagai berikut:

1. Lapangan Merdeka 2. Kota Tua

3. Masjid Raya Medan 4. Istana Maimun 5. Rahmat Gallery

(27)

6. Wonder Water World 7. Taman Wisata Cadika 8. Kebun Binatang 9. Hairos Waterpark

10. Graha Annai Velangkanni 11. Asam Kumbang

12. Gedung Arca

Berikut adalah peta wilayah penelitian penentuan jalur terpendek menuju tempat- tempat Wisata di Kota Medan

Gambar 3.1 Peta Wisata Kota Medan

(28)

Berikut adalah jarak antar lokasi tempat wisata (dalam satuan km)

Gambar 3.2 Jarak Antarlokasi Tempat Wisata

(29)

Jarak atarverteks dapat dilihat dalam tabel berikut.

Tabel 3.1 Jarak Antarverteks Verte

ks Ke – (km)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

1 ~ 0.2 2.1 1.9 2.3 5.3 8.8 14.2 15.2 11.4 8.7 3.6 2 0.2 ~ 2.0 1.7 2.2 5.2 8.8 14.2 15.1 11.3 8.8 3.5 3 2.1 2.0 ~ 0.6 3.1 4.1 8.1 14.0 15.0 11.5 9.1 1.4 4 1.8 1.7 0.6 ~ 2.8 4 8.0 13.9 14.8 11.3 9.0 1.9 5 2.3 2.2 3.1 2.8 ~ 4.6 6.7 12.1 12.8 9.1 6.8 4.0 6 5.3 5.2 4.1 4 4.6 ~ 4.8 11.3 12.2 10.1 9.9 3.7 7 8.8 8.8 8.1 8.0 6.7 4.8 ~ 9.1 10.2 8.1 8.5 7.7 8 14.2 14.

2 14.

0 13.

9 12.1 11.

3 9.1 ~ 7.9 11.6 12.0 14.3 9 15.2 15.

1 15.

0 14.

8 12.8 12.

3 10.

2 7.9 ~ 7.3 9.3 15.3 10 11.4 11.

3 11.

5 11.

3 9.1 10.

1 8.1 11.6 7.3 ~ 2.8 12.4 11 8.7 8.8 9.1 9.0 6.8 9.9 8.5 12.0 9.3 2.8 ~ 10.1 12 3.6 3.5 1.4 1.9 4.0 3.7 7.7 14.3 15.3 12.4 10.1 ~

3.3 Pengolahan Data

Pengolahan data dilakukan dngan memodelkan rute yang akan menjadi titik awal dan titik akhir yang akan dilalui untuk mendapatkan rute terpendek. Titik awal yang dipilih adalah v₁ dan titik akhir yang dipilih adalah v₇. Titik mengambarkan lokasi dan garis menggambarkan jalan, maka algoritma Dijkstra melakukan kalkulasi terhadap semua kemungkinan bobot terkecil dari setiap titik.

Pertama tentukan titik yang akan menjadi nomor kode awal, lalu beri bobot jarak pada verteks pertama ke verteks terdekat satu per satu, lalu akan dilakukan pengembangan pencarian dari satu titik ke titik selanjutnya (tahap demi tahap).

(30)

1. Vertex awal v1 dengan vertex akhir v7. Dijkstra melakukan kalkulasi terhadap verteks tetangga yang terhubung langsung dengan verteks keberangkatan (v1), dan hasil yang didapat adalah v2 karena bobot nilai v2 paling kecil dibandingkan nilai pada verteks lain yaitu dengan bobot sebesar 0,2.

Gambar 3. 3 Lintasan 1

2.

Selanjutnya v₂ diset menjadi verteks keberangkatan dan ditandai sebagi verteks yang telah terdatangi. Dijkstra melakukan kalkulasi kembali terhadap vertex tetangga yang terhubung langsung dengan verteks yang telah terdatangi dan kalkulasi dijkstra menunjukan bahwa verteks 4 yang menjadi verteks keberangkatan selanjutnya karena bobotnya yang paling kecil dari hasil kalkulasi terakhir yaitu sebesar1.7.

V1

V3

V2

V11

9.5

0.2

2.1

V10

11.9

V5

(31)

Gambar 3.4 Lintasan 2

3. Selanjutnya v₄ diset menjadi verteks keberangkatan dan ditandai sebagi verteks yang telah terdatangi. Dijkstra melakukan kalkulasi kembali terhadap verteks tetangga yang terhubung langsung dengan verteks yang telah terdatangi. Dan kalkulasi dijkstra menunjukan bahwa verteks 3 yang menjadi node keberangkatan selanjutnya karena bobotnya yang paling kecil dari hasil kalkulasi terakhir yaitu sebesar 0.6.

V1

V3

V2

V11

9.5

0.2

2.1

V10

11.9

V5

V4

2.2 1.7

2.0

V1

V3

V2

V11

9.5 0.2

2.1

V10

11.9

V5

V4

2.2 1.7

2.0

0.6

(32)

4.

Langkah selanjutnya v3 diset menjadi verteks keberangkatan dan ditandai sebagi verteks yang telah terdatangi. Dijkstra melakukan kalkulasi kembali terhadap verteks tetangga yang terhubung langsung dengan verteks yang telah terdatangi. Dan kalkulasi dijkstra menunjukan bahwa verteks 12 yang menjadi node keberangkatan selanjutnya karena bobotnya yang paling kecil dari hasil kalkulasi terakhir yaitu sebesar 1.4.

V1

V3

V2

V11

9.5 0.2

2.1

V10

11.9

V5

V4

2.2 1.7

2.0

0.6

V12

1.4

(33)

5. Selanjutnya dimulai dari v12, dapat ditentukan lintasan selanjutnya adalah v6

karena hanya v6 yang dapat dilewati sedangkan v3 dan v4 telah dilewati.

V1

V3

V2

V11

9.5 0.2

2.1

V10

11.9

V5

V4

2.2 1.7

2.0

0.6

V12

1.4

V6

3.7

(34)

6. Jalur selanjutnya adalah v5 karena memiliki bobot terkecil sedangkan v4 telah dilewati.

V1

V3

V2

V11

9.5 0.2

2.1

V10

11.9

V5

V4

2.2 1.7

2.0

0.6

V12

1.4

V6

3.7 4.6

(35)

7. Selanjutnya v5 terhubung dengan v11 dengan bobot terkecil.

V1

V3

V2

V11

9.5 0.2

2.1

V10

11.9

V5

V4

2.2 1.7

2.0

0.6

V12

1.4

V6

3.7 4.6

6.8

(36)

8. Selanjutnya lintasan yang dilali v11 adalah menuju v10.

V1

V3

V2

V11

9.5

0.2

2.1

V10

11.9

V5

V4

2.2 1.7

2.0

0.6

V12

1.4

V6

3.7 4.6

6.8 2.8

(37)

9. Karena jalur dari v10 yang bisa dilewati hanya menuju v9, maka lintasan selanjutnyan dalah menuju v9

V1

V3

V2

V11

9.5 0.2

2.1

V10

11.9

V5

V4

2.2 1.7

2.0

0.6

V12

1.4

V6

3.7 4.6

6.8 2.8

V9

7.1

(38)

10. Lintasan selanjutnya yang dilaui v9 dalah v8 yaitu dengan bobot 7.9

V1

V3

V2

V11

9.5 0.2

2.1

V10

11.9

V5 V4

2.2 1.7

2.0

0.6

V12

1.4

V6

3.7 4.6

6.8 2.8

V9

7.1

V8

7.9

(39)

11. Setelah melalui v8, lintasan selanjutnya adalah menuju v7 dengan bobot 4.8

Setelah menuju verteks akhir, langkah metode algoritma Dijstra dinyatakan selesai. Maka jaur atau lintasan terpendek yang dapat dilalui untuk mengunjungi 12 tempat wisata yang diteliti dengan titik awal Lapangan merdeka dan tujuan akhir adalah Taman Wisata Cadika yaitu Lapangan Merdeka – Kota Tua – Istana Maimun – Masjid Raya Medan – Gedung Arca – Wonder Water World – Rahmat gallery – Penangkaran Buaya Asam Kumbang – Graha Annai Velangkanni – Hairos Waterpark – Kebun Binatang – Taman Wisata Cadika dengan jarak lintasan 0.2 – 1.7 – 0.6 – 1.4 – 3.7 – 4.6 – 6.8 – 2.8 – 7.1 – 7.9 – 9.1 dan panjang lintasan 45,9 km.

V1

V3

V2

V11

9.5 0.2

2.1

V10

11.9

V5 V4

2.2 1.7

2.0

0.6

V12

1.4

V6

3.7 4.6

6.8 2.8

V9

7.1

V8

7.9

V7

9.1

(40)

BAB 4

KESIMPULAN DAN SARAN

4.1 Kesimpulan

Berdasarkan perumusan masalah dan penelitian yang telah penulis lakukan maka dapat disimpulkan lintasan terpendek yang dapat dilalui untuk mengunjungi 13 tempat wisata yang diteliti dengan titik awal Lapangan merdeka dan tujuan akhir adalah Taman Wisata Cadika yaitu Lapangan Merdeka – Kota Tua – Istana Maimun – Masjid Raya Medan – Gedung Arca – Wonder Water World – Rahmat gallery – Penangkaran Buaya Asam Kumbang – Graha Annai Velangkanni – Hairos Waterpark – Kebun Binatang – Taman Wisata Cadika dengan jarak lintasan 0.2 – 1.7 – 0.6 – 1.4 – 3.7 – 4.6 – 6.8 – 2.8 – 7.1 – 7.9 – 9.1 dan panjang lintasan 45,9 km.

4.2 Saran

Penelitian selanjutnya dapat dilakukan dengan memperluas cakupan penelitian dan objek yang diteliti selain daerah wisata. Penelitian selanjutnya juga dapat menggunakan metode lainnya yang mungkin lebih akurat dan mungkin akan memberikan.

(41)

DAFTAR PUSTAKA

Abdussakir.,Niswatin, &Fifi. 2009. Teori Graf. Malang : UIN - Malang Press.

AlaVi, Y., et al. 1985. Graph Theory With Applications To Algorithms And Computer Science. John Wiley & Sons, Inc. Canada.

Brassard, Giley., Paul Bratley. 1996. Fundamental of Algorithm. Prentice-Hall, Inc. New Jersey.

Chartrand, Gary., et al. 1981. The Theory And Applications of Graphs. John Wiley

& Sons, Inc., Canada.

Lipshutz, Seymour., Marc Lipson. 2007. Discrete Mathematics : Third Edition.

The McGraw-Hill Companies, Inc. America.

Liu, C.L.. 1995. Dasar - DasarMatematikaDiskret. PT GramediaPustakaUtama.

Jakarta.

Munir, Rinaldi, 2005. MatematikaDiskrit. PenerbitInformatika Bandung.

Bandung.

Purwanto, Eko Budi. 2008. Perancangan&AnalisisAlgoritma. GrahaIlmu.

Yogyakarta.

Diaz, Raden. 2007. PerbandinganAlgoritmaDjikstradanAlgoritma Floyd WarshalldalamPenentuanLintasanTerpendek (Single Pair Shortest)

Fauzi,Imron.2011.PenggunaanAlgoritmaDjikstradalamPencarianRuteTerpendek, UINSyarifHidayatullan. Jakarta.