PERSAMAAN DIOPHANTINE KUADRATIK
− ( + ) − ( + ) + ( + ) = ( ≥ )
QUADRATIC DIOPHANTINE EQUATION
− ( + ) − (16 + 4) + (16 + 16 ) = 0 ( ≥ 1)
Orgenes Tonga
Pascasarjana Matematika, Universitas Hasanuddin, Makassar
Alamat Korespondensi:
Orgenes Tonga
SMAN 2 Binsus Tobelo Halmahera Utara, 97762 Email: orgenest@yahoo.com
Abstrak
Misalkan ≥ 1 merupakan bilangan bulat positif. Akan ditentukan solusi bilangan bulat positif dari persamaan Pell − ( + ) = 1, yang dapat dipakai untuk menentukan solusi bilangan bulat positif dari persamaan Pell − ( + ) = −32 + 4. Selanjutnya akan ditentukan solusi bilangan bulat positif dari persamaan Diophantine
− ( + ) − (16 + 4) + (16 + 16 ) = 0.
Diperoleh beberapa rumus dan hubungan rekurensi dalam solusi bilangan bulat positif ( , ) dari persamaan Diophantine
Kata Kunci: Persamaan Pell, Persamaan Diophantine
Abstract
Let ≥ 1 be positive integer. Will be determined of positive integer solution of Pell equation − ( + ) = 1, which can weared to determine positive integer solution of Pell equation − ( + ) = −32 + 4.
Hereinafter will be determined positive integer solution of Diophantine equation
− ( + ) − (16 + 4) + (16 + 16 ) = 0.
Obtained some formula and recurrence relation in positive integer solution ( , ) of Diophantine equation
Keyword: Pell equation, Diophantine equation.
PENDAHULUAN
Pencarian solusi fundamental (mendasar) persamaan Pell klasik − = 1 telah dilakukan sebelumnya dengan metode siklik oleh Bhascara (Edwards, 1977), dengan metode faktorisasi oleh Fermat dan dengan metode reduksi oleh Lagrange (Jacobson, 2009), namun prosesnya kurang efisien. Selanjutnya pencarian solusi dengan metode fraksi kontinu berhingga sederhana pada ekspansi (penjabaran) √ pencarian solusi fundamental ternyata lebih efisien (Baltus, 2007, dan Seung, 2008).
Persamaan Diophantine memiliki berbagai generalisasi. Dalam pengembangan selanjutnya, telah dilakukan pencarian solusi persamaan Diophantine yang melibatkan fraksi kontinu dengan ekspansi bilangan real √ + pada persamaan − = 2 (Tekcan dkk., 2007), dan pada persamaan − ( + ) − (4 + 2) + (4 + 4 ) = 0 (Ozkoc and Tekcan, 2010), serta ekspansi bilangan real √ − pada persamaan − ( − ) − (4 − 2) + (4 − 4 ) = 0 (Tekcan and Ozkoc, 2010) dan pada persamaan − ( − ) − (16 − 4) + (16 − 16 ) = 0 (Chandoul, 2011). Selanjutnya, akan dibahas algoritma pencarian solusi persamaan Pell pada penyelesaian suatu persamaan Diophantine:
− ( + ) = 1 (1.1),
− ( + ) = −32 + 4 (1.2),
− ( + ) − (16 + 4) + (16 + 16 ) = 0 ( ≥ 1) (1.3).
BAHAN DAN METODE
Fraksi Kontinu Periodik dan Bilangan Berbentuk √ +
Dikatakan, ∈ merupakan suatu fraksi kontinu periodik jika
= [ ; , , ⋯ , , , , ⋯ , ] (2.1) dimana bentuk , , ⋯ , menandakan bahwa barisan ( , , ⋯ , ) berulang periodik, dan disebut periode dari fraksi kontinu. Pendekatan fraksi kontinu pada bilangan real √ + sebelumnya telah dibahas dalam pencarian solusi persamaan −
= 2 dengan mengekpansikan √ = √ + sebagai fraksi kontinu (Tekcan dkk., 2007).
Definisi 1 (Irasional Kuadratik):
Anggap merupakan bilangan irasional. disebut irasional kuadratik jika merupakan akar dari persamaan kuadratik + + = 0 untuk , , ∈ ℤ . Selanjutnya akar yang lain , disebut konyugat dari .
Definisi 2 (Irasional Kuadratik Tereduksi):
Anggap adalah irasional kuadratik dan adalah konyugatnya. disebut irasional kuadratik tereduksi jika > 1 dan −1 < < 0.
Definisi 3 (Periodik Murni):
Suatu fraksi kontinu [ , , ⋯ , ] disebut periodik murni jika berlaku = , = , = , ⋯ , = . Dengan demikian maka fraksi kontinu [ , , ⋯ , ] = [ ; , , ⋯ , ] = ⋯ = [ ; , ⋯ , , , , ⋯ , ].
Teorema 2.1(Teorema Galois):
Anggap adalah bilangan irasional. Suatu adalah periodik murni jika dan hanya jika irasional kuadratik tereduksi.
Jika = [ , , ⋯ , ] dan adalah konyugatnya maka − = [ , ⋯ , , ].
∎ Teorema 2.2: (Niven, 1991)
Setiap bilangan irasional kuadratik merupakan suatu fraksi kontinu periodik sederhana, dan setiap fraksi kontinu periodik sederhana merupakan suatu bilangan irasional kuadratik.
∎ Algoritma 2.1:
Misalkan merupakan suatu bilangan irasional kuadratik dengan = = √ , maka dapat dijabarkan dengan algoritma sebagai berikut:
1. Input: = √ ( bukan kuadrat sempurna), = 0, ℎ = 1.
2. = ⌊ ⌋, = 0,1,2, ⋯ (2.2) 3. = ℎ − , = 0,1,2, ⋯ (2.3) 4. ℎ = , = 0,1,2, ⋯ (2.4) 5. = √ , = 0,1,2, ⋯ (2.5) Dari algoritma dapat disimpulkan √ ∈ , dan , ℎ ∈ ℤ.
Lemma 2.1:
Misalkan diberikan √ ∈ maka:
√ = [ ; , , ⋯ , , 2 ] (2.6) dengan √ = untuk suatu ∈ ℕ.
Bukti: Anggap bahwa = √ + √ > 1 dan −1 < = √ − √ < 0 sehingga ( − )( − ) = − ( + ) + ( )
= − 2 √ + ( √ − )
merupakan persamaan kuadratik bilangan bulat (polinom bilangan bulat berderajat dua).
Sehingga dan adalah irasional kuadratik dan salah satunya adalah konyugat. Selanjutnya adalah irasional kuadratik tereduksi. Berdasarkan teorema Galois, adalah periodik murni.
Sehingga
= √ + √ = 2 √ , , , ⋯ ,
√ + √ = 2 √ ; , , ⋯ , , 2 √
√ = 2 √ ; , , ⋯ , , 2 √ − √
√ = √ ; , , ⋯ , , 2 √ karena √ = maka
√ = [ ; , , ⋯ , , 2 ]
∎ Berdasarkan Algoritma 2.1 untuk bilangan irasional = √ terdapat = 0 dan ℎ = 1, dan dengan menghubungkan Lemma 2.1 untuk bilangan irasional √ sebagai fraksi kontinu periodik terdapat ∈ ℕ sebagai periode dari √ . Jadi ℎ = ℎ = ⋯ = ℎ = 1 untuk setiap ∈ ℕ. Dengan demikian, jelas bahwa ℎ = 1 jika dan hanya jika | , dan ℎ ≠ −1 untuk semua .
Sekarang, perhatikan bilangan berbentuk berikut sebagai bilangan irasional
+ ( ∈ ℕ) (2.7).
Bentuk + bukan merupakan suatu bentuk kuadrat. Dengan menggunakan algoritma 2.1, diperoleh
+ = [ ; 2,2 ] (2.8) yang merupakan suatu bentuk fraksi kontinu dan menjadi patokan dalam penyelesaian persamaan Pell.
Metode Pengkajian
Pencarian solusi persamaan Diophantine dilakukan dengan mengkaji pencarian solusi bilangan bulat persamaan Pell, kemudian menghubungkan dengan pencarian solusi bilangan bulat persamaan Diophantine
− ( + ) − (16 + 4) + (16 + 16 ) = 0.
Hasil dari pengkajian merupakan solusi bilangan bulat positif ( , ) yang dijabarkan dalam teorema-teorema.
HASIL DAN PEMBAHASAN Persamaan Pell − ( + ) =
Persamaan Pell berbentuk − ( + ) = 1 merupakan bentuk khusus dari persamaan Pell − = 1 dengan = ( + ) adalah bilangan bulat positif nonkuadrat.
Persamaan (1.1) juga memiliki solusi bilangan bulat positif yang tak terhingga banyaknya dan ditulis sebagai ( , ) untuk ≥ 1. Solusi pertama ( , ) yang merupakan bilangan bulat positif (nontrivial) adalah solusi fundamental dari persamaan (1.1).
Dikatakan bahwa fraksi kontinu dimana ∈ adalah suatu fraksi kontinu periodik jika
= [ ; , , ⋯ , , , , ⋯ , ]
dimana , , ⋯ , menandakan barisan berulang { , , ⋯ , } dan adalah periode dari fraksi kontinu .
Persamaan Pell − ( + ) = 1 menunjukan bahwa terdapat bilangan irasional
√ = √ + yang merupakan fraksi kontinu periodik, dengan menggunakan fungsi pembulatan kebawah (floor function) dijabarkan sebagai berikut:
Jika diambil = 1 maka √ + diperoleh √2 = [1; 2].
Jika diambil > 1 maka diperoleh
= + = + + − , =
= 1
√ + − =√ + +
= 2 +√ + −
, = 2
= 1
√ + − =
√ + − = + + = 2 + + − , = 2
= 1
√ + − =√ + +
= 2 +√ + −
, = 2
karena = akibatnya = = = ⋯ dan = = = ⋯ , maka diperoleh perulangan = = = ⋯ = 2 dan = = = ⋯ = 2 . Sehinga √ + dapat ditulis dalam bentuk fraksi kontinu
+ = + 1
2 + 1
2 + 1
2 + 1
2 + 1
2 + 1 2 +⋱
= [ ; 2,2 ].
Sehingga, ekspansi dari √ + sebagai fraksi kontinu adalah:
+ = [1; 2] jika = 1 [ ; 2,2 ] jika > 1.
Dengan demikian, maka ekspansi √ + sebagai fraksi kontinu dipakai untuk menentukan solusi persamaan (1.1).
Teorema3.1:
Pada persamaan Pell berbentuk − ( + ) = 1 dengan ( + ) bulat positif nonkuadrat, berlaku:
1) Solusi fundamental dari persamaan Pell − ( + ) = 1 adalah ( , ) = (2 + 1,2).
2) Barisan solusi {( , )} persamaan Pell − ( + ) = 1 dipenuhi oleh
= 2 + 1 2 + 2
2 2 + 1
1 0 untuk ≥ 1.
3) Solusi ( , ) dari persamaan Pell − ( + ) = 1 memenuhi hubungan rekurensi
= (2 + 1) + (2 + 2 )
= 2 + (2 + 1) untuk ≥ 1.
4) Solusi ke- ( , ) dari persamaan Pell − ( + ) = 1 dapat di diberikan oleh konvergensi fraksi kontinu:
=
⎣⎢
⎢⎢
⎡
; 2,2 , 2,2 , ⋯ , 2,2 , 2,2
pasangan
, 2
⎦⎥
⎥⎥
⎤
untuk ≥ 1 Bukti:
(1) Perluasan bilangan real √ + = [ ; 2,2 ] merupakan fraksi kontinu periodik, maka solusi fundamental persamaan − ( + ) = 1 adalah = [ ; 2] = + = . Dengan demikian, solusi fundamental dari − ( + ) = 1 adalah
( , ) = (2 + 1,2) (2) Akan dibuktikan menggunakan induksi matematika.
Untuk = 1, maka
= 2 + 1 2 + 2
2 2 + 1
1
0 = 2 + 1 2 sehingga ( , ) = (2 + 1,2) merupakan solusi, adalah benar.
Asumsikan persamaan adalah benar untuk =
= 2 + 1 2 + 2
2 2 + 1
1 0 sehingga ( , ) merupakan solusi, yaitu
− ( + ) = 1.
Selanjutnya, akan ditunjukan kebenaran untuk = + 1. Dari
= 2 + 1 2 + 2
2 2 + 1
1 0
= 2 + 1 2 + 2
2 2 + 1
2 + 1 2 + 2
2 2 + 1
1 0
= 2 + 1 2 + 2
2 2 + 1
= (2 + 1) + (2 + 2 ) 2 + (2 + 1) diperoleh
− ( + )
= (2 + 1) + (2 + 2 ) − ( + )(2 + (2 + 1) )
= ((2 + 1) + 2(2 + 1)(2 + 2 ) + (2 + 2 ) )
− ( + )(4 + 4(2 + 1) + (2 + 1) )
= (2 + 1) − 4( + ) + 2(2 + 1)(2 + 2 ) − ( + )4(2 + 1) + ((2 + 2 ) − ( + )4(2 + 1) )
= − ( + )
= 1
(3) Diketahui persamaan − ( + ) = 1 memiliki solusi fundamental ( , ) . Jika ( , ) adalah solusi ke- maka ( , ) memenuhi persamaan − ( + ) = 1, sehingga
− ( + )
= (2 + 1) + (2 + 2 ) − ( + )(2 + (2 + 1) )
= ((2 + 1) + 2(2 + 1)(2 + 2 ) + (2 + 2 ) )
− ( + )(4 + 4(2 + 1) + (2 + 1) )
= (2 + 1) − 4( + ) + 2(2 + 1)(2 + 2 ) − ( + )4(2 + 1) + ((2 + 2 ) − ( + )(2 + 1) )
= − ( + )
= 1
(4) Asumsikan bahwa ( , ) adalah solusi dari − ( + ) = 1 sehingga − ( + ) = 1. Dengan menggunakan induksi matematika, jelas bahwa untuk = 1 diperoleh ( , ) = (2 + 1,2). Selanjutnya dianggap benar untuk = , maka akan ditunjukan kebenarannya untuk = + 1 yaitu
= + 1
2 + 1
2 + 1
2 + 1
2 + 1
⋱ + 1
2 + 1 2 +1
2
= + 1
2 + 1
+ + 1
2 + 1
2 + 1
⋱ + 1
2 + 1 2 +1
2
= + 1
2 + 1 +
=(2 + 1) + (2 + 2 )
2 + (2 + 1) .
Dalam hal ini ( , ) menunjukan solusi dari persamaan Diophantine −
( + ) = 1
∎
Selanjutnya, solusi dari persamaan Pell − ( + ) = 1 akan dipakai untuk menentukan solusi lain persamaan Diophantine berbentuk − ( + ) = −32 + 4.
Persamaan Diophantine − ( + ) − ( + ) + ( + ) = Persamaan Diophantine berbentuk
− ( + ) − (16 + 4) + (16 + 16 ) = 0
selalu memberikan dua solusi bilangan bulat yang merupakan solusi trivial, yaitu (0,0) dan (0,16) untuk setiap ≥ 1.
Selain memiliki solusi trivial, persamaan Diophantine berbentuk − ( + ) − (16 + 4) + (16 + 16 ) = 0 dengan ≥ 1, juga memiliki solusi bilangan bulat positif yang tak terhingga banyaknya dan ditulis sebagai ( , ) untuk ≥ 1 . Solusi pertama ( , ) yang merupakan bilangan bulat positif (nontrivial) adalah solusi fundamental dari persamaan (1.3).
Bentuk persamaan (1.3) representatif dengan lengkungan (conics), yang diberikan oleh persamaan
+ + + + + = 0
dimana , , , , , adalah bilangan real. Nilai diskriminan (∆) dari bentuk lengkung + + = 0 dapat ditentukan dari ∆= − 4 . Jika ∆< 0 maka penyajian lengkungan adalah elips, jika ∆> 0 maka penyajian lengkunagn adalah hiperbola, dan jika
∆= 0 maka penyajian lengkungan adalah parabola. Jika = 0, maka persamaan (1.3) dapat ditransformasikan lengkungan pada bidang sentripetal melalui transfomasi
= = + ℎ
= + (3.1) untuk beberapa nilai ℎ dan . Selanjutnya pasangan (ℎ, ) dinotasikan oleh
[ℎ; ] = {ℎ, }.
Melalui transformasi yaitu = + ℎ dan = + , maka persamaan (1.3) menjadi
( + ℎ) − ( + )( + ) − (16 + 4)( + ℎ) + (16 + 16 )( + ) = 0 selanjutnya, dijabarkan menjadi
[ − ( + ) + (2ℎ − 16 − 4) + (−2 − 2 + 16 + 16 ) ] + [ℎ − ( + ) − (16 + 4)ℎ + (16 + 16 ) ] = 0.
Karena kelompok suku ke-dua adalah nol (ekivalen dengan persamaan (1.3)), maka kelompok suku ke-satu juga adalah nol. Berdasarkan penjabaran tersebut, perhatikan kelompok suku ke- satu, dapat dinyatakan sebagai bentuk yang ekivalen dengan persamaan (1.1) maka diperoleh
(2ℎ − 16 − 4) = 0 dan (−2 − 2 + 16 + 16 ) = 0 dimana , ≠ 0 sehingga didapat ℎ = 8 + 2 dan = 8. Selanjutnya substitusi nilai ℎ = 8 + 2 dan = 8 ke dalam kelompok suku ke-dua diperoleh 32 − 4 = 0 . Dengan demikian diperoleh persamaan Diophantine
− ( + ) = −32 + 4 yang merupakan persamaan Pell.
Teorema 3.2:
Misalkan merupakan suatu persamaan Diophantine berbentuk − ( + ) =
−32 + 4 dengan ( + ) adalah bilangan bulat positif nonkuadrat, maka berlaku:
1) Solusi fundamental adalah ( , ) = (8 + 2,8).
2) Barisan solusi {( , )} dipenuhi oleh
= 2 + 1 2 + 2
2 2 + 1 (3.2) untuk ≥ 1.
3) Solusi ( , ) memenuhi hubungan rekurensi
= (2 + 1) + (2 + 2 )
= 2 + (2 + 1) untuk ≥ 2.
4) Solusi ke- ( , ) memenuhi fraksi kontinu
=
⎣⎢
⎢⎢
⎡
; 2,2 , 2,2 , ⋯ , 2,2
pasangan
, 4
⎦⎥
⎥⎥
⎤
untuk ≥ 1.
Bukti:
1) Akan dibuktikan bahwa ( , ) = (8 + 2,8) adalah solusi dari persamaan Diophantine berbentuk − ( + ) = −32 + 4.
Ruas kiri persamaan Diophantine ini adalah
− ( + ) =
= (8 + 2) − ( + )(8)
= (64 + 32 + 4) − (64 + 64 )
= −32 + 4
2) Akan dibuktikan dengan menggunakan induksi matematika.
Untuk = 1, maka
= 2 + 1 2 + 2
2 2 + 1
adalah solusi.
Hipotesis induksi bahwa
= 2 + 1 2 + 2
2 2 + 1
adalah solusi.
Akan dibuktikan bahwa
= 2 + 1 2 + 2
2 2 + 1
adalah solusi.
Persamaan = 2 + 1 2 + 2
2 2 + 1 dapat ditulis sebagai
= 2 + 1 2 + 2
2 2 + 1
2 + 1 2 + 2
2 2 + 1
= 2 + 1 2 + 2
2 2 + 1
= (2 + 1) + (2 + 2 ) 2 + (2 + 1) adalah solusi.
3) Akan dibuktikan dengan induksi matematika:
Untuk = 2, maka pasangan solusi ( , ) memenuhi persamaan
= 2 + 1 2 + 2
2 2 + 1 = (2 + 1) + (2 + 2 )
2 + (2 + 1) sehingga jelas
= (2 + 1) + (2 + 2 )
= 2 + (2 + 1) adalah solusi.
Pasangan solusi ( , ) memenuhi persamaan
= 2 + 1 2 + 2
2 2 + 1
dengan induksi matematika untuk = 1 jelas (diberikan).
Anggap bahwa
= 2 + 1 2 + 2
2 2 + 1
adalah benar.
Akan dibuktikan bahwa
= 2 + 1 2 + 2
2 2 + 1
adalah solusi. Maka
= 2 + 1 2 + 2
2 2 + 1
= 2 + 1 2 + 2
2 2 + 1
2 + 1 2 + 2
2 2 + 1
= 2 + 1 2 + 2
2 2 + 1
= (2 + 1) + (2 + 2 )
2 + (2 + 1) .
Sehingga jelas.
= (2 + 1) + (2 + 2 )
= 2 + (2 + 1) adalah solusi untuk ≥ 2.
4) Akan dibuktikan berdasarkan pendekatan induksi matematika.
Untuk = 1, maka
=8 + 2
8 = +1
4= [ ; 4]
adalah benar, merupakan solusi fundamental.
Asumsi bahwa solusi ke- didefinisikan oleh
=
⎣⎢
⎢⎢
⎡
; 2,2 , 2,2 , ⋯ , 2,2
pasangan
, 4
⎦⎥
⎥⎥
⎤ .
Selanjutnya, akan ditunjukan kebenaran yang juga memenuhi untuk solusi ke- + 1.
Dengan menggunakan teorema 3.2 (bagian ke-3), diperoleh
=(2 + 1) + (2 + 2 ) 2 + (2 + 1)
= + +
2 + (2 + 1)
= + 1
2 + (2 + 1) +
= + 1
2 + +
= + 1
2 + 1
+
= + 1
2 + 1 +
=
⎣⎢
⎢⎢
⎡
; 2,2
pasangan
, 2,2 , 2,2 , 2,2 , ⋯ , 2,2
pasangan
, 4
⎦⎥
⎥⎥
⎤
=
⎣⎢
⎢⎢
⎡
; 2,2 , 2,2 , 2,2 , ⋯ , 2,2
pasangan
, 4
⎦⎥
⎥⎥
⎤ .
∎ Dengan demikian, berdasarkan teorema 3.2, diperoleh tabel solusi persamaan Diophantine − ( + ) = −32 + 4 dengan ( + ) adalah bilangan bulat positif nonkuadrat (lihat Tabel 1).
Teorema 3.3:
Jika ( , ) merupakan solusi persamaan (1.1) − ( + ) = 1 dan ( , ) merupakan solusi persamaan (1.2) − ( + ) = −32 + 4 maka ( + ( + ) , + ) adalah solusi lain dari persamaan − ( + ) = −32 + 4.
Bukti: Misalkan ( , ) adalah solusi dari (1.1) dan ( , ) adalah solusi dari (1.2), sehingga
− ( + ) = 1 dan − ( + ) = −32 + 4. Maka ( − ( + ) )( − ( + ) ) = (1)(−32 + 4)
[( ) + (( + ) ) ] − ( + )[( ) + ( ) ] = −32 + 4
[( ) + 2( + ) + (( + ) ) ] − ( + )[( ) + 2 + ( ) ]
= −32 + 4
[ + ( + ) ] − ( + )[ + ] = −32 + 4
Dengan demikian ( + ( + ) ), ( + ) merupakan solusi lain dari (1.2).
∎ Selanjutnya, solusi dari persamaan Diophantine − ( + ) = −32 + 4 dengan ( + ) adalah bilangan bulat positif nonkuadrat, akan dipakai untuk menentukan solusi persamaan Diophantine berbentuk − ( + ) − (16 + 4) + (16 + 16 ) = 0 dengan ≥ 1.
Berdasarkan transformasi = + ℎ dan = + dimana diketahui bahwa ℎ = 8 + 2 dan = 8 , maka = + 8 + 2 dan = + 8 . Sehingga, dapat dikembalikan semua hasil bentuk persamaan
( + ℎ) − ( + )( + ) − (16 + 4)( + ℎ) + (16 + 16 )( + ) = 0 atau − ( + ) = −32 + 4 ke persamaan
− ( + ) − (16 + 4) + (16 + 16 ) = 0
melalui invers dari . Diketahui solusi persamaan − ( + ) = −32 + 4 adalah
= 8 + 2 dan = 8 maka diperoleh solusi persamaan Diophantine − ( + ) − (16 + 4) + (16 + 16 ) = 0 adalah = + ℎ = 16 + 4 dan = + = 16.
Teorema 3.4:
Misalkan adalah persamaan Diophantine berbentuk
− ( + ) − (16 + 4) + (16 + 16 ) = 0 untuk ≥ 1, maka berlaku:
1) Solusi fundamental adalah ( , ) = (16 + 4,16).
2) Barisan solusi {( , )} dipenuhi oleh {( + 8 + 2, + 8)} dimana {( , )} didefinisikan dalam teorema 3.2 persamaan (3.2), sehingga dapat dinyatakan sebagai
= 2 + 1 2 + 2
2 2 + 1 + 8 + 2
8 untuk ≥ 1.
3) Solusi ( , ) memenuhi hubungan rekurensi
= (2 + 1) + (2 + 2 ) − 32 − 20
= 2 + (2 + 1) − 32 − 4
untuk ≥ 2.
Bukti:
1) Akan dibuktikan bahwa ( , ) = (16 + 4,16) adalah solusi dari persamaan − ( + ) − (16 + 4) + (16 + 16 ) = 0.
Substitusi ( , ) ke ruas kiri persamaan ini, diperoleh
− ( + ) − (16 + 4) + (16 + 16 )
= (16 + 4) − ( + )16 − (16 + 4)(16 + 4) + (16 + 16 )16
= (16 + 4) − ( + )16 − (16 + 4) + ( + )16
= 0
2) Akan dibuktikan dengan menggunakan induksi matematika bahwa
= 2 + 1 2 + 2
2 2 + 1 + 8 + 2
8 untuk ≥ 1.
Untuk = 1 maka
= + 8 + 2
8 = 8 + 2
8 + 8 + 2
8 = 16 + 4
16 adalah benar, dimana ( , ) = (16 + 4,16) merupakan solusi fundamental.
Asumsikan benar untuk = , maka
= 2 + 1 2 + 2
2 2 + 1 + 8 + 2
8 sehingga
− ( + ) − (16 + 4) + (16 + 16 ) = 0.
Selanjutnya, akan dibuktikan kebenaran untuk = + 1,
= 2 + 1 2 + 2
2 2 + 1 + 8 + 2
8
= 2 + 1 2 + 2
2 2 + 1
2 + 1 2 + 2
2 2 + 1 + 8 + 2
8
= 2 + 1 2 + 2
2 2 + 1
2 + 1 2 + 2
2 2 + 1 + 8 + 2
8 − 32 + 20
32 + 4
= 2 + 1 2 + 2
2 2 + 1 − 32 + 20
32 + 4 (2 + 1) + (2 + 2 ) − 32 − 20
2 + (2 + 1) − 32 − 4 .
Akan dibuktikan di atas adalah solusi dari persamaan Diophantine − ( + ) − (16 + 4) + (16 + 16 ) = 0 sebagai berikut
− ( + ) − (16 + 4) + (16 + 16 )
= [(2 + 1) + (2 + 2 ) − 32 − 20 ]
− ( + )[2 + (2 + 1) − 32 − 4]
− (16 + 4)[(2 + 1) + (2 + 2 ) − 32 − 20 ] + (16 + 16 )[2 + (2 + 1) − 32 − 4]
= − ( + ) − (16 + 4) + (16 + 16 ) = 0 3) Akan dibuktikan dengan menggunakan induksi matematika.
Untuk = 2, maka pasangan solusi ( , ) memenuhi persamaan
= 2 + 1 2 + 2
2 2 + 1 + 8 + 2
8
= (2 + 1) + (2 + 2 ) + 8 + 2 2 + (2 + 1) + 8
sehingga jelas bahwa
= (2 + 1) + (2 + 2 ) + 8 + 2
= 2 + (2 + 1) + 8 adalah solusi.
Pasangan solusi ( , ) memenuhi persamaan
= 2 + 1 2 + 2
2 2 + 1 + 8 + 2
8 dengan induksi untuk = 1 jelas = 16 + 4
16 . Anggap bahwa
= 2 + 1 2 + 2
2 2 + 1 + 8 + 2
8 adalah benar.
Akan dibuktikan bahwa
= 2 + 1 2 + 2
2 2 + 1 + 8 + 2
8 adalah solusi. Maka
= 2 + 1 2 + 2
2 2 + 1 + 8 + 2
8
= 2 + 1 2 + 2
2 2 + 1
2 + 1 2 + 2
2 2 + 1 + 8 + 2
8
= 2 + 1 2 + 2
2 2 + 1
2 + 1 2 + 2
2 2 + 1 + 8 + 2
8 − 32 + 20
32 + 4
= 2 + 1 2 + 2
2 2 + 1 − 32 + 20
32 + 4 (2 + 1) + (2 + 2 ) − 32 − 20
2 + (2 + 1) − 32 − 4 .
sehingga jelas bahwa
= (2 + 1) + (2 + 2 ) − 32 − 20
= 2 + (2 + 1) − 32 − 4
adalah solusi.
∎ Dengan demikian, berdasarkan teorema 3.4 diperoleh tabel solusi persamaan Diophantine − ( + ) − (16 + 4) + (16 + 16 ) = 0 untuk ≥ 1 (lihat Tabel 2)
KESIMPULAN DAN SARAN
Berdasarkan hasil dan pembahasan dapat disimpulkan bahwa Solusi persamaan Pell − ( + ) = 1 dapat dipakai untuk menentukan setiap solusi lain persamaan Pell − ( + ) = −32 + 4 untuk ∈ ℕ. Dan setiap solusi persamaan Pell − ( + ) =
−32 + 4 dapat dipakai untuk menentukan setiap solusi persamaan Diophantine − ( + ) − (16 + 4) + (16 + 16 ) = 0 untuk ≥ 1. Persamaan Diophantine dapat digeneralisasi sehingga peneliti selanjutnya dapat mengkaji metode lain dalam pencariam setiap solusi persamaan Diophantine.
DAFTAR PUSTAKA
Baltus, C. 2007. Notes On Euler’s Continued Fractions. SUNY College At Oswego, New York.
1-13.
Chandoul, A. 2011. On Quadratic Diophantine Equation − ( − ) − (16 − 4) + (16 − 16 ) = 0. International Mathematical Forum. 6: no.36 1777-1782.
Edwards H. 1977. Fermat's Last Theorem: A Genetic Introduction to Algebraic Number Theory (Graduate Texts in Mathematics), Springer, New York, 25-33.
Jacobson,M and Williams, H. 2009. Solving Pell Equation. Springer. New York. 31-39.
Ozkoc, A. and Tekcan, A. 2010. Quadratic Diophantine Equation − ( − ) − (4 − 2) + (4 − 4 ) = 0. Bulletin of the Malaysia Mathematical Science Society.
33:2 273-280.
Seung, H Y. 2008. Continued Fractions And Pell’s Equation. REU paper. 1-12.
Tekcan, A. and Ozkoc, A. 2010. The Diophantine Equation − ( + ) − (4 + 2) + (4 + 4 ) = 0. Rev Mat Complut. Springer. 23: 251-260.
Tekcan, A., Gezer. and Bizim. 2007. On The Integer Solutions of the Pell Equation −
= 2 , International Journal of Computational and Mathematical Science. 1:3 204-208.
Tabel 1. Tabel solusi persamaan Diophantine − ( + ) = − +
Solusi persamaan Diophantine
− ( + ) = −32 + 4 adalah
( , )
= 1 ( , ) = (10,8)
( , ) = (62,44) ( , ) = (362,256) ( , ) = (2110,1492) ( , ) = (12298,8696)
dan seterusnya
= 2 ( , ) = (18,8)
( , ) = (186,76) ( , ) = (1842,752) ( , ) = (18234,7444) ( , ) = (180498,73688)
dan seterusnya
= 3 ( , ) = (26,8)
( , ) = (374,108) ( , ) = (5210,1504) ( , ) = (72566,20948) ( , ) = (1010714,291768)
… dan seterusnya
Tabel 2. Tabel solusi persamaan Diophantine
− ( + ) − ( + ) + ( + ) =
Solusi persamaan Diophantine
− ( + ) − (16 + 4) + (16 + 16 ) = 0 adalah
( , )
= 1 ( , ) = (20,16)
( , ) = (72,52) ( , ) = (372,264) ( , ) = (2120,1500) ( , ) = (12308,8704)
dan seterusnya
= 2 ( , ) = (36,16)
( , ) = (204,84) ( , ) = (1860,760) ( , ) = (18252,7452) ( , ) = (180516,73696)
dan seterusnya
= 3 ( , ) = (52,16)
( , ) = (400,116) ( , ) = (5236,1512) ( , ) = (72592,20956) ( , ) = (1010740,291776)
… dan seterusnya
