TE Dasar Sistem Pengaturan

TE141345 Dasar Sistem Pengaturan

Model Matematik

Objektif:

Penyajian Model Matematik

Model Sistem Mekanik

Model Sistem Elektrik

Model Sistem Mekatronika

Model Matematik Sistem Fisik

Penyajian Model Matematik

• Dalam bentuk Persamaan Matematik

 Pers.Differensial, untuk sistem kontinyu  Pers.Beda, untuk sistem diskrit

• Dalam bentuk Fungsi Alih (Transfer Function)

 TF dalam fungsi s, untuk sistem kontinyu  TF dalam fungsi z, untuk sistem diskrit

• Dalam bentuk Persamaan State

 State kontinyu  State diskrit

• Dalam bentuk Polinomial

 Polinomial dalam s, untuk sistem kontinyu  Polinomial dalam q, untuk sistem diskrit

• Dalam bentuk Diagram

Model Matematik dalam bentuk PD

Hubungan Input-Output sistem dapat dituliskan sebagai:

f( , ) = weighting function

Atau dalam bentuk PD dapat pula ditulis sebagai berikut (*):

Model Matematik dalam bentuk TF

Transfer Function: hubungan Input-Output sistem yang berasal dari TL

bentuk PD dengan asumsi semua kondisi awal=0.

TL dari persamaan di atas (*) dengan semua kondisi awal=0, menjadi:

Model Matematik Sistem Mekanik

Pada sistem mekanik untuk mencari persamaan dinamik sistem banyak menggunakan Hukum Newton.

Gerakan Translasi: ΣF = m a Gerakan Rotasi: Στ = J α

di mana :

F = gaya yang bekerja pada massa m m = massa benda

a = percepatan benda

Sistem Mekanik- Rodagigi

Rodagigi n₁ diputar oleh torsi Τ₁, menghasilkan torsi Τ₂ pada rodagigi n₂:

di mana:

r = jari-jari roda

ω = kecepatan sudut roda α = percepatan sudut roda

Τ = torsi

Sistem Mekanik – Pengungkit

Suatu gaya F₁ diberikan pada batang yang mempunyai panjang l, akan diteruskan oleh batang m sebesar F₂ :

Contoh: Sistem Mekanik

Sistem mekanik seperti gambar berikut: di mana:

f(t) = gaya yang bekerja pada massa m

K = konstanta pegas

B = konstanta daspot (peredam viscos) y(t) = simpangan pegas

• Carilah model dinamik sistem mekanik tersebut dengan y(t) sebagai output dan f(t) sebagai input.

• Carilah transfer function sistem mekanik tersebut dengan y(t) sebagai output dan f(t) sebagai input.

m f(t)

y(t) B

Model Matematik Sistem Elektrik

Pada sistem elektrik untuk mencari persamaan dinamik sistem banyak menggunakan Hukum-hukum pada rangkaian listrik.

persamaan tegangan Kirchoff, dan arus Mesh

0

;

=

=

∑

∑

) ( ) (t Ri t v_R = _R =

∫

i t dt C t v_C ( ) 1 _C( )

R

i_R

v

_R

C

i_C

v

_C

L

v

_L i_L ) ( ) (s RI s V_R = _R ( ) 1 I (s) Cs s V_C = _C dt t di L t v_L( ) = L ( ) ) ( ) (s LsI s V_L = _L

Komponen Pasif: R-L-C

Resistor: Kapasitor: Induktor:

Contoh: Sistem Elektrik R-L-C

v_{i v} o R C L

Suatu Filter yang terdiri dari komponen RLC. Tegangan input

v_i(t) dan tegangan output v_o(t).

)

(

)

(

₁

1

2

2

v

t

n

n

t

v

=

)

(

)

(

s

n

2

V

s

V

=

n

₁

n

2

i

₁

i

₂

v

₁

v

₂

Komponen Pasif: Transformator

Ideal

Model Dinamik

Transformator tidak ideal

• Ada pengaruh induktansi gandeng

(M)

• Titik menandakan awal lilitan • v₁ = tegangan input

• v₂ = tegangan output

• i₁ = arus kumparan primer • i₂ = arus kumparan sekunder • n₁ = jumlah lilitan kumparan 1 • n₂ = jumlah lilitan kumparan 2

M

n

₁

n

2

i

₁

i

₂

0

)

(

)

(

)

(

₁ 1 2 1

−

−

=

dt

t

di

M

dt

t

di

L

t

v

Trafo tidak ideal (sisi primer)

Contoh: Sistem Elektrik - Trafo

Rangkaian input transformator (trafo) dihubungkan seri oleh kapasitor C, dan rangkaian output diberi beban R₁ dan R₂ secara seri-paralel.

• Carilah transfer function sistem elektrik tersebut

M

Komponen Aktif: Operational Amplifier

Sifat–sifat Operasional Amplifier:

1. Gain sangat besar K= 105 _{sampai dengan 10}6

kali.

2. Mempunyai dua masukan yaitu masukan positif

(v1) dan masukan negatif (v2).

3. Mempunyai impedansi masukan yang sangat

besar sehingga arus input pada masukan positif atau masukan negatif kecil sekali ≈ 0

Contoh: Operational Amplifier

Rangkaian Operational Amplifier dikonfigurasi dengan rangkaian pasif R-C untuk menjadi filter

Model Sistem Mekatronik

Untuk mencari persamaan dinamik sistem berikut, digunakan persamaan-persamaan sistem elektrik pada motor dan

selenoid (plunger).

Blok Diagram Motor DC

Penyederhanaan Blok Diagram Motor DC

E

_a

(s) input dan Ω(s) output:

Motor AC-Servo

Motor AC-Servo pada prinsipnya dapat berupa sebuah motor induksi dengan 2-kutub/dua-fasa

Fasa ref.

e_c

Fasa kontrol (a)

J

τ _θ

b

Arsitektur Motor AC-Servo

Salah satu dari kumparan medan sebagai lilitan referensi (fase

reference) dan kumparan medan yang lainnya sebagai lilitan

kontrol (fase control) dengan tegangan AC yang berbeda 90° listrik terhadap tegangan referensi.

Persamaan Torsi Motor AC-servo

Torsi τ yang dibangkitkan merupakan fungsi dari kecepatan sudut poros motor dan tegangan kontrol EC , adalah:

di mana:

K_n dan K_C konstanta positif.

Kesetimbangan torsi untuk motor servo dua-fasa adalah: di mana:

J = momen inersia motor dan beban pada poros motor

b = koefisien gesekan viskos motor dan beban poros motor

Fungsi Alih Motor AC-servo

Tegangan kontrol E_C adalah input dan perpindahan poros

motor adalah output, maka fungsi alih (transfer-function) sistem ini diberikan:

di mana :

K_{m =} K_C /( b + K_n) = konstanta penguatan motor

T_{m =} J /( b + K_n) = konstanta waktu motor

Diagram Kotak Motor AC-servo

Fungsi alih didasarkan pada anggapan bahwa motor servo linier. Namun dalam praktek, motor servo tidak benar-benar linier. Karena kurva torsi-kecepatan tidak benar-benar sejajar dan berjarak sama, maka harga K_n tidak konstan. Sehingga harga K_m dan T_m juga tidak konstan, harga-harga tersebut berubah terhadap tegangan kontrol.

Diagram blok dari motor Servo dua-fasa di atas sebagai berikut :

K_m

Model Matematik Selenoid (Plungger)

Suatu kumparan yang dililitkan pada media isolator yang mempunyai inti besi yang bebas bergerak. Tegangan _{vp(t) sebagai input dan x(t) sebagai output. Kp} = konstanta plungger _ip = arus yang mengalir pada plungger.

Contoh: Sistem Elektromekanik

Consider the temperature control system shown in figure. It is assume that the heat q pumped into the chamber is proportional to the valve opening x and the temperatur y inside the chamber related to q by the differential equation dy/dt

= -cy + k_cq. Compute transfer function of each blok.