Esti Pertiwi, 2013
Aplikasi Value At Risk (VAR) Pada Portofolio Nilai Tukar Mata Uang Dengan Pendekatan Copula-APLIKASI VALUE AT RISK (VAR) PADA PORTOFOLIO NILAI TUKAR
MATA UANG DENGAN PENDEKATAN COPULA-GARCH
SKRIPSI
Diajukan untuk Memenuhi Sebagian dari Syarat untuk Memperoleh Gelar Sarjana Sains
Bidang Matematika
Oleh
Esti Pertiwi
0900382
JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA
FAKULTAS PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA
APLIKASI VALUE AT RISK (VAR) PADA PORTOFOLIO NILAI TUKAR MATA UANG DENGAN PENDEKATAN COPULA-GARCH
Oleh Esti Pertiwi
Sebuah skripsi yang diajukan untuk memenuhi salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains pada
Fakultas Pendidikan Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
© Esti Pertiwi 2013 Universitas Pendidikan Indonesia
Oktober 2013
Hak Cipta dilindungi undang-undang.
Esti Pertiwi, 2013
Aplikasi Value At Risk (VAR) Pada Portofolio Nilai Tukar Mata Uang Dengan Pendekatan Copula-ESTI PERTIWI
APLIKASI VALUE AT RISK (VAR) PADA PORTOFOLIO
NILAI TUKAR MATA UANG DENGAN PENDEKATAN COPULA-GARCH
DISETUJUI DAN DISAHKAN OLEH :
Pembimbing I:
Entit Puspita, S.Pd, M.Si NIP. 196704081994032002
Pembimbing II
Dr. Bambang Avip Priatna M, M.Si NIP. 196412051990031001
Mengetahui,
Ketua Jurusan Pendidikan Matematika
APLIKASI VALUE AT RISK (VAR) PADA PORTOFOLIO
NILAI TUKAR MATA UANG DENGAN PENDEKATAN COPULA-GARCH
ABSTRAK
Investasi dalam bidang keuangan terutama pada portofolio nilai tukar mata uang
bertujuan untuk memperoleh return optimal dengan risiko minimum. Dalam hal ini
risiko merupakan hal yang sangat penting yang berkaitan dengan investasi portfolio,
terutama bagi investasi yang melibatkan dana yang besar, sehingga akan
meminimumkan kerugian berinvestasi. Salah satu metode yang dapat digunakan
untuk menghitung nilai risiko saat ini adalah Value at Risk (VaR). Karena diduga data
dalam kurun waktu lama tidak memiliki distribusi yang baik maka cara yang tepat
untuk menghitung VaR dengan menggunakan pendekatan copula-GARCH. Studi
kasus dilakukan pada nilai tukar Rupiah terhadap Dolar Amerika (USD), Euro (Euro)
dan Poundsterling (GBP). Apabila dilakukan investasi dalam ketiga mata uang secara
merata, atau dengan bobot yang sama, maka akan didapatkan VaR yang tidak akan
melebihi 2,002% dari investasi awal dalam tingkat kepercayaan 95% dan 3,375%
dalam tingkat kepercayaan 99%.
ii Esti Pertiwi, 2013
APPLICATION OF VALUE AT RISK ON EXCHANGE RATE PORTFOLIO
WITH COPULA-GARCH APROACH
ABSTRACK
Investating on financial especially portfolio purposed to gain an optimal return with minimum risk. In that case, risk is the most important thing in related with portfolio investation, moreover in high scale case can be used to minimize the financial loss. One method to solve this case was known by Value at Risk (VaR). Long interval time series data known to be have a bad distribution, based on it a method to compute VaR are with copula-GARCH. A case are done on Rupiah-USD, Rupiah-Euro and Rupiah-Poundsterling exchange rate portolio. If was invested portfolio on three exchange rate with same weight then the VaR never more than 2,002% in 95% confidence level and produce 3,375% in 99% confidence level.
DAFTAR ISI
Halaman
LEMBAR PENGESAHAN
LEMBAR PERNYATAAN
ABSTRAK ... i
ABSTRACK ... ii
KATA PENGANTAR ... iii
UCAPAN TERIMA KASIH ... iv
DAFTAR ISI ... v
DAFTAR TABEL ... viii
DAFTAR GAMBAR ... xii
DAFTAR LAMPIRAN ... xiii
BAB I PENDAHULUAN ... 1
1.1 Latar Belakang Masalah ... 1
1.2 Batasan Masalah... 5
1.3 Perumusan Masalah ... 5
1.4 Tujuan Penulisan ... 5
1.5 Manfaat Penulisan ... 5
1.5.1 Manfaat Praktis ... 5
1.5.2 Manfaat Teoritis ... 5
1.6 Sistematika Penulisan ... 6
BAB II LANDASAN TEORI ... 7
2.1 Runtun Waktu ... 7
2.2 Stasioneritas ... 8
2.3 Fungsi Autokovarians ... 8
2.4 Fungsi Autokorelasi ... 9
2.4.1 Fungsi Autokorelasi (fak) ... 9
2.4.2 Fungsi Autokorelasi Parsial (fakp) ... 9
2.5 Beberapa Model Dasar Runtun Waktu ... 10
2.5.1 Model untuk Data Stasioner ... 10
vi Esti Pertiwi, 2013
2.5.1.3 Proses Campuran (ARMA) ... 12
2.5.2 Model untuk Data Nonstasioner ... 13
2.6 Identifikasi Model ... 14
2.7 Verifikasi Model ... 15
2.8 Heterokedastisitas ... 16
2.9 Autoregressive Conditional Heterocedastisity (ARCH ) 16 2.10 Generalized Autoregressive Conditional Heterocedastisity (GARCH) ... 17
2.11 Uji Efek ARCH ... 18
2.12 Saham ... 20
2.13 Return ... 20
2.14 Portofolio ... 21
2.15 Risiko ... 22
BAB III VALUE AT RISK (VAR) DAN PENDEKATAN COPULA ... 23
3.1 Value at Risk (VaR) ... 23
3.2 Konsep Dasar VaR ... 23
3.3 VaR dengan Simulasi Monte Carlo ... 24
3.4 Teori Copula ... 25
3.5 Copula Archimedean ... 28
3.5.1 Copula Clayton ... 29
3.5.2 Copula Gumbel ... 29
3.6 Dependensi ... 30
3.6.1 Konkordan ... 30
3.6.2 Korelasi Kendall’s Tau ... 31
3.7 Estimasi Parameter ... 32
3.7.1 Estimasi Parameter Copula Clayton ... 32
3.7.2 Estimasi Parameter Copula Gumbel ... 33
BAB IV STUDI KASUS ... 36
4.1 Data ... 36
4.2 Pengujian Stasioneritas terhadap Rata-Rata... 36
4.3 Pemodelan Box-Jenkins ... 39
4.3.1 Identifikasi Model ... 39
4.3.2 Estimasi Parameter dalam Model ... 42
4.3.3 Verifikasi Model ... 45
4.3.3.1Uji Keberartian Model ... 45
4.3.3.2Uji Kecocokan ... 49
4.3.3.3Model Terbaik ... 52
4.4 Pengujian Efek ARCH ... 53
4.5.1 Estimasi Parameter GARCH ... 57
4.5.2 Verifikasi Model ... 59
4.5.2.1Uji Keberartian Model ... 59
4.5.2.2Pemilihan Model Terbaik dengan Nilai AIC dan SC ... 63
4.5.2.3Uji Efek ARCH Kembali ... 64
4.5.2.4Model Terbaik ... 67
4.6 Pendekatan Copula ... 68
4.6.1 Nilai Kendall’s Tau ... 68
4.6.2 Estimasi Parameter Berdasarkan Nilai Kendall’s Tau ... 68
4.6.3 Model Fitting untuk Masing-Masing Model .... 69
4.7 Penghitungan VaR ... 70
BAB V KESIMPULAN DAN SARAN ... 72
5.1 Kesimpulan ... 72
5.2 Saran ... 74
DAFTAR PUSTAKA ... 76
LAMPIRAN ... 78
viii Esti Pertiwi, 2013
DAFTAR TABEL
Halaman
Tabel 4.1 Pengujian Dickey-Fuller Data Return Nilai Tukar Rupiah
dengan USD………... 38
Tabel 4.2 Pengujian Dickey-Fuller Data Return Nilai Tukar Rupiah
dengan Euro………... 38
Tabel 4.3 Pengujian Dickey-Fuller Data Return Nilai Tukar Rupiah
dengan GBP……….. 39
Tabel 4.4 Model-model Box Jenkin yang Mungkin dari Data Return Nilai
Tukar Rupiah-USD………... 43
Tabel 4.5 Model-model Box Jenkin yang Mungkin dari Data Return Nilai
Tukar Rupiah-Euro……… 44
Tabel 4.6 Model-model Box Jenkin yang Mungkin dari Data Return Nilai
Tukar Rupiah-GBP……… 45
Tabel 4.7 Uji Keberartian Korfisien Model Box-Jenkins untuk Return
Nilai Tukar Rupiah terhadap USD………. 46 Tabel 4.8 Model-model Box-Jenkins untuk Return Nilai Tukar Rupiah
terhadap USD yang Telah Lulus Uji Keberartian……….. 47 Tabel 4.9 Uji Keberartian Korfisien Model Box-Jenkins untuk Return
Nilai Tukar Rupiah terhadap Euro………. 48 Tabel 4.10 Model-model Box-Jenkins untuk Return Nilai Tukar Rupiah
terhadap Euro yang Telah Lulus Uji Keberartian……….. 48 Tabel 4.11 Uji Keberartian Korfisien Model Box-Jenkins untuk Return
Nilai Tukar Rupiah terhadap GBP………. 48 Tabel 4.12 Model-model Box-Jenkins untuk Return Nilai Tukar Rupiah
terhadap GBP yang Telah Lulus Uji Keberartian……….. 49 Tabel 4.13 Uji Kecocokan untuk Return Nilai Tukar Rupiah terhadap
Tabel 4.14 Uji Kecocokan untuk Return Nilai Tukar Rupiah terhadap
Euro……….... 51
Tabel 4.15 Uji Kecocokan untuk Return Nilai Tukar Rupiah terhadap
GBP……….... 51
Tabel 4.16 Variansi Sesatan dari Model-model Terpilih untuk Return Nilai
Tukar Rupiah terhadap USD……….. 52
Tabel 4.17 Variansi Sesatan dari Model-model Terpilih untuk Return Nilai
Tukar Rupiah terhadap Euro……….. 53 Tabel 4.18 Variansi Sesatan dari Model-model Terpilih untuk Return Nilai
Tukar Rupiah terhadap GBP……….. 53
Tabel 4.19 Correlogram Residual Kuadrat untuk Model ARMA(1,4)* pada
Return Rupiah-USD………... 54 Tabel 4.20 Correlogram Residual Kuadrat untuk Model MA(2) pada
Return Rupiah-Euro………... 55 Tabel 4.21 Correlogram Residual Kuadrat untuk Model MA(2)* pada
Return Rupiah-GBP………... 55 Tabel 4.22 Uji ARCH-LM dari Return Nilai Tukar Rupiah terhadap USD… 56
Tabel 4.23 Uji ARCH-LM dari Return Nilai Tukar Rupiah terhadap Euro… 56
Tabel 4.24 Uji ARCH-LM dari Return Nilai Tukar Rupiah terhadap GBP… 57
Tabel 4.25 Estimasi Parameter GARCH(p,q) untuk Residual Model dari
Data Return Nilai Tukar Rupiah-USD………... 60
Tabel 4.26 Estimasi Parameter GARCH(p,q) untuk Residual Model dari
Data Return Nilai Tukar Rupiah-Euro………... 58
Tabel 4.27 Estimasi Parameter GARCH(p,q) untuk Residual Model dari
Data Return Nilai Tukar Rupiah-GB………. 59
Tabel 4.28 Uji Keberartian Model GARCH(p,q) untuk return Nilai Tukar
x Esti Pertiwi, 2013
Tabel 4.29 Model-model Residual untuk Return Nilai Tukar Rupiah- USD
yang Telah Lulus Uji Keberartian……….. 60 Tabel 4.30 Uji Keberartian Model GARCH(p,q) untuk Residual Model dari
Data Return Nilai Tukar Rupiah-Euro………... 61
Tabel 4.31 Model-model Residual untuk Return Nilai Tukar Rupiah- Euro
yang Telah Lulus Uji Keberartian……….. 61 Tabel 4.32 Uji Keberartian GARCH(p,q) untuk Residual Model dari Data
Return Nilai Tukar Rupiah-GBP………... 62 Tabel 4.33 Model-model Residual untuk Return Nilai Tukar Rupiah- GBP
yang Telah Lulus Uji Keberartian……….. 62 Tabel 4.34 Nilai AIC dan SC dari Model-model Residual untuk Return
Nilai Tukar Rupiah-USD………... 63
Tabel 4.35 Nilai AIC dan SC dari Model-model Residual untuk Return
Nilai Tukar Rupiah-Euro………... 63
Tabel 4.36 Nilai AIC dan SC dari Model-model Residual untuk Return
Nilai Tukar Rupiah-GBP………... 64
Tabel 4.37 Correlogram Residual Kuadrat untuk Model
ARMA(1,4)*-GARCH(2,1) pada Return Rupiah-USD……… 65
Tabel 4.38 Correlogram Residual Kuadrat untuk Model
MA(2)-GARCH(1,2)* pada Return Rupiah-Euro………. 65
Tabel 4.39 Correlogram Residual Kuadrat untuk Model
MA(1)-GARCH(1,1) pada Return Rupiah-GBP……… 66
Tabel 4.40 Uji ARCH-LM untuk Model ARMA(1,4)*-GARCH(2,1) pada
Return Rupiah-USD………... 66 Tabel 4.41 Uji ARCH-LM untuk Model MA(2)-GARCH(1,2) pada Return
Rupiah-Euro………... 67
Tabel 4.42 Uji ARCH-LM untuk Model MA(2)* -GARCH(1,1) pada
Tabel 4.43 Nilai Kendall’s Tau………... 68
Tabel 4.44 Nilai Parameter Copula Archimedean ( ) Berdasarkan Korelasi
Kendall’s Tau... 69 Tabel 4.45 Model Fitting untuk Masing-masing Kombinasi Mata Uang…… 69
Tabel 4.46 Hasil quantil atau dari Software R 2.12.0………
71
Tabel 4.47 Nilai Portofolio pada Tingkat Kepercayaan 0.95 dan 0.99…..
71
Tabel 5.1 Nilai Parameter Copula Archimedean ( ) Berdasarkan Korelasi
xii Esti Pertiwi, 2013
DAFTAR GAMBAR
Halaman
Gambar 3.1 (a) Perilaku tail dependensi dari Copula Clayton dan (b)
Perilaku tail dependensi dari Copula Gumbel (Schölzel,
2008)……….………... 30
Gambar 4.1 (a) Plot Data Return Nilai Tukar Rupiah terhadap USD, (b) Plot Data Return Nilai Tukar Rupiah terhadap EURO dan (c) Plot
Data Return Nilai Tukar Rupiah terhadap GBP……….………... 37 Gambar 4.2 (a) Plot fak dan (b) Plot fakp dari Data Nilai Tukar Rupiah
terhadap USD……… 39
Gambar 4.3 (a) Plot fak dan (b) Plot fakp dari Data Nilai Tukar Rupiah
terhadap Euro……….…… 41
Gambar 4.4 (a) Plot fak dan (b) Plot fakp dari Data Nilai Tukar Rupiah
DAFTAR LAMPIRAN
Halaman
Lampiran 1 ... 78
Lampiran 2 ... 104
Lampiran 3 ... 105
Lampiran 4 ... 111
Lampiran 5 ... 120
Lampiran 6 ... 133
1 Esti Pertiwi, 2013
Aplikasi Value At Risk (VAR) Pada Portofolio Nilai Tukar Mata Uang Dengan Pendekatan BAB I
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Peramalan merupakan salah satu kebutuhan yang sangat penting bagi
kehidupan manusia, terutama sebagai salah satu faktor dalam pengambilan
keputusan. Peramalan biasanya dapat memanfaatkan data yang diperoleh
dari pengamatan mengenai suatu karakteristik terhadap sejumlah objek teliti,
dapat pula memanfaatkan informasi yang diperoleh dari data yang berasal
dari penelitian yang dilaksanakan dalam kurun waktu tertentu. Data ini
selanjutnya disebut data runtun waktu (time series).
Peramalan yang menggunakan data runtun waktu biasa disebut
analisis runtun waktu. Data runtun waku biasanya berupa data harian, data
mingguan, data bulanan, enam bulanan ataupun data tahunan. Data runtun
waktu polanya dapat berupa pengulangan pola masa lalu maupun data
runtun waktu yang tidak memiliki pola tertentu. Runtun waktu yang
memiliki pola pengulangan biasanya disebut dengan runtun waktu musiman,
sebagai contohnya adalah data pergerakan saham untuk sebuah perusahaan,
data penjualan makanan yang biasanya membentuk pola bulanan serta data
curah hujan yang membentuk pola musiman semester atau enam
bulanan.Untuk data runtun waktu yang tidak memiliki pola musiman dapat
dilihat pada data jumlah gempa bumi yang terjadi dalam setahun disuatu
negara, data jumlah letusan gunung berapi serta data dari jumlah longsor
yang terjadi di sebuah daerah.
Pada kasus runtun waktu non musiman, Box Jenkins memodelkan
dengan menentukan beberapa kriteria yang kemudian dikenal dengan model
ARMA dan ARIMA. Kriteria-kriteria meliputi fungsi autokorelasi (fak) dan
fungsi autokorelasi parsial (fakp). Untuk kasus runtun waktu musiman sama
halnya dengan runtun waktu non musiman Box Jenkins memodelkan
2
ARIMA musiman atau seasonal-ARIMA (SARIMA) terkadang
memberikan model yang estimasinya jauh dari hasil yang diharapkan.
Model yang digunakan dalam pemodelan data runtun waktu yaitu
model Autoregresive Moving Average (ARMA) biasanya mengasumsikan
bahwa variansi sesatan dari model adalah konstan. Pada kenyatannya di
lapangan sering sekali dijumpai data-data runtun waktu yang memiliki
variansi sesatan tidak konstan, diantaranya data rata-rata laju inflasi. Jika
diketahui secara pasti bahwa data runtun waktu memiliki variansi sesatan
tidak konstan kemudian dipaksakan menggunakan model ARMA, maka
akan diperoleh nilai ramalan dengan selang kepercayaan yang lebar dan bias.
Berdasarkan hal tersebut, perlu kiranya memodelkan variansi sesatan yang
diperoleh dari model ARMA. Model yang digunakan untuk variansi sesatan
tersebut adalah model Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedastic (GARCH) (Puspita, 2012).
Peramalan juga sangat dibutuhkan bagi seorang pelaku bisnis dalam
memutuskan untuk berinvestasi. Pelaku bisnis harus mempertimbangkan
risiko ataupun pemasukkan yang nantinya akan diperoleh jika berinvestasi.
Demikian halnya dengan para pelaku bisnis di bidang aset finansial, karena
pergerakan perilaku dari aset finansial sangat tidak menentu maka para
pelaku bisnis harus secara cermat menentukan model yang baik untuk
meramalkan apa yang terjadi jika berinvestasi pada aset finansial tersebut.
Pelaku bisnis pada aset finansial mengharapkan model yang digunakan
dalam peramalan adalah model yang memberikan hasil terbaik dengan galat
yang sangat kecil sehingga diyakini bahwa keputusan yang diambil sudah
tepat.
Dalam aset finansial faktor yang sangat berpengaruh adalah variansi
dan mean. Dalam bahasa ekonometrika, variansi ini disebut dengan
volatilitas. Selain itu pelaku bisnis juga memperhatikan pengaruh risiko
terhadap investasi aset finansial yang dilakukan.
3
Esti Pertiwi, 2013
Aplikasi Value At Risk (VAR) Pada Portofolio Nilai Tukar Mata Uang Dengan Pendekatan
Copula-dapat menimbulkan dampak bagi pencapaian tujuan. Dalam melakukan
suatu aktivitas usaha, akan selalu dihadapi oleh suatu tantangan atau risiko,
karena apa yang akan terjadi di masa akan datang tidak dapat diketahui
secara pasti. Besarnya tingkat kerugian karena risiko yang dihadapi sangat
bervariasi bergantung penyebab dan efek pengaruhnya. Jika saja suatu risiko
sudah dapat diketahui secara pasti bentuk dan besarannya maka tentu saja
ini dapat diperlakukan seperti biaya karena risiko merupakan suatu
ketidakpastian maka akan menjadi suatu masalah penting bagi semua pihak
(Mc Neil, 1999). Akan tetapi, risiko tersebut tetap dapat dikurangi ataupun
dibatasi, yaitu dengan dilakukan suatu pembatasan risiko terhadap
ketidakpastian, seperti kecelakaan kerja, perampokan bahkan kebangkrutan.
Demikian halnya dengan yang terjadi pada investasi pada nilai tukar
mata uang, risiko pada investasi nilai tukar mata uang ini dapat terlihat pada
fluktuasi perubahan nilai tukar mata uang tersebut. Fluktuasinya berbanding
lurus dengan risiko yang akan diperoleh pelaku bisnis atau investor tersebut.
Value at Risk (VaR) merupakan kemungkinan maksimum perubahan
dari sebuah portofolio berdasarkan probabilitas tertentu yang diberikan
(Manganelli, 2001). Salvatore (1996) menjelaskan bahwa portofolio berarti
sekumpulan sekuritas dimana dengan sejumlah dana relatif kecil dapat
diinvestasikan pada lebih dari satu jenis mata uang, selain itu dengan
portofolio akan mengurangi risiko. Memiliki portofolio seringkali
merupakan satu bagian dari investasi dan strategi manajemen risiko yang
disebut diversifikasi. Dengan memiliki beberapa aset, risiko tertentu dapat
dikurangi. Artinya, jika investor gagal dan menerima risiko yaitu dengan
mendapatkan return yang kecil pada sebuah investasi maka belum tentu hal
yang sama akan terjadi dengan investasi lainnya. Akan tetapi, jika investor
hanya mengandalkan satu buah investasi dan pada akhirnya mengalami
kerugian maka tidak akan ada cadangan investasi lainnya.
Salah satu cara untuk memperkecil risiko yang akan ditanggung oleh
investor adalah dengan melihat dependensi antara return dan risiko yang
4
Markowitz (1959) menyatakan bahwa dalam teori portofolio harus
diasumsikan return bedistribusi normal menurut waktu. Hal ini sangat sulit
mengingat bahwa data yang digunakan adalah data yang diambil untuk
jangka waktu yang lama, yang tentu saja bertujuan agar model yang
diperoleh merepresentasikan perilaku dari pergerakan data sebenarnya.
Return yang berasal dari jangka waktu yang lama sulit untuk berdistribusi
normal (Norstad, 1999). Diperlukan suatu pendekatan yang mampu
mengatasi permasalahan ini. Banyak distribusi alternatif untuk kasus ini,
seperti gamma, eksponensial dan sebagainya. Distribusi tersebut dapat
digunakan jika distribusi masing-masing vaiabelnya sama, tetapi pada
kenyataannya hal ini sulit untuk dipenuhi, karena tidak dapat dijamin bahwa
distribusi marginal dari masing-masing variabel yang terkait adalah sama.
Untuk selanjutnya diperkenalkan salah satu pendekatan yang dapat
mengatasi masalah itu, yaitu copula. Copula berasal dari bahasa Latin yang
artinya hubungan, pertalian atau ikatan. Copua hadir untuk perluasan
metode dalam memodelkan dependensi antar variable acak. Selain itu,
aplikasi copula sangat banyak digunakan dalam berbagai bidang, contohnya
biostatisrika, aktuaria dan keuangan (Rhomah, 2012:4). Nelsen (1999)
mengatakan bahwa konsep dari copula adalah memperhatikan dua
komponen yang terdapat dalam model multivariat, yaitu:
1) komponen marginal (individu) yang menyatakan karakteristik dari
setiap variabelnya,
2) struktur dependensi antara variabel marginal.
Penggunaan
Berdasarkan berbagai latar belakang yang telah dikemukakan, penulis
ingin mengaplikasikan pendekatan Copula untuk mengetahui risiko dengan
menggunakan VaR pada portofolio nilai tukar mata uang. Oleh karena itu
judul Skripsi ini adalah, “Aplikasi Value at Risk (VaR) pada Portofolio Nilai
5
Esti Pertiwi, 2013
Aplikasi Value At Risk (VAR) Pada Portofolio Nilai Tukar Mata Uang Dengan Pendekatan Copula-1.2 Batasan Masalah
Pembatasan masalah pada skripsi ini yaitu
1. Variabel yang terkait yaitu pada nili tukar Rupiah terhadap Dolar
Amerika (USD), Euro dan Poundsterling (GBP).
2. Proporsi bobot untuk setiap nilai tukar mata uang pada portofolio
sama besar.
1.3 Perumusan Masalah
Berdasarkan pemaparan sebelumnya, maka permasalahan pada skripsi
ini adalah “bagaimana aplikasi dari Value at Risk (VaR) pada Portofolio
nilai tukar mata uang dengan pendekatan copula-GARCH?”
1.4 Tujuan Penulisan
Tujuan penulisan Skripsi ini adalah untuk mengetahui aplikasi dari
Value at Risk (VaR) pada Portofolio nilai tukar mata uang dengan
pendekatan copula-GARCH.
1.5 Manfaat Penulisan
1) Praktis
Tujuan praktis dari penulisan Skripsi ini adalah agar pembaca
atau para investor dalam nilai tukar mata uang mengetahui seberapa
besar risiko yang akan ditanggung jika berinvestasi dalam portofolio
nilai tukar mata uang.
2) Teoritis
Tujuan teoritis dari penulisan Skripsi ini adalah untuk mengetahui
lebih mendalam mengenai VaR dalam portofolio dengan salah satu
6
1.6 Sistematika Penulisan
Sistematika yang digunakan dalam penulisan Skripsi ini adalah
sebagai berikut:
BAB I PENDAHULUAN
Membahas latar belakang, perumusan masalah, pembatasan
masalah, tuujuan penulisan dan sistematika penulisan Skripsi.
BAB II LANDASAN TEORI
Membahas runtun waktu, GARCH, portofolio, risiko dan
karakteristik return.
BAB III VALUE AT RISK (VAR) DENGAN PENDEKATAN COPULA
Membahas Value at Risk (VaR) dan teori Copula serta estimasi
parameter Copula.
BAB IV STUDI KASUS
Membahas aplikasi VaR pada Portofolio dengan menggunakan
pendekatan copula dalam masalah nilai tukar mata uang.
BAB V KESIMPULAN DAN SARAN
Membahas mengenai rangkuman dari keseluruhan Skripsi dalam
23 Esti Pertiwi, 2013
Aplikasi Value At Risk (VAR) Pada Portofolio Nilai Tukar Mata Uang Dengan Pendekatan BAB III
VALUE AT RISK (VaR ) DAN PENDEKATAN COPULA
3.1 Value at Risk (VaR)
Salah satu aspek yang sangat penting dalam analisis resiko
adalah penghitungan Value at Risk atau yang selanjutnya disingkat
dalam VaR. VaR adalah suatu metode yang cukup tepat dan banyak
digunakan untuk mengukur resiko. Berikut merupakan beberapa
definisi umum VaR.
Menurut Brook (2008: 571) VaR didefinisikan sebagai berikut:
“is an estimation of the probability of likely losses which could arise from changes in market prices”
sedangkan menurut Manganeli (2001: 6) VaR adalah:
“the maximum potential loss in value of a portfolio of financial instruments with a given probability over a certain horizon”.
Maka dapat disimpulkan VaR adalah estimasi kerugian
maksimum yang mungkin dialami suatu portofolio dalam interval
waktu tertentu dengan tingkat kepercayaan tertentu.
3.2 Konsep Dasar VaR
Pada dasarnya konsep dalam VaR sudah ada sejak lama, akan
tetapi sistematis VaR untuk berbagai resiko finansial baru-baru ini
dikembangkan. Dalam bahasa yang mudah dipahami VaR digunakan
oleh investor untuk menghitung kerugian maksimum yang akan
diperoleh dalam tingkat kepercayaan sebesar dalam kurun waktu atau periode tertentu. Roy (2011:7) mengatakan bahwa terdapat
tiga cara untuk menghitung VaR yaitu, simulasi historical,
varian-kovarian dan simulasi Monte Carlo. Akan tetapi, yang digunakan pada
24
Secara teknis VaR dengan tingkat kepercayaan dinyatakan sebagai bentuk kuantil ke- dari distribusi return. VaR dapat ditentukan melalui fungsi kepadatan peluang dari nilai return di
masa depan, yang dinotasikan dengan dengan adalah return. Pada tingkat kepercayaan akan ditentukan nilai kemungkinan terburuk return yaitu , sehingga peluang munculnya return melebihi
adalah . Dapat dinyatakan sebagai berikut:
∫ …(3.1)
sedangkan peluang terdapatnya return yang kurang dari atau sama
dengan atau yang dinotasikan dengan adalah sebesar .
∫
…(3.2)
Jika investasi awal kurs dinotasikan maka nilai kurs pada
akhir suatu periode waktu dinotasikan dan jika nilai kurs paling rendah adalah pada tingkat kepercayaan , maka VaR pada tingkat kepercayaann dapat diformulasikan sebagai berikut:
…(3.3)
Pada umumnya nilai adalah negatif, dan dapat dinotasikan
dengan | |, selanjutnya nilai dapat dikaitkan dengan standar normal deviasi dengan formulasi:
| | …(3.4)
3.3 VaR dengan Simulasi Monte Carlo
Penggunaan metode simulasi Monte Carlo untuk mengukur
risiko telah dikenalkan oleh Boyle pada tahun 1977. Dalam
mengestimasi nilai VaR baik pada aset tunggal maupun portofolio,
simulasi Monte Carlo mempunyai beberapa jenis algoritma. Namun
25
Esti Pertiwi, 2013
Aplikasi Value At Risk (VAR) Pada Portofolio Nilai Tukar Mata Uang Dengan Pendekatan
bilangan random berdasarkan karakteristik dari data yang akan
dibangkitkan, yang kemudian digunakan untuk mengestimasi nilai
VaR-nya.
3.4 Teori Copula
Copula merupakan metode dependensi yang akhir-akhir ini
sering digunakan. Diperkenalkan pertama kali pada tahun 1959 oleh
Sklar, tapi baru pertama kali digunakan dalam dunia keuangan pada
tahun 1999 oleh Embrechts. Pada dasarnya copula merupakan suatu
fungsi yang memungkinkan untuk menggabungkan struktur
dependensi tertentu. Copula memberikan cara yang tepat untuk
membentuk distribusi gabungan dari dua atau lebih variabel acak.
(Solikha, 2012:15)
Sebelum membahas mengenai copula lebih lanjut, maka akan
dibahas beberapa definisi yang berhubungan dengan copula, yaitu
sebagai berikut:
Definisi 3.1 Persegi Panjang (Nelsen, 2006:8)
Suatu persegi panjang atau interval di ̅ merupakan perkalian
silang dari dua interval di ̅ dalam bentuk
[ ] [ ] …(3.5)
dimana ̅
Himpunan dari semua persegi panjang di ̅ akan didefinisikan
sebagai Titik ujung dari persegi panjang adalah
26
Definisi 3.2 Volume-H (Nelsen, 2006:8)
Misalkan ̅ dan ̅ ̅ merupakan fungsi dengan
. Misal [ ] [ ] merupakan
persegi panjang dimana Sehingga, volume-H diberikan oleh
( ) ( )
( ) …(3.6)
Jika didefinisikan turunan pertama dari H pada persegi panjang
sebagai
( ) ( )
…(3.7)
…(3.8)
Maka volum-H dari persegi panjang merupakan turunan
kedua dari pada persegi panjang , yaitu
…(3.9)
Definisi 3.3 fungsi 2-increasing (Nelsen, 2006:9)
Misalkan fungs bernilai real. dikayakan 2-increasing jika
untuk semua persegi panjang di ̅ dimana titik
ujung dari ada di .
Definisi 3.4 Fungsi Grounded (Nelsen, 2006:9)
Mialkan merupakan subset tak kosong dari ̅ dan
̅ ̅ fungsi dengan . Kemudian memiliki elemen terkecil masing-masing . Maka dikatakan fungsi Grounded jika
…(3.10)
Jika fungsi grounded, maka:
[ ] [ ]
27
Esti Pertiwi, 2013
Aplikasi Value At Risk (VAR) Pada Portofolio Nilai Tukar Mata Uang Dengan Pendekatan
Berikut akan diberikan definisi mengenai copula 2-dimensi yang
kemudian akan diperumum menjadi copula n-dimensi:
Definisi 3.5 Subcopula (Nelsen, 2006:10)
Sebuah subcopula 2-dimensi merupakan fungsi yang memiliki
sifat:
1. dimana merupakan subset dari
[ ].
2. grounded dan 2-increasing
3. Untuk setiap
…(3.12)
Perhatikan bahwa untu setiap maka
.
Definisi 3.6 Copula Bivariat (Nelsen, 2006:10)
Sebuah copula dimensi (atau selanjutnya disebut dengan
2-copula atau hanya 2-copula) merupakan sebuah 2-sub2-copula yang
domainnnya adalah . Ekivalen dengan copula merupakan
fungsi yang memenuhi sifat: 1. Untuk setiap maka
…(3.13)
dan
…(3.14)
2. Untuk setiap dimana dan ,
3.15
Selanjutnya pertidaksamaan 3.15 ini disebut dengan
ketidaksamaan copula
Teorema 3.1 Teorema Sklar (1959)
Misalkan merupakan fungsi distribusi bersama 2-dimensi
dengan distribusi marginal dan , dengan masing-masing
merupakan fingsi distribusi marginal dari dan . Maka akan
28
( ) …(3.16)
Jika kontinu maka unik, jika dan tidak kontiny maka copula unik pada .
Sebaliknya, jika adalah copula, merupakan fungsi distibusi marginal dari . Maka terdapat fungsi distribusi gabungan sedemikian sehinga untuk setiap ̅ berlaku
( )
Bukti:
Terdapat pada Rhomah (2011:140
3.5 Copula Archimedean
Pertama kali diperkenalkan oleh Ling pada tahun 1965 namun
ditemukan pertama kali oleh Sklar dan Schweizer pada tahun 1961.
Copula Archimedean merupakan salah satu kelas copula yang paling
luas digunakan. Nelsen (2006: 109) mengatakan bahwa copula
Archimedean sangat luas aplikasinya disebabkan oleh alasan berikut:
1. dapat dikonstruksi dengan mudah,
2. memiliki sub family yang besar dan bervariasi,
3. banyak sifat-sifat copula dipengaruhi oleh anggota-anggota dari
kelas copula ini.
Definisi 3.7 Pseudo-invers (Nelsen, 2006:110)
Diberikan , dimana merupakan fungsi non-decreasing yang
memetakan [ ] [ ] sehingga Pseudo-invers dari merupakan fungsi [ ] dengan
[ ] [ ] dan [ ] [ ] , didefinisikan
dengan:
[ ]
29
Esti Pertiwi, 2013
Aplikasi Value At Risk (VAR) Pada Portofolio Nilai Tukar Mata Uang Dengan Pendekatan [ ] merupakan fungsi kontinu dan tak naik pada [ ] dan
fungsi tak turun pada [ ] maka [ ]( ) pada dan
[ ] {
…(3.18)
Sehingga jika maka [ ]
Definisi 3.8 Copula Archimedean
Sebuah copula dinamakan Archimedean jika dapat ditulis
kedalam bentuk:
( ) …(3.19)
Dimana merupakan fungsi generator. merupakan fungsi tidak turun yang memetakan [ ] ke [ ] sehingga dan .
Generator yang berbeda-beda selanjutnya akan menghasilkan
beberapa copula Archimedean yang berbeda pula, yaitu copula
Clayton dan Gumbel.
3.5.1 Copula Clayton
Generator untuk copula Clayton diberikan oleh
…(3.20)
dengan . Kemudian, fungsi distribusi kumulatif dari copula Clayton 2-dimensi dinotasikan sebagai
berikut:
30
3.5.2 Copula Gumbel
Generator dari copula Gumbel adalah
…(3.22)
dengan ( ) . Kemudian, fungsi distribusi kumulatif dari copula Gumbel 2-dimensi adalah
sebagai berikut:
{ [ ] }
…(3.23)
3.6 Dependensi
Selanjutnya akan dibahas mengenai dependensi dari copula
Archimedean. Gambar 3.1 menunjukkan perilaku tail dependensi yang
berbeda dari keluarga copula Archimedean. Dapat dilihat bahwa
copula Clayton memiliki tail di bagian bawah dan copula gumbel
memiliki tail diatas.( Schölzel, 2008)
(a) (b)
Gambar 3.1
(a) Perilaku tail dependensi dari Copula Clayton dan (b) Perilaku tail dependensi dari Copula Gumbel (Schölzel, 2008)
Kemudian akan dibahas mengenai metode pengukuran
dependensi yang tepat untuk copula, yaitu Korelasi Kendall’s Tau,
31
Esti Pertiwi, 2013
Aplikasi Value At Risk (VAR) Pada Portofolio Nilai Tukar Mata Uang Dengan Pendekatan 3.6.1 Konkordan
Suatu pasangan variable acak adalah konkordan jika besar
nilai salah satu cenderung berhubungan dengan besar nilai yang
lain dan salah satu nilai yang kecil dengan nilai kecil lainnya.
Definisi 3.9 Konkordan Diskordan (Nelsen, 2006:158)
Misalkan ( ) adalah pengamatan dari dua variable acak kontinu . ( ) konkordan jika atau Untuk ( ) dan dikatakan diskordan jika atau
Alternative formula: ( ) konkordan jika
( ) …(3.24)
dan sebaliknya, akan diskordan jika
( ) .
3.6.2 Korelasi Kendall’s Tau
Ukuran dependensi Korelasi Kendall’s Tau untuk populasi
dari dengan distribusi , dapat didefinisikan sebagai perbedaan antara peluang dari konkordan dan peluang dari
diskordan untuk dua vector acak yang ndependen
dengan masing-masing berdistribusi , berlaku bahwa
[ ]
[ ] …(3.25)
Dalam praktiknya, ukuran dependensi Korelasi Kendall’s
Tau dapat dihitung dengan berdasarkan sampel saja. Misalkan
terdapat sampel berukuran , yaitu {( ) ( )} dari vector acak . Setiap pasang sampel,
32
atau diskordan. Maka akan terdapat pasangan yang berbeda
dari sampel yang ada. Misalkan menyatakan ukuran
konkordan dan menyatakan diskordan, maka nilai Korelasi
Kendall’s Tau berdasarkan sampel dapat didefinisikan sebagai
̂ …(3.26)
(Nelsen, 2006:158)
Teorema 3.2 (Nelsen, 2006:159)
Diberikan dan adalah vector dari variable acak kontinu yang independen dengan fungsi distribusi gabungan
dengan marginal untuk dan untuk .
dinotasikan sebagai copula masing-masing dari
. Maka ( )
( ). Diberikan yang dinotasikan sebagao selisih dari peluang konkordan dan diskordan dari dimana
[ ] [ ].
Maka,
∫ ∫ …(3.27)
3.7 Estimasi Parameter
Genest mengatakan bahwa untuk mengkonstruksi parameter dari
copula Archimedean untuk kelas Clayton dan Gumbel dapat
menggunakan nilai Korelasi Kendall’s Tau. Khusus pada kasus copula
Archimedean nilai Korelasi Kendall’s Tau dapat dihitung dengan
persamaan berikut:
∫ …(3.28)
33
Esti Pertiwi, 2013
Aplikasi Value At Risk (VAR) Pada Portofolio Nilai Tukar Mata Uang Dengan Pendekatan 3.7.1 Estimasi Parameter Copula Clayton
Generator dari copula Clayton adalah dengan mensubstistusikannya kedalam persamaan 3.28, maka
…(3.29)
selanjutnya,
∫
∫
∫
∫
∫
∫ ∫
[ ] [ ]
( )
…(3.30)
Sehingga estimasi parameter dari copula Clayton berdasarkan
persamaan 3.30 adalah
34
3.7.2 Estimasi Parameter Copula Gumbel
Generator dari copula Clayton adalah dengan mensubstistusikannya kedalam persamaan 3.28, maka
…(3.31)
Selanjutnya,
∫
∫
∫ …(
3.32)
Untuk menyelesaikain persamaan 3.32 maka harus
menggunakan teknik integral parsial untuk menemukan nilai
∫ , yaitu:
Misal:
∫ ∫
maka
∫ | ∫
( )| ∫
∫
|
( )
Sehingga diperoleh:
35
Esti Pertiwi, 2013
Aplikasi Value At Risk (VAR) Pada Portofolio Nilai Tukar Mata Uang Dengan Pendekatan
Kemudian persamaan ini disubtitusikan ke persamaan 3.32,
sehingga akhirnya diperoleh:
( ) …(3.33)
Sehingga estimasi parameter dari copula Gumbel berdasarkan
persamaan 3.33 adalah
BAB V
KESIMPULAN DAN SARAN
5.1 Kesimpulan
Data yang digunakan adalah data nilai tukar Rupiah terhadap
USD, Euro dan GBP yang dimulai pada tanggal 9 September 2009
hingga 31 Mei 2013, yaitu sebanyak 925 data. Setelah dilakukan
seluruh prosedurnya maka diperoleh model ARMA-GARCH(p,q)
untuk masing-masing return yaitu sebagai berikut:
a. ARMA(2,4)*-GARCH(2,1) untuk Data Return Nilai Tukar
Rupiah terhadap USD
b. MA(2)-GARCH(1,2) untuk Data Return Nilai Tukar Rupiah
terhadap Euro
c. MA(2)*-GARCH(1,1) untuk Data Return Nilai Tukar Rupiah
terhadap GBP
Selanjutnya dilakukan estimasi parameter model copula dengan
memanfaatkan nilai korelasi Kendall’s Tau untuk masing-masing
kombinasi mata uang, yaitu USD-Euro, USD-GBP dan Euro-GBP,
73
Tabel 5.1
Nilai Parameter Copula Archimedean ( ) Berdasarkan Korelasi Kendall’s Tau
Kombinasi Mata Uang Nilai Kendall’s Tau Parameter C.Clayton Parameter C.Gumbel
USD-Euro 0.025 0.0513 1.026
USD-GBP 0.169 0.407 1.203
GBP-Euro 0.429 1.503 1.751
Kemudian, dengan kriteria nilai log likehoodnya, maka model
copua terbaik adalah sebagai berikut:
a. USD-Euro
{ [ ] }
dimana return USD dan return Euro.
b. USD-GBP
{ [ ] }
dimana return USD dan return GBP.
c. Euro-GBP
dimana return Euro dan return GBP.
Selanjutnya, jika dana awal yang diinvestasikan pada portofolio
yang terdiri dari tiga aset yaitu, nilai tukar Rupiah terhadap USD, nilai
tukar Rupiah terhadap Euro dan nilai tukar rupiah terhadap GBP,
sebesar Rp. 100.000.000,00 maka pada tingkat kepercayaan 95%
investor akan menghasilkan nilai VaR sebesar Rp. 2.002.201,30, atau
sebesar 2,002% dari investasi awal, dan pada tingkat kepercayaan
akan mengalamai kerugian sebesar Rp. 3.375.318,00 atau sebesar 3.375% dari investasi awal, dalam jangka waktu satu hari
74
5.2 Saran
Untuk penelitian selanjutnya diharapkan dapat mencoba dengan
jumlah variabel yang terlibat lebih dari tiga. Kemudian, diharapkan
bahwa VaR untuk portofolio sebaiknya menggunakan proporsi dalam
menentukan bobot untuk setiap nilai tukar mata uang, sehingga
mampu menghasilkan nilai VaR yang lebih optimal. Selanjutnya,
diharapkan pula memanfaatkan copula dari famili lain, seperti
75 Esti Pertiwi, 2013
Aplikasi Value At Risk (VAR) Pada Portofolio Nilai Tukar Mata Uang Dengan Pendekatan Copula-DAFTAR PUSTAKA
Ariany, F., Heri K. dan Suhartono. (2012). Estimasi Value at Risk pada
Portofolio Nilai Tukar Mata Uang dengan Pendekatan Copula. Surabaya:
Publikasi Ilmiah Online Mahaiswa ITS [Online], Tersedia:
http://www.google.com/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=1&v ed=0CCgQFjAA&url=http%3A%2F%2Fejurnal.its.ac.id%2Findex.php%2F sains_seni%2Farticle%2Fdownload%2F2031%2F347&ei=D5gkUsDKMsW CrgfIq4GACQ&usg=AFQjCNGFZZh3r2BnFKn__7PgILRPkHSEKg&bvm =bv.51495398,d.bmk&cad=rja [19 Februari 2013].
Brooks, C. (2008). Introductory Econometrics for Finance. New York: Cambridge University Press.
Chan, Ngai Hang. (2002). Time Series, Application to Finance. New York: John Wiley & Sons, Inc.
Danielsson, J. (2011). Financial Risk Forecasting.West Sussex: Willey.
Frees, E. W.dan Emiiano A. V. (1999). Understanding Relationships Using
Copulas. North American Actuarial Journal, Volume 2, Number 1.
Hurd, M., Mark S dan Christoph S. (2007). Using copulas to construct bivariate
foreign exchange distribution with an application to the sterling exchange rate index. Bank of England, working paper no. 334.
Li, Y. (2012). GARCH-Copula Approach to Estimation of Value at Risk for
Portfolios. Tesis. Faculty of Science, Lund University. Manganelli, S.,
Robert F. E. (2001). Value at Risk Models in Finance. European Central Bank Working Paper Series, working paper no.75.
Markowitz, H.M. (1959). Portfolio Selection: Efficient Diversification of Investment. New York: John Willey & Sons.
Maruddani, D. A. I. dan Ari P. (2009). Pengukuran Value at Risk pada Aset
Tunggal Dan Portofolio Dengan Simulasi Monte Carlo. Media Statistika, Vol.2 No.2 Desember 2009:93-104.
Nelsen,, R. B. (2006). An Introduction to Copulas, Second Edition. New York: Springer.
Norstad, J. (1999). An Introduction to Portfolio Theory. [Online]. Tersedia:
http://www.norstad.org/finance/port.pdf [18 Maret 2013].
Pratiwi, I. (2011). Penerapan Model GARCH-M dalam Peramalan Nilai Harga
76
Puspita, E. (2012). Model GARCH untuk Variansi Sesatan dari Model
Autoregressive Moving Average [Online]. Tersedia:
http://file.upi.edu/Direktori/FPMIPA/JUR._PEND._MATEMATIKA/19670 4081994032-ENTIT_PUSPITA/MODEL_GARCH%2C_makalah.pdf [6 Maret 2013].
Rhomah, A. (2012). Studi Copula Gumbel Family 2-Dimensi dalam Identifikasi
Struktur Dependensi. Skripsi. Universitas Islam Negeri Maulana Malik
Ibrahim Malang.
Roy, I. (2011). Estimation of Portfolio Value at Risk using Copula. RBI Working Paper Series, Department of Ecomonomic and Policy Research.
Rozi, F. (2009). Pemodelan Copula - Studi Banding Kuantifikasi Autokorelasi. Jurnal Jurusan Matematika, fakultas Sains dan Teknologi Universitas Islam Negeri Maulana Malik Ibrahim Malang.
Solikha, L. W. (2012). Studi Copula Frank Family 2-Dimensi dalam Identifikasi
Struktur Dependensi. Skripsi. Universitas Islam Negeri Maulana Malik
Ibrahim Malang.
Yulastri, D. (2011). Integrated Generalized Autoregressive Conditional
Heterocedasticity (IGARCH), Studi Kasus pada PT. Kimia Farma Tbk.
