Simulasi Struktur Energi Elektronik Atom, Molekul, dan Nanomaterial dengan Metode Ikatan Terkuat

(1)

Molekul, dan Nanomaterial dengan

Metode Ikatan Terkuat

Ahmad Ridwan Tresna Nugraha (NIM: 10204001),

Pembimbing: Sukirno, Ph.D

(2)

1 Pendahuluan

2 _{Persamaan Schr ¨odinger dalam Matriks} 3 Metode SCF untuk Atom

4 _{Ikatan pada Molekul} 5 Konsep Fungsi Basis

6 _{Pita Energi Molekul dan Nanomaterial} Rantai Atomik 1D

Graphene dan Semikonduktor Struktur Nanomaterial

(3)

Sistematika

1 Pendahuluan

(4)

Latar Belakang dan Motivasi

Penentuanstruktur elektronikmerupakan kajian yang paling penting dalam bidangfisika material.

Sifat-sifat fisis material⇔tingkat-tingkat energiyang diizinkan. Kendala penentuan struktur elektronik: kerumitan perhitungan seiring banyaknya elektron yang terlibat⇔pemecahan

persamaan Schr ¨odinger untuk banyak partikel.

Dibutuhkan beberapa aproksimasi untuk menyederhanakan persamaan Schr ¨odinger sesuai dengan sistem elektron tertentu.

(5)

Latar Belakang dan Motivasi

(6)

Latar Belakang dan Motivasi

(7)

Latar Belakang dan Motivasi

(8)

Metode dan Objek Perhitungan

Perangkat Matematik + Komputasi:

I _{Trik komputasi}−→_{persamaan matriks ::}_{Matriks Hamiltonian} I _Aproksimasi

Beda Hingga :: Self-Consistent Field :: Pemilihan Fungsi Basis Objek yang diamati:

Atom: Hidrogen dan Helium Molekul: Gas Hidrogen (H2)

Struktur ”Bulk”: Rantai Atomik, Graphene, Galium Arsenida Nanomaterial: Carbon Nanotube

(9)

Metode dan Objek Perhitungan

I _{Trik komputasi}−→_{persamaan matriks ::}_{Matriks Hamiltonian}

I _Aproksimasi

(10)

Metode dan Objek Perhitungan

(11)

Metode dan Objek Perhitungan

Beda Hingga :: Self-Consistent Field :: Pemilihan Fungsi Basis

Objek yang diamati:

(12)

Model Atom Klasik

Spektrum energi:

h

Panaskan gas atom-atom bersifat seperti hidrogen

spektrum energi diskret dapat teramati

Pola emisi foton: hν =E0Z2 1 n2 − 1 m2

,ndanmbilangan bulat; En=−

Z2

n2

E0

Persamaan Schr ¨odinger satu partikel: i~∂Ψ(~r,t)

∂t =− ~2 2m∇

(13)

Model Atom Klasik

Spektrum energi:

h

Pola emisi foton:

hν =E0Z2 1 n2 − 1 m2

Z2

n2

E0

Persamaan Schr ¨odinger satu partikel: i~∂Ψ(~r,t)

∂t =− ~2 2m∇

(14)

Model Atom Klasik

Spektrum energi:

h

Pola emisi foton:

hν =E0Z2 1 n2 − 1 m2

Z2

n2

E0

Persamaan Schr ¨odinger satu partikel:

i~∂Ψ(~r,t)

∂t =−

~2 2m∇

(15)

Model Atom Klasik

Energi diskret untuk atom hidrogen (abaikan gerak inti masif):

U(~r) =− Ze

2

4π₀r maka tebakan solusinya:

Ψ(~r,t) =e−iEnt/~_φ nlm(~r) Ze En=− Z2 n2 E0 rn= n2 Z a0 a0=4π0~2/(me2)≈0,053 nm

(16)

Pentingnya Metode Numerik

Solusi analitik pers. Schr ¨odinger lebih banyak yang sulit ditentukan meski hanya 1 partikel yang ditinjau.

Semakin banyak elektron yang terlibat, perhitungan akan semakin rumit karenainteraksi elektron-elektron

I _{Bentuk fungsi potensial menyulitkan pemecahan persamaan} diferensial.

Besaranyang selanjutnya perlu dihitung:

I Tingkat energi dasar(ground state) + struktur pita energi I _{Kerapatan elektron}_{:: konsekuensi postulat probabilitas Born}

n(x,t) =X

i

(17)

Pentingnya Metode Numerik

I _{Bentuk fungsi potensial menyulitkan pemecahan persamaan}

diferensial.

n(x,t) =X

i

(18)

Pentingnya Metode Numerik

n(x,t) =X

i

(19)

Pentingnya Metode Numerik

n(x,t) =X

i

(20)

Sistematika

1 Pendahuluan

(21)

Kerangka Matriks Hamiltonian

Notasi Matriks−→Kunci utama pemecahan pers. Schr ¨odinger secara numerik.

DefinisikanHˆ ≡ −~2

2m∇2+U(~r): i~∂

∂tΨ(~r,t) = ˆHΨ(~r,t)

NyatakanΨ(~r,t)sebagai vektor (matriks) kolom{ψ(t)}, sehingga i~d dt h ψ₁ ψ₂ . . . iT = [H] h ψ₁ ψ₂ . . . iT

Konversi ke bentuk matriks dilakukan dengan menggunakan kisi (sejumlah titik) diskret−→Beda hingga(finite difference)

(22)

Kerangka Matriks Hamiltonian

2m∇2+U(~r):

i~∂

NyatakanΨ(~r,t)sebagai vektor (matriks) kolom{ψ(t)}, sehingga i~d dt h ψ₁ ψ₂ . . . iT = [H] h ψ₁ ψ₂ . . . iT

(23)

Kerangka Matriks Hamiltonian

2m∇2+U(~r):

i~∂

NyatakanΨ(~r,t)sebagai vektor (matriks) kolom{ψ(t)}, sehingga

i~d dt h ψ₁ ψ₂ . . . iT = [H] h ψ₁ ψ₂ . . . iT

(24)

Kerangka Matriks Hamiltonian

2m∇2+U(~r):

i~∂

NyatakanΨ(~r,t)sebagai vektor (matriks) kolom{ψ(t)}, sehingga

i~d dt h ψ₁ ψ₂ . . . iT = [H] h ψ₁ ψ₂ . . . iT

(25)

Beda Hingga

Tinjau sistem 1D: xn=na n x 1 2 3 n−1n n1 ... N a

Operasi turunan kedua: (bagian dari suku kinetik) ∂2Ψ ∂x2 x=xn = 1 a2 [Ψ(xn+1)−2Ψ(xn) + Ψ(xn−1)] Potensial: [U(x)Ψ(x)]_x₌_x_n =U(xn)Ψ(xn)

(26)

Beda Hingga

Operasi turunan kedua: (bagian dari suku kinetik) ∂2Ψ ∂x2 x=xn = 1 a2 [Ψ(xn+1)−2Ψ(xn) + Ψ(xn−1)] Potensial: [U(x)Ψ(x)]_x₌_x_n =U(xn)Ψ(xn)

(27)

Beda Hingga

Operasi turunan kedua: (bagian dari suku kinetik) ∂2Ψ ∂x2 x=xn = 1 a2 [Ψ(xn+1)−2Ψ(xn) + Ψ(xn−1)] Potensial: [U(x)Ψ(x)]_x₌_xn =U(xn)Ψ(xn)

(28)

Beda Hingga

Misalkan~2/2ma2=τ0danUn=U(xn), maka persamaan

Schr ¨odinger untukψn: i~dψn dt = [ ˆHψ]x=xn = (Un+2τ0)−τ0ψn−1−τ0ψn+1 =X m (Un+2τ0)δn,m−τ0δn,m+1−τ0δn,m−1 ψm

Bentuk matriks lengkap: i~d

dt{ψ(t)}= [H]{ψ(t)} dengan

(29)

Beda Hingga

Misalkan~2/2ma2=τ0danUn=U(xn), maka persamaan

Schr ¨odinger untukψn: i~dψn dt = [ ˆHψ]x=xn = (Un+2τ0)−τ0ψn−1−τ0ψn+1 =X m (Un+2τ0)δn,m−τ0δn,m+1−τ0δn,m−1 ψm

Bentuk matriks lengkap:

i~d

dt{ψ(t)}= [H]{ψ(t)} dengan

(30)

Beda Hingga

Lebih eksplisit: i~d dt             ψ1 ψ2 .. . ψn .. . ψN             =              2τ0+U1 −τ0 0 0 0 0 −τ0 2τ0+U2 −τ0 0 0 0 0 −τ0 . .. ... 0 0 0 0 . .. ... ... 0 0 0 0 . .. ... −τ0 0 0 0 0 −τ0 2τ0+UN                          ψ1 ψ2 .. . ψn .. . ψN             .

Reduksi parameter waktu:

[H]{α}=Eα{α}; Eαnilai eigen dari[H]

{ψ(t)}=X

α

(31)

Beda Hingga

Lebih eksplisit: i~d dt             ψ1 ψ2 .. . ψn .. . ψN             =              2τ0+U1 −τ0 0 0 0 0 −τ0 2τ0+U2 −τ0 0 0 0 0 −τ0 . .. ... 0 0 0 0 . .. ... ... 0 0 0 0 . .. ... −τ0 0 0 0 0 −τ0 2τ0+UN                          ψ1 ψ2 .. . ψn .. . ψN             .

Reduksi parameter waktu:

[H]{α}=Eα{α}; Eαnilai eigen dari[H]

{ψ(t)}=X

α

(32)

Beda Hingga untuk 3D

Bagian yang membedakan sistem 1D, 2D, dan 3D adalah elemen diagonal pada matriks[H].

Secara umum, elemen diagonal[H]adalah potensialU(~r)yang dievaluasi pada titik kisi tertentu ditambah denganτ₀kali banyaknya titik tetangga terdekat.

Jumlah titik-titik tetangga:

dua untuk 1D, empat untuk 2D, enam untuk 3D.

Separasi variabel−→supaya ukuran matriks 2D/3D tetap sama

dengan sistem 1D.

Ψ(~r) =X(x)Y(y)Z(z)

(33)

Beda Hingga untuk 3D

dengan sistem 1D.

(34)

Beda Hingga untuk 3D

dengan sistem 1D.

(35)

Beda Hingga untuk 3D

Separasi variabel−→supaya ukuran matriks 2D/3D tetap sama dengan sistem 1D.

(36)

Beda Hingga untuk 3D

Setiap fungsiX(x),Y(y), danZ(z)merupakan solusi dari persamaan Schr ¨odinger 1D yang saling bebas:

ExX(x) = −~ 2 2m d2 dx2 +Ux(x) X(x), EyY(y) = −~ 2 2m d2 dy2 +Uy(y) Y(y), EzZ(z) = −~ 2 2m d2 dz2 +Uz(x) Z(z) dan energi total:

(37)

Potensial Simetri Bola

Fungsi gelombang lengkap:

Ψ(~r) = Ψ(r, θ, φ) = f(r) r Y

m l (θ, φ)

Solusif(r)diperoleh dari penyelesaian persamaan Schr ¨odinger radial yang ternyata tereduksi menjadi bentuk 1D:

Ef(r) = −~ 2 2m d2 dr2 + l(l+1)~2 2mr2 +U(r) f(r)

l=0: keadaan s (sharp),l=1: keadaan p (principal), dan seterusnya

FungsiY_lm(θ, φ)adalah fungsi harmonik sferis: Y00(θ, φ) = r 1 4π; Y 0 1(θ, φ) = r 3 4π; Y ±1 1 (θ, φ) =± r 3 8πsinθ e±iφ ;. . .

(38)

Potensial Simetri Bola

Ψ(~r) = Ψ(r, θ, φ) = f(r) r Y

m l (θ, φ)

Ef(r) = −~ 2 2m d2 dr2 + l(l+1)~2 2mr2 +U(r) f(r) l=0: keadaan s (sharp),l=1: keadaan p (principal), dan seterusnya

FungsiY_lm(θ, φ)adalah fungsi harmonik sferis: Y00(θ, φ) = r 1 4π; Y 0 1(θ, φ) = r 3 4π; Y ±1 1 (θ, φ) =± r 3 8πsinθ e±iφ ;. . .

(39)

Potensial Simetri Bola

Ψ(~r) = Ψ(r, θ, φ) = f(r) r Y

m l (θ, φ)

Ef(r) = −~ 2 2m d2 dr2 + l(l+1)~2 2mr2 +U(r) f(r) l=0: keadaan s (sharp),l=1: keadaan p (principal), dan seterusnya

FungsiY_lm(θ, φ)adalah fungsi harmonik sferis:

Y00(θ, φ) = r 1 4π; Y 0 1(θ, φ) = r 3 4π; Y ±1 1 (θ, φ) =± r 3 8πsinθ e±iφ ;. . .

(40)

Potensial Simetri Bola

Normalisasi: Z ∞ r=0 Z π θ=0 Z 2π φ=0 |Ψ|2r2sinθdrdθdφ=1 Z ∞ 0 |f(r)|2_dr₌₁_; Z π θ=0 Z 2π φ=0 |Yml |2sinθdθdφ=1

|f(r)|disimpulkan sebagai fungsi distribusi probabilitas radial, sehingga|f(r)|2_dr_{merupakan probabilitas untuk menemukan}

elektron dalam volume antarardan(r+dr).

Hasil numerik dengan jarak antartitik kisiaharus dibandingkan dengan nilai analitik|f(r)|2a.

Untuk tingkat 1s dan 2s, hasil analitiknya adalah |f1s(r)|2= 4 a3 0 e2r/a0_; _|_f 2s(r)|2 = r2 8a3 0 2− r a0 2 e−r/a0

(41)

Potensial Simetri Bola

(42)

Potensial Simetri Bola

(43)

Potensial Simetri Bola

Untuk tingkat 1s dan 2s, hasil analitiknya adalah

|f1s(r)|2= 4 a3 0 e2r/a0_; _|_f 2s(r)|2 = r2 8a3 0 2− r a0 2 e−r/a0

(44)

Pembenaran: Potensial Simetri Bola

Tingkat 1s. Energi eigen numerik:E=−13,56 eV. Kisi:N=100, a=0,05×10−10_m.

(45)

Pembenaran: Potensial Simetri Bola

(46)

Pembenaran: Potensial Simetri Bola

Tingkat 1s. Energi eigen numerik:E=−13,56 eV. Kisi:N=100, a=0,1×10−10_m.

(47)

Pembenaran: Potensial Simetri Bola

(48)

Sistematika

1 Pendahuluan

(49)

Hidrogen versus Helium

Berdasarkan rumus tingkat energi atom hidrogen, sebuah elektron yang berada pada tingkat 1s memiliki energi ionisasi E=13,6 eV pada tingkat 2s ionisasinyaE=3,4 eV.

Energi sebesar itu dapat diukur dari prosesemisi optik −→dibalik menjadi pengukuran energi ionisasi. Bagaimana denganHelium(atau atom-atom lain yang berelektron banyak)?

(50)

Hidrogen versus Helium

Energi sebesar itu dapat diukur dari prosesemisi optik −→dibalik menjadi pengukuran energi ionisasi.

1s

2p

foton

Bagaimana denganHelium(atau atom-atom lain yang berelektron banyak)?

(51)

Hidrogen versus Helium

Energi sebesar itu dapat diukur dari prosesemisi optik −→dibalik menjadi pengukuran energi ionisasi.

1s

2p

foton

Bagaimana denganHelium(atau atom-atom lain yang berelektron banyak)?

(52)

Hidrogen versus Helium

Atom Helium

Helium dengan model klasik:E=22₍₁₃_,_{6 eV) =}₅₄_,_{4 eV.}

Akan tetapi, hasil eksperimen (ionisasi pertama):E≈24,8 eV E=54,4 eV muncul di ionisasi kedua,

He+ (hν = +24,8 eV)→He++e− He+ (hν =He++54,4 eV)→H2++e−

Model klasik belum menyertakaninteraksi elektron-elektron. Koreksi bentuk potensial (untuk segala macam atom):

(53)

Hidrogen versus Helium

Atom Helium

(54)

Hidrogen versus Helium

Atom Helium

(55)

Hidrogen versus Helium

Atom Helium

(56)

Hidrogen versus Helium

Atom Helium

(57)

Suku Interaksi dan Pendekatan Hartree

Persamaan Schr ¨odinger radial:

Ef(r) = −~ 2 2m d2 dr2 + ~2l(l+1) 2mr2 − Ze2 4π₀r +Uscf(r) f(r) Self-consistent field menurut Hartree:

∇2U_scf(~r) =−e 2 0 n(~r)atauU_scf(~r) = e 2 4π0 Z n(~r0)d~r0 |~r−~r0_|

Dalam koordinat bola, jumlah elektron total menjadi

Ne= Z  r02sinθdθdφdr0× X n,l,m fn(r) r 2 |Ym_l |2  

(58)

Suku Interaksi dan Pendekatan Hartree

∇2U_scf(~r) =−e 2 0 n(~r)atauU_scf(~r) = e 2 4π0 Z n(~r0)d~r0 |~r−~r0_| Dalam koordinat bola, jumlah elektron total menjadi

(59)

Suku Interaksi dan Pendekatan Hartree

∇2U_scf(~r) =−e 2 0 n(~r)atauU_scf(~r) = e 2 4π0 Z n(~r0)d~r0 |~r−~r0_| Dalam koordinat bola, jumlah elektron total menjadi

(60)

Suku Interaksi dan Pendekatan Hartree

Ym_l ternormalisasi, sehingga Ne= Z σ(r)drdenganσ(r) = X n,l,m |fn(r)|2

Jumlahkan pada seluruh keadaan energi yang terisi: n(~r) =X α |ψα(~r)|2= X n,l,m fn(r) r 2 |Ym_l (θ, φ)|2

Besaranσ(r)memberikan informasi seberapa banyak muatan terdistribusi di kulit yang berada pada jarak tertentu dari inti

(61)

Suku Interaksi dan Pendekatan Hartree

Jumlahkan pada seluruh keadaan energi yang terisi:

n(~r) =X α |ψα(~r)|2= X n,l,m fn(r) r 2 |Ym_l (θ, φ)|2

(62)

Suku Interaksi dan Pendekatan Hartree

Jumlahkan pada seluruh keadaan energi yang terisi:

n(~r) =X α |ψα(~r)|2= X n,l,m fn(r) r 2 |Ym_l (θ, φ)|2

(63)

Suku Interaksi dan Pendekatan Hartree

Perhitungan integral padaNe: bagi dua daerah

r  r r dalam luar (a) (b)

(a) Kulit muatan berjarakrdari pusat.

(b) Ruang bola dibagi menjadi dua daerah, dalam dan luar. Kontribusi pada potensial SCF:

Uscf(r) = Z−1 Z e2 4π0r Z r 0 σ(r0)dr0+ e 2 4π0 Z ∞ r σ(r0)dr0 r0

(64)

Suku Interaksi dan Pendekatan Hartree

Perhitungan integral padaNe: bagi dua daerah

r  r r dalam luar (a) (b)

(a) Kulit muatan berjarakrdari pusat.

(b) Ruang bola dibagi menjadi dua daerah, dalam dan luar. Kontribusi pada potensial SCF:

Uscf(r) = Z−1 Z e2 4π₀r Z r 0 σ(r0)dr0+ e 2 4π₀ Z ∞ r σ(r0)dr0 r0

(65)

Suku Interaksi dan Pendekatan Hartree

Uscf

Tebak (misalnya nol)

Pecahkan persamaan Schrödinger: dapatkan nilai eigen dan fungsi eigen

nr Hitung kerapatan HitungUscfpendekatan Hartree Periksa Konvergensi Belum Konvergen Sudah Konvergen AWAL AKHIR

(66)

Terapan SCF pada Helium

(67)

Terapan SCF pada Helium

Distribusi probabilitas radial untuk keadaan 1s atom helium dan hidrogen. Energi eigen numerik untuk helium:E=24,73 eV

(68)

Sistematika

1 Pendahuluan

(69)

Ikatan Ionik

Pedoman konfigurasi elektron:

→Pers. Schr ¨odinger dan Prinsip larangan Pauli

Ikatan ionikbiasanya dibentuk antara atom pada bagian kiri tabel periodik (misalnya Na) dengan atom pada bagian kanan tabel periodik (misalnya Cl)−→elektronegativitas ekstrem.

Konfigurasi NaCl:

Elektron valensi pada atom Na: 3s, energi−5 eV. Elektron valensi pada atom Cl: 3s (energi−29,2 eV) dan 3p (energi−13,8 eV) Elektron atom Na memiliki energi lebih tinggi

−→“turun tingkat” dalam proses pembentukan ikatan. Hasilnya: Keadaan 3s atom Na tidak terisi elektron.

(70)

Ikatan Ionik

Konfigurasi NaCl:

(71)

Ikatan Ionik

Konfigurasi NaCl:

(72)

Ikatan Ionik

Konfigurasi NaCl:

(73)

Ikatan Kovalen Gas Hidrogen

Argumen “penurunan tingkat” tidak berlaku untuk molekul dengan atom penyusun yang elektronegatifnya sama. −→menghasilkanikatan kovalen.

(74)

Ikatan Kovalen Gas Hidrogen

(75)

Ikatan Kovalen Gas Hidrogen

Contoh: H2. Pembentukan molekul H2. H H E0=−13,6 eV 1s 1s H H E0 E0 EB EA

(76)

Sistematika

1 Pendahuluan

(77)

Formalisme

Persamaan Schr ¨odinger tak bergantung waktu, dalam bentuk persamaan nilai eigen:

ˆ

HΦα=EαΦα

Fungsi gelombangΦαdapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dari himpunanfungsi basis{um}:

Φα(~r) = M

X

m=1

cmum(~r)

atau dalam matriks:Φ(~r)→ {c1 c2 . . . .cM}T

Pemilihan basis yang tepat dapat mereduksi ukuran matriks Hamiltonian[H]dan waktu komputasi secara signifikan.

(78)

Formalisme

ˆ

HΦα=EαΦα

Fungsi gelombangΦαdapat dinyatakan sebagai kombinasi linear

dari himpunanfungsi basis{um}:

Φα(~r) =

M X

m=1

cmum(~r)

(79)

Formalisme

ˆ

HΦα=EαΦα

Fungsi gelombangΦαdapat dinyatakan sebagai kombinasi linear

dari himpunanfungsi basis{um}:

Φα(~r) =

M X

m=1

cmum(~r)

(80)

Formalisme

Substitusikan ekspansiΦαke dalam persamaan Schr ¨odinger: ˆ HX m cmum(~r) =E X m cmum(~r)

Kalikan denganu∗_n(~r)dan integrasi kedua ruas untuk seluruhr: Z u∗n(~r) " ˆ HX m cmum(~r) # d~r= Z u∗n(~r) " EX m cmum(~r) # d~r X m Hnmcm=E X m Snmcm dengan Z u∗n(~r) ˆHum(~r)d~r=Hnm, Z u∗n(~r)um(~r)d~r=Snm.

I _{Persamaan Schr ¨odinger matriks} dalam fungsi basis:

(81)

Formalisme

Kalikan denganu∗_n(~r)dan integrasi kedua ruas untuk seluruhr:

Z u∗n(~r) " ˆ HX m cmum(~r) # d~r= Z u∗n(~r) " EX m cmum(~r) # d~r X m Hnmcm=E X m Snmcm dengan Z u∗n(~r) ˆHum(~r)d~r=Hnm, Z u∗n(~r)um(~r)d~r=Snm.

I _{Persamaan Schr ¨odinger matriks}

dalam fungsi basis:

(82)

Formalisme

Kalikan denganu∗_n(~r)dan integrasi kedua ruas untuk seluruhr:

Z u∗n(~r) " ˆ HX m cmum(~r) # d~r= Z u∗n(~r) " EX m cmum(~r) # d~r X m Hnmcm=E X m Snmcm dengan Z u∗n(~r) ˆHum(~r)d~r=Hnm, Z u∗n(~r)um(~r)d~r=Snm.

I _{Persamaan Schr ¨odinger matriks} dalam fungsi basis:

(83)

Aplikasi pada H

2

+

R

UN UN '

uNr uN 'r

Pemilihan fungsi basis untuk molekul hidrogen. Ditunjukkan pula sketsa potensial akibat dua inti positif.

(84)

Aplikasi pada H

2

Kerapatan elektron di sumbu yang menghubungkan dua atom hidrogen dalam molekul.

(85)

Energi Ikat Gas Hidrogen

Beberapa energi yang terlibat dalam pembentukan molekul gas hidrogen. Energi ikat sebuah molekul H2diestimasi dari

(86)

Sistematika

1 Pendahuluan

(87)

Alur Perhitungan

(88)

Alur Perhitungan

(89)

Alur Perhitungan

(90)

Alur Perhitungan

Beda Hingga :: Self-Consistent Field :: Pemilihan Fungsi Basis

Objek yang diamati:

(91)

Prinsip Dasar: Rantai Atomik 1D

Pemodelan zat padat:periodisitas fungsi gelombang

Rantai atomik satu dimensi dengan satu atom per titik kisi: Jika irisan fungsi gelombang antaratom diabaikan:

H=diag(E0 E0 . . . E0).

Jika atom-atom dibawa saling mendekat dan terjadi irisan

antaratom, maka tetangga terdekat dari elemen diagonal matriks Hamiltonian tidak lagi bernilai nol.

(92)

Prinsip Dasar: Rantai Atomik 1D

Rantai atomik satu dimensi dengan satu atom per titik kisi:

...

1 2 3 N−1 N

...

Jika irisan fungsi gelombang antaratom diabaikan: H=diag(E0 E0 . . . E0).

(93)

Prinsip Dasar: Rantai Atomik 1D

...

1 2 3 N−1 N

...

Jika irisan fungsi gelombang antaratom diabaikan:

H=diag(E0 E0 . . . E0).

(94)

Prinsip Dasar: Rantai Atomik 1D

...

1 2 3 N−1 N

...

Jika irisan fungsi gelombang antaratom diabaikan:

H=diag(E0 E0 . . . E0).

(95)

Prinsip Dasar: Rantai Atomik 1D

Irisan dua fungsi gelombang yang bertetangga pada rantai atomik:

...

fungsi gelombang beririsan 1s 1s Matriks Hamiltonian: H=          E0 Ess 0 0 0 Ess E0 Ess 0 0 0 Ess E0 . .. 0 0 0 . .. ... Ess 0 0 0 Ess E0         

(96)

Prinsip Dasar: Rantai Atomik 1D

Irisan dua fungsi gelombang yang bertetangga pada rantai atomik:

...

fungsi gelombang beririsan 1s 1s Matriks Hamiltonian: H=          E0 Ess 0 0 0 Ess E0 Ess 0 0 0 Ess E0 . .. 0 0 0 . .. ... Ess 0 0 0 Ess E0         

(97)

Prinsip Dasar: Rantai Atomik 1D

Ditambah syarat periodisitas:

E             ψ1 ψ2 .. . ψn .. . ψ_N             =              E0 Ess 0 0 0 Ess Ess E0 . .. 0 Ess 0 0 . .. ... Ess 0 0 0 0 Ess . .. ... 0 0 Ess 0 . .. E0 Ess Ess 0 0 0 Ess E0                          ψ1 ψ2 .. . ψn .. . ψ_N            

Untuk setiap baris matriks berlaku:

(98)

Prinsip Dasar: Rantai Atomik 1D

Ditambah syarat periodisitas:

E             ψ1 ψ2 .. . ψn .. . ψ_N             =              E0 Ess 0 0 0 Ess Ess E0 . .. 0 Ess 0 0 . .. ... Ess 0 0 0 0 Ess . .. ... 0 0 Ess 0 . .. E0 Ess Ess 0 0 0 Ess E0                          ψ1 ψ2 .. . ψn .. . ψ_N            

Untuk setiap baris matriks berlaku:

(99)

Solusi Rantai 1D

Tebak:ψn=ψ0einφ, sehingga E=Ess ψn−1 ψn +E0+Ess ψn+1 ψn =Esse−iφ+E0+Esse+iφ =E0+2Esscosφ.

Beri batasanE→terkait dengan jumlah nilai eigen yang berhingga,tidak kontinu.

Batasi rentangφdan diskretisasi nilainya:

ψn=ψ0ein(φ+2π)=ψ0einφ; ψn+1=ψ0ein(N+1)φ=ψ1

eiNφ₌

1⇒Nφ=2πα⇒φ=α2π

N Jika jarak antartitik kisia, maka:

φα=kαa=α

2π

(100)

Solusi Rantai 1D

ψn=ψ0ein(φ+2π)=ψ0einφ; ψn+1=ψ0ein(N+1)φ=ψ1

eiNφ₌

N Jika jarak antartitik kisia, maka:

φα=kαa=α

2π

(101)

Solusi Rantai 1D

ψn=ψ0ein(φ+2π)=ψ0einφ; ψn+1=ψ0ein(N+1)φ=ψ1 eiNφ₌

N

Jika jarak antartitik kisia, maka:

φα=kαa=α

2π

(102)

Solusi Rantai 1D

ψn=ψ0ein(φ+2π)=ψ0einφ; ψn+1=ψ0ein(N+1)φ=ψ1 eiNφ₌

N

Jika jarak antartitik kisia, maka:

φα=kαa=α

2π

(103)

Struktur Dua Atom per Titik Kisi

Distorsi Peirl mengubah bentuk 1 atom (orbital) per titik kisi menjadi 2 atom (orbital) per titik kisi.

...

1 1' 2 2' 3 3' NN' Pers. matriks: E          ψ1 ψ₁0 .. . ψN ψ_N0          =          E0 Ess E0ss Ess E0 E0ss E0_ss E0 . .. . .. ... E0_ss                   ψ1 ψ₁0 .. . ψN ψ_N0         

(104)

Struktur Dua Atom per Titik Kisi

Distorsi Peirl mengubah bentuk 1 atom (orbital) per titik kisi menjadi 2 atom (orbital) per titik kisi.

...

1 1' 2 2' 3 3' NN' Pers. matriks: E          ψ1 ψ₁0 .. . ψN ψ_N0          =          E0 Ess E0ss Ess E0 E0ss E0_ss E0 . .. . .. ... E0_ss                   ψ1 ψ₁0 .. . ψN ψ_N0         

(105)

Struktur Dua Atom per Titik Kisi

Triks solusi{φ_n}= ( ψn ψ_n0 ) E       φ1 φ2 .. . φN       =        H11 H12 H21 H22 H23 H32 H33 . .. . .. ...              φ1 φ2 .. . φN       dengan Hnm= " E0 Ess Ess E0 # , Hn,n+1 = " 0 0 E0_ss 0 # , Hn,n−1= " 0 Ess 0 0 #

(106)

Solusi Dua Orbital Rantai Atom

Untuk setiap baris persamaan matriks, dapat dituliskan

Eφn=Hnnφn+Hn,n−1φn−1+Hn,n+1φn+1

Tebak solusi:φn=φ0eikna

Substitusikan:

Eφ0=Hnnφ0+Hn,n−1e−ikaφ0+Hn,n+1eikaφ0,

menghasilkan E{φ₀}= " E0 Ess+E0sse−ika Ess+E0sseika E0 # {φ₀}.

(107)

Solusi Dua Orbital Rantai Atom

Substitusikan:

Eφ0=Hnnφ0+Hn,n−1e−ikaφ0+Hn,n+1eikaφ0,

menghasilkan E{φ₀}= " E0 Ess+E0sse−ika Ess+E0sseika E0 # {φ₀}.

(108)

Solusi Dua Orbital Rantai Atom

Substitusikan: Eφ₀=Hnnφ0+Hn,n−1e−ikaφ0+Hn,n+1eikaφ0, menghasilkan E{φ₀}= " E0 Ess+E0sse−ika Ess+E0sseika E0 # {φ₀}.

(109)

Solusi Dua Orbital Rantai Atom

Tentukan nilai eigen: E0−E Ess+E0sse−ika Ess+E0sseika E0 =0 Hasilnya: E=E0± q E2 ss+E0ss2+2EssE0sscos(ka)

Muncul dua cabang kurva yang berkaitan dengan jumlah basis (orbital atom) yang dipilih per titik kisi.

(110)

Solusi Dua Orbital Rantai Atom

(111)

Solusi Dua Orbital Rantai Atom

(112)

Hubungan Dispersi

Hubungan dispersi untuk rantai atomik satu dimensi dengan dua atom per titik kisi.

(113)

Generalisasi Prosedur

Prosedur perhitungan struktur energi untuk rantai atomik dapat diperluas untuk sembarang zat padat periodik dengan sembarang jumlah fungsi basis per titik kisi (atau sel satuan)

Tinjau sebuah sel satuannyang terkait dengan sel satuan tetangganyamoleh matriks[Hnm]berukuran(b×b), denganb adalah jumlah fungsi basis per sel satuan:

X

m

[Hnm]{φm}=E{φn}

Tebakan solusi:{φ_m}={φ₀}ei~k·~rm _sehingga

E{φ0}= [h(~k)]{φ0}; [h(~k)] =

X

m

[Hnm]ei

(114)

Generalisasi Prosedur

Tinjau sebuah sel satuannyang terkait dengan sel satuan tetangganyamoleh matriks[Hnm]berukuran(b×b), denganb

adalah jumlah fungsi basis per sel satuan:

X

m

[Hnm]{φm}=E{φn}

Tebakan solusi:{φ_m}={φ₀}ei~k·~rm _sehingga

E{φ0}= [h(~k)]{φ0}; [h(~k)] =

X

m

[Hnm]ei

(115)

Generalisasi Prosedur

Tinjau sebuah sel satuannyang terkait dengan sel satuan tetangganyamoleh matriks[Hnm]berukuran(b×b), denganb

adalah jumlah fungsi basis per sel satuan:

X

m

[Hnm]{φm}=E{φn}

Tebakan solusi:{φ_m}={φ₀}ei~k·~rm sehingga

E{φ0}= [h(~k)]{φ0}; [h(~k)] =

X

m

(116)

Geometri Graphene

a0 sel satuan y x

Sketsa graphene: sel satuan dipilih terdiri dari dua atom karbon.

~ R=m~a1+n~a2 ~a1=aˆx+bˆy ~a2=aˆx−bˆy a= 3a0 2 dan b= √ 3a0 2 .

(117)

Geometri Graphene

Kisi nyata dan kisi resiprok graphene.

 a₁  a₂ a , b a ,−b  b1  b2 0, 2 /3b  /a ,/3b − /a ,− /3b

Vektor kisi resiprok

~ K=M~b1+N~b2 ~_b 1= 2π(~a2×ˆz) ~a1·(~a2×ˆz = π aˆx+ π bˆy; ~_b 2 = 2 π(ˆz×~a1) ~a2·(ˆz×~a1) = π aˆx− π bˆy.

(118)

Perhitungan Dispersi Graphene

Ukuran matriks[h(~k)]bergantung pada jumlah fungsi basis per sel satuan.

Cukup gunakan orbital p_zuntuk graphene ini:

[h(~k)] = " E0 −t −t E0 # + " 0 −tei~k·~a1 0 0 # + " 0 −tei~k·~a2 0 0 # + " 0 0 −te−i~k·~a1 ₀ # + " 0 0 −te−i~k·~a2 ₀ # [h(~k)] = " E0 h0 h∗₀ E0 # denganh0=−t(1+ei ~_k_·_~_a 1 ₊_ei~k·~a2_{) =}₋_t₍₁₊_2eikxa_cos₍_k yb).

(119)

Perhitungan Dispersi Graphene

[h(~k)] = " E0 −t −t E0 # + " 0 −tei~k·~a1 0 0 # + " 0 −tei~k·~a2 0 0 # + " 0 0 −te−i~k·~a1 ₀ # + " 0 0 −te−i~k·~a2 ₀ # [h(~k)] = " E0 h0 h∗₀ E0 # denganh0=−t(1+ei ~_k_·_~_a 1 ₊_ei~k·~a2_{) =}₋_t₍₁₊_2eikxa_cos₍_k yb).

(120)

Perhitungan Dispersi Graphene

[h(~k)] = " E0 −t −t E0 # + " 0 −tei~k·~a1 0 0 # + " 0 −tei~k·~a2 0 0 # + " 0 0 −te−i~k·~a1 ₀ # + " 0 0 −te−i~k·~a2 ₀ # [h(~k)] = " E0 h0 h∗₀ E0 # denganh0=−t(1+ei ~_k_·_~_a 1 ₊_ei~k·~a2_{) =}₋_t₍₁₊₂_eikxa_cos(_k yb).

(121)

Kurva Dispersi (

Surface

) untuk Graphene

E=E0± |h0|=E0±t

1+4 cos2(kyb) +4 cos(kxa)cos(kyb)

1/2 k_ya₀ k_xa₀ E t −4 −2 0 2 4 −4 −2 0 2 4 0 1 2 3 −1 −2 −3

(122)

Semikonduktor Zat Padat

a

x y

Penampang dua dimensi dari kisi fcc. Setiap titik ditempati oleh satu macam atom. Dua kisi yang sama kemudian dapat membentuk struktur intan jika dipisahkan oleh seperempat jarak diagonal ruang.

(123)

Galium Arsenida

−→StrukturZincblende

(124)

Galium Arsenida

PlotE(~k)galium arsenida untuk setiap nilai~kdalam rentangΓ−XdanΓ−L. DaerahΓ−Xterbentang pada~k=0→ 2π

aˆx(digambarkan di sumbu

horizontal positif), sedangkanΓ−Lpada~k=0→ π

a(ˆx+ ˆy+ ˆz)(sumbu

(125)

Quantum Well, Wire, dan Dot

Quantum well Quantum wire Quantum dot Zat padat biasa

StrukturBulk: Aproksimasi parabolik,

E(~k)≈Ec+

~2(k2x+k2y+k2z)

2m∗

Quantum well:kz = nz_Lzπ (nzbilangan bulat)

Enz(kx,ky)≈Ec+n2zz+ ~2(k2x+k2y) 2m∗ z = ~ 2_π2 2m∗_L2 z

(126)

Quantum Well, Wire, dan Dot

Quantum wire: Eny,nz(kx)≈Ec+n2yy+n2zz+~ 2_k2 x 2m∗ y = ~ 2_π2 2m∗_L2 y Quantum dot: Enx,ny,nz ≈Ec+~ 2_π2 2m∗ n2_x L2 x + n 2 y L2 y +n 2 z L2 z !

(127)

Ketersediaan Keadaan Energi pada Graphene

Carbon Nanotube−→penggulungan graphene

k_ya₀ kxa0 E t −4 −2 0 2 4 −4 −2 0 2 4 0 1 2 3 −1 −2 −3

(128)

Konduksi Graphene untuk CNT

Titik-titik denganE=0 pada bidangkx−ky: (h0 =0)

(kxa,kyb) = (0,−2π/3), (−π,+π/3), (+π,+π/3) (kxa,kyb) = (0,+2π/3), (−π,−π/3), (+π,−π/3) kx ky kx ky

Translasi titik zona Brillouin pada graphene yang berperan dalam konduksi: (k a,k b) = (0,±2π/3)

(129)

Vektor Chiral dan Periodisitas

Begitu graphene digulung menjadi CNT, nilai-nilaikyang diizinkan akan tergantung pada syarat periodik di bagian kelilingnya.

Definisikan vektor keliling (chiral):

~c_h=m~a1+n~a2=a(m+n)ˆx+b(m−n)ˆy

Syarat batas periodik yang berlaku adalah

~_k_·_~_c

(130)

Konsep Subpita Energi

k_x ky 0,−2/3b 0,2/3b kontur energi (konstan) kc∣ ch∣=2 

Garis-garis sejajar sebagai subpita pada CNT.

−→Kurva dispersi energi dapat digambarkan terhadapkxaataukyb

(131)

Kurva Dispersi CNT

Aproksimasi kurva dispersi energi untuk CNT sebagai fungsikyb

(132)

Kurva Dispersi CNT

Dua subpita terendah pada zigzag-CNT denganm=45. Tidak adanya celah energi menunjukkan sifat yang seperti logam.

(133)

Kurva Dispersi CNT

Dua subpita terendah pada zigzag-CNT denganm=44. Keberadaan celah energi menunjukkan sifatnya yang semikonduktorEg=0,25 eV.

(134)

Sistematika

1 Pendahuluan

(135)

Simpulan

Struktur elektronik, atom, molekul, dan khususnya nanomaterial, telah diturunkan secara analitik disertai visualisasi numerik. Banyak sifat menarik yang dapat diketahui dari suatu material apabila rumusan struktur elektronik, yakni hubungan dispersi, dijabarkan secara lengkap.

Beberapa aproksimasi yang digunakan dalam metode ikatan terkuat dengan memecahkan matriks Hamiltonian menunjukkan hasil yang cukup baik sesuai eksperimen.

Pilihan fungsi basis yang tepat akan sangat membantu dalam kemudahan dan kecepatan perhitungan.

(136)

Simpulan

(137)

Simpulan

(138)

Simpulan

(139)

In the end...

“We haveno rightto assume that anyphysical lawsexist or if they have existed up to now, that they will continue to exist in asimilar mannerin

the future”