• Tidak ada hasil yang ditemukan

Penerapan Metode Branch and Bound dalam Menentukan Jumlah Produksi Optimum pada CV. Keris Sakti

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2017

Membagikan "Penerapan Metode Branch and Bound dalam Menentukan Jumlah Produksi Optimum pada CV. Keris Sakti"

Copied!
11
0
0

Teks penuh

(1)

BAB 3

METODE PENELITIAN

Pada bab ini, akan dijelaskan metode-metode yang penulis gunakan dalam

penelitian ini. Adapun metode yang akan digunakan dalam penelitian ini adalah

Metode Simpleks dan Metode Branch and Bound.

3.1. Metode Simpleks

Metode simpleks adalah prosedur pemecahan program linier yang lebih efisien

daripada metode grafik. Meskipun problem program linier dapat diselesaikan

secara grafik, akan tetapi hampir seluruh problem program linier sesungguhnya

tidak dapat diselesaikan dengan cara ini, karena pada umumnya program linier

mempunyai lebih dari 3 variabel.

Oleh karena itu, George Dantzig pada tahun 1947 mengajukan satu

metode yang paling berhasil untuk meyelesaikan problem program linier yang

disebut Metode Simpleks.

Secara umum, bentuk umum dari program linier dapat dimodelkan sebagai

berikut.

Maksimumkan: z = c1x1 + c2x2 + … + cnxn Kendala :

(2)

xn ≥ 0, n = 1, 2, 3, …

Minimumkan : z = c1x1 + c2x2+ … + cnxn Kendala :

xn ≥ 0, n = 1, 2, 3, …

Prosedur (tahap proses) untuk menyelesaikan program linier dengan

menggunakan metode simpleks adalah sebagai berikut:

Tahap 1. Merumuskan problema ke dalam model simpleks.

Tahap 2. Menyusun tabel simpleks iterasi awal.

Tahap 3. Mengecek nilai optimal tabel simpleks dengan cara sebagai berikut:

a. Kalau sudah optimal, tafsirkan hasil penyelesaian.

b. Kalau belum optimal, teruskan penyelesaian pada tahap berikutnya.

Tahap 4. Mengidentifikasi variabel yang akan masuk dalam tabel.

Tahap 5. Mengidentifikasi variabel yang akan dikeluarkan dalam tabel.

Tahap 6. Menyusun tabel simpleks baru.

Tahap 7. Mengecek nilai optimal tabel simpleks baru tersebut:

a. Kalau sudah optimal, tafsirkan hasil penyelesaian.

b. Kalau belum optimal, kembali kepada prosedur tahap 4.

Tahap 1. Perumusan Model Simpleks

Untuk menyusun rumusan program linier ke dalam model matematika simpleks,

kita harus mengubah bentuk tanda ketidaksamaan kendala ke dalam bentuk tanda

(3)

memenuhi persyaratan yang dikehendaki pada persamaan kendala tersebut).

Bentuk ini biasanya dikatakan sebagai bentuk standar, sehingga bentuk standarnya

dapat dirumuskan sebagai berikut: (Asumsikan untuk permasalahan maksimasi).

Maksimumkan: z = c1x1 + c2x2 + … + cnxn Kendala :

xn ≥ 0, n = 1, 2, 3, …

si ≥ 0, i = 1, 2, 3, …

Pada permasalahan dalam penelitian ini, tanda ketidaksamaan kendala

adalah lebih kecil atau sama dengan (≤), diubah menjadi tanda sama dengan (=)

dengan syarat menambah variabel slack pada sisi bagian kiri persamaan kendala.

Mengapa harus ditambah dengan variabel slack? Jawabannya ialah agar

persamaan garis kendala memenuhi persyaratan penyelesaian pada daerah

kelayakan.

Tahap 2. Menyusun Tabel Simpleks

Ada beberapa macam format tabel simpleks dewasa ini. Salah satu format yang

(4)

Tabel 3.1. Format Tabel Simpleks

Basis / C … … … B

x1 x2 … … xn s1 s2 … … sn

Zj - Cj

Penjelasan tabel simplek di atas:

1. C = Nilai kontribusi setiap variabel basis dalam proses iterasi.

2. Basis = Variabel basis dalam proses iterasi (nilainya tidak sama dengan nol).

3. B = Nilai variabel basis dalam proses iterasi.

4. Cj – Zj = Nilai kontribusi dalam problema meminimalkan dari setiap variabel

dalam proses iterasi.

Tahap 3. Pengecekan Optimalisasi Tabel Simpleks Iterasi Awal

Pengecekan apakah tabel simplek pada iterasi awal telah atau belum optimal

dilakukan dengan cara melihat nilai Zj - Cj masing-masing variabel fungsi tujuan.

Apabila Zj - Cj untuk semua variabel bernilai nol atau positif, maka penyelesaian

problema tersebut telah optimal. Apabila tidak, maka dilakukan tahap proses

selanjutnya.

Tahap 4. Identifikasi Variabel yang Akan Masuk (Incoming Variable)

Untuk menentukan variabel yang mana akan masuk dalam pertimbangan untuk

diproses pada iterasi berikutnya adalah variabel keputusan (variabel non-basis)

(5)

nonbasis ini memiliki nilai terbesar yang dapat ditingkatkan dalam proses iterasi

selanjutnya.

Tahap 5. Identifikasi Variabel yang Akan Keluar (Outgoing Variable)

Dengan adanya variabel yang masuk kedalam tabel simpleks, maka salah satu dari

variabel basis harus keluar dari tabel simpleks tersebut agar diperoleh peningkatan

nilai tujuan maksimum. Cara mengidentifikasi variabel yang akan keluar adalah

dengan mencari hasil bagi antara nilai solusi dan nilai substitusi marjinal yang

terkecil dan bilangan tersebut bernilai non-negatif.

Tahap 6. Penyusunan Tabel Simpleks Iterasi Pertama

Untuk menyusun tabel simpleks iterasi pertama, kita harus mencari koefisien

elemen pivot dari tabel simpleks sebelumnya. Koefisien elemen pivot dapat dicari

dengan cara menghubungkan kolom pivot dengan baris pivot sedemikian rupa

sehingga titik potong kedua pivot ini menunjukkan koefisien, yang disebut elemen

pivot.

Koefisien-koefisien baris pivot yang baru dicari dengan menggunakan

rumus sebagai berikut:

Nilai Baris Pivot Baru = Nilai Baris Pivot Lama : Elemen Pivot

Untuk menghitung nilai baris baru lainnya, dilakukan dengan

menggunakan rumus sebagai berikut:

(6)

Tahap 7. Pengecekan Optimalisasi Tabel Simpleks Iterasi Pertama

Pengecekan apakah tabel simpleks pada iterasi pertama telah atau belum optimal.

Apabila Zj - Cj untuk semua variabel bernilai nol atau negatif, maka penyelesaian

problema tersebut telah optimal. Apabila tidak, maka kembali pada prosedur

Tahap 4.

3.2. Metode Branch and Bound

Metode Branch and Bound mula-mula dipakai dan dikembangkan oleh Land and

Doig (1960) untuk menyelesaikan program integer yang kemudian dimodifikasi

oleh Dakin (1965) dan telah dengan sukses menerapkannya di dalam kitab

undang-undang hukum dagang banyak orang dalam memecahkan persoalan

program integer (Sidabutar, 2008).

Metode ini telah menjadi kode komputer standar untuk program integer,

dan penerapan-penerapan dalam praktek tampaknya menyarankan bahwa metode

ini lebih efisien dibanding dengan pendekatan Gomory. Teknik ini dapat

diterapkan baik untuk masalah pure programming maupun mixed programming.

Secara umum, bentuk umum dari program integer adalah sebagai berikut.

Maksimumkan:

dengan kendala:

(7)

Dengan demikian, penjabaran bentuk umum dari fungsi tujuan dan fungsi

kendala program integer adalah sebagai berikut.

Asumsikan fungsi tujuan program integer adalah sebagai berikut.

Maksimumkan:

z = c1x1 + c2x2 + … + cnxn

maka,

( ) =

= ∑ ; j = 1, 2, …, n

Selanjutnya, asumsikan fungsi kendala program integer adalah sebagai berikut.

maka,

∑ ; i =1, 2, …, m

Langkah-langkah Metode Branch and Bound

(8)

Asumsikan suatu masalah program integer.

Maksimumkan

Kendala dimana S0 = {x | Ax = b, x ≥ 0, dan integer}.

Ide umum dari metode branch and bound adalah pertama untuk menyelesaikan problema sebagai model kontinu, yakni menyelesaikan program integer sebagai

program linier:

Maksimumkan

Kendala dimana T0 = {x | Ax = b, x ≥ 0}.

Andaikan bahwa xr merupakan peubah yang berkendala integer yang mempunyai

nilai optimum kontimu xr* yang pecahan. Hasil dari tidak

memuat solusi integer yang layak. Sebagai akibatnya nilai integer layak dari xr

harus memenuhi salah satu dari dua kondisi berikut yakni:

atau

Kedua kondisi ini bilamana diaplikasikan untuk model yang kontinu maka

hasilnya merupakan dua problema saling lepas (mutually exclusive) dengan

himpunan kendala sebagai berikut:

(i) { }

(ii) { }

dan bilamana kendala-kendala integernya dimasukkan, maka diperoleh himpunan:

S1 = {x|Ax = b, , x ≥ 0, dan integer} dan

S2 = {x|Ax = b, , x ≥ 0, dan integer}

Sebenarnya bentuk ini merupakan pemisahan dari S0, yakni ,

. Solusi optimal x* dari problema yang diberikan, harus berada di salah satu S1 atau S2 dan harus juga merupakan solusi optimal dari salah satu subproblema berikut:

(i) Maksimumkan z = c.x kendala

(9)

Subproblema-subproblema ini dapat lagi diselesaikan dengan mengulangi

proses yang sama dengan merelaksasi kendala integernya dan mencabangkan

kembali bila solusi optimal mempunyai komponen yang bernilai pecahan atau

tidak integer. Proses percabangan ini akan membangun pohon keputusan, dengan

setiap node k dari pohon keputusan tersebut berhubungan dengan sebuah subproblema: Maksimumkan z = c.x kendala . Jika solusi optimal yang berhubungan dengan program linier tersebut layak (memenuhi) atau mempunyai

komponen-komponen bulat, maka solusi ini dicatat dan nilai objektifnya

merupakan batas bawah untuk nilai optimum. Dalam kasus seperti ini tidak perlu

dilakukan percabangan lebih jauh lagi dari subproblema ini dan node yang

demikian difathom atau dipangkas. Node yang belum terfathom disimpan dalam

master list. Pada beberapa node, nilai optimal (nilai integer terbesar yang lebih

kecil atau sama dengan nilai optimum jika fungsi objektif mempunyai

koefisien-koefisien integer) ̅̅̅ dari program linier yang bersangkutan merupakan sebuah

batas atas untuk nilai optimum dari semua turunannya. Jika batas atas tersebut

lebih kecil dari batas bawah terbaik yang ada, maka subproblema ini tidak

dicabangkan lagi. Proses Branch and Bound diteruskan sampai setiap

subproblema berhenti karena salah satu dari dua alasan berikut, yakni

(i) Sebuah solusi integer, atau

(ii)Batas atas lebih kecil dari batas bawah yang ada sekarang (Bangun, 2004).

Berdasarkan uraian di atas, maka prosedur atau langkah-langkah metode

Branch and Bound untuk masalah maksimasi adalah sebagai berikut.

1. Selesaikan masalah program linier dengan metode simpleks.

2. Teliti solusi optimumnya. Apabila variabel keputusan yang diharapkan

merupakan bilangan integer, maka solusi optimum integer telah tercapai.

Apabila satu atau lebih variabel keputusan yang diharapkan ternyata bukan

(10)

3. Jadikan solusi pada penyelesaian langkah 1 menjadi batas atas dan untuk batas

bawahnya merupakan solusi yang variabel keputusannya telah diintegerkan

(rounded down).

4. Pilih variabel yang mempunyai nilai pecahan terbesar (artinya bilangan

desimal terbesar dari masing-masing variabel untuk dijadikan pencabangan ke

dalam sub-sub masalah). Tujuannya adalah untuk menghilangkan solusi yang

tidak memenuhi persyaratan integer dalam masalah itu. Pencabangan itu

dilakukan secara mutually exclusive untuk memenuhi persyaratan integer dengan jaminan tidak ada solusi fisibel (layak) yang diikutsertakan.

5. Untuk setiap sub-masalah, nilai optimum fungsi tujuan ditetapkan sebagai

batas atas. Solusi optimum yang diintegerkan menjadi batas bawah (solusi

yang sebelumnya tidak integer kemudian diintegerkan). Sub-sub masalah yang

memiliki batas atas kurang dari batas bawah yang ada, tidak diikutsertakan

pada analisa selanjutnya. Suatu solusi integer fisibel (layak) adalah sama baik

atau lebih baik dari batas atas untuk setiap sub masalah yang dicari. Jika solusi

yang demikian terjadi, suatu sub masalah dengan batas atas terbaik dipilih

untuk dicabangkan. Kembali ke langkah 4 (Winston, 2004).

Perhitungan dalam Metode Branch and Bound

Satu kerugian dasar dari metode Branch and Bound adalah bahwa metode ini mengharuskan pemecahan program linier yang lengkap di setiap node. Dalam

masalah besar, hal ini dapat sangat memakan waktu, terutama ketika satu-satunya

informasi yang diperlukan di node tersebut adalah nilai tujuan optimumnya. Hal ini diperjelas dengan menyadari bahwa sebuah batas yang “baik” diperoleh, “banyak” node dapat disingkirkan dengan diketahui nilai tujuan optimum mereka.

Hal di atas mengarah pada pengembangan sebuah prosedur di mana kita

(11)

Gagasannya adalah “mengestimasi” sebuah batas atas (asumsikan masalah maksimasi) dari nilai tujuan optimum di setiap node. Jika batas atas ini menjadi

lebih kecil daripada nilai tujuan yang berkaitan dengan pemecahan integer terbaik

yang tersedia, node tersebut disingkirkan. Keuntungan utamanya adalah bahwa

batas atas tersebut dapat diestimasi dengan cepat dengan perhitungan minimal.

Gagasan umum ini mengestimasi penalti (yaitu, penurunan nilai tujuan) yang

dihasilkan dari pemberlakuan kondisi dan . Ini dapat

dicapai dengan menambahkan setiap batasan ini ke tabel optimum di node

tersebut.

Walaupun metode Branch and Bound memiliki kekurangan, dapat dikatakan bahwa sampai sekarang, ini adalah metode yang paling efektif dalam

memecahkan program-program integer dengan ukuran praktis. Pada kenyataannya,

semua program komersial yang tersedia didasari oleh metode Branch and Bound.

Tetapi, ini tidak berarti bahwa setiap program integer dapat dipecahkan dengan

Gambar

Tabel 3.1. Format Tabel Simpleks

Referensi

Dokumen terkait

pixel ruangan secara realtime yang ditampung kedalam variabel array kedua dan dijumlahkan nilainya. Nilai dari penjumlahan array kedua dapat berubah jika terdapat

mengumpulkan, mengolah data dan informasi, menginventarisasi permasalahan serta melaksanakan pemecahan permasalah yang berhubungan dengan tugas keprotokolan, pelayanan

Penilaian terhadap motivasi kerja dan nilai-nilai budaya perusahaan memiliki hubungan yang erat terhadap produktivitas kerja karyawan, karena dengan menerapkan suatu motivasi kerja

bentuk perubahan yang sistematis dengan menerapkan pengetahuan dan sumberdaya yang diperlukan organisasi untuk bergeser dari kondisi sekarang menuju kondisi yang

banyak anggota  suatu kumpulan  objek 4.1   Menyajikan  bilangan cacah  sampai dengan 99  yang bersesuaian  dengan banyak  anggota kumpulan  objek yang 

[r]

Uji hipotesis pada penelitian ini menggunakan analisis regresi linear sederhana yang dibantu dengan program komputer Statistical Package for Social Sciene (SPSS) 21.0 for

Drawing atau menggambar merupakan tahap awal dari proses produksi iklan layanan masyarakat ini, dalam menggambar penulis menggunakan 2 cara, yaitu menggambar