Fungsi Gelombang Dan Persamaan Schrodinger

Fungsi Gelombang dan Persamaan Schr¨

Fungsi Gelombang dan Persamaan Schr¨odinger

odinger

Hu

Huggh

h D

D.

. Y

Yooun

ung

g

Roogger

R

er A

A.

. F

Frree

eed

dma

man

n

3 Sya’ban 1433 Hijriyah/ 22 Juni 2012 M

3 Sya’ban 1433 Hijriyah/ 22 Juni 2012 M

Pengedit dan Penerjemah Pengedit dan Penerjemah Mochamad Nur Qomarudin Mochamad Nur Qomarudin Y

Yayayasan asan Masjidillah Masjidillah Indonesia, Indonesia, alfiyahibnalfiyahibnumalik@gmail.comumalik@gmail.com Pendahuluan sadasdasd

Pendahuluan sadasdasd Muqoddimah

Muqoddimah Pengantar

Pengantar Sebuah partikSebuah partikel seperti elektron tidak dapat dinyael seperti elektron tidak dapat dinyataktakan sebagai sebuahan sebagai sebuah titik tetapi kita menggunakan fungsi gelombang untuk menyatakan kedudukan sebuah titik tetapi kita menggunakan fungsi gelombang untuk menyatakan kedudukan sebuah partik

partikel. el. FFungsi gelombang untuk partikel memiliungsi gelombang untuk partikel memiliki kemiripan dengan ki kemiripan dengan fungsi gelom-fungsi gelom-bang transversal pada tali.

bang transversal pada tali.

Simbol yang telah umum digunakan untuk menyatakan fungsi gelombang sebuah Simbol yang telah umum digunakan untuk menyatakan fungsi gelombang sebuah partikel adalah Ψ atau

partikel adalah Ψ atau ψψ. . UmUmumnumnyaya, , Ψ Ψ adaladalah fungsi koordah fungsi koordinainat t ruanruang g dan waktdan waktu,u, sedangkan

sedangkan ψψ  adal  adalah fungsi koordinat ruang saja. ah fungsi koordinat ruang saja. FFungsi gelomungsi gelombang Ψ(bang Ψ(x,y,z,tx,y,z,t) dari) dari sebuah partikel memuat semua informasi yang dapat diketahui tentang partikel sebuah partikel memuat semua informasi yang dapat diketahui tentang partikel terse-but.

but.  Perhatian  Perhatian Fungsi gelombang untuk partikel bukanlah gelombang mekanik yang Fungsi gelombang untuk partikel bukanlah gelombang mekanik yang memb

membutuhkutuhkan an media media untuk merambat. untuk merambat. FFunugsunugsi i gelomgelombang bang mendeskmendeskripsikripsikan an partikpartikelel tetapi kita tidak dapat mendefinisikan fungsi tersebut sebagai media rambat tertentu. tetapi kita tidak dapat mendefinisikan fungsi tersebut sebagai media rambat tertentu. Kita hanya mampu menjelaskan bagaimana fungsi tersebut terkait dengan hasil Kita hanya mampu menjelaskan bagaimana fungsi tersebut terkait dengan hasil penga-matan.

matan.

1

1 Ma

Makn

kna

a F

Fun

ungs

gsi

i Ge

Gelo

lom

mba

bang

ng

Fungsi gelombang menjelaskan distribusi atau penyebaran sebuah partikel di dalam Fungsi gelombang menjelaskan distribusi atau penyebaran sebuah partikel di dalam ruang, sebagaimana fungsi gelombang untuk gelombang elektromagnetik menjelaskan ruang, sebagaimana fungsi gelombang untuk gelombang elektromagnetik menjelaskan distribusi medan listrik dan medan magnet. Menurut konsep tentang pola interferensi distribusi medan listrik dan medan magnet. Menurut konsep tentang pola interferensi dan difraksi, intensitas radiasi

dan difraksi, intensitas radiasi I I   pada setiap titik di dalam pola interferensi/difraksi  pada setiap titik di dalam pola interferensi/difraksi adalah berbanding lurus terhadap kuadrat magnitud medan listrik,

adalah berbanding lurus terhadap kuadrat magnitud medan listrik,E E 22. Dan menurut. Dan menurut konsep interferensi dan difraksi foton, intensitas pada setiap titik adalah berbanding konsep interferensi dan difraksi foton, intensitas pada setiap titik adalah berbanding lurus terhadap jumlah foton yang jatuh di sekitar titik tersebut atau, alternatif yang lurus terhadap jumlah foton yang jatuh di sekitar titik tersebut atau, alternatif yang

lain, terhadap probabilitias sebuah foton akan jatuh di sekitar titik tersebut. Dengan demikian, kuadrat magnitud medan listrik di setiap titik adalah berbanding lurus terhadap probabilitias teramatinya foton di sekitar titik tersebut.

Dengan cara yang sama, kuadrat fungsi gelombang dari satu partikel di setiap titik menginformasikan kepada kita tentang probabilitas teramatinya partikel di seki-tar titik tersebut. Tepatnya, lebih baik kita sebut kuadrat dari nilai mutlak dari fungsi gelombang,

 _|

Ψ

_|

2_{. Hal ini sangat penting karena Ψ dapat berupa fungsi kompleks yang} memiliki bagian real dan imajiner (Bagian imajiner dari fungsi adalah fungsi real dika-likan dengan bilangan imajiner i =

√ 

2

−

1.)

Untuk partikel yang bergerak dalam tiga dimensi, nilai

 _|

Ψ(x,y,z,t)

_|

2_{dV   adalah} probabilitas partikel akan ditemukan pada waktu t  di dalam volume dV   di sekitar titik (x,y,z ). Partikel sangat mungkin ditemukan di daerah dimana nilai

 _|

Ψ

_|

2 besar. Tafsiran ini pertama kali dibuat oleh fisikawan German Max Born dan menyatakan bahwa fungsi gelombang Ψ perlu dinormalisasi. Yaitu, integral dari

 _|

Ψ

_|

2dV  di seluruh ruang harus tepat sama dengan 1. Dengan kalimat lain, probabilitas bahwa partikel berada di suatu tempat di alam semesta mencapai 1 atau 100%.

Mengartikan

 _|

Ψ

_|

2 Ingat bahwa notasi

_|

Ψ(x,y,z,t)

_|

2 bukanlah probabilitas. Tetapi,

|

Ψ(x,y,z,t)

_|

2dV  adalah probabilitas partikel akan ditemukan di dalam volume dV  di sekitar titik (x,y,z ) pada waktu t. Apabila volume diperkecil, maka kemungkinan par-tikel akan ditemukan di dalam volume tersebut, semakin kecil, sehingga probabilitasnya berkurang. Istilah yang lebih tepat untuk

 _|

Ψ(x,y,z,t)

_|

2 _{adalah fungsi distribusi} prob-abilitas, karena fungsi ini menjelaskan bagaimana probabilitas ditemukannya partikel di beberapa lokasi terdistribusi di seluruh ruang.

2 Keadaan Stasioner

Pada umumnya, nilai

 _|

Ψ(x,y,z,t)

_|

2 di titik tertentu berubah terhadap waktu. Seba-gaimana sebuah elektron di dalam tabung televisi bergerak dari katoda menuju layar, tempat kemungkinan ditemukannya elektron berubah terhadap waktu. Tetapi apabila partikel berada dalam keadaan energi tertentu, seperti elektron di dalam atom yang berada pada tingkat energi tertentu, nilai

 _|

Ψ

_|

2 _{di setiap titik tidak lagi bergantung} pada waktu. Karena distribusi probabilitas partikel dalam keadaan demikian, tidak berubah terhadap waktu, keadaan dengan energi yang tertenut disebut ”keadaan sta-sioner”. Keadaan seperti ini sangat pengting untuk mekanika quantum. Contohnya, untuk setiap energi tertentu, keadaan stasioner di dalam sebuah atom hidrogen, memi-liki sebuah fungsi gelombang khusus.

pertanyaan ini, kita perlu menyimak hasil analisis mekanika kuantum berikut: Untuk partikel di dalam keadaan energi tertentu E , fungsi gelombang yang bergantung pada waktu Ψ(x,y,z,t) dapat dituliskan sebagai perkalian dari fungsi yang tidak bergantung pada waktu ψ(x,y,z ) dan fungsi eksponensial waktu:

Ψ(x,y,z,t) = ψ(x,y,z )e−iEt/  ₍₁₎ Fungsi eksponensial di dalam Persamaan (1) mewakili formula Euler, yang meny-atakan bahwa untuk setiap sudut θ,

eiθ = cosθ + isinθ dan e−iθ

= cosθ

₋

isinθ (2) Artinya, Persamaan (1) menunjukkanbahwa fungsi gelombang untuk keadaan sta-sioner adalah fungsi kompleks.

Sekarang, mari kita bahas fungsi distribusi probabilitas

_|

Ψ

_|

2 di Persamaan (1). Perhatikan,

 _|

Ψ

_|

2 adalah perkalian dari Ψ dan sekawan kompleksnya Ψ∗_{. Untuk} men-dapatkan sekawan kompleks dari sebuah bilangan kompleks, cukup gantikan i dengan

−

i. Misalnya, sekawan kompleks dari c = a+ib, yang mana a dan b adalah Real, ialah c∗ ₌ a

−

ib, sehingga

 _|

c

_|

2 _{= c}∗.c = (a + ib)(a

−

ib) = a2 _+ b2 _{(ingat bahwa i}2 ₌

 −

1). Sekawan kompleks dari Persamaan (1) adalah

Ψ∗ (x,y,z,t) = ψ∗ (x,y,z )e+iEt/  (3) Dengan demikian

|

Ψ(x,y,z,t)

_|

2 = Ψ∗ (x,y,z,t)Ψ(x,y,z,t) = ψ∗

(x,y,z )ψ(x,y,z )e+iEt/ e−iEt/  = ψ∗

(x,y,z )ψ(x,y,z )e0 =

_|

ψ(x,y,z )

_|

2 (4) Karena

 _|

ψ(x,y,z )

_|

2 _{tidak bergantung pada waktu, Persamaan (4) menunjukkan}

bahwa demikian juga dengan fungsi distribusi probabilitas

_|

Ψ(x,y,z,t)

_|

2. Hal ini men- jelaskan mengapa  keadaan stasioner  mewakili keadaan dengan energi yang tertentu.

3 Persamaan Schr¨

odinger

Kita telah mengetahui betapa pentingnya keadaan stasioner dalam menjelaskan sistem mekanika kuantum. Menurut Persamaan (4), untuk menjelaskan keadaan stasioner kita perlu mengetahui fungsi gelombang spasialnya ψ(x,y,z ) dan energinya E . Untuk mencari nilainya, kita gunakan teknik yang dikembangkan di tahun 1926 oleh fisikawan

Austria Erwin Schr¨odinger dan dikenal dengan persamaan Schr¨odinger. Persamaan Schr¨odinger berperan penting dalam mekanika kuantum sebagaimana hukum Newton di dalam mekanika dan persamaan Maxwell dalam elektromagnet. Pemahaman kita tentang semua sistem mekanika kuantum termasuk atom, molekul, inti atom, dan elektron di dalam zat padat adalah berdasarkan pada solusi persamaan ini untuk sistem tersebut.

Kita tidak dapat menurunkan persamaan Schr¨odinger dari prinsip-prinsip lain; dia merupakan prinsip baru dari dirinya sendiri. Tetapi kita dapat menunjukkan bagaimana dia terkait dengan de Broglie dengan relasi yang masuk akal.

Bentuk paling sederhana dari persamaan Schr¨odinger adalah untuk sebuah partikel bermassa m yang bergerak hanya dalam satu dimensi, sejajar terhadap sumbu x, se-hingga fungsi gelombang spasialnya ψ  hanyalah fungsi terhadap x. Kita asumsikan bahwa partikel ini bergerak di bawah pengaruh gaya konservatif yang hanya memiliki komponen x, sehingga terdapat energi potensial U (x). Persamaan Schr¨odinger untuk partikel ini dengan energi tertentu adalah

−

 

2

2m

d2ψ(x)

dx2 + U (x)ψ(x) = Eψ(x) (5)

Persamaan (5) adalah persamaan Schr¨odinger satu dimensi yang mana E   adalah konstanta. Bagaimana kita tahu bahwa persamaan ini benar? Karena dia bekerja. Prediksi yang dibuat dengan berlandaskan pada persamaan ini bersesuaian dengan hasil eksperimen.

4 Persamaan Gelombang untuk Partikel Bebas

Sebagai contoh, mari pelajari partikel bebas yang tidak dipengaruhi gaya sama sekali. Apabila tidak ada gaya, U (x) tidak bergantung pada x; agar lebih mudah kita pilih

U (x) = 0. Jika partikel bebas ini bergerak dalam arah +x dengan magnitud momen-tum sebesar p, maka energi kinetiknya (dan juga energi totalnya) adalah E = p2_/2m.

Partikel yang demikian ini adalah dalam keadaan energi tertentu (keadaan stasioner). Dari persamaan de Broglie, partikel ini memiliki panjang gelombang tertentu yaitu

λ = h/p  dan frekuensi yang tertentu pula f  = E/h. Dengan mengambil konsep gelombang berjalan mekanik sebagai ibarat, kita dapat menuliskan fungsi gelombang untuk partikel ini dengan

Ψ(x, t) = Acos(kx

₋

ωt) + B sin(kx

₋

ωt) (6)

yang mana A dan B  adalah konstanta. Sebagaimana gelombang mekanik, kita tetapkan k = 2π/λ  dan frekuensi sudut ω = 2πf   untuk Persamaan (6). Keduanya

terkait dengan momentum dan energi dengan hubungan k = 2π λ = 2π h h λ = p   dan ω = 2πf = 2π h hf = E    (7)

Fungsi gelombang di Persamaan (6) tidak nampak mewakili partikel dalam keadaan stasioner sebagaimana dalam Persamaan (1). Kita dapat mengubahnya menjadi ben-tuk berikut, jika kita nyatakan B = iA, sehingga

Ψ(x, t) = Acos(kx

₋

ωt) + iAsin(kx

₋

ωt) = A[cos(kx

₋

ωt) + isin(kx

₋

ωt)] = Aei(kx−ωt)

= Aeikxe−iωt

(8) Dalam Persamaan (8) kita sekali lagi menggunakan kaidah Euler, yang menyatakan bahwa untuk setiap sudut θ,

eiθ = cosθ + isinθ dan e−iθ

= cosθ

₋

isinθ (9)

Dengan membandingkan Persamaan (8) dan Persamaan (1), kita lihat bahwa fungsi gelombang kita sebenarnya mewakili keadaan stasioner dengan energi E  =  _{ω dan}

fungsi gelombang spasial ψ(x) = Aeikx_{. Gambar 4 menampilkan bagian real dan} imajiner dari fungsi ini.

Gambar 1: Fungsi gelombang spasial ψ(x) = Aeikx _{untuk partikel bebas dengan} mo-mentum tertentu p =  _{k  merupakan fungsi kompleks; dia memiliki bagian real dan}

bagian imajiner.

Jika kita subtitusikan ψ(x) = Aeikx _{ke ruas kiri persamaan Schr¨odinger, Persamaan} (5), kita dapatkan

−

  2 2m d2(Aeikx) dx2 + (0)(Ae ikx_{) =}

−

  2 2m(ik) 2_Aeikx ₌  2k2 2m Ae ikx = p 2 2mψ(x) (10)

(Turunan ke dua dari eax_{, yang mana A adalah konstanta, ialah a}2_eax_{.) Ruas kanan}

Persamaan (5) adalah Eψ(x). Sehingga,

 p2

2mψ(x) = Eψ(x) yang mana E = p2

2m   (11)

Bersasarkan Persamaan (11), kita simpulkan bahwa fungsi gelombang sebuah par-tikel bebas di Persamaan (8) memenuhi persamaan Schr¨odinger.

Apabila k di Persamaan (8) bernilai positif, artinya fungsi gelombang mewakili satu partikel bebas yang bergerak dalam arah x positif. Jika k negatif, maka momentum dan arah geraknya dalam arah x  negatif. (Dengan nilai k  negatif, panjang gelombangnya adalah λ = 2π/

_|

k

_|

.)

Untuk satu partikel bebas (U (x) = 0), tidak ada batas bagi nilai p dan demikian pula dengan nilai energi E = p2/2m. Jika U (x) tidak konstan, maka solusi persamaan Schr¨odinger hanya mungkin didapat dengan nilai-nilai E  tertentu. Nilai-nilai tersebut mewakili tingkat energi yang diijinkan di dalam sistem. Penemuan ini sangat penting. Sebelum persamaan Schr¨odinger ditemukan, tidak ada cara untuk memprediksi tingkat energi selain model Bohr, yang mana tingkat keberhasilannya sangat terbatas.

Terdapat juga versi persamaan Schr¨odinger yang melibatkan kebergantungan ter-hadap waktu. Konsekuensinya, perlu dikaji tentang keadaan yang  tidak   stasioner dan juga fungsi distribusi probabilitas

_|

Ψ(x,y,z,t)

_|

2 _{yang bergantung pada waktu.}

Tetapi, kita tidak membutuhkan versi tersebut untuk menghitung fungsi gelombang dan tingkat energi dalam keadaan stasioner. Apabila kita membutuhkan fungsi gelom-bang yang bergantung waktu untuk keadaan stasioner dengan tingkat energiE , kita cukup gunakan Persamaan (5). Persamaan Schr¨odinger yang bergantung waktu san-gat berguna untuk mempelajari transisi  antarkeadaan secara detil. Untuk kajian lebih lanjut Anda dapat mempelajari mekanika kuantum dari fenomena yang bergantung waktu seperti emisi dan penyerapan foton dan masa hidup dari keadaan.

CONTOH SOAL PERSAMAAN SCHR ¨ODINGER

Diberikan fungsi gelombang ψ(x) = A1eikx + A2e−ikx yang mana k  positif. Apakah

ini merupakan fungsi gelombang keadaan stasioner yang tepat untuk partikel bebas? Berapa energinya?

SOLUSI

harus memenuhi persamaan Schr¨odiinger, Persamaan (5), dengan U (x) = 0.

CARA: Untuk menguji fungsi ψ(x) yang diberikan, cukup kita subtitusikan dia ke ruas kiri persamaan Schr¨odinger. Apabila hasilnya adalah berupa konstanta dikalikan ψ(x), maka fungsi gelombang tersebut benar-benar adalah solusinya dan konstantanya merupakan tingkat energinya E .

KERJAKAN: Subtitusilah ψ(x) = A₁eikx _+ A

2e−ikx dan U (x) = 0 ke Persamaan

(5), lalu kita dapatkan

−

  2 2m d2ψ(x) dx2 =

−

 2 2m

d2(A1eikx + A2e−ikx)

dx2

=

₋

 

2

2m[(ik)

2_A

1eikx + (

−

ik)2A2e−ikx]

=   2_k2 2m (A1e ikx _+ A 2e−ikx) =  2_k2 2m ψ(x)

Kita telah buktikan bahwa ruas kiri persamaan Schr¨odinger sama dengan sebuah konstanta dikali ψ(x), artinya ψ(x) adalah benar-benar fungsi gelombang keadaan stasioner untuk suatu partikel bebas. Konstanta yang dimaksud tidak lain adalah energi total partikel E =  2_k2_/2m.

EVALUASI: Perhatikan bahwa ψ(x) adalah superposisi dari dua fungsi gelombang yang berbeda: satu untuk partikel dengan magnitud momentum p =  _{k yang bergerak}

dalam arah x positif dan satu yang lain untuk partikel dengan magnitud momentum yang sama namun bergerak dalam arah x negatif. Meskipun fungsi gelombang gabun-gan mewakili keadaan stasioner dengabun-gan energi tertentu, keadaan ini tidak memiliki momentum yang tertentu. Fungsi gelombang yang demikian ini mewakili  gelombang  berdiri .

5 Paket Gelombang

Fungsi gelombang untuk partikel bebas yang dinyatakan oleh Persamaan (8) memiliki momentum yang tertentu p dalam arah sumbu x. Untuk kondisi demikian, tidak ada ketidakpastian momentum: ∆ px = 0. Prinsip ketidakpastian Heisenberg, menyatakan bahwa ∆x∆ px

 ≤

 . Jika ∆ px adalah nol, maka ∆x  harus tak hingga. Konsekuensi yang harus diterima untuk mengetahui momentum partikel secara akurat adalah kita tidak tahu dimana partikel tersebut berada. Kita dapat membuktikan ini dengan menghitung fungsi distribusi probabilitas berikut

 _|

Ψ(x, t)

_|

2_:

|

Ψ(x, t)

_|

2 = Ψ∗

(x, t)Ψ(x, t) = (A∗

e−ikx

e+iωt)(Aeikxe−iωt

) = A∗

Fungsi distribusi probabilitas ini tidak bergantung waktu, karena dalam keadaan stasioner (keadaan energi tertentu). Dia juga tidak bergantung pada posisi, artinya kita mungkin dapat menemukan partikel tersebut dimanapun di dalam ruang! Menu-rut perhitungan, situasi ini terjadi karena fungsi gelombang spasial ψ(x) = Aeikx = Acoskx + iAsinkx adalah fungsi sinusoidal yang terdapat sepanjang sumbu x, sejak x =

 _−∞

 hingga x = +

_∞

 dengan amplitudo A. (Ini berarti bahwa fungsi gelombang tidak dapat dinormalisasi: Integral dari

 _|

Ψ(x, t)

_|

2 _{di seluruh ruang akan bernilai tak}

hingga untuk berapapun nilai A.)

Secara praktis, kita selalu memiliki beberapa ide tentang dimana partikel tersebut. Kita memerlukan fungsi gelombang yang lebih terlokalisasi di dalam ruang. Kita dapat merumuskannya dengan menggabungkan dua fungsi sinusoidal atau lebih.

Untuk langkah penyederhanaan, kita gunakan fungsi gelombang yang hanya bergan-tung pada satu koordinat ruang (x), dan kita akan perhibergan-tungkan pada satu waktu tertentu (misalnya t  = 0). Misalnya, kita tambahkan dua fungsi gelombang keadaan stasioner untuk partikel bebas dari Persamaan (8) dengan bilangan gelombang k₁ dan k₂ yang sedikit berbeda. Pada t = 0, e−iω₁t _{dan e}−iω₂t _{keduanya bernilai e}0 _{= 1, jadi}

fungsi gelombang pada t = 0 adalah

ψ(x) = A1eik1x + A2eik2x

= [A1 cos(k1x) + iA1 sin(k1x)] + [A2 cos(k2x) + iA2 sin(k2x)]

= [A1 cos(k1x) + A2 cos(k2x)] + i[A1 sin(k1x) + A2 sin(k2x)] (12)

Kita gunakan kaidah Euler, Persamaan (9), untuk memisahkan bagian real dan imajiner fungsi ψ(x).

Gambar 2: (a) Bagian real dari dua gelombang sinusoidal dengan bilangan gelombang yang sedikit berbeda, pada satu waktu terntentu. (b) Superposisi dari kedua gelombang ini memiliki bilangan gelombang sebesar nilai rata-rata dari bilangan gelombang kedua

Gambar 5a adalah grafik yang menampilkan bagian real dari masing-masing fungsi

gelombang untuk A2 =

−

A1; Gambar 5b menampilkan bagian real dari fungsi

gelom-bang gabungan ψ(x) yang dinyatakan Persamaan (12). Ketika kita menggabungkan

dua gelombang sinusoidal dengan frekuensi yang sedikit berbeda, hasilnya adalah se-buah gelombang tersendiri yang sifatnya berlainan dengan kedua gelombang penyusun-nya. Sebuah partikel yang dinyatakan oleh fungsi gelombang di Persamaan (12) lebih sering ditemukan di beberapa tempat yang terlokalisasi dibandingkan di tempat yang lain. Tetapi, momentum partikel tersebut tidak lagi bernilai pasti karena melibatkan dua bilangan gelombang. Hal ini bertepatan dengan prinsip ketidakpastian Heisenberg: Dengan menurunkan ketidakpastian pada posisi partikelm kita akan meningkatkan keti-dakpastian pada momentumnya.

Tidak sulit bagi kita untuk memikirkan superposisi dua gelombang sinusoidal den-gan amplitudo dan bilanden-gan gelombang yang berbeda. Sekarang, jika kita superposisi-kan banyak sekali gelombang sinusoidal dengan bilangan gelombang yang berbeda, kita akan mendapatkan sebuah gelombang yang menyerupai satu gumpalan saja.