Teori Permainan (Game Theory)

(1)

Manajemen Kuantitatif

Modul 10 dan 11

TEORI PERMAINAN ( GAME THEORY

)

TUJUAN INSTRUKSIONAL

1. Mahasiswa memahami arti dan kegunaan Teori Permainan

2. Mahasiswa mengetahui jenis-jenis Teori Permainan dan urgensi strategi Permainan

3. Mahasiswa dapat menggunakan dan menghitung teknik-teknik Teori Permainan

POKOK BAHASAN

1. Pengertian dan Manfaat Teori Permainan Pengaruh Daur Hidup Produk 2. Jenis-jenis Teori Permainan

3. Pendekatan Teori Permainan : Teori Permainan Murni

Teori Permainan Campuran : - Metode Analisis

- Metode Aljabar Matriks - Metode LinierProgramming

PENDAHULUAN

Dalam dunia usaha yang sangat kompetitif, salah satu masalah sangat relevan adalah mempelari atau memperkirakan kegiatan- kegiatan /reaksi- reaksi dari pihak pesaing (kompetitor).

Jika pimpinan Perusahaan melakukan perhitungan guna mengetahui apa yang akan dilakukan oleh pihak pesaing, maka perencanaan akan lebih mudah/efektif, terutama dalam menyusun strategi untuk merebut pasar misalnya. Pengalaman tentang tindakan seorang saingan akan memudahkan untuk meramalkan strategi apa yang akan dilakukan , jika

(2)

informasi semacam itu tersedia, dimungkinkan untuk memilih keputusan-keputusan yang memaksimumkan Firm”s expected return, setelah menghitung pengaruh yang ditimbulkan oleh tindakan pihak lawan.

Teori Permainan mula-mula dikemukakan oleh seorang ahli matematika Perancis Emile Borel (1921). Kemudian dikembangkan oleh John V,N dan Oscar Mogenstern lebih lanjut sebagai alat untuk merumuskan perilaku ekonomi yang bersaing.

Model –model Teori permainan diklasifikasikan dengan sejumlah cara, seperti jumlah pemain, jumlah keuntungan dan kerugian dan jumlah strategi yang digunaka dalam permainan.

Manfaat Teori Permainan untuk beberapa hal:

1. Mengembangkan suatu kerangka untuk analisa pengambilan keputusan dalam situasi perasaingan ( kerja sama)

2. Menguraikan metode kuantitaif yang sistematik bagi pemain yang terlibat dalam persaingan untuk memilih strategi yang tradisional dalam pencapaian tujuan.

3. Memberi gambaran dan penjelasan phenomena situasi persaingan /konflik seperti tawar menawar dan perumusan kualisi.

Aplikasi – aplikasi nyata yang paling sukses dari teori permainan banyak diketemukan dalam militer. Tetapi dengan berkembangnya dunia usaha yang semakin bersaing dan terbatasnya sumber daya serta saling meningkatkan pentingnya aplikasi bisnius teori permainan . Kontrak dan program tawar menawar serta keputusan – keputusan penetapan harga adalah contoh penggunaan teori permainan yang semakin luas. Model – model teori permainan dapat diklasifikasikan dengan sejumlah cara seperti jumlah pemain, jumlah keuntungan dan kerugian dan jumlah strategi yang digunakan dalam permainan. Jika permainan ada 2 pemain, permainan disebut permainan dua pemain. Jika Jika permainan ada N, permainan disebut permainan N pemain. Jika keuntungan dan kerugian adalah nol, disebut permainan jumlah nol ( jumlah konstan). Jika keuntungan dan kerugian adalah tidan nol, disebut permainan bukan jumlah nol ( Non zero – Zum Game)

UNSUR DASAR TEORI PERMAINAN

Dalam hal ini dibahas permainan dua pemain jumlah nol ( 2 – persen zero – zum game)

(3)

Matriks Pay off sebagai berikut: Pemain A Pemain B B1 B2 B3 A1 6 9 2 A2 8 5 4

Maka unsur dasarnya :

1. Angka dalam matrik Payoff, disebut Matriks Permainan, merupakan hasil (payoff) dari strategi permainan yang berbeda ( dalam bentuk uang, %, market share atau utility).

Dalam permainan 2 pemain jumlah nol, bilangan – bilangan positif menunjukkan keuntungan bagi pemain baris ( atau maximizing player ) dan merupakan kerugian bagi pemain kolom ( min. player)

Misal : Pemain A menggunakan strategi A1 dan B menggunakan strategi B2, maka hasilnya A untung 9, dan B rugi 9.

2. Strategi permainan adalah rangkaian kegiatan yang menyeluruh dari seorang pemain, sebagai reaksi antara aksi yang mungkin dilakukan oleh pemain lain yang menjadi pesaing.A punya 2 strategi ( A1 dan A2), B punya 3 strategi (B1,B2 dan B3)

3. Aturan –aturan permainan menggambarkan kerangka bagi para pemain dalam memilih strategi mereka. Sebagai contoh dipakai anggapan bahwa para pemain harus memilih strategi mereka secara simultan dan bahwa permainan adalah berulang

4. Nilai permainan merupakan hasil / payoff rata-rata dari sepanjang rangkaian permainan, dimana kedua pemain dengan strategi penggunaan optimal.

Pemain adil(fair) jika nilainya nol ( tidak ada yang untung/rugi) dan sebaliknya.

5. Strategi dominan jika payoff adalah superior terhadap setiap payoff yang berhubungan dalam suatu strategi alternative.

B pilih strategi B1 dan B2 didiminasi B3, maka untuk pemecahan masalah ini, B1 dan B2 dihilangkan. Sedang A pilih A2 . Sehingga nilai permainan adalah 4.

(4)

6. Strategi Optimal adalah:

Rangkaian kegiatan atau rencana yang menyeluruh, yang menyebabkan seorang pemain dalam posisi paling menguntungkan ( tanpa memperhatikan kegiatan pesaing)

7. Tujuan dari model pemain adalah mengidentifikasikan strategi atau rencana optimal untuk tiap pemain

Strategi optimal A = A2 Strategi optimal B = B3

Permainan Dua- Pemain Jumlah Nol

Pemain ini dimainkan 2 orang, kelompok, organisasi yang secara langsung dan punya kepentingan yang berhadapan.

Ada 2 tipe pemain Dua- Pemain Jumlah Nol yaitu:

1. Pemain dengan Strategi Murni ( Pure – Strategy Game) dimana tiap pemain menggunakan strategi tunggal 2. Pemain strategi campuran

dimana kedua pemani memakai campuran dari beberapa strategi yang berbeda. 1. Permainan Strategy Murni

Dalam permainan Strategi Murni, pemain baris (maximum player) mengidentifikasikan strategy optimalnya melalui aplikasi kriteria maksimin (maximin). Pemain kolom (minimax) untuk mengidentifikasikan strategi optimalnya.Nilai yang dihasilkan harus merupakan : Minimmum dari minimaks baris dan Minimum dari maksimum kolom

Contoh:

Terdapat dua perusahaan yang sedang menentukan strategi periklanan. Perusahaan A punya 2 strategi, sedang perusahaan B punya 3 strategi untuk meningkatkan pangsa pasar( Market share). Pay off dari strategi tersebut adalah kenaikan pangsa pasar, yang

(5)

dalam permainan ini disusun dari dua pemain jumlah nol. Pay off dari strategi tersebut seperti dalam tabel berkut:

Perusahan B MinimumBaris B1 B2 B3 Perusahaan A A1 1 9 2 1 A2 8 5 4 4 maksimaks Maksimum Kolom 8 5 4 minimaks Keterangan: Perusahaan A:

Saat A memilih strategi A1, maka Perusahaan B akan pilih B1,sehingga payoff Perusahaan A adalah 1. Saat A memilih strategi A2, maka perusahaan B akan pilih B3,sehingga payoff Perusahaan A adalah 4. Perusahaan A paling optimal jika memilih strategi tunggal A2

Perusahaan B

Saat perusahaan B memilih strategi B1, maka perusahaan A akan pilih A2 ,sehingga kerugian yang diderita perusahaan B adalah 8. Saat perusahaan B memilih strategi B3, maka perusahaan A akan pilih strategi A2 juga,sehingga kerugian perusahaan B adalah 4.Perusaah B akan optimal jika pilih strategi B3

Dari tabel diatas menunjukkan titik equilibrium tercapai pada titik pelana (saddle point) pada nilai payoff 4,dimana:

- Strategi optimal A : A2 - Stratetgi optimal B : B3

Kesimpulan ini dicapai dengan kriteria maksimin( untuk pemain baris /maximizing player) dan minimaks ( untuk pemain kolom/minimizing player)

(6)

Masalah

Jika nilai minimaks tidak sama dengan nilai maksimaks maka permainan ini tak tercapai equilibrium,sehingga strategi murni tak bisa digunakan. Untuk mengatasi persoalan tersebut digunakan teori permainan strategi campuran

2. Permainan Strategi Campuran.

Dalam Permainan Strategi Campuran dapat dilakukan dengan tiga cara: 1. Metode Grafik

2. Metode Analisis 3. MetodeAljabar Metrik 4. MetodeLinier Programing Contoh

Ada dua perusahaan yang sedang berlomba dalam mendapatkan pangsa pasar melalui

strategi persaingan harga. Kedua perusahaan tersebut masing-masing memiliki tiga strategi

harga yaitu renh, sedang dan tinggi. Payoff bagi kedua perusahaan tersebut terlihat seperti

tabel dibawah:

Perusahan B MinimumBaris B1 B2 B3 Perusahaan A A1 2 5 7 2 maksimaks A2 -1 2 4 -1 A3 6 1 9 1 Maksimum Kolom 6 5 9 Minimaks

Dari tabel terlihat bahwa nilai maksimin tidak sama dengan nilai minimaks,maka tidak ditemukan titik pelana. Maka permainan ini harus menggnakan strategi campuran. Dalam permaina strategi camuran diberlakukan aturan Dominan sebagai berikut:

Strategi B3 didominasi oleh B2,sehingga B3 dapat dihilangkan. Strategi A2 didominasi oleh A1,sehingga A2 dapat dihilangkan. Maka tabelmatrikdiatas berubah menjadi

Tabel Reduced Game Matriks seperti berikut:

Perusahan B MinimumBaris

(7)

Perusahaan A A1

2 5 2 maksimaks

A3 6 1 1 Maksimum Kolom 6 5

Minimaks

2.2. Permainan Strategi Campuran.dengan Metode Analisis

Tujuan metode analisis ini adalah agar terjadi kesamaan antara kerugian dan keuntungan yang diharapkan. Metode ini di kembangkan menurut diistribusi probabilitas. Untuk strategi-strategi yang berbeda nilai probabilitas memungkinkan ditemukan strategi campuran yang optimal.

Dari contoh diatas tabel Reduced Game Matrik sebagai berikut:

Perusahan B MinimumBaris B1 B2 Perusahaan A A1 2 5 2 maksimaks A3 6 1 1 Maksimum Kolom 6 5 Minimaks Strategi A

-. Jika perusahaan A pilih strategi A1 dengan probabilitas p dan A3 dengan probabilitas (1-p). Sedang perusahaan B pilih B1, maka keuntungan (return) yang diharapkan A (E(R)A adalah:

E(R)A = 2p + 6 (1-p) = 6 –4 p

-. Jika perusahaan A pilih strategi A1 dengan probabilitas p dan A3 dengan probabilitas-p). Sedang perusahaan B pilih B2,maka keuntungan yang diharapkan A (E(R)A adalah:

(8)

Maka startegi optimal untuk perusahaan A diperoleh dengan : 6 –4p = 1+4p p = 5/8 = 0,625

artinya:

A harus pilih strategi A1 = 62,5% dan strategi A3 =37,5% E(R) A A1 = 0,625 (2) +-,375(6)

A3 = 0,625 (5) + 0,375(1) =3,5

Strategi B

-

Jika perusahaan B pilih strategi B1 dengan probabilitas q dan B2 dengan

probabilitas (1-q). Sedang perusahaan A pilih A1,maka kerugian (loss) yang diharapkan B (E(L)B adalah:

E(L)B = 2g + 5 (1-q) = 5 –3 q

- Jika perusahaan B pilih strategi B1 dengan probabilitas q dan B2 denga probabilitas (1-q). Sedang perusahaan A pilih A3,maka kerugian (loss) yang diharapkan B (E(L)B adalah: E(L)B = 6g + 1 (1-q) = 1 +5 q

Maka strategi optimal untuk perusahaan B diperoleh dengan :

5 -3q = 1-5q q = 4/8 = 0,50 artinya:

B harus menggunakan strategi B1 = 50 % dan strategi B2 =50% E(L)BA B1 = 0,50 (2) +0,50(6)

B2 = 0,50(5) + 0,50(1) =3,5

Jadi dengan metode analisis titik equilibrium tercapai dengan nilai payoff=3,5

Perhitungan diatas dapat pula dilakukan dengan menggunakan rumus sebagai berikut : Andaikan matriks permainannya adalah :

(9)

a b

c d

Maka harapan ganjaran bagi pemain X adalah :

ap1 + c ( 1 - p1 ) jika pemain Y menjalankan strategi 1

Dan adalah :

b p1 + d ( 1 - p1 ) jika pemain Y menjalakan strategi 2.

Selanjutnya dengan menyamakan ke 2 harapan ganjaran tersebut diperoleh : ap1 + c ( 1 - p1 ) = b p1 + d ( 1 - p1 ) p1 = ( a – b – c + d ) = d – c p1 =

d

c

b

a

c

d

+

−

p2 = 1 - p1 =

d

c

b

a

b

a

+

−

Dengan cara serupa, harapan ganjaran bagi pemain Y dapat pula dihitung sebagai berikut : ap1 + b ( 1 - p1 ) jika pemain X menjalankan strategi 1

Dan adalah :

c p1 + d ( 1 - p1 ) jika pemain X menjalakan strategi 2.

Selanjutnya dengan menyamakan ke 2 harapan ganjaran tersebut diperoleh : ap1 + b ( 1 - p1 ) = c p1 + d ( 1 - p1 ) p1 = ( a – b – c + d ) = d – b p1 =

d

c

b

a

b

d

+

−

p2 = 1 - p1 =

d

c

b

a

c

a

+

−

2.3. Permainan Strategi Campuran.dengan Metode Aljabar Matrik

Metode ini adalah cara lain untuk menghasilkan permainan yang punya matrik segi empat. Dari tabel 2x2 ( Reduced Game Matriks) :

Perusahan B MinimumBaris

B1 B2

M =

Y

(10)

Perusahaan A A1 2 5 2 maksimaks A3 6 1 1 Maksimum Kolom 6 5 Minimaks bentuk matriknya adalah seperti berikut:

B1B2 A1

_











61

25

=

[ ]

Pij

A2

Strategi optimal untuk Perusahaan A & B dan nilai permintaan dapat dicari dengan formula sebagai berikut:

Strategi Optimal A:

[ ][

]

[ ][

11 .

][ ]

11 .

11 Padj

Padj

Strategi Optimal B:

[ ][

]

[ ][

]

_











1

1 .

11 .

11 Padj

Pcof

Nilai Permainan:













OptimalA

Strategi

.

[ ]

Pij

.

_











OptimalB

Strategi

Atau

(11)

[ ]

[ ][

]

_











1

1 .

11 Padj

Pij

,

dimana

[

Padj

.

]

= Adjoint matriks

[

Pcof

.

]

= Cofactor matriks

[ ]

Pij

= matriks permainan

[ ]

Pij

= determinan matriks permainan

Pada persamaan ini strategi optimal A ada dalam vector paris dan B dalam vector kolom, sehingga: .

[ ]

Pij

=

_











61

25

= 2 – 30 = -28

[

Pcof

.

]

=

_











−

52

6

1

[

Padj

.

]

=.

[

Pcof

.

]

T ₌













−

62

5

1

Strategi optimal A =

[ ]

_























−













−

1

62

5

1

11 .

62

5

1

11

=

[

]

8

3

5 −

−

Strategi optimal B =

(12)

[ ]

_























−













−

1

62

5

1

11 .

52

6

1

11

=

8

4

4 −

−

Jadi Strategi Campuran Yang Optimal : A1 = 5/8 A2 = 3/8 B1 = 4/8 = ½ B2 = 4/8 = ½ Nilai Permainan:

[

5 /

83 /

8

]

.

_











61

25

.

_











2 /

1

2 /

1

=

[

28 /

828 /

8

]

.

_











2 /

1

2 /

1

= 3,5 Atau Nilai Permainan =

8

61

25 −













= 128/ -8 = 3,5

Metode Aljabar Matrik hasilnya sama dengan metode sebelumnya.

3. Teori Permainan dengan Linier Programming

Metode-metode diatas bergerak terbatas,sehingga untuk penyelesian strategi campuran 3 x3 atau lebih bisa digunakan metode linier programming.

(13)

Dari contoh diatas:

Tabel Reduced Game Matriks seperti berikut:l

Perusahan B MinimumBaris B1 B2 Perusahaan A A1 2 5 2 maksimaks A3 6 1 1 Maksimum Kolom 6 5 Minimaks Ditemukan: V= nilai permainan

X1 dan X2 = probabilitas pemilihan strategiA1 dan A2. Y1 dan Y2 = probabilitas pemilihan strategi B1 dan B2.

Untuk pemain A:

A sebagai maximum player . E( R) A dengan tanda ≥

2.X1 +6.X2 ≥ V :bila pemain B menggunakan strategi B1 5.X1 +1.X2 ≥ V: bila pemain B menggunaakan strategi B2. Diketahui bahwa: X1 +X2 = 1, X1,X2 ≥ 0

Untuk pemain B

Sebagai minimizing player,maka kerugian B dinyatakan dengan ketidak samaan(≤) artinya B mengalami kerugian kurang dari V bila Amenggunakan strategi lemah.

E(L)B =

2Y1 +5Y2 ≤ V (bila A menggunakan strategi A1) 6Y1 +1Y2 ≤ V ( bila A menggunakan strategi A3)

Diketahui bahwa: Y1 +Y2 = 1, Y1,Y2 ≥ 0

(14)

Untuk Pemain A: 2.X1 / V + 6.X2 / V ≥ 1 5.X1 / V + 1.X2 / V ≥ 1 X1 / V +X2 / V ≥ 1 Untuk Pemain B: 2.Y1 / V + 5Y2 / V ≤1 6Y1 / V + 1.Y2 / V ≤1 Y1 / V +Y2 / V ≤1

Bila ditentukan variabel-variabel baru:

X1 / V = X1 dan X2 / V = X2 Y1 / V = Y1 dan Y2 / V = Y2 maka didapat : Untuk A 2.X1 +6.X2 ≥ 1 5.X1 +1.X2 ≥ 1 X1 +X2= 1/V Untuk B 2.Y1 +5Y2 ≤ 1 6Y1 +1.Y2 ≤ 1 Y1 +Y2 = 1/V

Pemain A =max. player, maks. V atau min. 1/V, maka dengan X1+X2=1/V, dapat diringkas masalah LP. A: Tujuan A: Minimum=X1+X2 Batasan: 2.X1 +6.X2 ≥ 1 5.X1 +1.X2 ≥ 1 X1 ,X2 ≥ 0 Tujuan B: Maksimum=Y1+Y2 Batasan: 2.Y1 +5.Y2 ≤ 1 6.Y1 +1.Y2 ≤ 1 Y1 ,Y2 ≥ 0 Catatan:

Rumus LP untuk A adalah dualnya untuk B:

- Penyelesaian dual dapat diperoleh kembali dari tabel optimal primal

- Dengan M.Simpleks, masalah LP primal dapat dipecahkan seperti terlihat pada tabel dibawah:

(15)

-Penyelesaian optimal = Y1 = 1/7, Y2 =1/7

-Penyelesaian optimal dualdapat diperoleh dari baris=(cj –zj) X1 =5/28, X2=3/28 Tabel Optimal Variabel Dasar Keuntung an /unit Kuantit as Cj:1 Y1 1 Y2 0 S1 0 S2 Y2 Y1 1 1 1/7 1/7 1 0 0 1 3/14 -1/28 -1/14 5/28 Zj Cj-Zj 1 0 1 0 5/28 -5/28 3/28 -3/28 Tujuannya adalah:

Menentukan distribusi optimal untuk A & B. Nilai permainan U dicari dengan:

1/U = X1+X2 = 5/28+3/28 = 2/28 V = 7/2 = 3,5 Selanjutnya dicari: X1 = V. X1 =7/2.5/28=5/8=0,625 X2 = V.X2 =7/2.3/28=3/8=0,375 Y1 = V. Y1 =7/2.1/7=0,5 Y2 = V.Y2 =7/2.1/7=0,5

(16)