Plaxis82_Indonesian_3-ModelMaterial.pdf

(1)

P

LAXIS

Versi 8

Manual Model

Material

(2)

(3)

DAFTAR ISI DAFTAR ISI

DAFTAR ISI

1

1 PendahPendahuluan...uluan... ...1-1...1-1 1.1 Penggunaan berbagai model ...1-1 1.2 Keterbatasan...1-3 2

2 Pengenalan pemodelan material...2-1Pengenalan pemodelan material...2-1 2.1 Definisi umum dari tegangan ...2-1 2.2 Definisi umum dari regangan...2-4 2.3 Regangan elastis ...2-5 2.4 Analisis tak terdrainase dengan parameter efektif ...2-8 2.5 Analisis tak terdrainase dengan parameter tak terdrainase (parameter total)...2-12 2.6 Tekanan prakonsolidasi awal dalam model tingkat lanjut ...2-12 2.7 Tegangan awal ...2-14 3

3 Model Model Mohr-Mohr-CoulomCoulomb b (plast(plastisitas isitas sempusempurna)rna) ...3-1.3-1 3.1 Perilaku elastis plastis-sempurna ...3-1 3.2 Formulasi model Mohr-Coulomb ...3-3 3.3 Parameter dasar model Mohr-Coulomb...3-5 3.4 Parameter tingkat lanjut dari model Mohr-Coulomb ...3-8 4

4 Model Jointed Rock (anisotropis)...4-1Model Jointed Rock (anisotropis)...4-1 4.1 Matriks kekakuan material elastis anisotropiss...4-2 4.2 Perilaku plastis dalam tiga arah ...4-4 4.3 Parameter model Jointed Rock ...4-7 5

5 Model Hardening Soil (isotropis)...5-1Model Hardening Soil (isotropis)...5-1 5.1 Hubungan hiperbolik untuk uji triaksial terdrainase standar...5-2 5.2 Pendekatan hiperbola oleh model Hardening Soil ...5-3 5.3 Regangan volumetrik plastis untuk kondisi tegangan triaksial ...5-5 5.4 Parameter model Hardening Soil ...5-6 5.5 "Cap" bidang leleh dalam model Hardening Soil ...5-11 6

6 Model Soft Soil Creep (perilaku yang tergantung waktu)...6-1Model Soft Soil Creep (perilaku yang tergantung waktu)...6-1 6.1 Pendahuluan...6-1 6.2 Dasar rangkak satu dimensi ...6-3 6.3 Variabel τ c dan ε c...6-4 6.4 Persamaan diferensial untuk rangkak 1-D ...6-6 6.5 Model tiga dimensi ...6-8 6.6 Formulasi regangan 3D elastis ...6-11 6.7 Tinjauan parameter model ...6-12 6.8 Validasi model 3D ...6-16 7

7 Model Model Soft Soft SoilSoil ...7-1...7-1 7.1 Kondisi isotropis tegangan dan regangan (σ

′

1 = σ

′

2 = σ

′

3) ...7-1

(4)

MANUAL MODEL MATERIAL

7.2 Fungsi leleh untuk kondisi tegangan triaksial (σ

′

2 = σ

′

3)... 7-3 7.3 Parameter model Soft Soil ... 7-5 8

8 Aplikasi model tanah tingkat lanjut...8-1Aplikasi model tanah tingkat lanjut...8-1 8.1 Model HS : Respon uji triaksial terdrainase dan tak terdrainase ... 8-1 8.2 Aplikasi model Hardening Soil pada uji sesungguhnya ...8-6 8.3 Model SSC : Respon uji kompresi satu dimensi... 8-12 8.4 Model SSC : Uji triaksial tak terdrainase pada berbagai kecepatan pembebanan...8-17

8.5 Model SS : Respon uji kompresi isotropis... 8-20 8.6 Konstruksi galian di bawah muka air dengan model HS ... 8-22 8.7 Konstruksi timbunan untuk jalan dengan model SSC...8-24 9

9 Model Model tanah tanah dari dari penggupenggunana ... 9-19-1 9.1 Pengantar ...9-1 9.2 Implementasi model UD dalam program perhitungan...9-1 9.3 Masukan dari parameter model UD melalui antarmuka-pengguna... 9-10 10

10 RefereReferensinsi ... 10-110-1 Lampir

Lampiran an A A : : Simbol....Simbol... A-1A-1 Lampir

Lampiran B an B : : SubruSubrutin Fortran untuk model UDtin Fortran untuk model UD ... B-1B-1

Lampir

(5)

PENDAHULUAN

1

1 PENDAHULUANPENDAHULUAN

Perilaku mekanis dari tanah dapat dimodelkan pada berbagai tingkat akurasi. Hukum Hooke yang linier dan isotropis-elastis, misalnya, dapat dianggap sebagai hubungan tegangan-regangan yang paling sederhana saat ini. Karena model ini hanya terdiri dari dua buah parameter saja, yaitu modulus Young ( E ) dan angka Poisson (ν ), maka umumnya model ini terlalu sederhana untuk dapat meneakup berbagai sifat penting dari perilaku tanah maupun batuan. Walaupun demikian, untuk memodelkan elemen

struktural yang masif dan lapisan batuan dasar, model linier elastis dapat digunakan.

1.1

1.1 PENGGUNAAN BERBAGAI MODELPENGGUNAAN BERBAGAI MODEL

Model Mohr-Coulomb (MC) Model Mohr-Coulomb (MC)

Model Mohr-Coulomb adalah model elastis-plastis yang terdiri dari lima buah parameter, yaitu E dan ν untuk memodelkan elastisitas tanah; φ dan c untuk memodelkan plastisitas tanah dan ψ sebagai sudut dilatansi. Model Mohr-Coulomb merupakan suatu pendekatan "ordo pertama" dari perilaku tanah atau batuan. Model ini disarankan uutuk digunakan dalam analisis awal dari masalah yang dihadapi. Setiap lapisan dimodelkan dengan sebuah nilai kekakuan rata-rata yang konstan. Karena kekakuan yang konstan, maka perhitungan cenderung cepat dan dapat diperoleh perkiraan awal dari bentuk deformasi dari model. Disamping kelima parameter dari model tersebut, kondisi tegangan awal dari tanah memegang peranan yang penting dalam hampir seluruh masalah deformasi tanah. Tegangan horisontal awal tanah harus ditentukan terlebih dahulu dengan menentukan nilai K 0 yang tepat.

Model Jointed-Rock (JR) Model Jointed-Rock (JR)

Model Jointed-Rock atau model batuan dengan kekar adalah sebuah model plastis anisotropiss, yang dikembangkan khusus untuk memodelkan perilaku lapisan batuan yang mempunyai stratifikasi dan arah-arah kekar ( fault ) tertentu. Plastisitas hanya dapat terjadi dalam maksimum tiga buah arah geser (bidang geser). Masing-masing bidang geser mempunyai parameter kekuatannya sendiri. Batuan yang masif dianggap berperilaku elastis penuh dengan parameter kekakuan E dan ν yang konstan. Reduksi sifat elastisitas dapat diberikan pada arah stratifikasi.

Model Hardening Soil (HS) Model Hardening Soil (HS)

Model Hardening Soil merupakan model tingkat lanjut untuk memodelkan perilaku dari tanah. Seperti pada model Mohr-Coulomb, kondisi tegangan batas dideskripsikan oleh sudut geser, φ , kohesi, c dan sudut dilatansi, ψ . Namun demikian, kekakuan tanah dideskripsikan lebih akurat dengan menggunakan tiga kekakuan yang berbeda : kekakuan pembebanan triaksial, E 50, kekakuan pengurangan beban (unloading ) triaksial, E ur dan kekakuan pembebanan satu arah, E oed . Untuk nilai tipikal dari berbagai jenis

(6)

tanah, dapat digunakan E ur

≈

3

⋅

E 50 dan E oed

≈

E 50, tetapi tanah yang sangat lunak dan tanah yang sangat kaku cenderung memberikan rasio E oed / E 50 yang berbeda.

Berbeda dengan model Mohr-Coulomb, model Hardening Soil mengikutsertakan modulus kekakuan yang bergantung pada tegangan. Hal ini berarti bahwa kekakuan akan semakin meningkat terhadap tegangan. Karena itu, ketiga kekakuan merupakan nilai yang berhubungan dengan sebuah tegangan acuan, yang umumnya diambil sebesar 100 kPa (1 bar).

Model Soft Soil Creep (SSC) Model Soft Soil Creep (SSC)

Model Hardening Soil di atas dapat digunakan untuk semua jenis tanah, tetapi model tersebut tidak mengikutsertakan efek viskositas, yaitu rangkak (creep) dan relaksasi tegangan. Kenyataannya, semua jenis tanah mengalami rangkak dan kompresi primer yang diikuti dengan kompresi sekunder.

Kompresi sekunder sangat dominan pada tanah-tanah lunak, yaitu lempung yang terkonsolidasi normal, tanah lanaua serta gambut, sehingga model ini disebut sebagai model Soft Soil Creep. Perlu diketahui bahwa model Soft Soil Creep merupakan model yang relatif baru yang telah dikembangkan untuk aplikasi masalah penurunan pada pondasi, timbunan, dan lain-lain. Untuk masalah pengurangan beban, yang umumnya dihadapi dalam masalah terowongan serta galian, model Soft Soil Creep tidak dapat menggantikan model Mohr-Coulomb yang sederhana. Seperti juga halnya pada model Mohr-Coulomb, kondisi awal tanah yang benar juga merupakan hal yang penting saat menggunakan model Soft Soil Creep. Untuk model Hardening Soil dan model Soft Soil Creep, penentuan kondisi awal tanah juga melibatkan data masukan berupa tekanan prakonsolidasi karena model-model ini telah mengikutsertakan efek dari konsolidasi

yang berlebih.

Model Soft Soil (SS) Model Soft Soil (SS)

Model Soft Soil adalah jenis model Cam-Clay yang ditujukan khusus untuk analisis kompresi primer dari tanah lempungan yang terkonsolidasi normal. Meskipun kemampuan dari model ini berada di bawah model Hardening Soil, namun model Soft Soil tetap dipertahankan dalam versi ini karena beberapa pengguna PLAXISmungkin masih terbiasa dengan model ini dan masih ingin menggunakannya.

Analisis dengan berbagai model yang berbeda Analisis dengan berbagai model yang berbeda

Disarankan untuk pertama kali menggunakan model Mohr-Coulomb untuk analisis yang relatif cepat dan sederhana dari masalah yang dihadapi. Saat tidak diperoleh data tanah yang memadai, maka tidak diperlukan untuk melanjutkan analisis dengan menggunakan model-model tingkat lanjut lainnya.

Dalam banyak kasus, umumnya tersedia data yang baik dari lapisan tanah yang dominan, sehingga dapat digunakan model Hardening Soil untuk analisis lebih lanjut. Data dari hasil uji triaksial dan uji oedometer umumnya jarang diperoleh secara

(7)

PENDAHULUAN bersamaan, tetapi data dengan kualitas yang baik dari salah satu uji tersebut dapat

diperoleh dari korelasi dan/atau dari uji lapangan.

Terakhir, analisis Soft Soil Creep dapat digunakan untuk memperkirakan rangkak, yaitu kompresi sekunder dari tanah yang sangat lunak. Ide untuk melakukan analisis masalah geoteknik dengan beberapa model tanah tampaknya mahal, tetapi cenderung akan "terbayar lunas". Pertama karena fakta bahwa analisis Mohr-Coulomb relatif cepat dan sederhana, dan kedua karena prosedur di atas cenderung mereduksi kesalahan.

1.2

1.2 KETERBATASANKETERBATASAN

Program PLAXIS dan model-model tanah didalamnya telah dikembangkan untuk melakukan perhitungan dari masalah geoteknik yang realistis. Karena hal ini maka

PLAXIS dapat disebut sebagai alat bantu untuk memodelkan permasalahan geoteknik.

Model tanah dapat dianggap sebagai representasi perilaku tanah secara kualitatif sedangkan parameter dari model digunakan untuk menyatakan perilaku tanah secara kuantitatif. Walaupun program PLAXIS beserta model-model tanah telah dikembangkan secara mendalam, simulasi dari permasalahan sesungguhnya tetap merupakan suatu pendekatan, yang secara implisit telah melibatkan beberapa kesalahan numerik dan kesalahan pemodelan yang tidak dapat dihindari. Terlebih lagi, akurasi dari pemodelan permasalahan sangat bergantung pada keahlian dari pengguna dalam memodelkan permasalahan, pemahaman dari model tanah dan keterbatasannya, pemilihan model parameter dan kemampuan untuk mengevaluasi hasil perhitungan.

Baik model tanah dan program PLAXIS_{selalu dikembangkan secara terus-menerus}

sehingga versi yang baru merupakan pembaharuan dari versi sebelumnya. Beberapa keterbatasan yang masih ada saat ini adalah sebagai berikut :

Model HS Model HS

Model ini merupakan modelhardening yang tidak mengikutsertakan pelunakan tanah akibat dilatansi dan efek lepasnya ikatan antar butir. Pada faktanya, model ini merupakan model hardening isotropis sehingga tidak memodelkan efek histeresis, pembebanan siklik maupun mobilitas siklik (cyclic mobility). Sebagai catatan, penggunaan model Hardening Soil umumnya menghasilkan waktu perhitungan yang lebih lama, karena pembentukan dan dekomposisi matriks kekakuan dari material dilakukan dalam tiap langkah perhitungan.

Model SSC Model SSC

Seluruh keterbatasan di atas juga berlaku untuk model Soft Soil Creep. Selain itu model ini cenderung untuk memprediksi rentang perilaku elastis tanah secara berlebih. Hal ini khususnya terjadi pada masalah galian, termasuk juga terowongan.

(8)

Model SS Model SS

Keterbatasan yang sama juga berlaku dengan model SS. Sesungguhnya model SS telah dilampaui oleh model HS, tetapi model SS tetap dipertahankan untuk pengguna yang telah terbiasa dengan model ini. Penggunaan model SS harus dibatasi untuk situasi yang dinominasi terutama oleh kompresi. Model ini tidak direkomendasikan untuk digunakan pada masalah galian.

Antarmuka Antarmuka

Elemen antarmuka umumnya dimodelkan dengan menggunakan model bilinier Mohr-Coulomb. Saat digunakan model tingkat lanjut untuk kumpulan data material klaster yang bersangkutan, maka elemen antarmuka hanya akan menggunakan data yang relevan (c, φ , ψ , E , ν ) untuk model Mohr-Coulomb, seperti dijelaskan dalam Bab 3.5.2 dari Manual Acuan. Dalam kasus seperti ini, kekakuan antarmuka diambil sebagai kekakuan elastis dari tanah. Karena itu E = E ur dimana E ur tergantung dari tingkat tegangan, diikuti dengan hukum eksponensial dengan nilai E ur proporsional terhadap σ m. Untuk model Soft Soil Creep, nilai eksponen m adalah 1 dan E ur ditentukan dari konstanta muai κ *.

(9)

PENGENALAN PEMODELAN MATERIAL

2

2 PENGENALAN PEMODELAN MATERIALPENGENALAN PEMODELAN MATERIAL

Model material merupakan suatu persamaan matematis yang menyatakan hubungan antar tegangan dan regangan. Model material seringkali dinyatakan dalam bentuk dimana suatu peningkatan tegangan tertentu (atau "perubahan tegangan") dihubungkan dengan suatu peningkatan regangan tertentu (atau "perubahan regangan"). Seluruh model material di dalam PLAXIS didasarkan pada suatu hubungan antara perubahan tegangan efektif, σ

&

′

, dan perubahan regangan, ε

&

. Dalam bab berikut ini akan dijelaskan bagaimana tegangan dan regangan didefinisikan dalam P

LAXIS

. Bab berikutnya akan membahas formulasi dari hubungan dasar antara tegangan dan regangan serta mendeskripsikan pengaruh dari tekanan air pori pada material tak terdrainase. Bab ini akan difokuskan pada kondisi awal dari model material tingkat lanjut.

Petunjuk :

Petunjuk : Elemen dan formulasi model material dalam PLAXISadalah sepenuhnya tiga dimensi. Namun, dalam Versi 8 hanya kondisi regangan bidang dan aksial-simetri saja yang dititnjau.

2.1

2.1 DEFINISI UMUM DARI TEGANGANDEFINISI UMUM DARI TEGANGAN

Tegangan merupakan sebuah tensor yang dapat dinyatakan oleh sebuah matriks dalam koordinat Cartesius :

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

=

zz zy zx yz yy yx xz xy xx σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ (2.1)

Dalam teori deformasi standar, tensor tegangan adalah simetris sehingga σ xy = σ yx, σ yz = σ zy dan σ zx = σ xz . Dalam situasi ini, tegangan sering dinyatakan dalam notasi vektor, yang melibatkan hanya enam buah komponen saja :

(

)

T zx yz xy zz yy xx σ σ σ σ σ σ σ

=

(2.2)

namun dalam kondisi regangan bidang, σ yz = σ zx = 0.

Menurut prinsip dari Terzaghi, tegangan dalam tanah dibedakan menjadi tegangan efektif, σ

′

dan tekanan air pori, σ

w : w σ σ σ

=

′

+

(2.3)

Air dianggap tidak dapat menahan gaya geser sama sekali. Karena itu, tegangan geser efektif adalah sama dengan tegangan geser total. Komponen tegangan normal positif dianggap menyatakan tegangan tarik, sedangkan komponen tegangan normal negatif menyatakan tegangan tekan.

(10)

Model material untuk tanah dan batu umumnya dinyatakan sebagai hubungan antara peningkatan tegangan efektif tertentu terhadap peningkatan regangan. Dalam hubungan semacam itu, peningkatan tegangan efektif tertentu dinyatakan oleh perubahan tegangan (dinotasikan oleh sebuah titik di atas simbol tegangan) :

(

)

T zx yz xy zz yy xx ' ' ' ' σ σ σ σ σ σ

σ &

=

& & & & & & (2.4)

σ yy σ xx σ zz σ zx σ zy σ xz σ xy σ yx σ yz x y

Gambar 2.1 Sistem koordinat umum tiga dimensi dan perjanjian tanda untuk tegangan

Seringkali lebih menguntungkan menggunakan tegangan utama dibandingkan komponen tegangan Cartesius dalam formulasi model material. Tegangan utama adalah tegangan di dalam sistem koordinat dimana seluruh komponen tegangan geser adalah nol. Sebenarnya, tegangan utama adalah nilai Eigen dari tensor tegangan. Tegangan efektif utama dapat ditentukan dengan cara berikut :

0

=

−

' I '

det σ σ (2.5)

dimana

I

adalah matriks identitas. Persamaan ini menghasilkan tiga buah solusi untuk σ

′

, yaitu tegangan-tegangan efektif (σ

′

1, σ

′

2, σ

′

3,). Dalam PLAXIStegangan efektif utama diatur secara berurutan sebagai berikut :

σ

′

1

≤

σ

′

2

≤

σ

′

3 (2.6)

dimana σ

′

1 merupakan tegangan tekan utama terbesar dan σ

′

3 merupakan tegangan tekan utama terkecil. Dalam modul ini, model sering dinyatakan dengan mengacu pada ruang tegangan utama, seperti ditunjukkan dalam Gambar 2.2.

Selain tegangan utama, umumnya juga berguna untuk mendefinisikan invarian tegangan, yaitu besarnya tegangan yang tidak tergantung dari orientasi sistem koordinat. Dua buah invarian tegangan yang berguna adalah :

p

′

=

−

1₃

σ

_xx

′

+

σ

_yy

′

+

σ

_zz

′

₌

₍

₎

3 2 1 3 1

_σ

′

+

_σ

′

+

_σ

′

−

(2.7a) q = 1₂

(

) (

2

)

2

(

)

2

(

₆ 2 2 2

)

zx yz xy xx zz zz yy yy xx σ σ -σ σ -σ σ σ σ σ

′

−

′

+

′

+

′

+

⋅

+

⋅

(2.7b)

(11)

PENGENALAN PEMODELAN MATERIAL dimana p

′

adalah tegangan efektif isotropis, atau tegangan efektif rata-rata, danq adalah tegangan geser ekivalen. Perhatikan bahwa perjanjian tanda yang digunakan untuk p

′

adalah positif untuk tegangan tekan, berbeda dengan perjanjian tanda untuk tegangan lainnya. Tegangan geser ekivalen,q, mempunyai sifat penting dan berubah menjadi q =

|

σ

′

1 – σ

′

3

|

untuk kondisi tegangan triaksial dengan σ

′

2 = σ

′

3.

Gambar 2.2 Ruang tegangan utama

Tegangan efektif utama dapat dituliskan sebagai fungsi dari invarian sebagai berikut :

(

θ

π

)

σ

₃2 3 2 1

′

=

′

+

sin

−

p

q

(2.8a)

( )

θ

σ

₃2

sin

2

=

p

′

+

q

′

−

(2.8b)

(

θ

π

)

σ

₃2 3 2 3

′

=

′

+

sin

+

−

p

q

(2.8c)

dimana θ adalah sudut Lode (invarian ketiga), yang didefinisikan :

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

⋅

=

₃3 3 1

2

27 arcsin

q

J

θ

(2.9) dengan

(

)

(

)

(

) (

)

2

(

)

2

...

3

=

xx

′

−

p

′

yy

′

−

p

′

zz

′

−

p

′

−

xx

′

−

p

′

yz

−

yy

′

−

p

′

zx

−

J

σ

(

σ

zz

p

)

σ

xy

2 σ

xy

σ

yz

σ

zx

...

−

′

−

′

2

+

(2.10) -σ

′

3 -σ

′

2 -σ

′

1= -σ

′

2= -σ

′

3 -σ

′

1

(12)

2.2

2.2 DEFINISI UMUM DARI REGANGANDEFINISI UMUM DARI REGANGAN

Regangan merupakan sebuah tensor yang dapat dinyatakan oleh matriks dalam koordinat Cartesius :

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

=

zz zy zx yz yy yx xz xy xx ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε (2.11)

Sesuai dengan teori deformasi kecil, hanya jumlah dari komponen regangan geser Cartesius ε ij dan ε ji yang saling melengkapi saja yang menghasilkan tegangan geser. Jumlah ini dinotasikan sebagai regangan geser γ . Karena itu bukan ε xy, ε yx, ε yz , ε zy, ε zx dan ε xz melainkan komponen regangan geser γ xy, γ yz dan γ zx yang digunakan. Di bawah kondisi di atas, regangan seringkali dituliskan dalam notasi vektor, yang melibatkan hanya enam buah komponen yang berbeda :

ε =

(

ε _xx ε _yy ε _zz γ _xy γ _yz γ _zx

)

T (2.12) ε xx = x u x

∂

(2.13a) ε yy₌ y u y

∂

(2.13b) ε zz = z u z

∂

(2.13c) x u y u x y yx xy xy

_∂

∂

+

∂

=

+

=

ε ε γ (2.13d) y u z u y _z zy yz yz

_∂

∂

+

∂

=

+

=

ε ε γ (2.13e) u u z x xz zx zx

∂

+

∂

=

+

=

ε ε γ (2.13f)

Serupa dengan tegangan, komponen regangan normal positif menyatakan regangan tarik, sedangkan komponen regangan normal negatif menyatakan tekan.

Dalam formulasi model material, dimana digunakan peningkatan regangan tertentu, peningkatan ini dinyatakan oleh perubahan regangan (dinotasikan dengan sebuah titik di

(13)

(

)

T zx yz xy zz yy xx ε ε γ γ γ ε

ε &

=

& & & & & & (2.14)

untuk kondisi regangan bidang, seperti digunakan dalam PLAXIS Versi 8, ε zz = γ xz = γ yz = 0

dimana untuk kondisi axi-simetri,

ε zz _{= r} 1

⋅

u x_{dan γ} xz _{= γ} yz _{= 0 (r = radius)}

Dengan invarian tegangan, umumnya berguna mendefinisikan invarian regangan. Sebuah invarian regangan yang sering digunakan adalah regangan volumetrik, ε v, yang didefinisikan sebagai jumlah dari seluruh komponen regangan normal :

ε v = ε xx

+

ε yy

+

ε zz = ε 1

+

ε 2 ε 3 (2.15)

Regangan volumetrik negatif dipakai untuk volume yang memampat dan positif untuk dilatansi.

Untuk model elastoplastis, seperti digunakan dalam program PLAXIS, regangan dibedakan menjadi komponen elastis dan komponen plastis :

ε = ε e

+

ε p (2.16)

Dalam manual ini, notasi atas (superscript) e akan digunakan untuk menunjukkan regangan elastis dan notasi atas (superscript) p akan digunakan untuk menyatakan regangan plastis.

2.3

2.3 REGANGAN ELASTISREGANGAN ELASTIS

Model material untuk tanah dan batuan umumnya dinyatakan sebagai suatu hubungan antara peningkatan tegangan efektif tertentu ("perubahan tegangan efektif") dan peningkatan regangan tertentu ("perubahan regangan"). Hubungan ini dapat dinyatakan

dalam bentuk : ε

σ &

′

=

M

⋅

& (2.17)

M

adalah matriks kekakuan material. Perhatikan bahwa dalam pendekatan ini, tekanan air pori secara ekplisit dipisahkan dari hubungan tegangan-regangan.

Model material yang paling sederhana dalam PLAXIS didasarkan pada hukum Hooke untuk perilaku elastis linier isotropis. Model ini dinamakan sebagai model Linier Elastis, namun model ini juga menjadi dasar dari model-model yang lain. Hukum Hooke dapat dinyatakan dengan persamaan :

(14)

(

) ( )

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

⋅

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

′

−

′

−

′

−

′

−

′

−

′

−

⋅

′

+

⋅

′

⋅

−

=

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

′

zx yz xy zz yy xx zx yz xy zz yy xx ' ' ' E γ γ γ ε ε ε ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν σ σ σ σ σ σ & & & & & & & & & & & & 2 1 2 1 2 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 2 1 (2.18)

Matriks kekakuan elastis dari material seringkali dinotasikan sebagai_{D . Dua buah}e

parameter yang digunakan dalam model ini, yaitu modulus Young, E

′

, dan angka Poison efektif, ν

′

. Dalam manual ini, untuk seterusnya parameter efektif akan dinotasikan tanpa tanda aksen (

′

), kecuali jika dinyatakan suatu arti yang berbeda secara eksplisit. Simbol E dan ν kadang kala digunakan dalam manual ini dengan tambahan notasi stabil ( subscript) "ur " untuk menekankan bahwa parameter tersebut secara eksplisit dimaksudkan untuk pengurangan beban dan pembebanan kembali (unloading dan reloading ). Modulus kekakuan yang dinyatakan dengan tambahan "ref " juga menekankan bahwa modulus tersebut mengacu pada level referensi ( yref ) tertentu. Hubungan antara modulus Young, E , dengan modulus-modulus kekakuan yang lain, seperti modulus geser, G, modulus bulk, K , dan modulus oedometer, E oed , dinyatakan oleh : G =

(

₊

ν

)

⋅

1 2 E (2.19a) K =

(

−

⋅

ν

)

⋅

1 2 3 E (2.19b)

(

)

(

) ( )

ν ν ν

+

⋅

−

⋅

=

1 2 1 1- E E oed (2.19c)

Saat memasukkan parameter dari material untuk model Linier Elastis atau model Mohr-Coulomb, nilai dari G dan E oed ditampilkan sebagai parameter tambahan (alternatif), yang dihitung dengan Pers. (2.19). Perhatikan bahwa parameter alternatif tersebut dipengaruhi oleh nilai masukan E dan ν . Memasukkan suatu nilai untuk salah satu dari parameter alternatifG atau E oed akan menghasilkan perubahan dari nilai modulus E .

Dalam model Linier Elastis dapat digunakan suatu kekakuan yang berubah secara linier terhadap kedalaman. Hal ini dapat dilakukan dengan masuk ke jendela parameter tingkat lanjut dengan menekan tombol Tingkat lanjut , seperti ditunjukkan pada Gambar 2.3. Disini pengguna dapat memasukkan nilai E increment yang merupakan peningkatan kekakuan per dimensi kedalaman, seperti ditunjukkan dalam Gambar 2.4.

Bersama dengan masukan E increment , masukan dari yref menjadi relevan. Di atas yref kekakuan akan bernilai sama dengan E ref . Di bawah yref , kekakuan akan bernilai sebesar :

(15)

PENGENALAN PEMODELAN MATERIAL Model Linier Elastis umumnya tidak sesuai untuk memodelkan perilaku tanah yang sangat tidak linier, tetapi akan tepat jika digunakan untuk memodelkan perilaku dari struktur, seperti dinding atau pelat beton yang tebal, yang umumnya mempunyai kekuatan yang sangat tinggi dibandingkan dengan kekuatan tanah. Untuk aplikasi-aplikasi semacam ini, model Linier Elastis akan sering digunakan bersamaan dengan jenis material Tidak porous untuk menghilangkan tekanan air pori dari elemen-elemen

struktural ini.

Gambar 2.3 Lembar-tab untuk model Linier Elastis

(16)

2.4

2.4 ANALISIS TAK TERDRAINASE DENGAN PARAMETER EFEKTIFANALISIS TAK TERDRAINASE DENGAN PARAMETER EFEKTIF

Dalam PLAXIS, perilaku tak terdrainase dapat dilakukan dalam suatu analisis tegangan efektif dengan menggunakan parameter efektif dari model. Hal ini dapat dicapai dengan mengatur jenis perilaku material ( Jenis material ) dari lapisan tanah menjadi Tak terdrainase. Dalam bab ini, dijelaskan bagaimana PLAXIS menangani pilihan khusus ini. Adanya tekanan air pori dalam massa tanah, umumnya diakibatkan oleh air, ikut menentukan besarnya tegangan total. Menurut prinsip Terzaghi, tegangan total σ dapat dibedakan menjadi tegangan efektif σ

_′

dan tekanan air pori, σ w_{(lihat juga Pers. 2.3).} Walaupun demikian air dianggap tidak dapat menerima tegangan geser, sehingga tegangan geser efektif akan sama dengan tegangan geser total :

w xx xx σ σ σ

=

′

+

(2.21a) w yy yy σ σ σ

=

′

+

(2.21b) w zz zz σ σ σ

=

′

+

(2.21c) xy xy σ σ

=

′

(2.21d) yz yz σ σ

=

′

(2.21e) zx zx σ σ

=

′

(2.21f)

Perhatikan bahwa serupa dengan komponen tegangan total dan efektif, σ w dianggap bernilai negatif untuk tegangan tekan.

Pembedaan lebih jauh adalah antara tekanan air pori hidrostatik atau tekanan air pori dalam kondisi statis, p stabil , dan tekanan air pori berlebih, pberlebih :

σ w = p stabil + pberlebih (2.22)

Tekanan air pori dalam kondisi statis dianggap sebagai data masukan, yaitu dibentuk berdasarkan level freatik atau aliran air dalam tanah. Pembentukan tekanan air pori dalam kondisi statis dibahas dalam Bab 3.8 dari Manual Acuan. Tekanan air pori berlebih terbentuk dalam perhitungan plastis untuk kasus perilaku material yang tak terdrainase. Perilaku material yang tak terdrainase dan perhitungan tekanan air pori berlebih yang bersangkutan dijelaskan berikut ini.

Karena turunan waktu dari komponen dalam kondisi statis adalah nol, maka :

σ &w =

p

&

berlebih (2.23)

(17)

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

′

⋅

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

′

⋅

+

′

⋅

+

′

⋅

+

′

−

′

−

′

−

′

−

′

−

′

−

⋅

′

=

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

zx yz xy zz yy xx e zx e yz e xy e zz e yy e xx E σ σ σ σ σ σ ν ν ν ν ν ν ν ν ν γ γ γ ε ε ε & & & & & & & & & & & & 2 2 0 0 0 0 0 0 2 2 0 0 0 0 0 0 2 2 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 (2.24)

Dengan memasukkan Pers. (2.1) akan didapat :

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−

⋅

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

′

⋅

+

′

⋅

+

′

⋅

+

′

−

′

−

′

−

′

−

′

−

′

−

⋅

′

=

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

zx yz xy w zz w yy w xx e zx e yz e xy e zz e yy e xx E σ σ σ σ σ σ σ σ σ ν ν ν ν ν ν ν ν ν γ γ γ ε ε ε & & & & & & & & & & & & & & & 2 2 0 0 0 0 0 0 2 2 0 0 0 0 0 0 2 2 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 (2.25)

Dengan menganggap bahwa air dapat sedikit terkompresi, maka perubahan tekanan air pori dapat dinyatakan sebagai :

(

ε ε ε

)

σ &w w & xxe +& yye +& zz e

n K

_⋅

=

(2.26)

dimana K w adalah modulus bulk dari air dann adalah porositas tanah.

Bentuk invers dari hukum Hooke dapat dituliskan dalam kondisi perubahan tegangan total dan parameter tak terdrainase E u dan ν u :

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

′

⋅

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

⋅

+

⋅

+

⋅

+

−

⋅

=

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

zx yz xy zz yy xx u u u u u u u u u u e zx e yz e xy e zz e yy e xx E σ σ σ σ σ σ ν ν ν ν ν ν ν ν ν γ γ γ ε ε ε & & & & & & & & & & & & 2 2 0 0 0 0 0 0 2 2 0 0 0 0 0 0 2 2 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 (2.27) dimana :

(

ν u

)

u G + E

=

2

⋅

1

(

)

(

ν

)

μ ν ν ν

′

+

⋅

+

′

+

⋅

+

′

=

1 2 1 1 u (2.28) μ = K K n w

′

⋅

3 1

(

−

⋅

ν

′

)

⋅

′

=

′

2 1 3 E K (2.29)

(18)

Karena itu, pilihan khusus untuk perilaku tak terdrainase dalam PLAXIS adalah sedemikian rupa sehingga parameterG dan ν diubah menjadi E u dan ν u sesuai dengan Pers. (2.21) dan (2.22). Perhatikan bahwa indeks u digunakan untuk menunjukkan sifat parameter untuk tanah yang tak terdrainase. Parameter E u dan ν u berbeda dengan parameter E ur dan ν ur yang digunakan untuk menyatakan pengurangan beban dan pembebanan kembali.

Perilaku yang sama sekali tidak kompresibel diperoleh dengan menggunakan ν u = 0.5. Namun penggunaan ν u = 0.5 akan menghasilkan matriks kekakuan yang singular. Pada kenyataannya, air memiliki kompresibilitas yang sangat rendah, tetapi nilai modulus bulk yang realistis dari air adalah sangat besar. Untuk menghindari masalah numerik yang diakibatkan oleh kompresibilitas yang sangat rendah, secara pra-pilih nilai ν u ditentukan sebesar 0.495, yang mengakibatkan massa tanah yang tak terdrainase bersifat sedikit kompresibel. Untuk memperoleh hasil perhitungan yang realistis, modulus bulk dari air harus tinggi dibandingkan dengan modulus bulk dari butiran tanah, yaitu agar K w >>n

⋅

K

′

. Kondisi ini dapat dipastikan tercapai dengan menggunakan nilai ν

′

≤

0.35. Peringatan akan muncul jika angka Poisson > 0.35 digunakan pada material dengan perilaku yang tak terdrainase.

Dengan demikian, modulus bulk dari air akan secara otomatis ditambahkan pada matriks kekakuan dari tanah untuk perilaku material yang tak terdrainase. Nilai modulus bulk adalah sebesar :

(

)

(

( )

)

K K . K n K u u w

_⋅

_′

_>

_⋅

_′

′

+

′

−

⋅

=

′

⋅

′

+

⋅

−

′

−

⋅

=

30 1 495 0 300 1 2 1 3 ν ν ν ν ν ν (2.30) setidaknya untuk ν

′

≤

0.35. Untuk retrospeksi, ada baiknya diulas kembali nilai-B dari Skempton disini.

Nilai-B Skempton : Nilai-B Skempton :

Saat Jenis material (jenis dari perilaku material) diatur ke Tak terdrainase, PLAXIS

secara otomatis mengasumsikan sebuah modulus bulk tak terdrainase secara implisit, K u, untuk tanah secara keseluruhan (butiran tanah + air) dan membedakan antara tegangan total, tegangan efektif dan tekanan air pori berlebih (lihat Perilaku tak terdrainase) :

Tegangan total Δ p

=

K _u

⋅

Δε _v

Tegangan efektif Δ p

′

=

( 1

−

B )

⋅

Δ p

=

K

⋅′

Δε v

Tekanan air pori berlebih w _v

w n K p B p Δ Δε Δ

=

⋅

=

⋅

Perhatikan bahwa parameter efektif dari model harus dimasukkan dalam kumpulan data material, yaitu E

′

, ν

′

,c

′

, φ

′

dan bukan E u, ν u,cu ( su), φ u. Modulus bulk tak terdrainase secara otomatis dihitung oleh PLAXISdengan menggunakan hukum elastisitas Hooke :

(19)

(

)

(

u

)

u u G K ν ν

⋅

−

⋅

+

⋅

=

2 1 3 1 2 dimana

(

+

ν

′

)

⋅

′

=

1 2 E G

dan ν = 0.495 u (saat menggunakan Pengaturan standar)

atau ν u =

(

)

(

ν

)

ν ν

′

⋅

−

⋅

−

′

⋅

−

⋅

+

′

⋅

2 1 3 2 1 3 B B

(saat menggunakan Pengaturan Manual)

Nilai dari angka Poisson tak terdrainase, ν u_{, menyatakan suatu hubungan dengan} kekakuan bulk dari air pori, K w,ref /n :

K K n K u w,ref

₌

₋

_′

dimana

(

−

⋅

ν

′

)

⋅

′

=

′

2 1 3 E K

Nilai K w,ref /n ini umumnya sangat kecil jika dibandingkan dengan kekakuan bulk yang sesungguhnya dari air, K w

0

(= 2

⋅

106 kN/m2).

Jika nilai- B dari Skempton tidak diketahui, namun derajat kejenuhan, S , dan porositas tanah,n, diketahui, maka nilai kekakuan bulk dari air pori dan diperkirakan dari :

(

S

)

K n K S K K n K w air air w w 1 1 0 0

⋅

−

+

⋅

=

dimana

(

−

⋅

ν

′

)

⋅

′

=

′

2 1 3 E K

dimana K air = 200 kN/m2 (kekakuan udara atau "air ") untuk udara pada tekanan atmosfer. Nilai- B dari Skempton sekarang dapat dihitung dari rasio kekakuan bulk butiran tanah dan air pori :

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ ′

⋅

+

=

w K K n B 1 1

Perubahan tekanan air pori berlebih dapat dihitung dari perubahan regangan volumetrik (yang kecil) menurut :

ε σ &w w &v

n K

_⋅

=

(2.31)

Jenis elemen yang digunakan dalam PLAXIS telah mencukupi untuk menghindari terjadinya efek terkuncinya jaring elemen (mesh locking effect ) untuk material yang hampir tidak kompresibel.

Pilihan khusus untuk memodelkan perilaku material tak terdrainase yang didasarkan pada parameter efektif dari model ini tersedia untuk seluruh model material dalam program PLAXIS. Dengan pilihan ini maka perhitungan tak terdrainase dapat dilakukan dengan menggunakan masukan berupa parameter efektif, dengan pembedaan secara eksplisit antara tegangan efektif dan tekanan air pori berlebih.

(20)

Analisis seperti ini memerlukan parameter efektif dari tanah sehingga akan sangat baik dan tepat jika parameter efektif tersebut tersedia. Untuk proyek tanah lunak, data berupa parameter efektif yang akurat tidak selalu tersedia, tetapi uji lapangan atau uji laboratorium mungkin telah dilakukan untuk memperoleh parameter tanah yang tak terdrainase. Dalam situasi seperti ini maka modulus Young tak terdrainase yang terukur dapat dengan mudah dikonversikan menjadi mudulus Young terdrainase dengan :

(

)

u E E

′

=

⋅

+

′

⋅

3 1 2 ν (2.32) Namun demikian, kuat geser tak terdrainase tidak dapat dengan mudah digunakan untuk menentukan parameter kuat geser efektif φ

′

danc

′

. Untuk proyek semacam ini PLAXIS

menawarkan kemungkinan untuk melakukan analisis tak terdrainase dengan masukan berupa parameter kuat geser tak terdrainase (cu atau su) dan φ = φ u = 0

°

. Pilihan ini hanya tersedia untuk model Mohr-Coulomb dan model Hardening Soil, tetapi tidak tersedia untuk model Soft Soil (Creep). Perhatikan bahwa saat Jenis material diatur ke Tak terdrainase, maka nilai-nilai efektiflah yang harus dimasukkan untuk parameter elastis E dan ν !

2.5

2.5 ANALISIS ANALISIS TAK TAK TERDRAINASE TERDRAINASE DENGAN DENGAN PARAMETER PARAMETER TAKTAK TERDRAINASE (PARAMETER TOTAL)

TERDRAINASE (PARAMETER TOTAL)

Jika untuk suatu alasan tertentu diinginkan untuk menggunakan pilihanTak terdrainase dalam PLAXIS_{untuk melakukan suatu analisis yang tak terdrainase, pengguna dapat}

menggunakan pilihan Tanpa-pori dan secara langsung memasukkan parameter elastis tak terdrainase E = E u dan ν = ν u = 0.495 serta parameter kuat geser tak terdrainasec = cu dan φ = φ u = 0

°

. Dalam kasus ini analisis tegangan total dilakukan tanpa membedakan tegangan efektif dengan tekanan air pori. Karena itu, seluruh keluaran yang dinyatakan sebagai tegangan efektif harus diinterpretasikan sebagai tegangan total dan seluruh tekanan air adalah nol. Dalam keluaran grafis untuk tegangan, tegangan dalam klaster yangTanpa-pori tidak akan ditampilkan. Jika kondisi tegangan ingin ditampilkan, maka jenis material yang harus dipilih adalah Terdrainase dan bukan Tanpa-pori, serta pastikan tidak ada tekanan air pori yang terbentuk dalam klaster-klaster ini. Perhatikan bahwa pendekatan ini tidak dapat dilakukan saat menggunakan model Soft Soil Creep. Secara umum, analisis tegangan efektif dengan menggunakan pilihanTak terdrainase di dalam PLAXIS untuk memodelkan perilaku tak terdrainase lebih baik dibandingkan dengan analisis tegangan total.

2.6

2.6 TEKANAN PRAKONSOLIDASI AWAL DALAM MODEL TINGKATTEKANAN PRAKONSOLIDASI AWAL DALAM MODEL TINGKAT LANJUT

LANJUT

Saat menggunakan model tingkat lanjut dalam PLAXIS, tekanan prakonsolidasi awal harus ditentukan terlebih dahulu. Dalam praktek, umumnya digunakan tekanan prakonsolidasi vertikal, σ p, tetapi PLAXISmemerlukan tekanan prakonsolidasi isotropis

(21)

PENGENALAN PEMODELAN MATERIAL ekivalen, p peq, untuk menentukan posisi awal dari "cap" bidang leleh (cap-type yield surface). Jika suatu material terkonsolidasi berlebih, maka diperlukan informasi mengenai rasio konsolidasi berlebih (OCR), yaitu rasio dari tegangan vertikal maksimum yang pernah dicapai, σ p (lihat Gambar 2.5), terhadap tegangan vertikal efektif di lapangan, σ

′

0 yy. OCR = ₀ yy p σ σ

′

(2.33)

Dimungkinkan juga untuk menentukan kondisi tegangan awal dengan menggunakan tekanan pra-pembebanan (POP) sebagai alternatif lain untuk menentukan rasio konsolidasi berlebih. Tekanan pra-pembebanan didefinisikan sebagai :

POP = |σ p-

′

σ yy0| (2.34)

Kedua cara untuk menentukan tekanan prakonsolidasi vertikal ini dilustrasikan dalam Gambar 2.5. 0 OCR yy p σ σ ′ = 0 yy ' σ σ _p POP 0 yy ' σ σ _p (a) (b)

Gambar 2.5 Ilustrasi tekanan prakonsolidasi vertikal dan hubungannya dengan tegangan vertikal di lapangan dengan menggunakan OCR (a) dan POP (b)

Tekanan prakonsolidasi, σ p, digunakan untuk menghitung p p eq

yang menentukan posisi awal dari "cap" bidang leleh dalam model tanah tingkat lanjut. Perhitungan p peq didasarkan pada kondisi tegangan :

σ

′

1 = σ p dan : σ

′

2

=

σ

′

3

=

K σ NC 0

⋅

p (2.35)

dimana K 0 NC adalah nilai K 0 saat kondisi tegangan terkonsolidasi normal. Untuk model Hardening Soil pengaturan parameter secara pra-pilih menggunakan persamaan dari Jaky K 0 NC

≈

1 – sin φ . Untuk model Soft Soil Creep, pengaturan pra-pilih sedikit berbeda, tetapi perbedaannya dengan korelasi dari Jaky tidak terlalu besar.

(22)

2.7

2.7 TEGANGAN AWALTEGANGAN AWAL

Pada tanah yang terkonsolidasi berlebih, tekanan tanah lateral lebih besar dibandingkan dengan tanah yang terkonsolidasi normal. Efek ini secara otomatis diikutsertakan dalam model-model tanah tingkat lanjut saat membentuk tegangan inisial dengan menggunakan Prosedur-K 0. Prosedur yang digunakan dijelaskan sebagai berikut. Pada suatu uji konsolidasi satu dimensi, tanah akan dibebani hingga σ

′

yy = σ p dan kemudian beban dikurangi hingga σ

′

yy = σ

′

0 yy. Selama pengurangan beban sampel tanah berperilaku secara elastis dan menurut hukum Hooke, peningkatan rasio tegangan

diberikan oleh (Gambar 2.6) :

yy xx σ Δ σ Δ

′

= ₀ 0 0 yy p xx p NC K σ σ σ σ

′

−

′

−

⋅

=

(

)

0 0 0 0 1 OCR OCR yy xx yy NC σ σ ' σ K

′

⋅

−

′

⋅

= ur ur ν ν

−

1 (2.36) dimana K 0 NC

adalah rasio tegangan dalam kondisi terkonosolidasi normal. Karena itu, rasio tegangan dari tanah yang terkonsolidasi berlebih adalah :

0 0 yy xx σ σ

′

=

(

OCR 1

)

1 OCR 0 -ν ν K ur ur NC

_⋅

−

⋅

(2.37)

Penggunaan angka Poisson yang kecil, seperti telah dibahas sebelumnya, akan menghasilkan rasio tegangan lateral terhadap tegangan vertikal yang relatif besar, seperti sering dijumpai pada tanah-tanah yang terkonsolidasi secara berlebih. Perhatikan bahwa Pers. (2.37) hanya berlaku pada rentang elastis, karena persamaan tersebut diturunkan dari hukum elastisitas Hooke. Jika pengurangan beban yang besar dilakukan pada suatu sampel tanah, maka akan dihasilkan derajat konsolidasi berlebih yang tinggi dan rasio tegangan akan dibatasi oleh kondisi keruntuhan Mohr-Coulomb.

-σ

′

xx -σ

′

yy -σ p -σ

′

yy0 K 0 NC 1 ν ur 1-ν ur -σ

_′

xx 0

Gambar 2.6 Kondisi tegangan terkonsolidasi berlebih yang diperoleh dari pembebanan dan pengurangan beban

(23)

MODEL MOHR-COULOMB (PLASTISITAS SEMPURNA)

3

3 MODEL MOHR-COULOMB (PLASTISITAS SEMPURNA)MODEL MOHR-COULOMB (PLASTISITAS SEMPURNA)

Plastisitas mempunyai hubungan dengan terbentuknya regangan yang tidak dapat kembali seperti semula. Untuk mengevaluasi apakah plastisitas telah terjadi dalam perhitungan, sebuah fungsi leleh ( yield function), f , digunakan sebagai fungsi dari tegangan dan regangan. Sebuah fungsi leleh umumnya dapat dinyatakan sebagai suatu bidang dalam ruang tegangan utama. Sebuah model plastis-sempurna merupakan suatu model konstitutif dengan bidang leleh tertentu, yaitu bidang leleh yang sepenuhnya didefinisikan oleh parameter model dan tidak terpengaruh oleh peregangan (plastis). Untuk kondisi tegangan yang dinyatakan oleh titik-titik yang berada di bawah bidang leleh, perilaku dari titik-titik tersebut akan sepenuhnya elastis dan seluruh regangan dapat kembali seperti semula.

3.1

3.1 PERILAKU ELASTIS PLASTIS-SEMPURNAPERILAKU ELASTIS PLASTIS-SEMPURNA

Prinsip dasar dari model elastis-plastis adalah bahwa regangan dan perubahan regangan dibedakan menjadi bagian yang elastis dan bagian yang plastis :

ε = ε e

+

ε p ε & =ε &e

+

&ε p (3.1) Hukum Hooke digunakan untuk menghubungkan perubahan tegangan dan perubahan regangan elastis. Substitusi Pers. (3.1) ke dalam hukum Hooke (2.18) menghasilkan :

σ &

′

= De

⋅

ε &e = De

⋅

−

(

ε & &ε p

)

(3.2) Menurut teori plastisitas klasik (Hill, 1950), perubahan regangan plastis adalah proporsional terhadap turunan fungsi leleh terhadap tegangan. Hal ini berarti bahwa perubahan regangan plastis dapat dinyatakan sebagai vektor yang tegak lurus terhadap bidang leleh. Bentuk klasik dari teori plastisitas ini disebut sebagai plastisitas terasosiasi (associated plasticity). Namun, untuk fungsi leleh Mohr-Coulomb, teori plastisitas terasosiasi akan menghasilkan prediksi dilatansi yang berlebihan. Karena itu, selain fungsi leleh ( yield function), f , digunakan juga sebuah fungsi potensi plastis ( plastic potential function), g . Kasus dimana g

≠

f , disebut sebagai plastisitas yang tidak berhubungan (non-associated plasticity). Secara umum, perubahan regangan plastis

dituliskan sebagai : ε & p = σ λ

′

∂

⋅

g (3.3)

dimana λ adalah faktor pengali plastis. Untuk perilaku elastis murni, λ adalah nol untuk perilaku plastis, λ adalah positif :

λ = 0 untuk : f < 0 atau : f De 0 T

≤

⋅

′

∂

ε

(24)

MANUAL MODEL MATERIAL λ > 0 untuk := 0 dan : f f De 0 T

>

⋅

′

∂

ε σ & (Plastisitas) (3.4b) σ

′

ε

Gambar 3.1 Ide dasar dari suatu model elastis plastis-sempurna

Persamaan-persamaan ini dapat digunakan untuk memperoleh hubungan antara perubahan tegangan efektif dan perubahan regangan untuk model elastis-plastis (Smith

& Griffith, 1982; Vermeer & de Borst, 1984) :

' σ & = σ σ ε α _&

⋅

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎝

⎛

⋅

′

∂

⋅

′

∂

⋅

−

D f g D d D e T e e (3.5a) dimana :

d

=

σ

∂

′

∂

′

∂

g

D

f

T e (3.5b) Parameter α digunakan sebagai suatu " switch". Jika perilaku material adalah elastis, seperti didefinisikan oleh Pers. (3.4a), nilai α akan sama dengan nol, sedangkan untuk perilaku plastis, seperti didefinisikan oleh Pers. (3.4b), nilai α akan sama dengan satu.

Teori plastisitas di atas terbatas untuk bidang leleh yang menerus dan mulus, dan tidak meliputi multi bidang kontur leleh seperti pada model Mohr-Coulomb. Untuk bidang leleh seperti ini, teori plastisitas telah dikembangkan oleh Koiter (1960) dan beberapa peneliti lain untuk memperhitungkan flow vertices yang melibatkan dua atau lebih

fungsi potensi plastis :

ε & p = g g

_′

+

...

∂

⋅

+

′

∂

⋅

σ λ σ λ 1 1 2 2 (3.6)

Serupa dengan persamaan di atas, beberapa fungsi leleh yang bersifatquasi-independent ( f 1, f 2, …) digunakan untuk menentukan besarnya nilai faktor pengali (λ 1, λ 2, …).

(25)

3.2

3.2 FORMULASI MODEL MOHR-COULOMBFORMULASI MODEL MOHR-COULOMB

Kondisi leleh Mohr-Coulomb merupakan muai hukum friksi dari Coulomb ke kondisi tegangan secara umum. Faktanya, kondisi ini memastikan bahwa hukum friksi Coulomb diterapkan dalam tiap bidang di dalam elemen. Kondisi leleh Mohr-Coulomb secara penuh terdiri dari enam buah fungsi leleh saat diformulasikan dalam konteks tegangan

utama (sebagai contoh lihat Smith & Griffin, 1982) :

(

) (

2

)

2 3 sin cos 0 1 3 2 2 1 1

=

⋅

σ

′

−

σ '

+

⋅

σ

′

+

σ

′

⋅

φ

−

c

⋅

φ

≤

f _a (3.7a)

(

) (

₂1

)

₃ ₂ sin cos 0 2 3 2 1 1

=

⋅

σ

′

−

σ

′

+

⋅

σ

′

+

σ

′

⋅

φ

−

c

⋅

φ

≤

f b (3.7b)

(

) (

2

)

3 1 sin cos 0 1 1 3 2 1 2

=

⋅

σ

′

−

σ

′

+

⋅

σ

′

+

σ

′

⋅

φ

−

c

⋅

φ

≤

f a (3.7c)

(

) (

2

)

1 3 sin cos 0 1 3 1 2 1 2

=

⋅

σ

′

−

σ

′

+

⋅

σ

′

+

σ

′

⋅

φ

−

c

⋅

φ

≤

f _b (3.7d)

(

1

) (

2 ₂1

)

1 2 sin cos 0 2 1 3

=

⋅

σ

′

−

σ

′

+

⋅

σ

′

+

σ

′

⋅

φ

−

c

⋅

φ

≤

f a (3.7e)

(

) (

2

)

2 1 sin cos 0 1 1 2 2 1 3

=

⋅

σ

′

−

σ

′

+

⋅

σ

′

+

σ

′

⋅

φ

−

c

⋅

φ

≤

f b (3.7f)

Dua buah parameter dari model plastis yang muncul dalam fungsi leleh adalah sudut geser φ dan kohesic yang telah dikenal luas. Fungsi-fungsi leleh ini secara bersamaan membentuk konus heksagonal dalam ruang tegangan utama seperti ditunjukkan oleh Gambar 3.2.

Gambar 3.2 Bidang leleh Mohr-Coulomb dalam ruang tegangan utama (c = 0) -σ 3

-σ 2

(26)

Selain fungsi leleh, didefinisikan enam buah fungsi potensi plastis untuk model Mohr-Coulomb :

(

σ

) (

σ 2

)

σ 2 σ 3 sin ψ 1 3 2 2 1 1a

=

⋅

′

−

′

+

⋅

′

+

′

⋅

g (3.8a)

(

σ

) (

σ 2

)

σ 3 σ 2 sin ψ 1 2 3 2 1 1b

=

⋅

′

−

′

+

⋅

′

+

′

⋅

g (3.8b)

(

σ 3

) (

σ 1 ₂1

)

σ 3 σ 1 sin ψ 2 1 2a

=

⋅

′

−

′

+

⋅

′

+

′

⋅

g (3.8c)

(

σ

) (

σ 2

)

σ 1 σ 3 sin ψ 1 3 1 2 1 2b

=

⋅

′

−

′

+

⋅

′

+

′

⋅

g (3.8d)

(

σ

) (

σ ₂1

)

σ ₁ σ ₂ sin ψ 2 1 2 1 3a

=

⋅

′

−

′

+

⋅

′

+

′

⋅

g (3.8e)

(

σ

) (

σ 2

)

σ 2 σ 1 sin ψ 1 1 2 2 1 3b

=

⋅

′

−

′

+

⋅

′

+

′

⋅

g (3.8f)

Fungsi potensi plastis mempanyai parameter plastisitas ketiga, yaitu sudut dilatansi ψ . Parameter ini dibutuhkan untuk memodelkan peningkatan regangan volumetrik plastis positif (dilatansi) seperti secara aktual terjadi pada tanah yang padat. Diskusi dari seluruh parameter model yang digunakan dalam model Mohr-Coulomb akan diberikan pada akhir dari bab ini.

Saat menerapkan model Mohr-Coulomb untuk kondisi tegangan secara umum, penanganan khusus diperlukan untuk perpotongan dari dua buah bidang leleh. Beberapa program menggunakan transisi yang mulus dari bidang leleh yang satu ke yang lain, yaitu dengan melengkungkan bagian sudut (untuk contoh lihat Smith & Griffith, 1982). Namun bentuk eksak dari model Mohr-Coulomb secara penuh akan digunakan di dalam

PLAXIS, dengan menggunakan transisi yang tajam dari bidang leleh yang satu ke bidang

leleh yang lain. Untuk deskripsi yang mendetil dari penanganan bagian sudut, pengguna disarankan melihat beberapa literatur (Koiter, 1960; van Langen & Vermeer, 1990). Untukc > 0, kriteria Mohr-Coulomb standar mengijinkan adanya tegangan tarik. Pada faktanya, tegangan tarik ijin akan semakin meningkat dengan meningkatnya kohesi. Tetapi dalam realitas, tanah hanya dapat menahan tegangan tarik yang kecil atau tidak sama sekali. Perilaku ini dapat dimodelkan dalam PLAXIS dengan menggunakan pembatasan tegangan tarik. Dalam kasus ini, lingkaran Mohr dengan tegangan utama positif (menyatakan tegangan tarik) tidak diijinkan. Pembatasan tegangan tarik

mengikutsertakan tiga buah fungsi leleh tambahan, yang didefinisikan sebagai :

f

4 = σ 1

′

– σ t

≤

0 (3.9a)

f

5 = σ 2

′

– σ t

≤

0 (3.9b)

f

6 = σ 3

′

– σ t

≤

0 (3.9c)

Saat digunakan prosedur pembatasan tegangan tarik, tegangan tarik yang diijinkan, σ t , secara pra-pilih ditentukan sebesar nol. Untuk ketiga fungsi leleh ini, digunakan sebuah fungsi alir ( flow rule) yang terasosiasi. Untuk kondisi tegangan yang berada di bawah

(27)

MODEL MOHR-COULOMB (PLASTISITAS SEMPURNA) bidang leleh, perilaku adalah elastis dan mengikuti hukum Hooke untuk elastisitas yang linier elastis, seperti telah dibahas dalam Bab 2.2. Karena itu, disamping parameter plastisitas, c, φ dan ψ , diperlukan masukan berupa modulus elastisitas Young, E , dan

angka Poisson, ν .

3.3

3.3 PARAMETER DASAR MODEL MOHR-COULOMBPARAMETER DASAR MODEL MOHR-COULOMB

Model Mohr-Coulomb membutuhkan total lima buah parameter, yang umum digunakan oleh para praktisi geoteknik dan dapat diperoleh dari uji-uji yang umum dilakukan di laboratorium. Parameter-parameter tersebut bersama dimensi dasarnya adalah sebagai berikut : E : Modulus Young [kN/m 2_] ν : Angka Poisson [-] φ : Sudut geser [

°

] c : Kohesi [kN/m 2] ψ : Sudut dilatansi [

°

]

Gambar 3.3 Lembar-tab Parameter untuk model Mohr-Coulomb

Modulus Young (E) Modulus Young (E)

PLAXISmenggunakan modulus Young sebagai modulus kekakuan dasar dalam model

(28)

Modulus kekakuan mempunyai dimensi sama dengan dimensi tegangan. Nilai dari parameter kekakuan yang digunakan dalam suatu perhitungan memerlukan perhatian khusus karena kebanyakan material tanah menunjukkan perilaku yang non-linier dari awal pembebanan. Dalam mekanika tanah, kemiringan awal dari kurva tegangan-regangan umumnya dinotasikan sebagai E 0 dan modulus sekan pada 50% kekuatan dinotasikan sebagai E 50 (lihat Gambar 3.4). Untuk material dengan rentang elastisitas linier yang lebar maka penggunaan E 0 adalah realistis, tetapi untuk masalah pembebanan pada tanah, umumnya digunakan E 50. Pada pengurangan beban, seperti pada kasus

terowongan dan galian, perlu digunakan E ur dan bukan E 50.

regangan - ε 1

|σ 1- σ 3| 1

E 0 E 50

1

Gambar 3.4 Definisi E 0 dan E 50 untuk hasil uji triaksial terdrainase standar Untuk tanah, modulus pengurangan beban E ur dan modulus pembebanan E 50 cenderung semakin meningkat terhadap peningkatan tekanan keliling (confining pressure) yang bekerja. Karena itu, lapisan tanah yang dalam cenderung mempunyai kekakuan yang lebih tinggi dibandingkan dengan lapisan tanah yang dangkal. Terlebih lagi, kekakuan dari tanah bergantung pada lintasan tegangan yang dilalui. Kekakuan akan jauh lebih tinggi untuk kasus pengurangan beban dibandingkan dengan kasus peningkatan pembebanan. Selain itu, kekakuan tanah yang dinyatakan dengan modulus Young dapat lebih rendah pada kasus pembebanan (terdrainase) dibandingkan pada kasus penggeseran. Karena itu, saat menggunakan modulus kekakuan yang konstan untuk menyatakan perilaku tanah perlu ditentukan sebuah nilai yang konsisten terhadap tingkat tegangan dan lintasan tegangan yang dilalui. Perhatikan bahwa beberapa perilaku tanah yang tergantung dari tegangan yang bekerja telah diikutsertakan dalam model tingkat lanjut dalam PLAXIS, yang dijelaskan dalam Bab 5 dan 6. Untuk model Mohr-Coulomb,

PLAXIS menawarkan sebuah pilihan khusus untuk masukan nilai kekakuan yang

meningkat terhadap kedalaman (lihat Bab 3.4).

Angka Poisson ( Angka Poisson ( ) )

Uji triaksial terdrainase standar dapat menghasilkan pengurangan volume yang signifikan pada awal pemberian beban aksial, yang menghasilkan konsekuensi berupa nilai angka Poisson awal (ν 0) yang rendah. Pada beberapa kasus, khususnya pada

(29)

MODEL MOHR-COULOMB (PLASTISITAS SEMPURNA) masalah pengurangan beban, mungkin realistis untuk menggunakan nilai awal yang rendah, tetapi pada penggunaan model Mohr-Coulomb, secara umum direkomendasikan menggunakan nilai yg tinggi.

Penentuan angka Poisson cukup sederhana jika model elastis atau model Mohr-Coulomb digunakan untuk pembebanan grvitasi (dengan meningkatkan Σ Mweight dari 0 ke 1 pada perhitungan plastis). Untuk pembebanan seperti ini PLAXIS harus memberikan rasio yang realistis dari K 0 = σ h / σ v. Karena kedua model tersebut akan menghasilkan nilai rasio yang dikenal luas yaitu σ h / σ v = ν / (1 – ν ) untuk kompresi satu dimensi, maka dengan mudah dapat dipilih angka Poisson yang menghasilkan nilai K 0_yang realistis dapat dengan mudah dilakukan. Karena itu nilai ν dievaluasi dengan mencocokkan nilai K 0. Hal ini akan dibahas secara mendalam pada Lampiran A, yang membahas tentang distribusi tegangan awal. Dalam banyak kasus akan diperoleh nilai ν yang berkisar antara 0.3 dan 0.4. Umumnya, nilai tersebut tidak hanya digunakan pada kompresi satu dimensi, tetapi juga juga dapat digunakan untuk kondisi pembebanan lainnya. Namun untuk kasus pengurangan beban, lebih umum untuk menggunakan nilai antara 0.15 dan 0.25.

Kohesi (c) Kohesi (c)

Kekuatan berupa kohesi mempunyai dimensi tegangan. PLAXISdapat menangani pasir non-kohesif (c = 0), tetapi beberapa pilihan tidak akan berjalan dengan baik. Untuk menghindari hal ini, pengguna yang belum berpengalaman disarankan untuk memasukkan nilai yang kecil untuk kohesi (gunakan c > 0.2 kPa).

PLAXIS_{juga memiliki pilihan khusus untuk masukan suatu lapisan tanah dimana nilai}

kohesi meningkat terhadap kedalaman (lihat Bab 3.4).

Sudut geser ( Sudut geser ( ) )

Nilai sudut geser, φ ( phi), dimasukkan dalam dimensi derajat. Sudut geser yang tinggi, seperti pada pasir padat, akan mengakibatkan peningkatan beban komputasi plastis.

-σ 3 -σ 1 -σ 2 φ -σ 3 -σ 2 -σ 1 c tegangan normal tegangan geser

Gambar 3.5 Lingkaran-lingkaran tegangan saat mengalami leleh; satu lingkaran menyentuh garis keruntuhan Coulomb

(30)

Waktu komputasi akan meningkat kurang-lebih secara ekponensial terhadap sudut geser. Karena itu, sudut geser yang tinggi sebaiknya dihindari saat melakukan perhitungan awal untuk suatu proyek tertentu. Sudut geser akan menentukan kuat geser seperti ditunjukkan pada Gambar 3.5 dengan menggunakan lingkaran tegangan Mohr. Representasi dari kriteria leleh yang lebih umum ditunjukkan pada Gambar 3.2. Kriteria keruntuhan Mohr-Coulomb telah terbukti lebih baik untuk menyatakan perilaku tanah dibandingkan dengan aproksimasi dari Drucker-Prager, dimana bidang runtuh dari model Drucker-Prager cenderung tidak akurat untuk konfigurasi axi-simetri.

Sudut dilatansi ( Sudut dilatansi ( ) )

Sudut dilatansi, ψ ( psi), dinyatakan dalam derajat. Selain tanah lempung yang terkonsolidasi sangat berlebih, tanah lempung cenderung tidak menunjukkan dilatansi sama sekali (yaitu ψ = 0). Dilatansi dari tanah pasir bergantung pada kepadatan serta sudut gesernya. Untuk pasir kwarsa besarnya dilatansi kurang lebih adalah ψ

≈

φ – 30

°

. Walaupun demikian, dalam kebanyakan kasus sudut dilatansi adalah nol untuk nilai φ kurang dari 30

°

. Nilai negatif yang kecil untuk ψ hanya realistis untuk tanah pasir yang sangat lepas. Untuk informasi lebih lanjut mengenai hubungan antara sudut geser dan dilatansi, lihat Bolton (1986).

3.4

3.4 PARAMETER TINGKAT LANJUT DARI MODEL MOHR-COULOMBPARAMETER TINGKAT LANJUT DARI MODEL MOHR-COULOMB

Saat menggunakan model Mohr-Coulomb, tombol Tingkat lanjut dalam lembar-tab Parameter dapat di-klik untuk memasukkan beberapa parameter tambahan yang digunakan untuk fitur pemodelan tingkat lanjut. Sebuah jendela seperti ditunjukkan pada Gambar 3.6 akan muncul. Fitur tingkat lanjut terdiri dari peningkatan kekakuan dan peningkatan kohesi terhadap kedalaman serta pembatasan tegangan tarik. Fitur pembatasan tegangan tarik secara pra-pilih telah diaktifkan, tetapi dapat dinonaktifkan jika memang diinginkan.

Peningkatan kekakuan (E Peningkatan kekakuan (E increment increment ) )

Pada tanah sesungguhnya, kekakuan tanah tergantung pada tingkat tegangan secara siginifikan, yang berarti bahwa kekakuan umumnya akan meningkat terhadap kedalaman. Saat menggunakan model Mohr-Coulomb, kekakuan merupakan suatu konstanta. Untuk memperhitungkan peningkatan kekakuan terhadap kedalaman dapat digunakan E increment , yaitu peningkatan modulus Young per dimensi kedalaman (dinyatakan dalam dimensi tegangan per dimensi kedalaman). Pada level yang ditentukan oleh parameter yref _{, kekakuan adalah sebesar modulus Young referensi, E}ref _, yang dimasukkan dalam lembar-tab Parameter . Nilai aktual dari modulus Young pada titik tegangan yang berada di bawah yref akan diperoleh dari nilai referensi dan E increment . Perhatikan bahwa dalam perhitungan yang dilakukan, kekakuan yang meningkat terhadap kedalaman tidak berubah sebagai fungsi dari kondisi tegangan.

(31)

Peningkatan kohesi (c Peningkatan kohesi (cincrement increment ) )

PLAXISmenawarkan pilihan tingkat lanjut untuk masukan dari lapisan tanah lempung

dimana kohesi meningkat terhadap kedalaman. Untuk memperhitungkan peningkatan kohesi terhadap kedalaman dapat digunakan cincrement , yaitu peningkatan kohesi per dimensi kedalaman (dinyatakan dalam dimensi tegangan per dimensi kedalaman). Pada level yang ditent ukan parameter yref , nilai kohesi sebesar kohesi referensi, cref , yang dimasukkan dalam lembar-tab Parameter . Nilai aktual dari kohesi pada titik tegangan yang berada di bawah yref akan diperoleh dari nilai referensi dan cincrement .

Gambar 3.6 Jendela parameter Mohr-Coulomb tingkat lanjut

Batas tegangan tarik Batas tegangan tarik

Pada beberapa permasalah praktis, suatu area dengan tegangan tarik dapat terbentuk. Menurut bidang keruntuhan Coulomb seperti ditunjukkan dalam Gambar 3.5, hal ini dapat terjadi jika tegangan geser yang bekerja (dinyatakan oleh radius dari lingkaran Mohr) mempunyai nilai yang cukup kecil. Walaupun demikian, permukaan tanah di dekat parit pada tanah lempung dapat menunjukkan retak tarik (tensile crack ). Hal ini menunjukkan bahwa tanah juga dapat mengalami keruntuhan akibat tarik disamping akibat geser. Perilaku ini dapat diikutsertakan dalam perhitungan PLAXIS dengan memilih pembatasan tegangan tarik. Dalam kasus ini tidak diperbolehkan adanya lingkaran Mohr dengan tegangan utama positif (tegangan tarik). Saat mengaktifkan pembatasan tegangan tarik, Kuat tarik dapat dimasukkan. Untuk model Mohr-Coulomb dan model Hardening Soil, pembatasan tegangan tarik telah diaktifkan secara pra-pilih dengan kuat tarik nol.

(32)