Ulangan 49 Soal (3125111220 Afifah Arifianty)

(1)

Geometri Analitik Page 1

Nama Afifah Arifianty

Noreg 3125111220

ULANGAN GEOMETRI ANALITIK hal 53

1. Tentukan koordinat-koordinat titik-titik yang membagi garishubung titik-titik( ) dan ( ) , di dalam dan di luar -- di dalam, kalau titik itu antara, dan di luar kalau titik itu pada perpanjangan kedua titik yang diketahui -- , atas perbandingan 2:1

Jawab :

Sehingga akan didapatkan titik C (-3,1)

Jarak QR =12 , sedangkan jarak dari pusat O sampai K adalah 7,

sisa jarak QR-OK = 5=R

Sehingga didapat titik R(5,-11)

-1 -7 7 A(-7,7) B(-1,-2) C D E 2 1 7 -2 -7 5 Y X K Q _S P O R(5, -11) 9 9 -1 1 1

(2)

2. Tunjukkan bahwa titik T(-2,0) terletak pada garis hubung A(7,-3) dan B(-5,1); tentukan perbandingan AT:TB.

Jawab: Persamaan garis

( ) ( ) ( )( ) ( )( ) Periksa apakah T terletak di garis AB :

( ) ( ) Maka T terletak di garis AB

| | √*, ( )- + , - √( ) ( ) √ √ | | √*, ( )- + , - √( ) ( ) √ Maka √ √

3. A,B, dan C adalah titik-titik ( ) ( ) ( ) D = tengah-tengah BC dan G membagi AD atas perbandingan 2 : 1 ; Tentukan koordinat-koordinat titik G dan tunjukkan bahwa ketiga garis berat segitiga ABC adalah konkuren (melalui satu titik).

A Diketahui:

segitiga ABC

D adalah titik tengah BC

Andaikan F E

E adalah titik tengah AC F adalah titik tengah AB

B D C

Maka

 D merupakan titik tengah BC

(3)

 E merupakan titik tengah AC

 F merupakan titik tengah AB ( ) ( )

Maka, koordinat titik G

( ) .

 Persamaan garis berat AD dengan

adalah ( ) ( ) ( ) ( )

(4)

Geometri Analitik Page 4  Persamaan garis berat BE dengan

adalah ( ) ( ) ( ) ( )

 Persamaan garis berat CF dengan

adalah ( ) ( ) ( ) ( ) Periksa: * ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + * ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + [( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )]

(5)

Geometri Analitik Page 5 2 2 3 P M A 3 Q B 18 8 2 0 1 0 1 5 1 3

4. Tentukan koordinat-koordinat titik P dan Q, yang membagi segmen garis AB, A(8,10) dan B(18,20), di dalam dan di luar, atas perbandingan 2:3. Buktikan selanjutnya, bahwa MP.MQ=MB2, kalau M terletak di tengah-tengah AB.

Jawab : Diketahui: A (8,10) B (18, 20) Xp = Yp = P (12, 14) XA = 24 = XQ+36 XQ = -12 Q (-12, -10) YA = 30 = YQ+40 YQ = -10 XM = YM = M (13, 15) Buktikan bahwa MP MQ = MB2 MP = √( ) ( ) = √ MQ = √( ) ( ) = √ MP MQ = √ √ = 50 MB2 = 25+25 = 50 Terbukti

(6)

5. Tentukan luas segitiga yang bertitiksudut (6, ½), (-4, 2½) dan (-6, -3½). Jawab : | | | | | | * ( ( )) ( ) ( ( )) ( ) ( )+ , ( ) ( ) ( )-

 Luas segitiga yang bertitiksudut (6, ½), (-4, 2½) dan (-6, -3½) adalah 32.

6. Jika A ( ), B ( ), dan C ( ) dan luas segitiga ABC adalah . Tunjukkan bahwa !

Jawab:

Akan ditunjukkan bahwa

Luas segitiga | | | | . | | | | | |/ ( ( ) ( ) ( )) ( )

(7)

( )

7. Tentukan persamaan garis yang melalui ( ) dan yang memotong sumbu x dan sumbu y berturut-turut di A dan B, sehingga

Penyelesaian :

Persamaan garis

Garis melalui ( ) ………….. (i) y Gsris memotong sumbu x di ( )

| |

Garis memotong sumbu y di ( ) ( ) | | Diketahui Maka , Subsitusikan ke (i) ( ) Maka persamaan garis yang melalui ( ) adalah:

( )

(8)

8. Garis x + ay =a memotong sb-x dan sb-y berturut-turut di A dan B. Jika OA = 3OB, tentukan persamaan garis AC dengan C(0,-9). Buktikan AC tegaklurus pada AB!

Jawab: Misal titik ( ) ( ) Gradien garis

Persamaan garis AB: Maka : Garis AB memotong sb-x di ( ) ( ) Persamaan garis

(9)

Gradien garis AC = 3

Bukti bahwa garis AB tegaklurus AC

( )

9. Suatu garis berkoefisien arah ⁄ dan melalui P(-2,-5); tentukan koordinat-koordinat titik Q pada garis itu, kalau PQ=10.

Jawab: ‖ ‖ √( ) ( ) √ √ ‖ ‖ √ (1)

Persamaan garis yang melalui titik P(-2,-5) dan berkoefisien ⁄ adalah: ( ) ( ( )) ( ( )) ( ) ( ) * ( )+ * ( )+ ( ) ( ) ( )

(10)

Eliminasi persamaan (1) dan (2), maka didapat:



Titik Q adalah (-10,-11) atau (6,1).

10. Titik ( ) terletak pada garis AB dengan persamaan . Tentukan koordinat-koordinat titik-titik dan , jika !

Jawab :

( )

Titik ( ) terletak pada garis AB dengan persamaan , maka diperoleh : ( ) ( )

Sehingga diperoleh persamaan ( ) Jarak √( ) ( ) dengan ( ) dan ( ) √( ) ( )

√

Substitusi dengan persamaan (1), maka diperoleh : ( ) ( ) . / . /

(11)

( )( )

maka diperoleh ( ) maka diperoleh ( )

Jadi koordinat-koordinat titik dan adalah ( ) dan ( )

Buktikan bahwa kedua garis dan berpotongan di (-11,5).

Pembahasan:

Dengan mengeliminasi t, didapat ( )

Mencari perpotongan L1 dan L2 eliminasi L1 dan L2

(12)

Jadi, titik potong L1 dan L2 adalah (-11,5) (Terbukti)

12. Kedua garis dan ( ) adalah sejajar. Buktikan bahwa ab = 1. Jawab : x = x1 + at y = y1 + bt k → x = y = 1 – at l → x = 1 – 2bt y = ( ) ⃗ ⃗ (1, -a) = (-2b, 2) 1 = -2b b = - -a = 2 a = -2 a b = 1 Terbukti

13. Tentukan tempat kedudukan titik-titik yang perbandingan jaraknya terhadap garis 2x + y – 1= 0 dan x + 2y + 1 = 0 adalah 2:1. misal D1:D2=2:1 Jawab : | √ | | √ | | √ | | √ | | √ | | √ | | |

(13)

Geometri Analitik Page 13 (i) -2 (x + 2y + 1) = 2x + y -1 -2x - 4y -2 = 2x + y -1 4x + 5y + 1 = 0 (ii) 2(x + 2y + 1) = 2x + y -1 2x + 4y + 2 = 2x + y -1 3y + 3 = 0 y + 1 = 0

titik-titik yg memiliki perbandingan jarak terhadap garis 2x + y – 1= 0 dan x + 2y + 1 = 0 adalah 2:1 terletak pada garis 4x + 5y + 1 = 0 dan y + 1 = 0

14. A, B, C, D adalah titik-titik ( ) ( ) ( ) ( ) E membagi dalam segmen AB atas perbandingan 2:1. F membagi luar segmen CD atas perbandingan 3:2. Tentukan koordinat-koordinat E dan F, dan tunjukkan bahwa EF//AD!

Jawab : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

(14)

Akan ditunjukkan bahwa EF//AD.

( ) ( ) ( ) ( ) Syarat sejajar, yaitu:

Karena , maka terbukti EF//AD.

15. A, B adalah titik ( ) ( ); Tentukan titik T pada garis ; Kalau luas .

Jawab:

( ) terletak pada garis Maka, ……….(1) Luas , dengan ( ) ( ) ( ) | | | | ( ) ( ) ( ) ………(2) Eliminasi (1) dan (2)

(15)

Geometri Analitik Page 15 | | + +

Titik T terletak pada ( )

16. Garis-garis dan adalah konkruen ; buktikan bahwa : Jawab: Misalkan :

kongruen, maka ( ) sehingga ( ) Jadi : ( ) ( ) ( ) Karena ( ) ( ) maka | |

(16)

17. Tentukan panjang tali busur yang berimpit dengan sumbu-x dari lingkaran yang bergaristengah AB, kalau ( ) dan ( )

Jawab: ‖ ‖

√ ( ) √ √ √

Masukkan ke persamaan lingkaran: ( ) ( ) ( ) ( ) Jadi, jarak

Maka panjang tali busur adalah 4

18. adalah titik-titik ( ) ( ) ( ); tentukan titik-titik pada garis yang konsiklis (selingkaran letaknya) dengan dan !

(17)

Jawab :

Terdapat tiga titik pada suatu lingkaran dengan persamaan ( ) ( ) Melalui ( ) : ( ) ( ) ( )

Melalui ( ) : ( ) ( ) ( ) Melalui ( ) : ( ) ( ) ( ) Eliminasi persamaan (i) dan (iii)

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) Substitusi ke persamaan (i) dan (ii)

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Eliminasi persamaan (iv) dan (v)

( ) ( )

Substitusi dan ke persamaan (i), maka diperoleh :

( ( )) ( )

Sehingga diperoleh persamaan lingkarannya :

( ) ( )

Terdapat sebuah garis yang terletak selingkaran dengan titik-titik yaitu

(18)

Substitusi ke persamaan lingkaran ( ) ( ) , maka diperoleh : ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) dan dan

Jadi titik-titik pada garis yang konsiklis (selingkaran letaknya) dengan dan adalah ( ) dan ( )

20. Tentukan titik-titik potong garis singgung di titik (1,2) pada lingkaran dengan lingkaran

Jawab :

L1 → Persamaan garis singgung di (1,2) x1x + y1y = r2 x + 2y = 5 x = 5 – 2y Masukkan ke persamaan L2: x2 + y2 = 10 (5-2y)2 + y2 = 10 25 – 20y + 5y2 = 10 y2 – 4y +3 = 0 (y-1) (y-3) = 0 . y = 1, x = 3 → ( 3, 1 ) y = 3, x = -1 → (-1, 3)

21. Tentukan persamaan lingkaran yang melalui titik(1,0) dan yang menyinggung garis 3x+2y=4 dititik (2,-1)

Jawab :

pers garis singgung lingkaran yg melalui titik (1,0) adalah 3x2y4...(1)

Persamaan garis singgung lingkaran di titik (2,-1) dg pusat P(a,b) adalah





 









 









2 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 ( 1 ) 2 ...(2) x a x a y b y b r x a a y b b r x ax a a y by b b r a x b y r a a b b                              

(19)

Geometri Analitik Page 19 Samakan (1) dan (2)





2 2 2 2 2 2 3 2 4 2 ( 1 ) 2 3 2 1 2 1 3 4 2 x y a x b y r a a b b a a b b r a a b b                              2 2 2 2

subtitusi a=-1 dan b=-3, sehingga

4 2( 1) ( 1) ( 3) ( 3) 4 9 13 r r r            

Jadi persamaan lingkaran dg P(-1,-3) dan berjari-jari 13



 





 



2 2 ₂ 2 2 2 2 2 2 1 3 13 2 1 6 9 13 2 6 3 0 x a y b r x y x x y y x y x y                   

22. Tentukan persaman-persamaan garis singgung yang dapat ditarik dari titik ( ) pada lingkaran !

Penyelesaian:

Titik ( ) terletak di luar lingkaran sebab:

( ) ( ) ( ) ( )

Misal lingkaran tersebut mempunyai garis singgung: ( ) ( ) ( )

(20)

Geometri Analitik Page 20 (1) Substitusi persamaan (1) ke ( ) ( ) ( ) ( )

Syarat garis menyinggung lingkaran: ( ) ( )( ) ( )( )

Untuk , persamaan garis singgung-nya: ( )

( )

Untuk , maka persamaan garis singgung-nya: ( )

(21)

23. buktikan bahwa garissinggung pada lingkaran di titik (1,0) menyinggung lingkaran

Jawab:

Pusat lingkaran ( )

garissinggung pada lingkaran di titik (1,0) ( )( ) ( )( )

( )( ) ( )( ) ( ) ( )

Masukkan persamaan (i) ke persamaan lingkaran ( ) ( )

Karena menyinggung, maka D = 0

( ) ( )( ) ( )

24. Buktikan bahwa kedua lingkaran dan berpotongan tegak lurus.

(22)

Kedua lingkaran akan berpotongan tegaklurus apabila garis-garis singgung berimpit dengan jari-jari kedua lingkaran

( ) ( ) √( ) ( ) √ √ √( ) ( ) √ √ Sehingga berlaku: ( )

Akan kita kerjakan untuk mengetahui apakah L1 berpotongan tegaklurus L2

( ) ( ) ( ( )) ( ) ( ) ( ) ( √ ) ( √ )

Karena ( ) maka L1 berpotongan tegaklurus L2

25. Garis singgung di titik (4,3) pada lingkaran memotong lingkaran di titik-titik P dan Q; buktikan bahwa garis singgung-garis singgung di P dan Q pada lingkaran yang kedua tegaklurus sesamanya.

Jawab:

Persamaan garis singgung lingkaran di titik (4,3) adalah:

( )

(23)

Titik potong garis singgung dengan lingkaran kedua: Substitusi persamaan (1) ke persamaan lingkaran kedua: ( ) ( )( ) atau atau

Titik P(1,7) dan titik Q(7,-1)

Persamaan garis singgung lingkaran kedua yang melalui titip P:



Persamaan garis singgung lingkaran kedua yang melalui titip Q :



Terbukti bahwa garis singgung lingkaran kedua di P dan Q saling tegak lurus.

27. Tentukan persamaan lingkaran yang melalui titik (-4,2) dan (-3,-1), dan yang berpusat pada garis . Tunjukkan bahwa tali busur persekutuan antara lingkaran tadi dan lingkaran merupakan garis tengah lingkaran kedua.

Jawab :

Andaikan persamaan lingkaran pertama ( ) ( ) dengan pusat (a,b). dengan pusat (1,-2)

L1 berpusat pada garis Maka, pusat L1 ( ) …(*)

Substitusi (*) ke persamaan L1 ( ) ( )

(24)

L1 melalui (-4,2) ( ) ( ) …(i)

L1 melalui (-3,-1) ( ) ( ) …(ii)

Eliminasi (i) dan (ii) -

( ) Jadi, pusat L1 (1,2).

Jari-jari L1 dapat dihitung dengan menghitung jarak dari pusat (1,2) ke titik yang dilalui L1 seperti (-4,2)

√( ) ( ) √

Jadi, persamaan ( ) ( )

Mencari titik potong L1 dan L2 eliminasi L1 dan L2

-

Maka, persamaan tali busur persekutuan L1 dan L2 adalah garis Persamaan tali busur melalui pusat L2 (1-2)

(25)

29. Tentukan titik-titik yang kuasanya terhadap lingkaran

2 2 2 2

3, dan 3 2 6 0

x y  x y  x y  berbanding 1:2:3 Jawab : Kuasa pada lingkaran x2y2   3 k x12y123...(1)

Kuasa pada lingkaranx2y2   x 0 k x12y12x1...(2)

Kuasa pada lingkaranx2y2 3x2y   6 0 k x12y123x12y16...(3)

2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 1 1 1 3 1 2 2 6 6 0...(4) 2 x y x y x y x x y x x y x                 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 1 1 1 1 2 3 3 3 2 2 6 4 12 9 4 12 0...(5) 3 2 6 3 x y x x y x x y x y x y x y x y x y   _{ } _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _     2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 1 1 1 1 3 1 3 3 9 3 2 6 2 2 3 2 3 0...(6) 3 2 6 3 x y x y x y x y x y x y x y x y                      Eliminasi (5) dan (4) 2 2 1 1 1 1 2 2 1 1 1 9 4 12 0 6 0 x y x y x y x          1 1 1 1 1 1 1 1 10 4 18 =0 10 4 = 18 18 10 4 9 5 2 x y x y x y x y           Substitusi 1 1 9 5 2 x y   ke (6) 2 2 1 1 1 1 2 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 2 2 3 2 3 0 9 5 9 5 2 2 3 2 3 0 2 2 81 90 25 2 2 3 9 5 3 0 4 x y x y x x x x x x x x x             _ _   _ _           _ _       2 2 1 1 1 1 2 1 1 4 81 90 25 4 24 0 29 86 57 0 x x x x x x         

(26)

Geometri Analitik Page 26 Rumus ABC

 

1,2 1 1 2 2 86 7396 6612 58 86 784 58 57 9 5 86 28 114 57 29 12 86 28 58 58 29 2 29 58 9 5 1 86 28 1 2 58 2 x x y x y       _{  }   _ _ _           _  _ _       

Jadi titik titiknya adalah 57, 12 , dan 1, 2

 

29 29

 _ 

 

 

30. Diketahui titik-titik ( ) dan ( ) Tentukan tempat kedudukan titik C segitiga ABC, jika selalu berlaku:

Jawab :

Segitiga ABC selalu berlaku ( ) ( ) (( ) ) ( ( ) ) ( ( ))

Kedudukan titik C terletak pada garis

32. diketahui titik A(0,2). Pada sumbu –x terletak titik B dan pada AB terletak titik C, sehingga ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗

(27)

Geometri Analitik Page 27 ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ 〈( ) ( )〉 〈( ) ( )〉 〈( ) ( )〉 〈( ) ( )〉 〈 ( )〉 〈 ( )〉 ( )( )

B( ) berjalan pada sumbu-x, maka suatu ketika dan , sehingga:

Karena C( ) terletak pada AB, dimana B( ) berjalan pada sumbu-x, maka: Kedudukan titik C( ) =

36. PQ adalah tali busur variabel yang melalui fokus suatu parabola; TP adalah garis singgung di P, dan TQ sejajar sumbu simetri buktikan bahwa tempat kedudukan tengah - tengah PT adalah direktrix

Jawab :

(28)

Catatan tambahan:

√ √ PT merupakan garis singgung dengan persamaan

( ) Subitusikan T ( ) √ ( √ ) (√ ) √( ) ( ) (√( ) ( )

(29)

38. Talibusur PQ suatu parabola melalui titik ( ). Tunjukkan bahwa garis-garis singgung di P dan Q bertemu pada garis .

Jawab :

Akan ditunjukkan garis-garis singgung di P dan Q bertemu pada garis Persamaan parabola:

Persamaan garis singgung parabola yang melalui titik ( ) ( )

( )

41. Tentukan persamaan-persamaan garissinggung yang dapat ditarik dari titik ( ) pada parabola

Jawab :

Misalkan titik singgungnya ( )

Maka persamaan garis singgung di S pada parabola Karena

( ) ( )

Karena ( ) pada garis singgung ( )

Atau ……….(1) Karena ( ) juga pada parabola

(30)

Geometri Analitik Page 30 Substitusi (2) ke (1) ( )( ) Untuk , diperoleh ( ) Untuk , diperoleh ( )

Jadi persamaan garis singgung di ( ) Jadi persamaan garis singgung di ( )

42. Suatu titik terletak sebarang pada garis Buktikan bahwa garis polar titik itu terhadap parabola melalui titik ( ) !

Jawab :

Persamaan garis polar terhadap parabola melalui titik ( ) adalah Bukti : ( )

Maka persamaan garis polarnya adalah ( ) (TERBUKTI)

43. Buktikan bahwa parabola merupakan tempat kedudukan pusat lingkaran yang menyinggung sumbu-y dan lingkaran .

Sketsa: P2

P1

(31)

Maka, pusat L1 ( ) dan karena L1 menyinggung sumbu-y, jari-jari L1

Andai L2 mempunyai pusat ( ) dan karena L2 juga menyinggung sumbu-y, jari-jari L2

| | =

Dengan menggunakan rumus jarak didapat, | | √( ) ( )

( ) ( )

Karena ( ) berjalan, maka (terbukti)

44. Lingkaran memotong parabola di O dan tiga buah titik, yang berordinat . Buktikan

Jawab :

Gambar tidak terlampir karena hanya akan memperumit penjelasan.

Berpotongan di titik, O( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

(32)

Geometri Analitik Page 32 ( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( ( ) ( ) ( )( )( ) ( ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

46. Kalau diketahui ( ) dan ( ). Tentukan kedua titik sudut lainnya dari bujursangkar ABCD. Berapa luas bujur sangkar itu?

Jawab :

Karena ABCD merupakan suatu buur sangkar, maka panjang diagonal ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ √( ) ( ) √( ) ( ) √ √ Luas bujursangkar ABCD:

̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅̅̅ √ √ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅

Sehingga,

̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ √

Mencari koordinan titik B Missal titik B ( ), maka:

̅̅̅̅ √( ) ( ) ̅̅̅̅ √( ) ( )

√ √( ) ( ) √ √( ) ( )

……. (i) ……. (ii)

(33)

Eliminasi (i) dan (ii), diperoleh: -

……. (iii)

Substitusi (iii) ke (ii), maka:

( ) ( ) ( )( )

Untuk , maka: Untuk , maka:

( ) ( )

Karena pada bujursangkar ABCD titik B berada di sebelah kanan titik ( ), maka titik B yang memenuhi adalah ( )

Mencari koordinat titik D

Misal titik D ( ), maka:

̅̅̅̅ √( ) ( ) ̅̅̅̅ √( ) ( )

√ √( ) ( ) √ √( ) ( )

(34)

……. (iv) ……. (v)

Eliminasi (iv) dan (v), diperoleh: -

……. (vi)

Substitusi (vi) ke (v), maka:

( ) ( ) ( )( )

Untuk , maka: Untuk , maka:

( ) ( )

Karena pada bujursangkar ABCD titik D berada di sebelah kiri titik ( ), maka titik B yang memenuhi adalah ( )

48. Diketahui tiga titik A( 6, 4)  , B(6, 5), dan C( 18,12) . a. Tentukan persamaan ketiga sisi segitiga ABC itu.

b. Tentukan persamaan kedua garisbagi-dalam sudut-sudut B dan C .

Petunjuk : pakailah titik potongnya dengan sumbu-y untuk menyelidiki yang mana

(35)

c. Tentukan persamaan lingkaran-dalam dari segitiga ABC itu.

d. Berapakah luas segitiga ABC ?

Jawab :

a. Sisi pertama melalui titik A( 6, 4)  dan B(6, 5)

Vector arahnya AB  



6 ( 6),5 ( 4) 

 

 12,9



Persamaan garisnya adalah 6 4

12 9 9 54 12 48 9 12 6 0 3 4 2 0 x y x y x y x y            

Sisi kedua melalui titik B(6, 5), dan C( 18,12)

Vector arahnya BC     



18 6, 5

 

24,7



24 7 7 42 24 120 7 24 162 0 x y x y x y  _         

Sisi ketiga melalui titik A( 6, 4)  dan C( 18,12)

Vector arahnya CA   



6 ( 18), 4 12 

 

 12, 16



12 16 16 288 12 144 16 12 144 0 4 3 36 0 x y x y x y x y  _            

b. Persamaan garisbagi sudut Badalah

2 2 2 2 7 24 162 3 4 2 7 24 3 4 7 24 162 3 4 2 25 5 35 120 810 75 100 50 40 220 860 0 2 11 43 0 x y x y x y x y x y x y x y x y   _{ }                      

(36)

Persamaan garisbagi sudut C adalah

2 2 2 2 7 24 162 4 3 36 7 24 4 3 7 24 162 4 3 36 25 5 35 120 810 100 75 900 135 195 90 0 9 13 6 0 x y x y x y x y x y x y x x y           _{ }              

c. Titik jari-jari lingkaran  titik potong garisbagi sudut B dan C .

Maka



 



 

2 11 43 9 18 99 387 9 13 6 2 18 26 12 x y x y x y x y                 125 375 3 y y     2 33 43 2 10 5 x x x       

Titik jari-jari lingkaran 



3, 5



, maka 3. 5 ( 4).3 2 5 15 12 2 5 5 5 r r             Persamaan lingkaran 



x5

 

2 y3



2 25 d. Luas













6 18 6 18 6 6 1 1 1 5 12 4 12 4 5 2 2 2 1 1 1 72 ( 90) 72 72 30 ( 24) 2 2 2 81 72 3 150 ABC                         49. Diketahui : A(3,4), B(-2,5), C(-1,6) Tentukan :

(37)

Titik berat pada segitiga adalah koordinat titik potong pada tiga buah garis berat pada segitiga. Sedangkan garis berat pada segitiga adalah garis yang menghubungkan antara suatu titik sudut pada segitiga dengan koordinat titik tengah yang membagi dua ruas garis yang menghubungkan kedua titik sudut yang lainnya pada segitiga tersebut.

Misalkan P adalah titik tengah AB, maka

( ( )) ( ) Misalkan Q adalah titik tengah BC, maka :

(( ) ( )) ( ) Misalkan R adalah titik tengah AC, maka :

( ( )) ( ) Persamaan Garis Berat CP :

(38)

Geometri Analitik Page 38 ( ) ( ) ( ) Persamaan Garis Berat BR :

( ) Persamaan Garis Berat AQ :

( ) ( ) ( )

(39)

Sehingga didapat atau

Sehingga didapat koordinat titik berat segitiga ABC adalah (0,5)

b) Titik tinggi segitiga ABC

Titik tinggi pada segitiga adalah koordinat titik potong pada tiga buah garis tinggi pada segitiga. Sedangkan garis tinggi pada segitiga adalah garis yang menghubungkan antara suatu titik sudut pada segitiga dengan ruas garis yang menghubungkan dua titik sudut yang lainnya dan membentuk sudut yang tegak lurus.

Persamaan Garis BC :

Misalkan titik tinggi pada garis itu adalah titik D sehingga didapat , karena BC tegak lurus AD sehingga didapat

Persamaan Garis Tinggi AD :

( ) ( ) ( ) Persamaan Garis AC :

(40)

Misalkan titik tinggi pada garis itu adalah titik E sehingga didapat , karena AC tegak lurus BE sehingga didapat

Persamaan Garis Tinggi BE :

( ) ( ) ( ) Persamaan Garis AB :

Misalkan titik tinggi pada garis itu adalah titik F sehingga didapat , karena AB tegak lurus CF sehingga didapat

Persamaan Garis Tinggi CF :

( )

( ) ( )

(41)

Untuk mendapatkan koordinat titik tinggi pada segitiga maka kita harus mendapatkan titik potong antara ketiga garis tinggi AD, BE, dan CF.

Eliminasi Persamaan (2) dan (3) sehingga didapat nilai dan , nilai x dan y ini adalah koordinat titik tinggi pada segitiga ABC

c) Luas Segitiga ABC

Untuk mencari luas segitiga jika diketahui ketiga titik sudutnya kita cari dengan menggunakan rumus : | | Sehingga : | | Diselesaikan dengan Metode Sarrus, yaitu :

| | | | Didapat : | *, ( ) ( )- ,( ) ( )-+| | * +| d) Sudut Puncak C Panjang AB : | | √( ) ( ) | | √( ( )) ( ) | | √( ) ( )

(42)

Geometri Analitik Page 42 | | √ √ Panjang AC : | | √( ) ( ) | | √( ( )) ( ) | | √( ) ( ) | | √ √ Panjang BC : | | √( ) ( ) | | √(( ) ( )) ( ) | | √( ) ( ) | | √ √

Rumus hubungan Cosinus sudut dengan garis yang berada di depannya | | | | | | | || | √ √ √ √ √ √

e) Pusat dan Jari-jari Lingkaran Luar ABC

Lingkaran Luar ABC mendefinisikan bahwa titik sudut A, B, dan C terletak pada lingkaran tersebut.

Misalkan persamaan lingkaran tersebut Titik A (3,4) pada lingkaran sehingga :

(43)

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Titik B (-2,5) pada lingkaran sehingga :

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Titik C (-1,6) pada lingkaran sehingga :

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

Melakukan penyelesaian terhadap persamaan (1), (2), dan (3) dengan cara eliminasi

Gauss-Jordan sehingga di dapat nilai , , dan

Sehingga didapatkan Persamaan Lingkaran Luar ABC nya : Pusat lingkarannya : . / . / . / Jari-jari nya : √ √ √ √ √

(44)

f) Titik sudut D, kalau ABCD Jajargenjang.

Jika ABCD merupakan Jajargenjang maka harus terpenuhi jarak BC = Jarak AD, dan jarak AB = Jarak CD. Misalkan koordinat titik D(x,y), sehingga :

jarak BC = Jarak AD , dan | | √ (butir soal d), jadi : | | √( ) ( )

√ √( ) ( ) ( ) jarak AB = Jarak CD , dan | | √ (butir soal d), jadi :

| | √( ) ( ) √ √( ) ( ) ( )

Eliminasi pada persamaan (1) dan (2) sehingga didapat persamaan atau atau ( )

Substitusi nilai y ke salah satu persamaan (1) atau (2) sehingga didapat :

Masukkan nilai x ke persamaan (3) sehingga didapat :

Karena koordinat D terletak di Kuadran 1, maka koordinat titik D adalah (4,5).

g) titik P pada garis y + 2x = 0 yang berjarak sama terhadap B dan C Misalkan koordinat titik P adalah P (x,y) :

Sehingga | | | |

√( ) ( ) √( ) ( ) √( ) ( ) √( ) ( )

(45)

( ) Substitusi persamaan (1) ke Persamaan y + 2x = 0

Sehingga didapat x = - 4 lalu substitusikan ke persamaan (1) didapat y = 8, sehingga didapat koordinat titik P (-4,8).

h) titik Q pada sumbu x yang berjarak sama dari garis-garis BC dan AC . Persamaan Garis BC : x – y + 7 = 0 (butir soal b)

Persamaan Garis AC : x + 2y – 11 = 0 (butir soal b). Rumus jarak titik ke garis :

| | | √ | || √ || || √ || |( ) ( )( ) √( ) ( ) | | ( ) ( )( ) √( ) ( ) | | √ | | √ | Kuadratkan Kedua ruas, sehingga di dapat :

Dengan rumus ABC diperoleh

( √ ) Sehingga diperoleh koordinat titik Q :

(46)