Komputasi Matlab 4

(1)

Komputasi untuk Sains dan Teknik

-Menggunakan

Matlab-Supriyanto Suparno

( Website: http://supriyanto.fisika.ui.edu )

( Email: [email protected] atau [email protected] )

Edisi IV

Revisi terakhir tgl: 25 April 2011

Departemen Fisika-FMIPA, Univeristas Indonesia Dipublikasikan pertama kali pada September 2007

(2)

(3)

Untuk Muflih Syamil Hasan Azmi Farah Raihanah Nina Marliyani

(4)

Usia bukan ukuran kedewasaan

(Supriyanto, 2006)

Ketekunan adalah jalan yang terpercaya untuk mengantarkan kita menuju kesuksesan

(5)

Kata Pengantar

Perubahan adalah suatu keniscayaan. Aksioma itu berlaku juga pada buku ini — yang mulai ditulis pada tahun 2005. Mulai 24 juli 2010, edisi ke-4 ini diluncurkan dalam rangka mengubah sasaran tujuan dari buku edisi ke-3.

Penekanan penulisan edisi ke-3 adalah ingin memperkenalkan sebanyak mungkin metode numerik kepada mahasiswa tingkat sarjana di Departemen Fisika, Universitas Indonesia. Hasil evaluasi proses perkuliahan menunjukkan bahwa diskusi matematis terlalu dominan diband-ingkan diskusi aplikasi metode numerik pada masalah fisika. Oleh karena itu saya memu-tuskan untuk memperbesar porsi pembahasan aplikasi metode numerik sehingga beberapa metode numerik yang diulas pada edisi ke-3 dengan sengaja dihilangkan dalam edisi ke-4 ini. Rujukan utama buku edisi-4 ini tetap bersumber pada buku teks standar yang sangat pop-uler di dunia komputasi, yaitu buku yang ditulis oleh Richard L. Burden dan J. Douglas Faires dengan judulNumerical Analysisedisi ke-7, diterbitkan oleh Penerbit Brooks/Cole, Thomson Learning Academic Resource Center. Namun demikian, buku ini telah dilengkapi dengan se-jumlah contoh aplikasi komputasi pada upaya penyelesaian problem-problem fisika.

Walaupun buku ini masih jauh dari sempurna, namun semoga ia dapat menyumbangkan kontribusi yang berarti untuk kebangkitan ilmu pengetahuan pada diri anak bangsa Indonesia yang saat ini sedang terpuruk. Saya wariskan buku ini untuk siswa dan mahasiswa Indonesia dimanapun mereka berada. Anda berhak memanfaatkan buku ini. Saya izinkan anda untuk meng-copydan menggunakan buku ini selama itu ditujukan untuk belajar dan bukan untuk tu-juan komersial. Bagi yang ingin berdiskusi, memberikan masukan, kritikan dan saran, silakan dikirimkan ke email:[email protected]

Akhirnya saya ingin mengucapkan rasa terima kasih yang tak terhingga kepada Dede Djuhana yang telah berkenan memberikan format LA_{TEX-nya sehingga tampilan tulisan pada}

buku ini benar-benar layaknya sebuah buku yang siap dicetak. Tak lupa, saya pun berter-ima kasih kepada seluruh mahasiswa yang telah mengambil mata kuliah Komputasi Fisika dan Anaisis Numerik di Departemen Fisika, FMIPA, Universitas Indonesia atas diskusi yang berlangsung selama kuliah. Kepada seluruh mahasiswa dari berbagai universitas di Timur dan di Barat Indonesia juga saya ungkapkan terima kasih atas pertanyaan-pertanyaan yang turut memperkaya isi buku ini.

Depok, 24 Juli 2010 Supriyanto Suparno

(6)

(7)

Daftar Isi

Lembar Persembahan i

Kata Pengantar iii

Daftar Isi iii

Daftar Gambar viii

Daftar Tabel x

1 Pendahuluan 1

1.1 Inisialisasi variabel . . . 1

1.2 Perhitungan yang berulang . . . 2

1.3 Mengenal cara membuat grafik . . . 3

1.4 Baris-baris pembuka . . . 5

1.5 Membuat 2 grafik dalam satu gambar . . . 5

1.6 Latihan . . . 10

2 Matrik dan Komputasi 13 2.1 Mengenal matrik . . . 13

2.2 Vektor-baris dan vektor-kolom . . . 14

2.3 Inisialisasi matrik dalam memori komputer . . . 14

2.4 Macam-macam matrik . . . 15 2.4.1 Matrik transpose . . . 15 2.4.2 Matrik bujursangkar . . . 16 2.4.3 Matrik simetrik . . . 16 2.4.4 Matrik diagonal . . . 16 2.4.5 Matrik identitas . . . 16 2.4.6 Matrik upper-triangular . . . 17 2.4.7 Matrik lower-triangular . . . 17 2.4.8 Matrik tridiagonal . . . 17

2.4.9 Matrik diagonal dominan . . . 17

2.4.10 Matrikpositive-definite . . . 18

2.5 Operasi matematika . . . 18

2.5.1 Penjumlahan matrik . . . 18

2.5.2 Komputasi penjumlahan matrik . . . 19

2.5.3 Perkalian matrik . . . 22

2.5.4 Komputasi perkalian matrik . . . 25

(8)

vi

2.5.5 Perkalian matrik dan vektor-kolom . . . 33

2.5.6 Komputasi perkalian matrik dan vektor-kolom . . . 34

2.6 Penutup . . . 37

2.7 Latihan . . . 38

3 Fungsi 39 3.1 Fungsi internal . . . 39

3.2 Fungsi eksternal penjumlahan matrik . . . 41

3.3 Fungsi eksternal perkalian matrik . . . 43

3.4 Fungsi eksternal perkalian matrik dan vektor-kolom . . . 45

3.5 Penutup . . . 47

3.6 Latihan . . . 47

4 Integral Numerik 49 4.1 Metode Trapezoida . . . 49

4.2 Metode Simpson . . . 50

4.3 Peran faktor pembagi, n . . . 52

4.3.1 Source code metode integrasi . . . 52

4.4 Metode Composite-Simpson . . . 53 4.5 Adaptive Quardrature . . . 55 4.6 Gaussian Quadrature . . . 55 4.6.1 Contoh . . . 56 4.6.2 Latihan . . . 56 5 Diferensial Numerik 59 5.1 Metode Euler . . . 59

5.2 Metode Runge Kutta . . . 65

5.2.1 Aplikasi: Pengisian muatan pada kapasitor . . . 68

5.3 Latihan I . . . 73

5.4 MetodeFinite Difference. . . 75

5.4.1 ScriptFinite-Difference . . . 77

5.4.2 Aplikasi . . . 82

5.5 Latihan II . . . 83

5.6 Persamaan Diferensial Parsial . . . 84

5.7 PDP eliptik . . . 84

5.7.1 Contoh pertama . . . 86

5.7.2 ScriptMatlab untuk PDP Elliptik . . . 89

5.7.3 Contoh kedua . . . 92

5.8 PDP parabolik . . . 92

5.8.1 MetodeForward-difference . . . 93

5.8.2 Contoh ketiga: One dimensional heat equation . . . 94

(9)

vii 5.8.4 Metode Crank-Nicolson . . . 102 5.9 PDP Hiperbolik . . . 105 5.9.1 Contoh . . . 108 5.10 Latihan . . . 108 6 Metode Iterasi 111 6.1 Kelebihan Vektor-kolom . . . 111 6.2 Pengertian Norm . . . 112

6.2.1 Scriptperhitungan norm dua . . . 112

6.2.2 Scriptperhitungan norm tak hingga . . . 113

6.2.3 Perhitungan norm-selisih . . . 113

6.3 Iterasi Jacobi . . . 114

6.3.1 Scriptmetode iterasi Jacobi . . . 117

6.3.2 Stopping criteria . . . 125

6.3.3 Fungsi eksternal iterasi Jacobi . . . 127

6.4 Iterasi Gauss-Seidel . . . 128

6.4.1 Scriptiterasi Gauss-Seidel . . . 130

6.4.2 Algoritma . . . 136

6.4.3 Scriptiterasi Gauss-Seidel dalam Fortran . . . 137

6.5 Iterasi dengan Relaksasi . . . 138

6.5.1 Algoritma Iterasi Relaksasi . . . 140

7 Metode Eliminasi Gauss 141 7.1 Sistem persamaan linear . . . 141

7.2 Teknik penyederhanaan . . . 141

7.2.1 Cara menghilangkan sebuah variabel . . . 142

7.2.2 Permainan indeks . . . 143

7.3 Triangularisasi dan Substitusi Mundur . . . 144

7.3.1 Contoh pertama . . . 144

7.3.2 Contoh kedua . . . 146

7.4 Matrik dan Eliminasi Gauss . . . 147

7.4.1 Matrik Augmentasi . . . 147

7.4.2 Penerapan pada contoh pertama . . . 148

7.4.3 Source-codedasar . . . 151

7.4.4 Optimasisource code . . . 153

7.4.5 Pentingnya nilain . . . 160

7.4.6 Jangan puas dulu.. . . 161

7.4.7 Pivoting . . . 161

7.5 Function Eliminasi Gauss . . . 162

7.6 Contoh aplikasi . . . 164

7.6.1 Menghitung arus listrik . . . 164

(10)

viii

7.7 Penutup . . . 173

8 Aplikasi Eliminasi Gauss pada Masalah Inversi 175 8.1 Inversi Model Garis . . . 175

8.1.1 Script matlab inversi model garis . . . 178

8.2 Inversi Model Parabola . . . 179

8.2.1 Script matlab inversi model parabola . . . 183

8.3 Inversi Model Bidang . . . 184

8.4 Contoh aplikasi . . . 186

8.4.1 Menghitung gravitasi di planet X . . . 186

9 MetodeLU Decomposition 193 9.1 Faktorisasi matrik . . . 193

9.2 Algoritma . . . 197

10 Interpolasi 203 10.1 Interpolasi Lagrange . . . 203

10.2 Interpolasi Cubic Spline . . . 205

11 Metode Newton 213 11.1 Definisi akar . . . 213

11.2 Metode Newton . . . 214

11.3 Script metode Newton . . . 217

11.4 Fungsi ber-input vektor . . . 219

11.5 Fungsi ber-output vektor . . . 220

11.6 Fungsi ber-output matrik . . . 221

11.7 Metode Newton untuk sistem persamaan . . . 222

12 Metode Monte Carlo 225 12.1 Penyederhanaan . . . 225 13 Inversi 229 13.1 Inversi Linear . . . 229 13.2 Inversi Non-Linear . . . 232 Daftar Pustaka 234 14 Lampiran 237 14.1 Script Iterasi Jacobi, jcb.m . . . 237

14.2 Script Iterasi Gauss-Seidel, itgs.m . . . 238

(11)

Daftar Gambar

1.1 Data perubahan kecepatan terhadap waktu . . . 4 1.2 Data perubahan kecepatan terhadap waktu dengan keterangan gambar . . . 4 1.3 Grafik gelombang berfrekuensi 5 Hz . . . 6 1.4 Grafik yang dilengkapi dengan keterangan sumbu-x dan sumbu-y serta judul . . 7 1.5 Grafik yang dilengkapi dengan font judul 14pt . . . 7 1.6 Dua buah grafik dalam sebuah gambar . . . 8 1.7 Tiga buah grafik dalam sebuah gambar . . . 9

4.1 Metode Trapezoida. Gambar sebelah kiri menunjukkan kurva fungsif(x)dengan batas bawah integral adalah a dan batas atas b. Gambar sebelah kanan menunjukan cara metode Trapesoida menghitung integral dengan cara menghitung luas area integrasi, dimana luas area integrasi sama dengan luas trapesium di bawah kurva f(x) dalam batas-batasadan b. Jika anda perhatikan dengan teliti, ada area kecil dibawah garis kurva dan diatas garis miring yang berada diluar bidang trapesium. Metode Trapesoida tidak menghitung luas area kecil tersebut. Disinilah letak kelemahan metode trapezoida. 50 4.2 Metode Simpson. Gambar sebelah kiri menunjukkan kurva fungsif(x)dengan batas

bawah integral adalah a dan batas atas b. Gambar sebelah kanan menunjukan cara metode Simpson menghitung luas area integrasi, dimana area integrasi di bawah kurva

f(x)dibagi 2 dalam batas intervala−x1danx1−bdengan lebar masing-masing adalahh 51

4.3 Metode Composite Simpson. Kurva fungsif(x)dengan batas bawah integral adalaha

dan batas atasb. Luas area integrasi dipecah menjadi 8 area kecil dengan lebar masing-masing adalahh. . . 54 5.1 Kiri: Kurvay(t)dengan pasangan titik absis dan ordinat dimana jarak titik absis

sebe-sarh. Pasangant₁ adalahy(t₁), pasangant₂ adalahy(t₂), begitu seterusnya. Kanan: Garis singgung yang menyinggung kurvay(t)pada t=a, kemudian berdasarkan garis singgung tersebut, ditentukan pasangan t1 sebagaiw1. Perhatikan gambar itu sekali lagi!w₁dany(t₁)beda tipis alias tidak sama persis. . . 60 5.2 Kurva biru adalah solusi exact, dimana lingkaran-lingkaran kecil warna biru pada kurva

menunjukkan posisi pasangan absistdan ordinaty(t)yang dihitung oleh Persamaan (5.9). Sedangkan titik-titik merah mengacu pada hasil perhitungan metode euler, yaitu nilaiwi. . . 64

5.3 Kurva biru adalah solusi exact, dimana lingkaran-lingkaran kecil warna biru pada kurva menunjukkan posisi pasangan absistdan ordinaty(t)yang dihitung oleh Persamaan (5.9). Sedangkan titik-titik merah mengacu pada hasil perhitungan metode Runge Kutta orde 4, yaitu nilaiwi. . . 68

(12)

x DAFTAR GAMBAR

5.4 Rangkaian RC . . . 69

5.5 Kurva pengisian muatanq(charging) terhadap waktut . . . 73

5.6 Kurva suatu fungsif(x)yang dibagi sama besar berjarakh. Evaluasi kurva yang dilakukan Finite-Differencedimulai dari batas bawahX0 = ahingga batas atas x6 =b . . . 75

5.7 Skemagrid linesdanmesh pointspada aplikasi metodeFinite-Difference . . . 85

5.8 Susunangrid linesdanmesh pointsuntuk mensimulasikan distribusi temperatur pada lempeng logam sesuai contoh satu . . . 87

5.9 Sebatang logam dengan posisi titik-titik simulasi (mesh-points) distribusi temperatur. Jarak antar titik ditentukan sebesarh= 0,1. . . 94

5.10 Intervalmesh-pointsdengan jarakh= 0,1dalam interval waktuk= 0,0005 . . . 94

5.11 Posisimesh-points. Arahxmenunjukkan posisi titik-titik yang dihitung dengan forward-difference, sedangkan arahtmenunjukkan perubahan waktu yg makin meningkat . . . . 95

8.1 Sebaran data observasi antara suhu dan kedalaman . . . 176

8.2 Kurva hasil inversi data observasi antara suhu dan kedalaman . . . 179

8.3 Kurva hasil inversi data observasi antara suhu dan kedalaman . . . 184

8.4 Grafik data pengukuran gerak batu . . . 188

8.5 Grafik hasil inversi parabola . . . 190

10.1 Fungsif(x)dengan sejumlah titik data . . . 205

10.2 Pendekatan dengan polinomial cubic spline . . . 205

10.3 Profil suatu object . . . 210

10.4 Sampling titik data . . . 211

10.5 Hasil interpolasi cubic spline . . . 211

10.6 Hasil interpolasi lagrange . . . 212

11.1 Fungsi dengan dua akar yang ditandai oleh lingkaran kecil berwarna merah, yaitu padax=₋2danx= 2 . . . 213

11.2 Fungsi dengan satu akar yang ditandai oleh lingkaran kecil berwarna merah, yaitu padax=₋1,2599 . . . 214

12.1 Lingkaran dan bujursangkar . . . 225

12.2 Dart yang menancap pada bidang lingkaran dan bujursangkar . . . 226

(13)

Daftar Tabel

4.1 Polinomial Legendre untukn=2,3,4 dan 5 . . . 56

5.1 Solusi yang ditawarkan oleh metode eulerwidan solusi exacty(ti)serta selisih antara keduanya . . . 63

5.2 Solusi yang ditawarkan oleh metode Runge Kutta orde 4 (wi) dan solusi exact y(ti)serta selisih antara keduanya . . . 68

5.3 Perbandingan antara hasil perhitungan numerik lewat metode Runge Kutta dan hasil perhitungan dari solusi exact, yaitu persamaan (5.16) . . . 72

5.4 Hasil simulasi distribusi panas bergantung waktu dalam 1-dimensi. Kolom ke-2 adalah solusi analitik/exact, kolom ke-3 dan ke-5 adalah solusi numerikforward-difference. Kolom ke-4 dan ke-6 adalah selisih antara solusi analitik dan numerik . . . 98

5.5 Hasil simulasi distribusi panas bergantung waktu dalam 1-dimensi dengan metode backward-differencedimanak= 0,01 . . . 102

5.6 Hasil simulasi distribusi panas bergantung waktu (t) dalam 1-dimensi dengan metodebackward-differencedan Crank-Nicolson . . . 106

6.1 Hasil akhir elemen-elemen vektorxhingga iterasi ke-10 . . . 125

6.2 Hasil perhitungan norm2-selisih hingga iterasi ke-10 . . . 125

6.3 Hasil Iterasi Gauss-Seidel . . . 129

6.4 Hasil perhitungan iterasi Gauss-Seidel . . . 139

6.5 Hasil perhitungan iterasi Relaksasi denganω= 1,25. . . 139

8.1 Data suhu bawah permukaan tanah terhadap kedalaman . . . 175

8.2 Data suhu bawah permukaan tanah terhadap kedalaman . . . 180

8.3 Data ketinggian terhadap waktu dari planet X . . . 187

(14)

(15)

Bab 1

Pendahuluan

✍Objektif :

⊲ Mengenal cara inisialisasi variabel. ⊲ Mengenal operasi matematika. ⊲ Mengenal fungsi-fungsi dasar. ⊲ Mengenal cara membuat grafik.

1.1 Inisialisasi variabel

Salah satu perbedaan utama antara komputer dan kalkulator adalah pemanfaatan variabel dalam proses perhitungan. Kebanyakan kalkulator tidak menggunakan variabel dalam proses perhitungan; sebaliknya, komputer sangat memanfaatkan variable dalam proses perhitungan. Misalnya kita ingin mengalikan 2 dengan 3. Dengan kalkulator, langkah pertama yang akan kita lakukan adalah menekan tombol angka 2, kemudian diikuti menekan tombol×, lalu menekan tombol angka 3, dan diakhiri dengan menekan tombol=; maka keluarlah hasilnya berupa angka 6. Kalau di komputer, proses perhitungan seperti ini dapat dilakukan dengan memanfaatkan variabel. Pertama-tama kita munculkan sebuah variabel yang diinisialisasi1 dengan angka 2, misalnyaA = 2. Kemudian kita munculkan variabel lain yang diinisialisasi dengan angka 3, misalnya B = 3. Setelah itu kita ketikkanA_∗B; maka pada layar monitor akan tampil angka 6. Bahkan kalau mau, hasil perhitungannya dapat disimpan dalam variabel yang lain lagi, misalnya kita ketiikanC =A_∗B; maka hasil perhitungan, yaitu angka 6 akan disimpan dalam variable C. Script2 _{matlab untuk melakukan proses perhitungan seperti itu}

adalah sebagai berikut

A = 2; B = 3; C = A * B

1_{inisialisasi adalah proses memberi nilai awal pada suatu variabel}

2_Script_{adalah daftar baris-baris perintah yang akan dikerjakan (di-eksekusi) oleh komputer}

(16)

2 BAB 1. PENDAHULUAN

Nama suatu variabel tidak harus hanya satu huruf, melainkan dapat berupa sebuah kata. Misalnya kita ingin menyatakan hukum Newton kedua, yaituF =ma, dimanamadalah mas-sa,aadalah percepatan danF adalah gaya. Maka,scriptmatlab dapat ditulis seperti berikut ini

massa = 2; percepatan = 3;

gaya = massa * percepatan

Atau bisa jadi kita memerlukan variabel yang terdiri atas dua patah kata. Dalam hal ini, kedua kata tadi mesti dihubungkan dengan tandaunderscore. Misalnya begini

besar_arus = 2; beda_potensial = 3;

nilai_hambatan = beda_potensial / besar_arus

Semua contoh di atas memperlihatkan perbedaan yang begitu jelas antara penggunaan komputer dan kalkulator dalam menyelesaikan suatu perhitungan. Saya akan tunjukkan perbe-daan yang lebih tegas lagi pada bagian berikut ini.

1.2 Perhitungan yang berulang

Di dalam matlab, suatu variabel dapat diinisialisasi dengan urutan angka. Misalnya jika vari-abelthendak diinisialisasi dengan sejumlah angka yaitu 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 dan 10, caranya sangat mudah, cukup dengan mengetikkan

t = 0:10;

Angka 0 pada script di atas merupakan nilai awal; sedangkan angka 10 adalah nilai akhir. Contoh lainnya, jika anda hanya menginginkan bilangan genap-nya saja, cukup ketikkan t = 0:2:10;

Disini, angka 2 bertindak sebagai nilai interval dari 0 sampai 10. Sehingga angka-angka yg muncul hanyalah 0, 2, 4, 6, 8 dan 10. Andaikata anda menginginkan urutan angka yang terba-lik, maka yang perlu anda lakukan adalah

t = 10:-2:0;

sehinggan angka yang muncul adalah 10, 8, 6, 4, 2 dan 0. Adakalanya proses perhitungan meminta kita untuk memulainya dari angka kurang dari nol, misalnya

t = -10:3:4;

maka angka-angka yang tersimpan pada variabel t adalah -10, -7, -4, -1 dan 2.

Dengan adanya kemampuan dan sekaligus kemudahan inisialisasi urutan angka seperti ini, maka memudahkan kita melakukan perhitungan yang berulang. Sebagai contoh, kita in-gin mensimulasikan perubahan kecepatan mobil balap yang punya kemampuan akselerasi 2 m/dt2. Rumus gerak lurus berubah beraturan sangat memadai untuk maksud tersebut

(17)

1.3. MENGENAL CARA MEMBUAT GRAFIK 3

Jika kita hendak mengamati perubahan kecepatan mobil balap dari detik pertama disaat sedang diam hingga detik ke-5, kita dapat menghitung perubahan tersebut setiap satu detik, yaitu pada t= 1 _⇒ v1 = (0) + (2)(1) ⇒2m/dt pada t= 2 _⇒ v2 = (0) + (2)(2) ⇒4m/dt pada t= 3 _⇒ v3 = (0) + (2)(3) ⇒6m/dt pada t= 4 _⇒ v4 = (0) + (2)(4) ⇒8m/dt pada t= 5 _⇒ v5 = (0) + (2)(5) ⇒10m/dt

Script matlab untuk tujuan di atas adalah a = 2;

t = 1:5; vo = 0; v = vo + a * t

Jarak tempuh mobil juga dapat ditentukan oleh persamaan berikut

s=vot+

1 2at

2 _(1.2)

Untuk menentukan perubahan jarak tempuh tersebut, script sebelumnya mesti ditambah satu baris lagi

1 a = 2;

2 t = 1:5;

3 vo = 0;

4 s = vo * t + 1/2 * a * t.^2

Ada hal penting yang perlu diperhatikan pada baris ke-4 di atas, yaitu penempatan tanda titik pada t.ˆ2. Maksud dari tanda titik adalah setiap angka yang tersimpan pada variabel t

harus dikuadratkan. Jika anda lupa menempatkan tanda titik, sehingga tertulis tˆ2, maka script tersebut tidak akan bekerja.

1.3 Mengenal cara membuat grafik

Seringkali suatu informasi lebih mudah dianalisis setelah informasi tersebut ditampilkan dalam bentuk grafik. Pada contoh mobil balap tadi, kita bisa menggambar data perubahan kecepatan mobil terhadap waktu dengan menambahkan satu baris lagi seperti ditunjukkan oleh script dibawah ini 1 a = 2; 2 t = 1:5; 3 vo = 0; 4 v = vo + a * t 5 plot(t,v,’o’)

(18)

4 BAB 1. PENDAHULUAN 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Gambar 1.1: Data perubahan kecepatan terhadap waktu

Jika script tersebut di-run, akan muncul Gambar 1.1. Untuk melengkapi keterangan gambar, beberapa baris perlu ditambahkan

1 a = 2; 2 t = 1:5; 3 vo = 0; 4 v = vo + a * t; 5 plot(t,v,’o’); 6 xlabel(’Waktu (dt)’); 7 ylabel(’Kecepatan (m/dt)’)

8 title(’Data Kecepatan vs Waktu’)

1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Waktu (dt) Kecepatan (m/dt)

Data Kecepatan vs Waktu

(19)

1.4. BARIS-BARIS PEMBUKA 5

1.4 Baris-baris pembuka

Ketika anda membuat script di komputer, anda mesti menyadari bahwa script yang sedang anda buat akan memodifikasi isi memory komputer. Oleh karena itu saya menyarankan agar sebelum kalkulasi anda bekerja, maka anda harus pastikan bahwa memory komputer dalam keadaan bersih. Cara membersihkannya, di dalam matlab, adalah dengan menuliskan per-intah clear. Alasan yang sama diperlukan untuk membersihkan gambar dari layar monitor. Untuk maksud ini, cukup dengan menuliskan perintahclose. Sedangkan untuk membersihkan teks atau tulisan di layar monitor, tambahkan saja perintahclc. Saya biasa meletakkan ketiga perintah tersebut pada baris-baris awal sebagai pembukaan bagi suatu script matlab. Inilah contohnya, 1 clear 2 close 3 clc 4 5 a = 2; 6 t = 1:5; 7 vo = 0; 8 v = vo + a * t; 9 plot(t,v,’o’); 10 xlabel(’Waktu (dt)’); 11 ylabel(’Kecepatan (m/dt)’)

12 title(’Data Kecepatan vs Waktu’)

1.5 Membuat 2 grafik dalam satu gambar

Misalnya, sebuah gelombang dinyatakan oleh persamaan

y=Asin(2πf t+θ)

dimanaA= amplitudo;f= frekuensi;t= waktu;θ= sudut fase gelombang. Jika suatu gelom-bang beramplitudo 1 memiliki frekuensi tunggal 5 Hz dan sudut fase-nya nol, maka script untuk membuat grafik gelombang tersebut adalah

1 clc 2 clear 3 close 4 5 A = 1; % amplitudo 6 f = 5; % frekuensi

7 theta = 0; % sudut fase gelombang

8 t = 0:0.001:1; % t_awal = 0; t_akhir = 1; interval = 0.001

9 y = A * sin(2*pi*f*t + theta); % persamaan gelombang

10

11 plot(t,y) % menggambar grafik persamaan gelombang

Grafik di atas muncul karena ada fungsi plot(t,y) yang diletakkan dibaris paling akhir pada script. Modifikasi script perlu dilakukan untuk memberi penjelasan makna dari sumbu-x dan sumbu-y serta memberikan judul grafik

(20)

6 BAB 1. PENDAHULUAN 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 −1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Gambar 1.3: Grafik gelombang berfrekuensi 5 Hz

1 clc 2 clear 3 close 4 5 A = 1; % amplitudo 6 f = 5; % frekuensi

7 theta = 0; % sudut fase gelombang

9 y = A * sin(2*pi*f*t + theta); % persamaan gelombang

10

11 plot(t,y) % menggambar grafik persamaan gelombang

12 xlabel(’Waktu, t (detik)’); % melabel sumbu-x

13 ylabel(’Amplitudo’); % melabel sumbu-y

14 title(’Gelombang berfrekuensi 5 Hz’); % judul grafik

Untuk memperbesar font judul grafik, tambahkan katafontsize(14)padatitle(), contohnya title(’\fontsize{14} Gelombang berfrekuensi 5 Hz’); % judul grafik

Bila kita perlu menggambar dua buah grafik, contoh script berikut ini bisa digunakan

1 clc

2 clear

3 close

4

6

7 A1 = 1; % amplitudo gelombang 1

8 f1 = 5; % frekuensi gelombang 1

9 theta1 = 0; % sudut fase gelombang 1

10 y1 = A1 * sin(2*pi*f1*t + theta1); % persamaan gelombang 1

11

(21)

1.5. MEMBUAT 2 GRAFIK DALAM SATU GAMBAR 7 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 −1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Waktu, t (detik) Amplitudo Gelombang berfrekuensi 5 Hz

Gambar 1.4: Grafik yang dilengkapi dengan keterangan sumbu-x dan sumbu-y serta judul

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 −1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Waktu, t (detik) Amplitudo Gelombang berfrekuensi 5 Hz

(22)

14 theta2 = pi/4; % sudut fase gelombang 2

16

17 figure

18

19 subplot(2,1,1)

20 plot(t,y1) % menggambar grafik persamaan gelombang 1

21 xlabel(’Waktu, t (detik)’);

22 ylabel(’Amplitudo’);

23 title(’\fontsize{14} Gelombang berfrekuensi 5 Hz’);

24

25 subplot(2,1,2)

29 title(’\fontsize{14} Gelombang berfrekuensi 3 Hz, fase pi/4’);

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 −1 −0.5 0 0.5 1 Waktu, t (detik) Amplitudo Gelombang berfrekuensi 5 Hz 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 −1 −0.5 0 0.5 1 Waktu, t (detik) Amplitudo

Gelombang berfrekuensi 3 Hz, fase pi/4

Gambar 1.6: Dua buah grafik dalam sebuah gambar

Sekarang, jika kita ingin melihat tampilan superposisi kedua gelombang di atas, maka script berikut ini bisa digunakan

1 clc

2 clear

3 close

4

6

9 theta1 = 0; % sudut fase gelombang 1

11

14 theta2 = pi/4; % sudut fase gelombang 2

(23)

1.5. MEMBUAT 2 GRAFIK DALAM SATU GAMBAR 9

16

17 y3 = y1 + y2; % superposisi gelombang

18

19 figure

20

21 subplot(3,1,1)

25 title(’\fontsize{14} Gelombang berfrekuensi 5 Hz’);

26

27 subplot(3,1,2)

31 title(’\fontsize{14} Gelombang berfrekuensi 3 Hz, fase pi/4’);

32

33 subplot(3,1,3)

34 plot(t,y3) % menggambar grafik superposisi gelombang

37 title(’\fontsize{14} Superposisi gelombang 5 Hz dan 3 Hz’);

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 −1 0 1 Waktu, t (detik) Amplitudo

Gelombang berfrekuensi 5 Hz

Gelombang berfrekuensi 3 Hz, fase pi/4

Superposisi gelombang 5 Hz dan 3 Hz

(24)

1.6 Latihan

1. Jarak tempuh mobil balap yang bergerak dengan percepatan 2 m/dt2 dari posisi diam ditentukan oleh rumus berikut

s=vot+

1 2at

2

Buatlah script untuk menggambarkan grafik jarak tempuh terhadap waktu dimulai dari t = 0 hingga t = 20 dt.

2. Sebuah elektron memasuki area yang dipengaruhi oleh medan listrik seperti gambar berikut dimana diketahui besar muatan elektron = 1,6×10−19_{C, massa elektron = 9,11×10}−31

kg, kecepatanv= 3×106m/dt, kuat medan listrikE= 200 N/C , dan panjang platℓ= 0,1 meter. Posisi koordinat elektron memenuhi persamaan

x=vt y =₋1 2 eE m t 2 _{dimana percepatan} _a₌ eE m

Buatlah script untuk menentukan variasi posisi elektron (x, y) terhadap waktu (t), mulai darit= 0 detik hinggat= 3,33×10−8 _{detik dengan interval waktu 3,33}_×₁₀−10_detik.

3. Berkali-kali bola ditendang dari depan gawang ke tengah lapangan oleh penjaga gawang yang sedang berlatih. Misalnya bola ditendang sedemikian rupa sehingga bola selalu bergerak dengan kecepatan awal 5 m/dt. Diketahui konstanta gravitasi adalah 9,8 m/dt2.

(a) Plot variasi ketinggian maksimum bola bila sudut tendangan bervariasi dari 30o hingga 60o dengan interval 5o. Persamaan untuk menghitung ketinggian maksi-mum adalah

hmaks=

v_o2sin2α

2g (1.3)

(b) Plot variasi jangkauan maksimum bola bila sudut tendangan bervariasi dari 30o hingga 60odengan interval 5o. Persamaan untuk menghitung jangkauan maksimum adalah

xmaks= v2

osin 2α

g (1.4)

(25)

1.6. LATIHAN 11

4. Sebuah bola konduktor pejal memiliki jari-jari sebesar 0,75 meter. Kuat medan listrik yang terukur pada permukaan kulit bola diketahui sebesar 890 N/C dan mengarah ke pusat bola. Dengan memanfaatkan hukum Gauss, tentukan:

(a) Tuliskan script matlab untuk menggambarkan kurva kuat medan listrik vs jarak, mulai dari 0 meter hingga 10 meter.

(26)

(27)

Bab 2

Matrik dan Komputasi

✍Objektif :

⊲ Mengenalkan matrik, vektor dan jenis-jenis matrik.

⊲ Mendeklarasikan elemen-elemen matrik ke dalam memori komputer. ⊲ _{Mengenalkan operasi penjumlahan dan perkalian matrik.}

⊲ Membuat script operasi matrik.

2.1 Mengenal matrik

Notasi suatu matrik berukurannxm ditulis dengan huruf besar dan dicetak tebal, misalnya

An×m. Hurufnmenyatakan jumlah baris, dan hurufmjumlah kolom. Suatu matrik tersusun

atas elemen-elemen yang dinyatakan dengan huruf kecil lalu diikuti oleh angka-angka indeks, misalnyaaij. Indeksi menunjukkan posisi baris ke-idan indeksj menentukan posisi kolom

ke-j. A= (aij) =       a11 a12 . . . a1m a21 a22 . . . a2m .. . ... ... an1 an2 . . . anm       (2.1)

Pada matrik ini, a11, a12, ..., a1m adalah elemen-elemen yang menempati baris pertama.

Se-mentaraa12,a22, ...,an2 adalah elemen-elemen yang menempati kolom kedua. Contoh 1: MatrikA2×3 A= " 3 8 5 6 4 7 #

dimana masing-masing elemennya adalaha11 = 3, a12 = 8, a13 = 5, a21 = 6, a22 = 4, dan

a23= 7.

(28)

14 BAB 2. MATRIK DAN KOMPUTASI Contoh 2: MatrikB3×2 B=    1 3 5 9 2 4   

dimana masing-masing elemennya adalahb11 = 1, b12 = 3, b21 = 5, b22 = 9, b31 = 2, dan

b32= 4.

2.2 Vektor-baris dan vektor-kolom

Notasi vektor biasanya dinyatakan dengan huruf kecil dan dicetak tebal. Suatu matrik dina-makan vektor-baris berukuran m, bila hanya memiliki satu baris danm kolom, yang diny-atakan sebagai berikut

a=ha11 a12 . . . a1m i

=ha1 a2 . . . am i

(2.2)

Sedangkan suatu matrik dinamakan vektor-kolom berukurann, bila hanya memiliki satu kolom dannbaris, yang dinyatakan sebagai berikut

a=       a11 a21 .. . an1       =       a1 a2 .. . an       (2.3)

2.3 Inisialisasi matrik dalam memori komputer

Sebelum dilanjutkan, saya sarankan agar anda mencari tahu sendiri bagaimana cara membuat

m-filedi Matlab dan bagaimana cara menjalankannya. Karena semuasource codeyang terdapat dalam buku ini ditulis dalamm-file. Walaupun sangat mudah untuk melakukancopy-paste, na-mun dalam upaya membiasakan diri menulissource codedim-file, saya anjurkan anda menulis ulang semuanya.

Dalam Matlab terdapat 3 cara inisialisasi matrik. Cara pertama1, sesuai dengan Contoh 1, adalah 1 clear all 2 clc 3 4 A(1,1) = 3; 5 A(1,2) = 8; 6 A(1,3) = 5; 7 A(2,1) = 6; 8 A(2,2) = 4; 9 A(2,3) = 7; 10 A 1

Cara ini bisa diterapkan pada bahasa C, Fortran, Pascal, Delphi, Java, Basic, dll. Sementara cara kedua dan cara ketiga hanya akan dimengerti oleh Matlab

(29)

2.4. MACAM-MACAM MATRIK 15

Sedangkan untuk matrikB3×2, sesuai Contoh 2 adalah

1 clear all 2 clc 3 4 B(1,1) = 1; 5 B(1,2) = 3; 6 B(2,1) = 5; 7 B(2,2) = 9; 8 B(3,1) = 2; 9 B(3,2) = 4; 10 B

Cara kedua relatif lebih mudah dan benar-benar merepresentasikan dimensi matriknya, di-mana jumlah baris dan jumlah kolom terlihat dengan jelas.

1 clear all 2 clc 3 4 A=[ 3 8 5 5 6 4 7 ]; 6 7 B=[ 1 3 8 5 9 9 2 4 ];

Cara ketiga jauh lebih singkat, namun tidak menunjukkan dimensi matrik lantaran ditulis hanya dalam satu baris.

1 clear all 2 clc 3 4 A=[ 3 8 5 ; 6 4 7 ]; 5 B=[ 1 3 ; 5 9 ; 2 4]; 2.4 Macam-macam matrik 2.4.1 Matrik transpose

Operasi transpose terhadap suatu matrik akan menukar elemen kolom menjadi elemen-elemen baris. Notasi matrik tranpose adalahAT atauAt.

Contoh 3: Operasi transpose terhadap matrikA

A= " 3 8 5 6 4 7 # AT =    3 6 8 4 5 7   

Dengan Matlab, operasi transpose cukup dilakukan dengan menambahkan tanda petik tung-gal di depan nama matriknya

(30)

16 BAB 2. MATRIK DAN KOMPUTASI 1 clear all 2 clc 3 4 A=[ 3 8 5 5 6 4 7 ]; 6 7 AT = A’; 2.4.2 Matrik bujursangkar

Matrik bujursangkar adalah matrik yang jumlah baris dan jumlah kolomnya sama.

Contoh 4: Matrik bujursangkar berukuran 3x3 atau sering juga disebut matrik bujursangkar orde 3 A=    1 3 8 5 9 7 2 4 6    2.4.3 Matrik simetrik

Matrik simetrik adalah matrik bujursangkar yang elemen-elemen matrik transpose-nya berni-lai sama dengan matrik asli-nya.

Contoh 5: Matrik simetrik

A=       2 ₋3 7 1 −3 5 6 ₋2 7 6 9 8 1 ₋2 8 10       AT =       2 ₋3 7 1 −3 5 6 ₋2 7 6 9 8 1 ₋2 8 10       2.4.4 Matrik diagonal

Matrik diagonal adalah matrik bujursangkar yang seluruh elemen-nya bernilai 0 (nol), kecuali elemen-elemen diagonalnya.

Contoh 6: Matrik diagonal orde 3

A=    11 0 0 0 29 0 0 0 61    2.4.5 Matrik identitas

Matrik identitas adalah matrik bujursangkar yang semua elemen-nya bernilai 0 (nol), kecuali elemen-elemen diagonal yang seluruhnya bernilai 1.

Contoh 7: Matrik identitas orde 3

I=    1 0 0 0 1 0 0 0 1   

(31)

2.4. MACAM-MACAM MATRIK 17

2.4.6 Matrik upper-triangular

Matrik upper-tringular adalah matrik bujursangkar yang seluruh elemen dibawah elemen di-agonal bernilai 0 (nol).

Contoh 8: Matrik upper-triangular

A=       3 6 2 1 0 4 1 5 0 0 8 7 0 0 0 9       2.4.7 Matrik lower-triangular

Matrik lower-tringular adalah matrik bujursangkar yang seluruh elemen diatas elemen diago-nal bernilai 0 (nol).

Contoh 9: Matrik lower-triangular

A=       12 0 0 0 32 ₋2 0 0 8 7 11 0 −5 10 6 9       2.4.8 Matrik tridiagonal

Matrik tridiagonal adalah matrik bujursangkar yang seluruh elemen bukan 0 (nol) berada dis-ekitar elemen diagonal, sementara elemen lainnya bernilai 0 (nol).

Contoh 10: Matrik tridiagonal

A=       3 6 0 0 2 ₋4 1 0 0 5 8 ₋7 0 0 3 9      

2.4.9 Matrik diagonal dominan

Matrik diagonal dominan adalah matrik bujursangkar yang memenuhi

|aii|> n X

j=1,j6=i

|aij| (2.4)

dimanai=1,2,3,..n. Coba perhatikan matrik-matrik berikut ini

A=    7 2 0 3 5 ₋1 0 5 ₋6    B=    6 4 ₋3 4 ₋2 0 −3 0 1   

(32)

18 BAB 2. MATRIK DAN KOMPUTASI

Pada elemen diagonalaiimatrikA,|7|>|2|+|0|, lalu|5|>|3|+|−1|, dan|−6|>|5|+|0|. Maka

matrikAdisebut matrik diagonal dominan. Sekarang perhatikan elemen diagonal matrikB, |6_|<_|4_|+_{| −}3_|,| −2_|<_|4_|+_|0_|, dan|1_|<_{| −}3_|+_|0_|. Dengan demikian, matrikBbukan matrik diagonal dominan.

2.4.10 Matrikpositive-definite

Suatu matrik dikatakanpositive-definitebila matrik tersebut simetrik dan memenuhi

xTAx>0 (2.5)

Contoh 11: Diketahui matrik simetrik berikut

A=    2 ₋1 0 −1 2 ₋1 0 ₋1 2   

untuk menguji apakah matrikAbersifatpositive-definite, maka

xTAx = hx1 x2 x3 i    2 ₋1 0 −1 2 ₋1 0 ₋1 2       x1 x2 x3    = hx1 x2 x3 i    2x1−x2 −x1+ 2x2−x3 −x2+ 2x3    = 2x2₁₋2x1x2+ 2x22−2x2x3+ 2x23 = x2₁+ (x2₁₋2x1x2+x22) + (x22−2x2x3+x23) +x23 = x2₁+ (x1−x2)2+ (x2−x3)2+x23

Dari sini dapat disimpulkan bahwa matrikAbersifatpositive-definite, karena memenuhi

x2₁+ (x1−x2)2+ (x2−x3)2+x23 >0 kecuali jikax1=x2=x3=0.

2.5 Operasi matematika

2.5.1 Penjumlahan matrik

Operasi penjumlahan pada dua buah matrik hanya bisa dilakukan bila kedua matrik tersebut berukuran sama. Misalnya matrikC2×3

C=

"

9 5 3 7 2 1

(33)

2.5. OPERASI MATEMATIKA 19

dijumlahkan dengan matrikA2×3, lalu hasilnya (misalnya) dinamakan matrikD2×3

D=A+C D = " 3 8 5 6 4 7 # + " 9 5 3 7 2 1 # = " 3 + 9 8 + 5 5 + 3 6 + 7 4 + 2 7 + 1 # = " 12 13 8 13 6 8 #

Tanpa mempedulikan nilai elemen-elemen masing-masing matrik, operasi penjumlahan antara matrikA2×3 danC2×3, bisa juga dinyatakan dalam indeks masing-masing dari kedua matrik tersebut, yaitu " d11 d12 d13 d21 d22 d23 # = " a11+c11 a12+c12 a13+c13 a21+c21 a22+c22 a23+c23 #

Dijabarkan satu persatu sebagai berikut

d11=a11+c11 d12=a12+c12 d13=a13+c13 (2.6) d21=a21+c21 d22=a22+c22 d23=a23+c23

Dari sini dapat diturunkan sebuah rumus umum penjumlahan dua buah matrik

dij =aij+cij (2.7)

dimana i=1,2 danj=1,2,3. Perhatikan baik-baik! Batasihanya sampai angka 2 sementara

batasjsampai angka 3. Kemampuan anda dalam menentukan batas indeks sangat penting

dalam duniaprogramming.

2.5.2 Komputasi penjumlahan matrik

Berdasarkan contoh operasi penjumlahan di atas, indeksj pada persamaan (2.7)lebih cepat

berubah dibanding indeksisebagaimana ditulis pada 3 baris pertama dari Persamaan (2.6),

d11=a11+c11

d12=a12+c12

(34)

Jelas terlihat, ketika indeks imasih bernilai 1, indeksj sudah berubah dari nilai 1 sampai 3. Hal ini membawa konsekuensi padascriptpemrograman, dimanaloopinguntuk indeksjharus diletakkan di dalamloopingindeksi. Aturan mainnya adalah yanglooping-nya paling cepat

harus diletakkan paling dalam; sebaliknya,loopingterluar adalahloopingyang indeksnya

paling jarang berubah.

Bila anda masih belum paham terhadap kalimat yang dicetak tebal, saya akan berikan con-tohsource code dasar yang nantinya akan kita optimasi selangkah demi selangkah. OK, kita mulai darisource codepaling mentah berikut ini.

1 clear all

2 clc

3

4 A=[3 8 5; 6 4 7]; % inisialisasi matrik A

5

6 C=[9 5 3; 7 2 1]; % inisialisasi matrik B

7

8 % ---proses penjumlahan

matrik----9 D(1,1)=A(1,1)+C(1,1); 10 D(1,2)=A(1,2)+C(1,2); 11 D(1,3)=A(1,3)+C(1,3); 12 D(2,1)=A(2,1)+C(2,1); 13 D(2,2)=A(2,2)+C(2,2); 14 D(2,3)=A(2,3)+C(2,3); 15

16 % ---menampilkan matrik A, C dan

D----17 A 18 C 19 D

Tanda % berfungsi untuk memberikan komentar atau keterangan. Komentar atau keteran-gan tidak akan diproses oleh Matlab. Saya yakin anda paham denketeran-gan logika yang ada pada bagian %—proses penjumlahan matrik—- dalam source code di atas. Misalnya pada baris ke-9, elemend11adalah hasil penjumlahan antara elemena11danc11, sesuai dengan baris pertama Persamaan 2.6.

Tahap pertama penyederhanaan source codedilakukan dengan menerapkan perintahfor -enduntuk proseslooping.Source codetersebut berubah menjadi

1 clear all

2 clc

3

5

7

matrik----9 for j=1:3 10 D(1,j)=A(1,j)+C(1,j); 11 end 12 13 for j=1:3 14 D(2,j)=A(2,j)+C(2,j); 15 end

(35)

16

D----18 A 19 C 20 D

Pada baris ke-9 dan ke-13, saya mengambil hurufj sebagai nama indeks dimanaj bergerak dari 1 sampai 3. Coba anda pikirkan, mengapajhanya bergerak dari 1 sampai 3?

Modifikasi tahap kedua adalah sebagai berikut

1 clear all

2 clc

3

5

7

matrik----9 i=1 10 for j=1:3 11 D(i,j)=A(i,j)+C(i,j); 12 end 13 14 i=2 15 for j=1:3 16 D(i,j)=A(i,j)+C(i,j); 17 end 18

D----20 A 21 C 22 D

Saya gunakan indeksipada baris ke-9 dan ke-14 yang masing-masing berisi angka 1 dan 2. Dengan begitu indeksibisa menggantikan angka 1 dan 2 yang semula ada di baris ke-11 dan ke-16. Nah sekarang coba anda perhatikan, statemen pada baris ke-10, ke-11 dan ke-12 sama persis dengan statemen pada baris ke-15, ke-16 dan ke-17, sehingga mereka bisa disatukan kedalam sebuahloopingyang baru dimanaimenjadi nama indeksnya.

1 clear all

2 clc

3

5

7

matrik----9 for i=1:2 10 for j=1:3 11 D(i,j)=A(i,j)+C(i,j); 12 end 13 end 14

(36)

D----22 BAB 2. MATRIK DAN KOMPUTASI

16 A 17 C 18 D

Coba anda pahami dari baris ke-9, mengapa indeksihanya bergerak dari 1 sampai 2?

Source code di atas memang sudah tidak perlu dimodifikasi lagi, namun ada sedikit saran untuk penulisanloopingbertingkat dimana sebaiknyalooping terdalam ditulis agak menjorok kedalam seperti berikut ini

1 clear all

2 clc

3

5

7

D----16 A 17 C 18 D

Sekarang anda lihat bahwaloopingindeksj ditulis lebih masuk kedalam dibandingkan loop-ing indeksi. Semoga contoh ini bisa memperjelasaturan umum pemrograman dimana yang looping-nya paling cepat harus diletakkan paling dalam; sebaliknya,loopingterluar adalah looping yang indeksnya paling jarang berubah. Dalam contoh iniloopingindeksj bergerak lebih cepat dibandingloopingindeksi.

2.5.3 Perkalian matrik

Operasi perkalian dua buah matrik hanya bisa dilakukan bila jumlah kolom matrik pertama sama dengan jumlah baris matrik kedua. Jadi kedua matrik tersebut tidak harus berukuran sama seperti pada penjumlahan dua matrik. Misalnya matrikA2×3 dikalikan dengan matrik

B3×2, lalu hasilnya (misalnya) dinamakan matrikE2×2

(37)

2.5. OPERASI MATEMATIKA 23 E = " 3 8 5 6 4 7 #    1 3 5 9 2 4    = " 3.1 + 8.5 + 5.2 3.3 + 8.9 + 5.4 6.1 + 4.5 + 7.2 6.3 + 4.9 + 7.4 # = " 53 101 40 82 #

Tanpa mempedulikan nilai elemen-elemen masing-masing matrik, operasi perkalian antara matrikA2×3 danB3×2, bisa juga dinyatakan dalam indeks masing-masing dari kedua matrik tersebut, yaitu " e11 e12 e21 e22 # = " a11.b11+a12.b21+a13.b31 a11.b12+a12.b22+a13.b32 a21.b11+a22.b21+a23.b31 a21.b12+a22.b22+a23.b32 #

Bila dijabarkan, maka elemen-elemen matrikE2×2adalah

e11=a11.b11+a12.b21+a13.b31 (2.8)

e12=a11.b12+a12.b22+a13.b32 (2.9)

e21=a21.b11+a22.b21+a23.b31 (2.10)

e22=a21.b12+a22.b22+a23.b32 (2.11)

Sejenak, mari kita amati perubahan pasangan angka-angka indeks yang mengiringi elemen

e, elemen adan elemen b mulai dari persamaan (2.8) sampai persamaan (2.11). Perhatikan perubahan angka-indeks-pertama pada elemeneseperti berikut ini

e1..=.. e1..=.. e2..=.. e2..=..

Pola perubahan yang sama akan kita dapati pada angka-indeks-pertama dari elemena

e1..=a1...b...+a1...b...+a1...b... e1..=a1...b...+a1...b...+a1...b... e2..=a2...b...+a2...b...+a2...b... e2..=a2...b...+a2...b...+a2...b...

(38)

yang polanya sama

ei.. =ai...b...+ai...b...+ai...b... ei.. =ai...b...+ai...b...+ai...b... ei.. =ai...b...+ai...b...+ai...b... ei.. =ai...b...+ai...b...+ai...b...

dimana i bergerak mulai dari angka 1 hingga angka 2, atau kita nyatakan i=1,2. Selanjut-nya, masih dari persamaan (2.8) sampai persamaan (2.11), marilah kita perhatikan perubahan angka-indeks-kedua pada elemenedan elemenb,

ei1 =ai...b..1+ai...b..1+ai...b..1

ei2 =ai...b..2+ai...b..2+ai...b..2

ei1 =ai...b..1+ai...b..1+ai...b..1

ei2 =ai...b..2+ai...b..2+ai...b..2

Dengan demikian kita bisa mencantumkan huruf j sebagai pengganti angka-angka indeks yang polanya sama

eij =ai...b..j+ai...b..j+ai...b..j eij =ai...b..j+ai...b..j+ai...b..j eij =ai...b..j+ai...b..j+ai...b..j eij =ai...b..j+ai...b..j+ai...b..j

dimanajbergerak mulai dari angka 1 hingga angka 2, atau kita nyatakanj=1,2. Selanjutnya, masih dari persamaan (2.8) sampai persamaan (2.11), mari kita perhatikan perubahan angka-indeks-kedua elemen a dan angka-indeks-pertama elemen b, dimana kita akan dapati pola sebagai berikut

eij =ai1.b1j +ai2.b2j+ai3.b3j eij =ai1.b1j +ai2.b2j+ai3.b3j eij =ai1.b1j +ai2.b2j+ai3.b3j eij =ai1.b1j +ai2.b2j+ai3.b3j

(39)

sama, dimanakbergerak mulai dari angka 1 hingga angka 3, atau kita nyatakank=1,2,3.

eij =aik.bkj+aik.bkj+aik.bkj eij =aik.bkj+aik.bkj+aik.bkj eij =aik.bkj+aik.bkj+aik.bkj eij =aik.bkj+aik.bkj+aik.bkj

Kemudian secara sederhana dapat ditulis sebagai berikut

eij =aik.bkj+aik.bkj+aik.bkj (2.12)

Selanjutnya dapat ditulis pula formula berikut

eij = 3 X k=1 aikbkj (2.13) dimanai=1,2;j=1,2; dank=1,2,3.

Berdasarkan contoh ini, maka secara umum bila ada matrikAn×myang dikalikan dengan

ma-trikBm×p, akan didapatkan matrikEn×pdimana elemen-elemen matrikEmemenuhi

eij = m X k=1 aikbkj (2.14) dengani=1,2,. . . ,n;j=1,2. . . ,p; dank=1,2. . . ,m.

2.5.4 Komputasi perkalian matrik

Mari kita mulai lagi darisource codepaling dasar dari operasi perkalian matrik sesuai dengan contoh di atas. 1 clear all 2 clc 3 4 A = [3 8 5; 6 4 7]; % inisialisasi matrik A 5 B = [1 3; 5 9; 2 4]; % inisialisasi matrik B 6

7 % ---proses perkalian

matrik----8 E(1,1)=A(1,1)*B(1,1)+A(1,2)*B(2,1)+A(1,3)*B(3,1);

9 E(1,2)=A(1,1)*B(1,2)+A(1,2)*B(2,2)+A(1,3)*B(3,2);

10 E(2,1)=A(2,1)*B(1,1)+A(2,2)*B(2,1)+A(2,3)*B(3,1);

11 E(2,2)=A(2,1)*B(1,2)+A(2,2)*B(2,2)+A(2,3)*B(3,2);

12

13 % ---menampilkan matrik A, B dan

E----14 A 15 B 16 E

(40)

Sejenak, mari kita amati dengan cermat statemen dari baris ke-9 sampai ke-12 sambil dikaitkan dengan bentuk umum penulisan indeks pada perkalian matrik yaitu

eij =aik.bkj+aik.bkj+aik.bkj (2.15)

Dari sana ada 4pointyang perlu dicatat:

• elemenememiliki indeksidan indeksjdimana indeksjlebih cepat berubah dibanding indeksi.

• pada baris statemen ke-8 sampai ke-11 ada tiga kali operasi perkalian dan dua kali op-erasi penjumlahan yang semuanya melibatkan indeks i, indeks j dan indeks k. Na-mun indekskselalu berubah pada masing-masing perkalian. Jadi indekskpaling cepat berubah dibanding indeksidan indeksj.

• elemenamemiliki indeksidan indekskdimana indeksklebih cepat berubah dibanding indeksi.

• elemenbmemiliki indekskdan indeksjdimana indeksklebih cepat berubah dibanding indeksj.

Tahapan modifikasi source code perkalian matrik tidak semudah penjumlahan matrik. Dan mengajarkan logika dibalik source code perkalian matrik jauh lebih sulit daripada sekedar memodifikasi source code tersebut. Tapi akan saya coba semampu saya lewat tulisan ini walau harus perlahan-lahan. Mudah-mudahan mudah untuk dipahami.

Saya mulai dengan memecah operasi pada statemen baris ke-8 yang bertujuan menghitung nilaiE(1,1) 1 clear all 2 clc 3 4 A = [3 8 5; 6 4 7]; % inisialisasi matrik A 5 B = [1 3; 5 9; 2 4]; % inisialisasi matrik B 6

matrik----8 % ---E(1,1) dihitung 3 kali

9 E(1,1)=A(1,1)*B(1,1);

10 E(1,1)=E(1,1)+A(1,2)*B(2,1);

11 E(1,1)=E(1,1)+A(1,3)*B(3,1);

12

13 % ---E(1,2); E(2,1); dan E(2,2) masih seperti semula

14 E(1,2)=A(1,1)*B(1,2)+A(1,2)*B(2,2)+A(1,3)*B(3,2);

15 E(2,1)=A(2,1)*B(1,1)+A(2,2)*B(2,1)+A(2,3)*B(3,1);

16 E(2,2)=A(2,1)*B(1,2)+A(2,2)*B(2,2)+A(2,3)*B(3,2);

17

E----19 A 20 B 21 E

Agar baris ke-9 memiliki pola yang sama dengan baris ke-11 dan ke-12, upaya yang dilakukan adalah

(41)

2.5. OPERASI MATEMATIKA 27 1 clear all 2 clc 3 4 A = [3 8 5; 6 4 7]; % inisialisasi matrik A 5 B = [1 3; 5 9; 2 4]; % inisialisasi matrik B 6

matrik----8 % ---E(1,1) dihitung 3 kali

9 E(1,1)=0;

10 E(1,1)=E(1,1)+A(1,1)*B(1,1);

11 E(1,1)=E(1,1)+A(1,2)*B(2,1);

12 E(1,1)=E(1,1)+A(1,3)*B(3,1);

13

15 E(1,2)=A(1,1)*B(1,2)+A(1,2)*B(2,2)+A(1,3)*B(3,2);

16 E(2,1)=A(2,1)*B(1,1)+A(2,2)*B(2,1)+A(2,3)*B(3,1);

17 E(2,2)=A(2,1)*B(1,2)+A(2,2)*B(2,2)+A(2,3)*B(3,2);

18

E----20 A 21 B 22 E

Dari sini kita bisa munculkan indeksk

1 clear all 2 clc 3 4 A = [3 8 5; 6 4 7]; % inisialisasi matrik A 5 B = [1 3; 5 9; 2 4]; % inisialisasi matrik B 6

matrik----8 E(1,1)=0;

9 for k=1:3 % k bergerak dari 1 sampai 3

10 E(1,1)=E(1,1)+A(1,k)*B(k,1);

11 end 12

14 E(1,2)=A(1,1)*B(1,2)+A(1,2)*B(2,2)+A(1,3)*B(3,2);

15 E(2,1)=A(2,1)*B(1,1)+A(2,2)*B(2,1)+A(2,3)*B(3,1);

16 E(2,2)=A(2,1)*B(1,2)+A(2,2)*B(2,2)+A(2,3)*B(3,2);

17

E----19 A 20 B 21 E

Kemudian cara yang sama dilakukan pada E(1,2), E(2,1), danE(2,2). Anda mesti cermat dan hati-hati dalam menulis angka-angka indeks!!!

(42)

matrik----8 E(1,1)=0; 9 for k=1:3 10 E(1,1)=E(1,1)+A(1,k)*B(k,1); 11 end 12 13 E(1,2)=0; 14 for k=1:3 15 E(1,2)=E(1,2)+A(1,k)*B(k,2); 16 end 17 18 E(2,1)=0; 19 for k=1:3 20 E(2,1)=E(2,1)+A(2,k)*B(k,1); 21 end 22 23 E(2,2)=0; 24 for k=1:3 25 E(2,2)=E(2,2)+A(2,k)*B(k,2); 26 end 27

E----29 A 30 B 31 E

Inisialisasi elemen-elemen matrik E dengan angka nol, bisa dilakukan diawal proses perkalian yang sekaligus memunculkan indeksidanjuntuk elemenE

matrik----8 for i=1:2 % i bergerak dari 1 sampai 2

9 for j=1:2 % j bergerak dari 1 sampai 2

10 E(i,j)=0; 11 end 12 end 13 14 for k=1:3 15 E(1,1)=E(1,1)+A(1,k)*B(k,1); 16 end 17 18 for k=1:3 19 E(1,2)=E(1,2)+A(1,k)*B(k,2); 20 end 21 22 for k=1:3 23 E(2,1)=E(2,1)+A(2,k)*B(k,1); 24 end 25 26 for k=1:3 27 E(2,2)=E(2,2)+A(2,k)*B(k,2); 28 end 29

(43)

E----31 A 32 B 33 E

Sekarang coba anda perhatikan statemen pada baris ke-15 dan ke-19, lalu bandingkan indeks

idan indeksjpada elemenE. Indeks mana yang berubah? Ya. Jawabannya adalah indeksj. Dengan demikian kita bisa munculkan indeksj

10 E(i,j)=0; 11 end 12 end 13 14 j=1; 15 for k=1:3 16 E(1,j)=E(1,j)+A(1,k)*B(k,j); 17 end 18 19 j=2; 20 for k=1:3 21 E(1,j)=E(1,j)+A(1,k)*B(k,j); 22 end 23 24 for k=1:3 25 E(2,1)=E(2,1)+A(2,k)*B(k,1); 26 end 27 28 for k=1:3 29 E(2,2)=E(2,2)+A(2,k)*B(k,2); 30 end 31

E----33 A 34 B 35 E

Lihatlah, statemen dari baris ke-15 sampai ke-17 memiliki pola yang sama dengan statemen dari baris ke-20 sampai ke-22, sehingga mereka bisa disatukan kedalamloopingindeksj

(44)

10 E(i,j)=0; 11 end 12 end 13 14 for j=1:2 15 for k=1:3 16 E(1,j)=E(1,j)+A(1,k)*B(k,j); 17 end 18 end 19 20 for k=1:3 21 E(2,1)=E(2,1)+A(2,k)*B(k,1); 22 end 23 24 for k=1:3 25 E(2,2)=E(2,2)+A(2,k)*B(k,2); 26 end 27

E----29 A 30 B 31 E

Sekarang coba sekali lagi anda perhatikan statemen pada baris ke-21 dan ke-25, lalu band-ingkan indeksidan indeksj pada elemenE. Indeks mana yang berubah? Ya. Jawabannya tetap indeksj. Dengan demikian kita bisa munculkan juga indeksjdisana

10 E(i,j)=0; 11 end 12 end 13 14 for j=1:2 15 for k=1:3 16 E(1,j)=E(1,j)+A(1,k)*B(k,j); 17 end 18 end 19 20 j=1; 21 for k=1:3 22 E(2,j)=E(2,j)+A(2,k)*B(k,j); 23 end 24 25 j=2; 26 for k=1:3 27 E(2,j)=E(2,j)+A(2,k)*B(k,j); 28 end 29

(45)

E----31 A 32 B 33 E

Cermatilah, statemen dari baris ke-21 sampai ke-23 memiliki pola yang sama dengan statemen dari baris ke-25 sampai ke-27, sehingga mereka pun bisa disatukan kedalamloopingindeksj

10 E(i,j)=0; 11 end 12 end 13 14 for j=1:2 15 for k=1:3 16 E(1,j)=E(1,j)+A(1,k)*B(k,j); 17 end 18 end 19 20 for j=1:2 21 for k=1:3 22 E(2,j)=E(2,j)+A(2,k)*B(k,j); 23 end 24 end 25

E----27 A 28 B 29 E

Akhirnya kita sampai pada bagian akhir tahapan modifikasi. Perhatikan baris ke-16 dan ke-22. Indeksipada elemenEdanAbergerak dari 1 ke 2, sehingga indeksibisa dimunculkan

10 E(i,j)=0; 11 end 12 end 13 14 i=1; 15 for j=1:2

(46)

32 BAB 2. MATRIK DAN KOMPUTASI 16 for k=1:3 17 E(i,j)=E(i,j)+A(i,k)*B(k,j); 18 end 19 end 20 21 i=2; 22 for j=1:2 23 for k=1:3 24 E(i,j)=E(i,j)+A(i,k)*B(k,j); 25 end 26 end 27

E----29 A 30 B 31 E

Sekarang, statemen dari baris ke-15 sampai ke-19 memiliki pola yang sama dengan statemen dari baris ke-22 sampai ke-26. Mereka bisa disatukan olehloopingindeksi

matrik----8 for i=1:2 9 for j=1:2 10 E(i,j)=0; 11 end 12 end 13 14 for i=1:2 15 for j=1:2 16 for k=1:3 17 E(i,j)=E(i,j)+A(i,k)*B(k,j); 18 end 19 end 20 end 21

E----23 A 24 B 25 E

Inilah hasil akhir dari tahapan-tahapan modifikasi yang selanjutnya saya sebut sebagai proses

optimasi. Upaya yang baru saja saya perlihatkan, sebenarnya penuh dengan jebakan-jebakan

kesalahan, terutama jika anda kurang cermat membaca indeks dan pola. Upaya seperti itu memerlukan konsentrasi dan perhatian yang tidak sebentar. Upaya semacam itu tidak semu-dah meng-copy hasil akhir optimasi. Walaupun bisa di-copy, namun saya menyarankan agar anda mencoba melakukan proses optimasi itu sekali lagi di komputer tanpa melihat catatan ini dan tanpa bantuan orang lain. Kalau anda gagal, cobalah berfikir lebih keras untuk mencari jalan keluarnya. Jika masih tetap gagal, silakan lihat catatan ini sebentar saja sekedar untuk

(47)

mencari tahu dimana letak kesalahannya. Hanya dengan cara begitu ilmu programming ini akan bisa menyatu pada diri anda.

2.5.5 Perkalian matrik dan vektor-kolom

Operasi perkalian antara matrik dan vektor-kolom sebenarnya sama saja dengan perkalian an-tara dua matrik. Hanya saja ukuran vektor-kolom boleh dibilang spesial yaitumx1, dimana

mmerupakan jumlah baris sementara jumlah kolomnya hanya satu. Misalnya matrik A, pa-da contoh 1, dikalikan dengan vektor-kolom x yang berukuran3 x 1 atau disingkat dengan mengatakan vektor-kolomxberukuran3, lalu hasilnya (misalnya) dinamakan vektor-kolomy

y=Ax y = " 3 8 5 6 4 7 #    2 3 4    = " 3.2 + 8.3 + 5.4 6.2 + 4.3 + 7.4 # = " 50 52 #

Sekali lagi, tanpa mempedulikan nilai elemen-elemen masing-masing, operasi perkalian antara matrikAdan vektor-kolomx, bisa juga dinyatakan dalam indeksnya masing-masing, yaitu

" y1 y2 # = " a11.x1+a12.x2+a13.x3 a21.x1+a22.x2+a23.x3 #

Bila dijabarkan, maka elemen-elemen vektor-kolomyadalah

y1 =a11.x1+a12.x2+a13.x3

y2 =a21.x1+a22.x2+a23.x3 kemudian secara sederhana dapat diwakili oleh rumus berikut

yi= 3 X j=1 aijxj dimanai=1,2.

Berdasarkan contoh tersebut, secara umum bila ada matrikAberukurannxmyang dikalikan dengan vektor-kolomxberukuranm, maka akan didapatkan vektor-kolomyberukurannx1

(48)

dimana elemen-elemen vektor-kolomymemenuhi

yi= m X j=1 aijxj (2.16) dengani=1,2,. . . ,n.

2.5.6 Komputasi perkalian matrik dan vektor-kolom

Mari kita mulai lagi dari source code paling dasar dari operasi perkalian antara matrik dan vektor-kolom sesuai dengan contoh di atas

1 clear all 2 clc 3 4 A = [3 8 5; 6 4 7]; % inisialisasi matrik A 5 x = [2; 3; 4]; % inisialisasi vektor x 6

7 % ---proses perkalian matrik dan

vektor----8 y(1,1)=A(1,1)*x(1,1)+A(1,2)*x(2,1)+A(1,3)*x(3,1);

9 y(2,1)=A(2,1)*x(1,1)+A(2,2)*x(2,1)+A(2,3)*x(3,1);

10

E----12 A 13 x 14 y

Sejenak, mari kita amati dengan cermat statemen dari baris ke-8 dan ke-9 sambil dikaitkan dengan bentuk umum penulisan indeks pada perkalian antara matrik dan vektor-kolom yaitu

yi1 =aij.xj1+aij.xj1+aij.xj1 (2.17)

Dari sana ada 3pointyang perlu dicatat:

• elemenydan elemenxsama-sama memiliki indeksiyang berpasangan dengan angka 1.

• pada baris statemen ke-8 dan ke-9 ada tiga kali operasi perkalian dan dua kali operasi penjumlahan yang semuanya melibatkan indeksidan indeksj. Namun indeksjselalu berubah pada masing-masing perkalian. Jadi indeks j lebih cepat berubah dibanding indeksi.

• elemenamemiliki indeksidan indeksjdimana indeksjlebih cepat berubah dibanding indeksi.

Kita mulai dengan memecah operasi pada statemen baris ke-8 yang bertujuan menghitung nilaiy(1,1)

1 clear all

2 clc

(49)

4 A = [3 8 5; 6 4 7]; % inisialisasi matrik A

5 x = [2; 3; 4]; % inisialisasi vektor x

6

vektor----8 y(1,1)=A(1,1)*x(1,1); 9 y(1,1)=y(1,1)+A(1,2)*x(2,1); 10 y(1,1)=y(1,1)+A(1,3)*x(3,1); 11 12 y(2,1)=A(2,1)*x(1,1)+A(2,2)*x(2,1)+A(2,3)*x(3,1); 13

E----15 A 16 x 17 y

Agar baris ke-8 memiliki pola yang sama dengan baris ke-9 dan ke-10, upaya yang dilakukan adalah 1 clear all 2 clc 3 4 A = [3 8 5; 6 4 7]; % inisialisasi matrik A 5 x = [2; 3; 4]; % inisialisasi vektor x 6

vektor----8 y(1,1)=0; 9 y(1,1)=y(1,1)+A(1,1)*x(1,1); 10 y(1,1)=y(1,1)+A(1,2)*x(2,1); 11 y(1,1)=y(1,1)+A(1,3)*x(3,1); 12 13 y(2,1)=A(2,1)*x(1,1)+A(2,2)*x(2,1)+A(2,3)*x(3,1); 14

E----16 A 17 x 18 y

Dari sini kita bisa munculkan indeksj

vektor----8 y(1,1)=0; 9 for j=1:3 10 y(1,1)=y(1,1)+A(1,j)*x(j,1); 11 end 12 13 y(2,1)=A(2,1)*x(1,1)+A(2,2)*x(2,1)+A(2,3)*x(3,1); 14

E----16 A 17 x 18 y

(50)

Dengan cara yang sama, baris ke-13 dimodifikasi menjadi

vektor----8 y(1,1)=0; 9 for j=1:3 10 y(1,1)=y(1,1)+A(1,j)*x(j,1); 11 end 12 13 y(2,1)=0; 14 for j=1:3 15 y(2,1)=y(2,1)+A(2,j)*x(j,1); 16 end 17

E----19 A 20 x 21 y

Inisialisasi vektor y dengan angka nol dapat dilakukan diawal proses perkalian, sekaligus memunculkan indeksi 1 clear all 2 clc 3 4 A = [3 8 5; 6 4 7]; % inisialisasi matrik A 5 x = [2; 3; 4]; % inisialisasi vektor x 6

vektor----8 for i=1:2 9 y(i,1)=0; 10 end 11 12 for j=1:3 13 y(1,1)=y(1,1)+A(1,j)*x(j,1); 14 end 15 16 for j=1:3 17 y(2,1)=y(2,1)+A(2,j)*x(j,1); 18 end 19

E----21 A 22 x 23 y

Kemudian, untuk menyamakan pola statemen baris ke-13 dan ke-17, indeksikembali dimunculkan

1 clear all

2 clc

(51)

2.6. PENUTUP 37

4 A = [3 8 5; 6 4 7]; % inisialisasi matrik A

5 x = [2; 3; 4]; % inisialisasi vektor x

6

vektor----8 for i=1:2 9 y(i,1)=0; 10 end 11 12 i=1; 13 for j=1:3 14 y(i,1)=y(i,1)+A(i,j)*x(j,1); 15 end 16 17 i=2; 18 for j=1:3 19 y(i,1)=y(i,1)+A(i,j)*x(j,1); 20 end 21

E----23 A 24 x 25 y

Akhir dari proses optimasi adalah sebagai berikut

vektor----8 for i=1:2 9 y(i,1)=0; 10 end 11 12 for i=1:2 13 for j=1:3 14 y(i,1)=y(i,1)+A(i,j)*x(j,1); 15 end 16 end 17

E----19 A 20 x 21 y

2.6 Penutup

Demikianlah catatan singkat dan sederhana mengenai jenis-jenis matrik dasar dan operasi pen-jumlahan dan perkalian yang seringkali dijumpai dalam pengolahan data secara numerik. Se-muanya akan dijadikan acuan atau referensi pada pembahasan topik-topik numerik yang akan datang.

(52)

2.7 Latihan

1. Diketahui matrikA, matrikB, dan vektorxsebagai berikut

A=       1 3 ₋6 ₋2 5 9 7 5.6 2 4 8 ₋1 2.3 1.4 0.8 ₋2.3       B=       8 1 4 21 3 10 5 0.1 7 ₋2 9 ₋5 2.7 ₋12 ₋8.9 5.7       x=       0.4178 −2.9587 56.3069 8.1      

(a) Buatlah script untuk menyelesaikan penjumlahan matrikAdan matrikB. (b) Buatlah script untuk menyelesaikan perkalian matrikAdan matrikB.

(c) Buatlah script untuk menyelesaikan perkalian matrikAdan vektorx. (d) Buatlah script untuk menyelesaikan perkalian matrikBdan vektorx.

(53)

Bab 3

Fungsi

✍Objektif :

⊲ Mengenalkan fungsi internal. ⊲ Membuat fungsi ekstenal.

⊲ Membuat fungsi ekternal untuk penjumlahan matrik. ⊲ Membuat fungsi ekternal untuk perkalian matrik.

3.1 Fungsi internal

Pada bab terdahulu kita sudah melakukan proses optimasi penjumlahan matrik dengansource codeakhir seperti ini

1 clear all

2 clc

3

6

D----15 A 16 C 17 D

Pertanyaan yang segera muncul adalah apakah source code tersebut bisa digunakan untuk menyelesaikan penjumlahan matrik yang dimensinya bukan 2x3 ? Misalnya

D=A+C

(54)

40 BAB 3. FUNGSI D =    4 3 8 6 5 1 2 3 6 7 9 1   +    2 6 7 2 9 1 3 8 5 8 4 7   

Tentu saja bisa, asal indeksibergerak dari 1 sampai 3 dan indeksjbergerak dari 1 sampai 4. Lihatsource codeberikut

1 clear all

2 clc

3

4 A=[4 3 8 6; 5 1 2 3; 6 7 9 1]; % inisialisasi matrik A

5 C=[2 6 7 2; 9 1 3 8; 5 8 4 7]; % inisialisasi matrik B

6

D----15 A 16 C 17 D

Walaupun bisa digunakan, namun cara modifikasi seperti itu sangat tidak fleksibel dan bere-siko salah jika kurang teliti. Untuk menghindari rebere-siko kesalahan dan agar lebih fleksibel,

source codetersebut perlu dioptimasi sedikit lagi menjadi

1 clear all

2 clc

3

6

matrik----8 dim=size(A); 9 n=dim(1); 10 m=dim(2); 11 for i=1:n 12 for j=1:m 13 D(i,j)=A(i,j)+C(i,j); 14 end 15 end 16

D----18 A 19 C 20 D

Perhatikan, ada tambahan 3 statemen yaitu mulai dari baris ke-8 sampai ke-10. Sementara baris ke-11 dan ke-12 hanya mengalami sedikit perubahan. Statemen di baris ke-8 bermaksud mendeklarasikan variabeldimuntuk diisi oleh hasil perhitungan fungsi internal yang bernama

(55)

3.2. FUNGSI EKSTERNAL PENJUMLAHAN MATRIK 41

size. MatrikAdijadikan parameter input fungsisize. Fungsisizeberguna untuk menghitung jumlah baris dan jumlah kolom dari matrik A. Hasilnya adalah dim(1) untuk jumlah baris dandim(2)untuk jumlah kolom. Pada baris ke-9, variabelndideklarasikan untuk menerima informasi jumlah baris daridim(1), sementara variabelmdiisi dengan informasi jumlah kolom dari dim(2)pada baris ke-10. Adapun baris ke-11 dan ke-12 hanya mengubah angka indeks batas atas, masing-masing menjadindanm.

Sekarang kalau kita balik lagi menghitung penjumlahan matrik dari contoh sebelumnya yang berukuran 2x3, maka source code akan seperti ini

1 clear all

2 clc

3

6

matrik----8 dim=size(A); 9 n=dim(1); 10 m=dim(2); 11 for i=1:n 12 for j=1:m 13 D(i,j)=A(i,j)+C(i,j); 14 end 15 end 16

D----18 A 19 C 20 D

Ajaib bukan!? Tidak ada statemen yang berubah kecuali hanya pada baris ke-4 dan ke-5. Pe-rubahan itu tidak bisa dihindari karena memang di kedua baris itulah deklarasi elemen-elemen matrikAdan matrikCdilakukan.

3.2 Fungsi eksternal penjumlahan matrik

Saatnya kita memasuki topik tentang pembuatan fungsi eksternal. Darisource codeyang ter-akhir tadi, mari kita ambil bagian proses penjumlahan matrik-nya saja

1 dim=size(A); 2 n=dim(1); 3 m=dim(2); 4 for i=1:n 5 for j=1:m 6 D(i,j)=A(i,j)+C(i,j); 7 end 8 end

Kita akan jadikan potongan source code ini menjadi fungsi eksternal, dengan menambahkan statemenfunctionseperti ini

(56)

42 BAB 3. FUNGSI 1 function D=jumlah(A,C) 2 dim=size(A); 3 n=dim(1); 4 m=dim(2); 5 for i=1:n 6 for j=1:m 7 D(i,j)=A(i,j)+C(i,j); 8 end 9 end

kemudian ia harus di-savedengan namajumlah.m. Sampai dengan langkah ini kita telah mem-buat fungsi eksternal dan diberi nama fungsijumlah. Sederhana sekali bukan? Untuk menguji kerja fungsi eksternal tersebut, coba jalankansource codeberikut ini

1 clear all

2 clc

3

6

matrik----8 D=jumlah(A,C)

9

D----11 A 12 C 13 D

atau anda jalankansource codeyang berikut ini

1 clear all

2 clc

3

6