Pernyataan Sinyal Sinus Dalam Fasor

(1)

Sudaryatno Sudirham, “Pembebanan NonLinier (Analisis di Kawasan Waktu)” 1/21

Pembebanan Nonlinier

(Analisis di Kawasan Fasor)

Sudaryatno Sudirham

Pernyataan Sinyal Sinus Dalam Fasor

Sebagaimana dijelaskan di bab sebelumnya, suatu sinyal sinus di kawasan waktu dinyatakan dengan menggunakan fungsi cosinus

] cos[

)

(t =V ω₀t−φ

v _A

dengan VA adalah amplitudo sinyal, ω0 adalah frekuensi sudut, dan φ adalah sudut fasa yang

menunjukkan posisi puncak pertama fungsi cosinus. Pernyataan sinyal sinus menggunakan fungsi cosinus diambil sebagai pernyataan standar.

Jika seluruh sistem bekerja pada satu frekuensi tertentu, ω, maka sinyal sinus dapat dinyatakan dalam bentuk fasor dengan mengambil besar dan sudut fasa-nya saja. Untuk suatu sinyal sinus yang di kawasan waktu dinyatakan sebagai v(t)= Acos(ωt+θ) maka di kawasan fasor ia dituliskan dalam format kompleks sebagai V=Aejθ dengan A adalah nilai puncak sinyal. Karena kita hanya memperhatikan amplitudo dan sudut fasa saja, maka pernyataan sinyal dalam fasor biasa dituliskan sebagai

θ +

θ = θ ∠

=A Acos jAsin

V

yang dalam bidang kompleks digambarkan sebagai diagram fasor seperti pada Gb.1.a. Apabila sudut fasa θ = 0o maka pernyataan sinyal di kawasan waktu menjadi v(t)= Acos(ωt) yang dalam bentuk fasor menjadi V=A∠0o dengan diagram fasor seperti pada Gb.1.b. Suatu sinyal yang di kawasan waktu dinyatakan sebagai v(t)=Asin(ωt)=Acos(ωt−π/2) di kawasan fasor menjadi

o

90

− ∠ =A

V dengan diagram fasor seperti Gb.1.c.

a). b). c).

Gb.1. Diagram fasor fungsi:

a)v(t)=Acos(ωt+θ); b) v(t)= Acos(ωt); c) v(t)=Asin(ωt).

Sinyal Nonsinus

Dalam meninjau sinyal nonsinus, kita tidak dapat menyatakan satu sinyal nonsinus dengan menggunakan satu bentuk fasor tertentu karena walaupun sistem yang kita tinjau beroperasi pada satu macam frekuensi (50 Hz misalnya) namun arus dan tegangan yang kita hadapi mengandung banyak frekuensi. Oleh karena itu satu sinyal nonsinus terpaksa kita nyatakan dengan banyak fasor; masing-masing komponen sinyal nonsinus memiliki frekuensi sendiri.

Selain dari pada itu, uraian sinyal sinyal nonsinus ke dalam komponen-komponennya dilakukan melalui deret Fourier. Bentuk umum komponen sinus sinyal ini adalah

Im

Re

o

90

− ∠ = A V Im

Re o

0

∠ =A V Im

Re

θ ∠ = A V

(2)

Sudaryatno Sudirham, “Pembebanan NonLinier (Analisis di Kawasan Waktu)” 2/21 t

n b t n a t

i_n( )= _ncos ω + _nsin ω yang dapat dituliskan sebagai

) cos(

)

( _n2 _n2 _n

n t a b n t

i = + ω −θ

yang dalam bentuk fasor menjadi

n n n

n = a2 +b2∠−θ

I dengan

n n

a b 1

tan−

=

θ

Mengacu pada Gb.1, diagram fasor komponen sinyal ini adalah seperti pada Gb.2.

Gb. 2. Fasor komponen arus nonsinus dengan an > 0 dan bn > 0.

Fasor I_n pada Gb.2. adalah fasor komponen arus jika an positif dan bn positif. Fasor ini leading

terhadap sinyal sinus sebesar (90o −θ). Gb.3 berikut ini memperlihatkan kombinasi nilai an dan bn yang lain.

Gb.3. Fasor komponen arus nonsinus untuk berbagai kombinasi nilai an dan bn.

Perlu kita perhatikan bahwa pernyataan fasor dan diagram fasor yang dikemukakan di atas menggunakan nilai puncak sinyal sebagai besar fasor. Dalam analisis daya, diambil nilai efektif sebagai besar fasor. Oleh karena itu kita perlu memperhatikan apakah spektrum amplitudo sinyal nonsinus diberikan dalam nilai efektif atau nilai puncak.

) 180 ( o

2

2₊ _∠ ₊_θ

= n n

n a b

I

Im

Re an

bn θ

an < 0, bn > 0

In lagging (900 − θ) terhadap sinyal sinus

) 180 ( o

2

2₊ _∠ ₋_θ

= n n

n a b

I

Im

Re an

bn

θ an < 0, bn < 0

In lagging (900 + θ) terhadap sinyal sinus

θ ∠ +

= 2 2

n n n a b

I Im

Re an bn

θ an > 0, bn < 0

In leading (900 + θ) terhadap sinyal sinus

θ

−

∠

+

=

2 2

n n

n

a

b

I

Im

Re an

bn

(3)

Sudaryatno Sudirham, “Pembebanan NonLinier (Analisis di Kawasan Waktu)” 3/21 CONTOH-1: Uraian di kawasan waktu arus penyearahan setengah gelombang dengan nilai maksimum Im A adalah

Nyatakanlah sinyal ini dalam bentuk fasor. Penyelesaian:

Formulasi arus i(t) yang diberikan ini diturunkan dari uraian deret Fourier yang komponen fundamentalnya adalah i₁(t)=0+0,5sinω₀t; jadi sesungguhnya komponen ini adalah fungsi sinus di kawasan waktu.

Jika kita mengambil nilai efektif sebagai besar fasor, maka pernyataan arus dalam bentuk fasor adalah

Diagram fasor arus-arus pada Contoh-1 di atas, dapat kita gambarkan (hanya mengambil tiga komponen) seperti terlihat pada Gb. 4.

Gb.4. Diagram fasor arus fundamental, harmonisa ke-2, dan harmonisa ke-4

Persamaan arus yang dinyatakan dalam fungsi cosinus dapat pula dinyatakan dalam fungsi sinus menjadi

A

Jika komponen sinus fundamental digunakan sebagai referensi dengan pernyataan fasornya o

Diagram fasor-fasor arus ini dapat kita gambarkan seperti terlihat pada Gb.5.

Gb.5. Diagram fasor arus fundamental, harmonisa ke-2, dan harmonisa ke-4

I1

I2 I4

(4)

Sudaryatno Sudirham, “Pembebanan NonLinier (Analisis di Kawasan Waktu)” 4/21 Diagram fasor arus pada Gb.5 tidak lain adalah diagram fasor pada Gb.4 yang diputar 90o ke arah positif karena fungsi sinus dijadikan referensi dengan sudut fasa nol. Nilai fasor dan selisih sudut fasa antar fasor tidak berubah. Pada Gb.5 ini, kita lihat bahwa komponen harmonisa ke-2 ‘leading’ 90o dari komponen fundamental; demikian juga dengan komponen harmonisa ke-4. Namun fasor harmonisa ke-2 berputar kearah positif dengan frekuensi dua kali lipat dibanding dengan komponen fundamental, dan fasor harmonisa ke-4 berputar kearah positif dengan frekuensi empat kali lipat dibanding komponen fundamental. Oleh karena itulah mereka tidak dapat secara langsung dijumlahkan.

Dalam pembahasan selanjutnya kita akan menggunakan cara penggambaran fasor seperti pada Gb.4 dimana fasor referensi adalah fasor dari sinyal sinus yang dinyatakan dalam fungsi cosinus dan memiliki sudut fasa nol. Hal ini perlu ditegaskan karena uraian arus nonsinus ke dalam deret Fourier dinyatakan sebagai fungsi cosinus sedangkan tegangan sumber biasanya dinyatakan sebagai fungsi sinus. Fasor tegangan sumber akan berbentuk V_s =V_srms∠−90o

dan relasi-relasi sudut fasa yang tertulis pada Gb.3 akan digunakan.

Contoh-2: Gambarkan diagram fasor sumber tegangan dan arus-arus berkut ini

V sin 100

sin t t

V

v_s = _srms ω = ω , I₁_rms =30A 30o lagging dari tegangan sumber dan A

50 2rms =

I 90oleading dari tegangan sumber. Penyelesaian:

Impedansi

Karena setiap komponen harmonisa memiliki frekuensi berbeda maka pada satu cabang rangkaian yang mengandung elemen dinamis akan terjadi impedansi yang berbeda untuk setiap komponen. Setiap komponen harmonisa dari arus nonsinus yang mengalir pada satu cabang rangkaian dengan elemen dinamis akan mengakibatkan tegangan berbeda.

CONTOH-3: Arus i=200sinω₀t+70sin3ω₀t+30sin5ω₀t A mengalir melalui resistor 5 Ω yang terhubung seri dengan kapasitor 20 µF. Jika frekuensi fundamental adalah 50 Hz, hitung tegangan puncak fundamental dan tegangan puncak setiap komponen harmonisa.

(a) Reaktansi dan impedansi untuk frekuensi fundamental adalah

15 , 159 ) 10 20 50 2 /(

1 6

1 = π× × × − =

C

X → Z₁ = 52 +159,152 =159,23Ω Tegangan puncak fundamental adalah

kV 85 , 31 200 23 , 159

1 1

1m = Z ×I m = × ≈

V

(b) Impedansi untuk harmonisa ke-3 adalah

05 , 53 3 /

1

3 = C =

C X

X →Z₃ = 52+53,052 =53,29Ω

Tegangan puncak harmonisa ke-3 adalah Im

Re

Vs

I1 30o

(5)

kV 73 , 3 70 29 , 53

3 3

3m = Z ×I m = × =

V

(c) Impedansi untuk harmonisa ke-5 adalah

83 , 31 5 /

1

5 = C =

C X

X → Z₃ = 52+31,832 =32,22 Ω Tegangan puncak harmonisa ke-5 adalah

kV 97 , 0 30 22 , 32

5 5

5m = Z ×I m = × =

V

Nilai Efektif

Sebagaimana telah dibahas dalam bab sebelumnya, sinyal nonsinus dipandang sebagai terdiri dari dua komponen, yaitu komponen fundamental dan komponen harmonisa total. Nilai efektif suatu sinyal periodik nonsinus y, adalah

2 2

1rms hrms

rms Y Y

Y = + (1)

dengan

rms

Y₁ : nilai efektif komponen fundamental.

hrms

Y : nilai efektif komponen harmonisa total.

Karena komponen ke-dua, yaitu komponen harmonisa total, merupakan gabungan dari seluruh harmonisa yang masih diperhitungkan, maka komponen ini tidak kita gambarkan diagram fasornya; kita hanya menyatakan nilai efektifnya saja walaupun kalau kita gambarkan kurvanya di kawasan waktu bisa terlihat perbedaan fasa yang mungkin terjadi antara tegangan fundamental dan arus harmonisa total.

Sumber Tegangan Sinusiodal Dengan Beban Nonlinier

Sebagaimana dijelaskan di bab sebelumnya, pembebanan nonlinier terjadi bila sumber dengan tegangan sinus mencatu beban dengan arus nonsinus. Arus nonsinus mengalir karena terjadi pengubahan arus oleh pengubah arus, seperti misalnya penyearah atau saklar sinkron. Dalam analisis di kawasan fasor pada pembebanan non linier ini kita perlu memperhatikan hal-hal berikut ini.

Daya Kompleks -Sisi Beban. Jika tegangan pada suatu bebanmemiliki nilai efektifVbrms V dan arus nonsinus yang mengalir padanya memiliki nilai efektif Ibrms A, maka beban ini menyerap daya kompleks sebesar

VA

brms brms

b V I

S = × (2) Kita ingat pengertian mengenai daya kompleks yang didefinisikan pada persamaan (14.9) di Bab-14 sebagai S =VI*. Definisi ini adalah untuk sinyal sinus murni. Dalam hal sinyal nonsinus kita tidak menggambarkan fasor arus harmonisa total sehingga mengenai daya kompleks hanya bisa menyatakan besarnya, tanpa menggambarkan segitiga daya. Segitiga daya dapat digambarkan hanya untuk komponen fundamental.

Daya Kompleks - Sisi Sumber. Daya kompleks |Ss| yang diberikan oleh sumber tegangan sinus t

V

v_s = _smsinω V yang mengeluarkan arus nonsinus bernilai efektif I_srms = I_s2₁_rms +I_shrms2 A adalah

VA 2 srms

sm srms srms

s I

V I

V

(6)

Daya Nyata - Sisi Beban. Jika suatu beban memiliki resistansi Rb, maka beban tersebut menyerap daya nyata sebesar

(

2₁ 2

)

W

2

b bhrms rms

b b brms

b I R I I R

P = = + (4)

di mana I_b₁_rms adalah arus efektif fundamental dan I_bhrms adalah arus efektif harmonisa total.

Daya Nyata - Sisi Sumber. Dilihat dari sisi sumber, daya nyata dikirimkan melalui komponen fundamental. Komponen arus harmonisa sumber tidak memberikan transfer energi netto.

W cos ₁

1

1= srms rms ϕ

s V I

P (5)

ϕ1 adalah beda sudut fasa antara tegangan dan arus fundamental sumber, dan cosϕ1 adalah faktor

daya pada komponen fundamental yang disebut displacement power factor.

Faktor Daya

Sisi Beban. Dengan pengertian daya kompleks dan daya nyata seperti diuraikan di atas, maka

faktor daya rangkaian beban dapat dihitung sebagai

b b

S P =

beban

f.d. (6)

Sisi Sumber. Faktor daya total, dilihat dari sisi sumber, adalah

s s s

S P₁

. d .

f = (7)

Impedansi Beban

Reaktansi beban tergantung dari frekuensi harmonisa, sehingga masing-masing harmonisa menghadapi nilai impedansi yang berbeda-beda. Namun demikian nilai impedansi beban secara keseluruhan dapat dihitung, sesuai dengan konsep tentang impedansi, sebagai

Ω

=

brms brms b

I V

Z (8)

Seperti halnya dengan daya kompleks, impedansi beban hanya dapat kita hitung besarnya dengan relasi (3.6) akan tetapi tidak dinyatakan dalam format kompleks seperti (a + jb).

Teorema Tellegen

Teorema ini menyatakan bahwa di setiap rangkaian elektrik harus ada perimbangan yang tepat antara daya yang diserap oleh elemen pasif dengan daya yang diberikan oleh elemen aktif. Hal ini sesuai dengan prinsip konservasi energi. Sebagaimana telah pula disebutkan teorema ini juga memberikan kesimpulan bahwa satu-satunya cara agar energi dapat diserap dari atau disalurkan ke

suatu bagian rangkaian adalah melalui tegangan dan arus di terminalnya. Teorema ini berlaku baik untuk rangkaian linier maupun non linier.

(7)

Sudaryatno Sudirham, “Pembebanan NonLinier (Analisis di Kawasan Waktu)” 7/21 CONTOH-4: Di terminal suatu beban yang terdiri dari resistor Rb=10 Ω terhubung seri dengan induktor Lb = 0,05 H terdapat tegangan nonsinus v_s =100+200 2sinω₀t V. Jika frekuensi fundamental adalah 50 Hz, hitunglah: (a) daya nyata yang diserap beban; (b) impedansi beban; (c) faktor daya beban;

Penyelesaian:

(a) Tegangan pada beban terdiri dari dua komponen yaitu komponen searah dan komponen fundamental:

Arus komponen searah yang mengalir di beban adalah

A

Arus efektif komponen fundamental di beban adalah

A

Nilai efektif arus rangkaian total adalah

A menyerap daya nyata.

W

(b) Impedansi beban adalah rasio antara tegangan efektif dan arus efektif beban.

V beban. Daya kompleks yang diserap beban adalah:

VA

Sehingga faktor daya beban

656

(8)

Sudaryatno Sudirham, “Pembebanan NonLinier (Analisis di Kawasan Waktu)” 8/21 Penyelesaian:

(a) Tegangan efektif komponen fundamental 106 V 2

150

1rms = =

V

Reaktansi pada frekuensi fundamental Ω

Daya nyata yang diberikan oleh komponen fundamental

W

Daya kompleks komponen fundamental

VA

Faktor daya komponen fundamental 0,97 2182

Daya reaktif komponen fundamental dapat dihitung dengan formulasi segitiga daya karena komponen ini adalah sinus murni.

VAR

(b) Tegangan efektif harmonisa ke-3 dan ke-5

V

Reaktansi pada frekuensi harmonisa ke-3 dan ke-5 Ω

Impedansi pada komponen harmonisa ke-3 dan ke-5: Ω

Arus efektif komponen harmonisa ke-3 dan ke-5:

A

Daya nyata yang diberikan oleh harmonisa ke-3 dan ke-5

W komponen harmonisa (kita ingat komponen-komponen harmonisa secara bersama-sama mewakili satu sumber)

(9)

Sudaryatno Sudirham, “Pembebanan NonLinier (Analisis di Kawasan Waktu)” 9/21 Tegangan efektif beban

V

Arus efektif beban

A Daya kompleks beban

VA

Daya reaktif beban tidak dapat dihitung dengan menggunakan formula segitiga daya karena kita tak dapat menggambarkannya.

(d) Perhitungan untuk komponen fundamental yang telah kita lakukan menghasilkan

W 2083

1 =

P , S₁ =2182 VA, dan Q₁ = S₁2 −P₁2 =531,9VAR. Sementara itu perhitungan daya total ke beban menghasilkan

W

Daya reaktif beban Qbtidak bisa kita hitung dengan cara seperti menghitung Q1 karena kita

tidak bisa menggambarkan segitiga daya-nya. Oleh karena itu kita akan mencoba memperlakukan komponen harmonisa sama seperti kita memperlakukan komponen fundamental dengan menghitung daya reaktif sebagai Q_n =I_nrms2 X_n dan kemudian menjumlahkan daya reaktif Qn untuk memperoleh daya reaktif ke beban Qb.

Dengan cara ini maka untuk beban akan berlaku:

(

12 1 32 3 52 5

)

Hasil perhitungan memberikan

VAR

Perhatikan bahwa hasil perhitungan

VAR

Jika untuk menghitung Qb kita paksakan menggunakan formulasi segitiga daya, walaupun sesungguhnya kita tidak bisa menggambarkan segitiga daya dan daya reaktif total komponen hamonisa juga tidak didefinisikan, kita akan memperoleh

VAR

(10)

Sudaryatno Sudirham, “Pembebanan NonLinier (Analisis di Kawasan Waktu)” 10/21 CONTOH-6: Sumber tegangan sinusoidal v_s =1000 2sinωt V mencatu beban resistif Rb = 10 Ω melalui dioda mewakili penyearah setengah gelombang. Carilah: (a) spektrum amplitudo arus; (b) nilai efektif setiap komponen arus; (c) daya kompleks sumber; (d) daya nyata yang diserap beban; (e) daya nyata yang berikan oleh sumber; (f) faktor daya yang dilihat sumber; (g) faktor daya komponen fundamental.

Penyelesaian:

a). Spektrum amplitudo arus penyearahan setengah gelombang ini adalah

Spektrum yang amplitudo ini dihitung sampai harmonisa ke-10, yang nilainya sudah mendekati 1% dari amplitudo arus fundamental. Diharapkan error yang terjadi dalam perhitungan tidak akan terlalu besar.

b). Nilai efektif komponen arus dalam [A] adalah

7

Nilai efektif arus fundamental I₁_rms =50A

Nilai efektif komponen harmonisa total adalah:

A

Nilai efektif arus total adalah

A

c). Daya kompleks yang diberikan sumber adalah

kVA

d). Daya nyata yang diserap beban adalah

kW

e). Sumber memberikan daya nyata melalui arus fundamental. Daya nyata yang diberikan oleh sumber adalah

1 antara tegangan sumber dan arus fundamental tidak diketahui dan cosϕ1 tidak diketahui.

Oleh karena itu kita coba memanfaatkan teorema Tellegen yang menyatakan bahwa daya yang diberikan sumber harus tepat sama dengan daya yang diterima beban, termasuk daya nyata. Jadi daya nyata yang diberikan sumber adalah

A

45.00 70.71

30.04

6.03

2.60 _1.46 _0.94

(11)

kW 50

= = b

s P

P

f). Faktor daya yang dilihat oleh sumber adalah

7 , 0 7 , 70 / 50 /

/ = = =

= _s _s _b _s

s P S P S

f.d.

g). Faktor daya komponen fundamental adalah

1 50 1000

50000 cos

1

1 = = _× =

ϕ

rms srms

s

I V

P

Nilai faktor daya ini menunjukkan bahwa arus fundamental sefasa dengan tegangan sumber.

h). 1 atau 100% 50

50

1

= = =

rms hrms I

I I THD

Contoh ini menunjukkan bahwa faktor daya yang dilihat sumber lebih kecil dari faktor daya fundamental. Faktor daya fundamental menentukan besar daya aktif yang dikirim oleh sumber ke beban, sementara faktor daya yang dilihat oleh sumber merupakan rasio daya nyata terhadap daya kompleks yang dikirim oleh sumber. Sekali lagi kita tekankan bahwa kita tidak dapat menggambarkan segitiga daya pada sinyal nonsinus.

Sumber mengirimkan daya nyata ke beban melalui arus fundamental. Jika kita hitung daya nyata yang diserap resistor melalui arus fundamental saja, akan kita peroleh

kW 25 10 502

2 1

1= rms b = × =

Rb I R

P

Jadi daya nyata yang diserap Rb melalui arus fundamental hanya setengah dari daya nyata yang dikirim sumber (dalam kasus penyearah setengah gelombang ini). Hal ini terjadi karena daya nyata total yang diserap Rb tidak hanya melalui arus fundamental saja tetapi juga arus harmonisa, sesuai dengan relasi

(

rms brms

)

b b

brms

Rb I R I I R

P = 2 = ₁2 + 2 ×

Kita akan mencoba menganalisis masalah ini lebih jauh setelah melihat lagi contoh yang lain. Berikut ini kita akan melihat contoh yang berbeda namun pada persoalan yang sama, yaitu sebuah sumber tegangan sinusoidal mengalami pembebanan nonlinier.

CONTOH-7: Seperti Contoh-6, sumber sinusoidal dengan nilai efektif 1000 V mencatu arus ke beban resistif Rb=10 Ω, namun kali ini melalui saklar sinkron yang menutup setiap paruh ke-dua dari tiap setengah perioda. Tentukan : (a) spektrum amplitudo arus; (b) nilai efektif arus fundamental, arus harmonisa total, dan arus total yang mengalir ke beban; (c) daya kompleks yang diberikan sumber; (d) daya nyata yang diberikan sumber; (e) faktor daya yang dilihat sumber; (f) faktor daya komponen fundamental.

Penyelesaian:

(a) Diagram rangkaian adalah sebagai berikut:

Rb 10 Ω vs Vsrms =1000 V

is saklar sinkron

(12)

Sudaryatno Sudirham, “Pembebanan NonLinier (Analisis di Kawasan Waktu)” 12/21 Bentuk gelombang tegangan sumber dan arus beban adalah

Spektrum amplitudo arus, yang dibuat hanya sampai harmonisa ke-11 adalah seperti di bawah ini.

Amplitudo arus harmonisa ke-11 masih cukup besar; masih di atas 10% dari amplitudo arus fundamental. Perhitungan-perhitungan yang hanya didasarkan pada spektrum amplitudo ini tentu akan mengandung error yang cukup besar. Namun hal ini kita biarkan untuk contoh perhitungan manual ini mengingat amplitudo mencapai sekitar 1% dari amplitudo arus fundamental baru pada harmonisa ke-55.

(b) Arus fundamental yang mengalir ke Rb

Arus harmonisa total

A

(c) Daya kompleks yang diberikan sumber adalah

kVA

(d) Daya nyata yang diberikan sumber harus sama dengan daya nyata yang diterima beban yaitu daya nyata yang diserap Rb karena hanya Rbyang menyerap daya nyata

kW

(e) Faktor daya yang dilihat sumber adalah

(13)

Sudaryatno Sudirham, “Pembebanan NonLinier (Analisis di Kawasan Waktu)” 13/21 (f) Daya nyata dikirim oleh sumber melalui arus komponen fundamental.

1

Perhitungan pada Contoh ini dilakukan dengan hanya mengandalkan spektrum amplitudo yang hanya sampai harmonisa ke-11. Apabila tersedia spektrum sudut fasa, koreksi perhitungan dapat dilakukan.

Contoh-8: Jika pada Contoh-7.7 selain spektrum amplitudo diketahui pula bahwa persamaan arus fundamental dalam uraian deret Fourier adalah

(

0.5cos( ) 0,7sin( )

)

( ₀ ₀

1 t I t t

i = _m − ω + ω

Lakukan koreksi terhadap perhitungan yang telah dilakukan pada Contoh-7.7. Penyelesaian:

Persamaan arus fundamental sebagai suku deret Fourier diketahui:

(

0.5cos( ) 0,7sin( )

)

32,4o dari tegangan sumber yang dinyatakan sebagai fungsi sinus. Dengan demikian maka faktor daya komponen fundamental adalah

844

Dengan diketahuinya faktor daya fundamental, maka kita dapat menghitung ulang daya nyata yang diberikan oleh sumber dengan menggunakan nilai faktor daya ini, yaitu

kW

Koreksi daya nyata tidak mengubah arus fundamental; yang berubah adalah faktor dayanya. Oleh karena itu terdapat koreksi arus harmonisa yaitu

A

Daya kompleks yang diberikan sumber menjadi

kVA

Faktor daya total yang dilihat sumber menjadi

(14)

Sudaryatno Sudirham, “Pembebanan NonLinier (Analisis di Kawasan Waktu)” 14/21 Perbedaan-perbedaan hasil perhitungan antara Contoh-8 (hasil koreksi) dan Contoh-7 telah kita duga sebelumnya sewaktu kita menampilkan spektrum amplitudo yang hanya sampai pada harmonisa ke-11. Tampilan spektrum ini berbeda dengan tampilan spektrum dalam kasus penyearah setengah gelombang pada Contoh-6, yang juga hanya sampai hrmonisa ke-10. Perbedaan antara keduanya terletak pada amplitudo harmonisa terakhir; pada kasus saklar sinkron amplitudo harmonisa ke-11 masih sekitar 10% dari amplitudo fundamentalnya, sedangkan pada kasus penyearah setengah gelombang amplitudo ke-10 sudah sekitar 1% dari ampltudo fundamentalnya.

Pada Contoh-8, jika kita menghitung daya nyata yang diterima resistor hanya melalui komponen fundamental saja akan kita peroleh

kW 1 , 35 10 25 , 59 2

2 1

1 = rms b = × =

Rb I R

P

Perbedaan antara daya nyata yang dikirim oleh sumber melalui arus fundamental dengan daya nyata yang diterima resistor melalui arus fundamental disebabkan oleh adanya komponen harmonisa. Hal yang sama telah kita amati pada kasus penyearah setengah gelombang.

Transfer Daya

Dalam pembebanan nonlinier, daya nyata yang diserap beban melalui komponen fundamental

selalu lebih kecil dari daya nyata yang dikirim oleh sumber yang juga melalui arus fundamental. Jadi terdapat kekurangan sebesar ∆PRb; kekurangan ini diatasi oleh komponen arus harmonisa karena daya nyata diterima oleh Rb tidak hanya melalui arus fundamental tetapi juga melalui arus harmonisa,sesuai formula

b bhrms rms

b

Rb I I R

P =( 2₁ + 2 )

Padahal dilihat dari sisi sumber, komponen harmonisa tidak memberi transfer energi netto. Penafsiran yang dapat dibuat adalah bahwa sebagian daya nyata diterima secara langsung dari sumber oleh Rb , dan sebagian diterima secara tidak langsung. Piranti yang ada di sisi beban selain resistor adalah saklar sinkron ataupun penyearah yang merupakan piranti-piranti pengubah arus; piranti pengubah arus ini tidak mungkin menyerap daya nyata sebab jika demikian halnya maka piranti ini akan menjadi sangat panas. Jadi piranti pengubah arus menyerap daya nyata yang diberikan sumber melalui arus fundamental dan segera meneruskannya ke resistor sehingga resistor menerima daya nyata total sebesar yang dikirimkan oleh sumber. Dalam meneruskan daya nyata tersebut, terjadi konversi arus dari frekuensi fundamental yang diberikan oleh sumber menjadi frekuensi harmonisa menuju ke beban. Hal ini dapat dilihat dari besar daya nyata yang diterima oleh

Rb melalui arus harmonisa sebesar

b bhrms rms

bhrms

Rbh I R I I R

P = 2 =( ₁2 + 2 )× .

Faktor daya komponen fundamental lebih kecil dari satu, f.d.1 < 1, menunjukkan bahwa ada daya

reaktif yang diberikan melalui arus fundamental. Resistor tidak menyerap daya reaktif. Piranti selain resistor hanyalah pengubah arus; oleh karena itu piranti yang harus menyerap daya reaktif adalah pengubah arus. Dengan demikian, pengubah arus menyerap daya reaktif dan daya nyata. Daya nyata diteruskan ke resistor dengan mengubahnya menjadi komponen harmonisa, daya reaktif ditransfer ulang-alik ke rangkaian sumber.

Kompensasi Daya Reaktif

Sekali lagi kita perhatikan Contoh-6 dan Contoh-7 yang telah dikoreksi dalam Contoh-8. Telah diulas bahwa faktor daya komponen fundamental pada penyearah setengah gelombang f.d.1 = 1

(15)

Sudaryatno Sudirham, “Pembebanan NonLinier (Analisis di Kawasan Waktu)” 15/21 tergantung dari saat membuka dan menutup saklar yang dalam kasus penyearah setengah gelombang “saklar” menutup setiap tengah perioda pertama.

Selain faktor daya komponen fundamental, kita melihat juga faktor daya total yang dilihat sumber. Dalam kasus penyearah setengah gelombang, meskipun f.d.1 = 1, faktor daya total f.d.s =

0,7. Dalam kasus saklar sinkron f.d.1 = 0.844 sedangkan faktor daya totalnya f.d.s = 0,7. Sebuah

pertanyaan timbul: dapatkah upaya perbaikan faktor daya yang biasa dilakukan pada pembebanan linier, diterapkan juga pada pembebanan nonlinier?

Pada dasarnya perbaikan faktor daya adalah melakukan kompensasi daya reaktif dengan cara menambahkan beban pada rangkaian sedemikian rupa sehingga faktor daya, baik lagging maupun

leading, mendekat ke nilai satu. Dalam kasus penyearah setengah gelombang f.d.1 = 1, sudah

mencapai nilai tertingginya; masih tersisa f.d.s yang hanya 0,7. Dalam kasus saklar sinkron f.d.1 =

0,844 dan f.d.s = 0,7. Kita coba melihat kasus saklar sinkron ini terlebih dulu.

CONTOH-9: Operasi saklar sinkronmembuat arus fundamental lagging dari tegangan sumber yang sinusoidal. Arus lagging ini menandakan adanya daya rekatif yang dikirim oleh sumber ke beban melalui arus fundamental. (a) Upayakan pemasangan kapasitor paralel dengan beban untuk memberikan kompensasi daya reaktif ini. (b) Gambarkan gelombang arus yang keluar dari sumber.

Penyelesaian:

a). Upaya kompensasi dilakukan dengan memasangkan kapasitor paralel dengan beban untuk memberi tambahan pembebanan berupa arus leading untuk mengompensasi arus fundamental yang lagging 32,4o. Rangkaian menjadi sebagai berikut:

Sebelum pemasangan kapasitor:

A 25 , 59

1rms =

I ; I_hrms =38,63 A; f.d._s =0,7

kVA 59,25 59,25

1000

1

1 =VsrmsI rms = × =

S ;

f.d.1 = 0,844;

kW 50 0,844 59,25

1= × =

P

kVAR 75 , 31

2 1 2

1= S −P =

Q_s

Kita coba memasang kapasitor untuk memberi kompensasi daya reaktif komponen fundamental sebesar 31 kVAR

C V

Z V

Q_s₁ = _srms2 × _C = _srms2 /ω

→ 99 F

100 1000

31000

2

1 ₌ _µ

π × =

ω =

srms s

V Q

C ; kita tetapkan 100 µF

Dengan C = 100 µF, daya reaktif yang bisa diberikan adalah

kVAR 4 , 31 10 100 100

10002× π× × 6 =

= −

C

Q

∼

Rb

vs

is saklar sinkron

iRb

(16)

Sudaryatno Sudirham, “Pembebanan NonLinier (Analisis di Kawasan Waktu)” 16/21 Arus kapasitor adalah

A 4 , 31 ) 100 /( 1

1000 ₌

π =

=

C Z

V I

C srms

Crms .

Arus ini leading 90o dari tegangan sumber dan hampir sama dengan nilai

A 75 , 31 ) 4 , 32 sin( o

1rms =

I

Diagram fasor tegangan dan arus adalah seperti di bawah ini.

Dari diagram fasor ini kita lihat bahwa arus I_C dan I₁sin32,4o tidak saling meniadakan sehingga beban akan menerima arus I_1rmscos(32,4o), akan tetapi beban tetap menerima arus seperti semula. Beban tidak merasakan adanya perubahan oleh hadirnya C karena ia tetap terhubung langsung ke sumber. Sementara itu sumber sangat merasakan adanya beban tambahan berupa arus kapasitif yang melalui C. Sumber yang semula mengeluarkan arus fundamental dan arus harmonisa total ke beban, setelah pemasangan kapasitor memberikan arus fundamental dan arus harmonisa ke beban ditambah arus kapasitif di kapasitor. Dengan demikian arus fundamental yang diberikan oleh sumber menjadi

A 0 5 ) 4 , 32 cos( o

1

1rmsC ≈I rms =

I

turun sekitar 10% dari arus fundamental semula yang 59,25 A. Arus efektif total yang diberikan sumber menjadi

A 2 , 63 63 , 38 502 2

2 2

1 + = + =

= rmsC hrms

srmsC I I

I

Daya kompleks yang diberikan sumber menjadi

kVA 2 , 63 2 , 63 1000× =

=

sC

S

Faktor daya yang dilihat sumber menjadi

8 , 0 2 , 63 / 50 .

.d _sC = = f

sedikit lebih baik dari sebelum pemasangan kapasitor f.d._s =0,7

b). Arus sumber, is, adalah jumlah dari arus yang melalui resistor seri dengan saklar sinkron dan arus arus kapasitor.

- bentuk gelombang arus yang melalui resistor iRb adalah seperti yang diberikan pada gambar Contoh-7;

- gelombang arus kapasitor, iC, 90o mendahului tegangan sumber. Bentuk gelonbang arus is terlihat pada gambar berikut:

Im

Re

Vs

I1 32,4o

I1cos32,4 o

(17)

Sudaryatno Sudirham, “Pembebanan NonLinier (Analisis di Kawasan Waktu)” 17/21 Contoh-9 ini menunjukkan bahwa kompensasi daya reaktif komponen fundamental dapat meningkatkan faktor daya total yang dilihat oleh sumber. Berikut ini kita akan melihat kasus penyearah setengah gelombang.

Dalam analisis rangkaian listrik [2], kita membahas filter kapasitor pada penyearah yang dihubungkan paralel dengan beban R dengan tujuan untuk memperoleh tegangan yang walaupun masih berfluktuasi namun fluktuasi tersebut ditekan sehingga mendekati tegangan searah. Kita akan mencoba menghubungkan kapasitor seperti pada Gb.6 dengan harapan akan memperbaiki faktor daya.

Gb.6. Kapasitor paralel dengan beban.

CONTOH-10: Sumber tegangan sinusoidal v_s =1000 2sinωt V mencatu beban resistif Rb = 10 Ω melalui penyearah setengah gelombang. Lakukan pemasangan kapasitor untuk “memperbaiki” faktor daya. Frekuensi kerja 50 Hz.

Penyelesaian:

Keadaan sebelum pemasangan kapasitor: tegangan sumber V_srms =1000 V; arus fundamental I₁_rms =50A; arus harmonisa total I_hrms =50 A

arus efektif total I_rms =70,7 A;

daya kompleks sumber S_s =70,7 kVA; daya nyata P_s =P₁=50 kW;

faktor daya sumber f.d._s =P_s/S_s =50/70,7=0,7; faktor daya komponen fundamental f.d.₁=1. Spektrum amplitudo arus maksimum adalah

-300 -200 -100 0 100 200 300

vs/5

is

iRb

iC [detik]

[V] [A]

0 0.005 0.01 0.015 0.02

vs _C _R

iR

iC

(18)

Gambar perkiraan dibawah ini memperlihatkan kurva tegangan sumber vs/5 (skala 20%), arus penyearahan setengah gelombang iR, dan arus kapasitor iC seandainya dipasang kapasitor (besar kapasitor belum dihitung).

Dengan pemasangan kapasitor maka arus sumber akan merupakan jumlah iR + iC yang akan merupakan arus nonsinus dengan bentuk lebih mendekati gelombang sinusoidal dibandingkan dengan bentuk gelombang arus penyearahan setengah gelombang iR. Bentuk gelombang arus menjadi seperti di bawah ini.

Kita akan mencoba menelaah dari beberapa sisi pandang.

a). Pemasangan kapasitor seperti pada Gb.7.6 menyebabkan sumber mendapat tambahan beban arus kapasitif. Bentuk gelombang arus sumber menjadi lebih mendekati bentuk sinus. Tidak seperti dalam kasus saklar sinkron yang komponen fundamentalnya memiliki faktor daya kurang dari satu sehingga kita punya titik-tolak untuk menghitung daya reaktif yang perlu kompensasi, dalam kasus penyerah setengah gelombang ini f.d.1 = 1; arus fundamental sefasa

dengan tegangan sumber. 45.00

70.71

30.04

6.03

2.60 1.46 0.94

0 10 20 30 40 50 60 70 80

1 2 3 4 5 6 7

0 1 2 4 6 8 10 harmonisa

A

-400 -200 0 200 400

0 0.01 _i 0.02 0.03

C

vs/5

iR

[V] [A]

t [s]

-400 -200 0 200 400

0 iC 0.01 0.02 0.03

vs/5

iR

[V] [A]

t [s] iR+iC

(19)

Sebagai perkiraan, daya reaktif akan dihitung dengan menggunakan formula segitiga daya pada daya kompleks total.

kVAR

Jika diinginkan faktor daya 0,9 maka daya reaktif seharusnya sekitar

kVAR

Akan tetapi formula segitiga tidaklah akurat karena kita tidak dapat menggambarkan segitiga daya untuk arus harmonisa. Oleh karena itu kita perkirakan kapasitor yang akan dipasang Arus kapasitor adalah

A

Arus fundamental sumber adalah jumlah arus kapasitor dan arus fundamental semula, yaitu

A

Nilai efektif arus dengan frekuensi fundamental yang keluar dari sumber adalah

A

Jadi setelah pemasangan kapasitor, nilai-nilai efektif arus adalah:

A

I ; ini adalah arus pada frekuensi fundamental yang keluar dari sumber sementara arus ke beban tidak berubah

A 50

=

hrms

I ; tak berubah karena arus beban tidak berubah.

A 75

=

sCrms

I ; ini adalah arus yang keluar dari sumber yang semula I_rms =70,7 A. Daya kompleks sumber menjadi

kVA 75 75 1000× =

= = srms sCrms

sC V I

S

Faktor daya yang dilihat sumber menjadi

67

(20)

Sudaryatno Sudirham, “Pembebanan NonLinier (Analisis di Kawasan Waktu)” 20/21 Pemasangan kapasitor tidak memperbaiki faktor daya total bahkan arus efektif pembebanan pada sumber semakin tinggi.

Apabila kita mencoba melakukan kompensasi bukan dengan arus kapasitif akan tetapi dengan arus induktif, bentuk gelombang arus dan spektrum amplitudo yang akan kita peroleh adalah seperti di bawah ini.

-300 -200 -100 0 100 200 300

0 0.005 i_C 0.01 0.015 0.02

iRb isC

vs/5 V

A

45.00 79.14

30.04

6.03 _2.60

1.46 0.94 0

10 20 30 40 50 60 70 80 90

1 2 3 4 5 6 7

0 1 2 4 6 8 10 harmonisa A

-300 -200 -100 0 100 200 300

0 _i 0.005 0.01 0.015 0.02

C

iRb isC vs/5 V

A

45.00 79.14

30.04

6.03 _2.60

1.46 0.94 0

10 20 30 40 50 60 70 80 90

1 2 3 4 5 6 7

(21)

Sudaryatno Sudirham, “Pembebanan NonLinier (Analisis di Kawasan Waktu)” 21/21 Dengan membandingkan Contoh-9 dan Contoh-10 kita dapat melihat bahwa perbaikan faktor daya dengan cara kompensasi daya reaktif dapat dilakukan pada pembebanan dengan faktor daya komponen fundamental yang lebih kecil dari satu. Pada pembebanan di mana arus fundamental sudah sefasa dengan tegangan sumber, perbaikan faktor daya tidak terjadi dengan cara kompensasi daya reaktif; padahal faktor daya total masih lebih kecil dari satu. Daya reaktif yang masih ada merupakan akibat dari arus harmonisa. Oleh karena itu upaya yang harus dilakukan adalah menekan arus harmonisa melalui penapisan. Persoalan penapisan tidak dicakup dalam tulisan ini, melainkan dipelajari dalam Elektronika Daya.

Daftar Pustaka

1. Sudaryatno Sudirham, “Analisis Rangkaian Listrik”, Penerbit ITB, Bandung, 2002. 2. Sudaryatno Sudirham, “Analisis Rangkaian Listrik Jilid-1”, Darpublic, Bandung, 2010. 3. Sudaryatno Sudirham, “Analisis Rangkaian Listrik Jilid-2”, Darpublic, Bandung, 2010. 4. Sudaryatno Sudirham, “Analisis Harmonisa Dalam Permasalahan Kualitas Daya”,

Catatan Kuliah El 6004, ITB, Bandung, 2008.

5. Vincent Del Toro : “Electric Power System”, Prentice-Hall International, Inc., 1992. 6. Charles A. Gross : “Power System Analysis”, John Willey & Son, 1986.