KELOMPOK
1. Ere Salbiwa 2011 121 010 2. Vinia Detameriska 2011 121 014
3. Lia Sari 2011 121 015
4. Rani Elfionita 2011 121 029 5. Safitri Utami 2011 121 030
6. Kastarto 2011 121 031
Dosen Pembimbing : Tuti Rahayu, M.Pd
Kelas : 3A
2
BAB I
KATA PENGANTAR
Puji syukur kehadirat Allah SWT berkat limpahan rahmat karunia dan hidayah Nyalah kita dapat di beri kesehatan dan kekuatan sehingga dapat menyelesaikan makalah ini.
Shalawat serta salam semoga tercurahkan kepada baginda dan junjungan kita Nabi Muhammad SAW keluarga sahabat,dan pengikut Nya semoga kita semua mendapat safaat kelak yaumul akhir.
Semoga makalah ini dapat memberikan wawasan yang lebih luas kepada para pembaca mengenai Matriks.
Penulis mengucapkan terima kasih kepada seluruh pihak dan membantu dalam pembuatan makalah ini. Terutama kepada Dosen pengasuh mata kuliah Matematika SMA yaitu Ibu Tuti Rahayu, M.Pd. Kami meminta masukannya demi perbaikan pembuatan makalah kami dimasa depan. Kami mengharapkan saran dan kritik dari para pembaca.
Sekian yang dapat kami sampaikan kurang lebihnya kami mohon maaf dan pada Allah SWT kami mohon ampun.
Palembang, Desember 2012
3
DAFTAR ISI
KATA PENGANTAR... i
DAFTAR ISI... ii
BAB I PENDAHULUAN 1.1 Standar Kompetensi dan Kompetensi Dasar Matriks... 1
1.2 Motivation... 1
BAB II PEMBAHASAN 2.1 Pengertian Matriks... 2
2.2 Notasi dan Ordo Matriks... 2
2.3 Jenis-jenis Matriks... 2
2.4 Kesamaan Dua Matriks... 3
2.5 Matriks Transpos... 4
2.6 Operasi Hitungan Pada Matriks... 4
2.7 Determinan... 6
2.8 Invers Matriks... 7
2. 9 Trace Matriks... 10
2.10 Soal-soal Uji Kompetensi... 12
BAB III PENUTUP 3.1 Kesimpulan dan Saran... 19
4
PENDAHULUAN
1.1.STANDAR KOMPETENSI DAN KOMPETENSI DASAR MATRIKS.
Dalam Standar Kompetensi Matriks Diharapkan Peserta Didik Dapat Menggunakan konsep matriks,vektor, dan transformasi dalam pemecahan masalah.
Kompetensi dasarnya yaitu peserta didik diharapkan mampu:
1. Menggunakan sifat-sifat dan operasi matriks untuk menunjukkan bahwa suatu matriks persegi merupakan invers dari matriks persegi lain,
2. Menentukan determinan dan invers matriks 2×2.
3. Menggunakan determinan dan invers dalam penyelesaian sistem persamaan linear dua variabel.
4. Menggunakan sifat-sifat dan operasi aljabar vektor dalam pemecahan masalah.
5. Menggunakan sifat-sifat dan operasi perkalian skalar dua vektor dalam pemecahan masalah. 6. Menggunakan transformasi geometri yang dapat dinyatakan dengan matrik
dalam pemecahan masalah.
7. Menentukan komposisi dari beberapa transformasi geometri beserta matriks transformasinya.
1.2.MOTIVATION
Matriks pertama kali diperkenalkan oleh Arthur Cayley (1821-1895) di inggris dalam sebuah studi sistem persamaan linier dan transformasi linear.Namun pada awalnya,Matriks hanya dianggap permainan karena tidak bisa diaplikasikan.Baru pada tahun 1925.30 tahun setelah Cayley meninggal,Matriks digunakan pada mekanika kuantum.Selanjutnya matriks mengalami perkembangan yang pesat dan digunakan dalam berbagai bidang.
5
BAB II
PEMBAHASAN
MATRIKS
2.1 Pengertian Matriks
Dalam kehidupan sehari-hari, keterangan sering disajikan dalam bentuk tabel atau daftar.Misalnya seperti tabel nilai hasil ulangan yang dinyatakan berikut ini.
Matematika Fisika Kimia Biologi
Amir 70 65 85 80
Budi 65 70 65 95
Candra 75 75 80 90
Jika dari tabel diatas ditulis bilangannya saja,kemudian susunan lambang itu diberi tanda kurung,maka akan di peroleh :
Perhatikan susunan bilangan diatas .
Susunan bilangan itu memiliki beberapa keteraturan,yaitu disusun dalam bentuk persegi atau persegi panjang dan menurut baris dan kolom .Susunan bilangan itu dinamakan Matriks. Setiap bilangan disebut Elemen Matriks.
2.2 Notasi dan Ordo Matriks
Suatu Matriks biasanya dilambangkan atau dinotasikan dengan huruf kapital,sedangkan elemennya yang berupa huruf,biasanya dengan huruf kecil.
Misalnya :A =
2 0 3 6 7 9 4 −1 5
B =
−8 5 4
, C = 𝑎 𝑐
𝑏 𝑑
Jika kita perhatikan ukuran matriks berbeda-beda .Ukuran matriks itu disebut Ordo.Ordo suatu matriks ditentukan oleh banyaknya baris dan banyaknya kolom yang ada didalam matriks tersebut.
Jika Matriks D terdiri dari m baris dan n kolom maka matriks itu berordo m x n dan dituliskan Dmxn.
2.3Jenis-jenis Matriks
a. Matriks baris adalah matriks yang hanya terdiri dari satu matriks. Contoh : P = ( 3 2 ), Q = ( 5 1 )
b. Matriks kolom adalah matriks yang hanya terdiri dari satu kolom.
Contoh : R =
3 5 9
, S = 3
2
c. Matriks persegi adalah matriks yang banyak baris sama dengan banyak kolom.
Contoh : T = 3 4
7 5 , U =
6
d. Matriks nol adalah matriks yang semua elemennya nol Contoh : V = 0 0
0 0
e. Matriks identitas adalah matriks yang semua elemen-elemennya diagoanalnya utamanya sama dengan 1,sedangkan elemen lainnya sama dengan 0.
Contoh : I =
1 0 0 0 1 0 0 0 1
f. Matriks skalar adalah matriks yang semua elemen-elemennya diagoanalnya utamanya sama,sedangkan elemen lainnya sama dengan 0.
Contoh: K = 2 0
0 2
g. Matriks diagonal adalah matriks persegi yang semua elemen-elemennya diluar diagonal utamanya bernilai 0.
Contoh : M =
1 0 0 0 6 0 0 0 7
h. Matriks segitiga atas adalah matriks persegi yang semua elemen-elemennya dibawah diagonal utamanya bernilai 0.
Contoh : N =
4 2 −2 0 −1 8 0 0 4
i. Matriks segitiga bawah adalah matriks persegi yang semua elemen-elemennya diatas diagonal utamanya bernilai 0.
Contoh : O =
1 0 0
−5 6 0
2 7 3
j. Matriks singular adalah matriks yang determinannya bernilai nol.setiap matriks singular tidak mempunyai invers.
Contoh : S = 2 2
4 4 M =
2 3 2 4 1 5 0 0 0
k. Matriks tak singular adalah matriks yang determinannya bernilai tidak sama dengan nol atau disebut juga matriks non singular.setiap matriks tak-singular mempunyai invers.
Contoh : L = 4 5
1 2
2.4Kesamaan Dua Matriks
Dua matriks A dan B dikatakan sama ( A = B ),jika dan hanya jika ordo kedua matriks sama dan elemen-elemennya yang bersesuaian juga sama.
Contoh :
A = 1 3
2 4 B = 1 3 2 4
7 2.5Matrik Transpos
2.5.1.Pengertian Matriks Transpos
Tranpos matriks A ditulis At atau A’adalah sebuah matriks yang disusun dengan cara mengubah setiap baris dari matriks A menjadi kolom pada matriks A’.
Contoh :
A = 𝑎 𝑏
𝑐 𝑑 , maka A’ = 𝑎 𝑐𝑏 𝑑
B = 𝑎 𝑏 𝑐
𝑑 𝑒 𝑓 , maka B’ = 𝑎 𝑑 𝑏 𝑒 𝑐 𝑓
2.5.2.Sifat-Sifat Matriks Transpose:
1. Jika A dan B adalah dua matriks yang berordo sama maka: (A B)T = A BT
2. Jika a skalar dan A matriks, maka: (aA)T = aAT 3. Jika A matriks, maka (AT)T = A
4. Jika A matriks bujur sangkar dan n positif, maka: 5. (An)T = (AT)
6. Jika A, B dua matriks dengan ukuran masing-masing mxn dan nxp, maka (AB)T = BT AT
2.6Operasi Hitungan Pada Matriks
2.6.1. Penjumlahan dan pengurangan Matriks
Dua matriks dapat dijumlahkan jika keduanya memiiliki ordo yang sama. Penjumlahan matriks dilakukan dengan cara menjumlahkan elemen-elemen yang seletak dari masing-masing matriks tersebut.
Penjumlahan tersebut dapat juga dilakukan dengan menggunakan matriks yaitu sebagai berikut :
Nama
Nilai tes
Nilai Total
Tertulis Praktek
Niko 4 4 8
Ucok 5 2 7
Penjumlahan tersebut dapat juga dilakukan dengan menggunakan matriks yaitu sebagai berikut :
5 4 +
4 2 =
4 4 5 2 =
8 7
Pengurangan matrik juga dilakukan jika ordo matriks yang akan dikurangkan sama dan diperoleh dengan mengurangkan elemen-elemen yang seletak.
Contoh :
Diketahui matriks A =
1 −2 4 2
−1 1
dan B =
−3 4
−2 1
3 6
Tentukan A – B.
Penyelesaian :
A – B = 14 −22
−1 1
-
−3 4
−2 1
3 6
=
1−(−3) −2−4 4−(−2) 2−1
−1−3 1−6
8 Maka A – B =
4 −6 6 1
−4 −5
2.6.2. Perkalian Matriks
a. Perkalian matriks dengan bilangan real.
Jika k adalah suatu bilangan real, dan A adalah sutu Matriks, maka kA adalah Matriks yang diperoleh dengan mengalikan setiap elemen matriks A dengan k sehingga :
Jika diketahui 𝑎 𝑏
𝑐 𝑑 , maka kA = kx 𝑎 𝑏𝑐 𝑑 = 𝑘𝑎 𝑘𝑏𝑘𝑐 𝑘𝑑
Contoh:
Diketahui A = 1 6
3 2 dan B =
2 4
−3 0 .
Tentukan : a. 3A b. 2A - 3B Penyelesaian: a. 3A = 3 1 6
3 2 =
3 18 9 6
b. 2A-3B = 2 1 6
3 2 - 3
2 4
−3 0
= 2 12
6 4 -
6 12
−9 0
= −4 0
15 4
b. Perkalian Dua Matriks
Pernahkah kalian bermain domino?Bagaimanakah memasangkan karu-kartu dalam permainan domino/Agar selembar kartu domino dapat dipasangkan dengan kartu domino yang lain,jumlah mata bagian kanan kartu tersebut harus sama dengan jumlah mata bagian kiri kartu pasangannya.
Prinsip pemasangan kartu domino dapat kita gunakan untuk memahami perkalian dua matriks,yaitu sebuah matriks A dapat dikalikan matriks B jika banyak matriks A sama dengan banyak baris matriks B.Adapun elemen-elemen matriks hasil kali ini adalah jumlah dari hasil kali elemen-elemen pada baris matriks A dengan elemen-elemen pada kolom matriks B.
Am x p x Bp x n = Cm x n Contoh:
Jika Diketahui A = 𝑎 𝑏
𝑐 𝑑 dan B = 𝑒 𝑓𝑔
A x B = 𝑎 𝑏
𝑐 𝑑 𝑒 𝑓𝑔 = 𝑎𝑒
+𝑏𝑔 𝑎𝑓+𝑏
9 c. Perkalian Matriks Identitas
Matriks identitas adalah matriks bujur sangkar dimana elemen utama bernilai 1 dan elemen diluar diagonal utama bernilai 0. Perkalian suatu matriks (A) dengan matriks identitas :
AI = A IA = A AI=IA = A Sebagai contoh:
Jika diketahui matriks A =
1 2 3 4 5 6 7 8 9
dan I =
1 0 0 0 1 0 0 0 1
. Tentukan AI dan IA .
Penyelesaian:
AI =
1 2 3 4 5 6 7 8 9
1 0 0 0 1 0 0 0 1
=
1 2 3 4 5 6 7 8 9
IA=
1 0 0 0 1 0 0 0 1
1 2 3 4 5 6 7 8 9
=
1 2 3 4 5 6 7 8 9
d. Sifat Perkalian Matriks
Jika A adalah matriks ukuran mxn, matriks B dan C mempunyai ukuran yang memungkinkan untuk operasi penjumlahan dan perkalian maka:
a. A(BC) = A(BC) Asosiatif
b. A(B+C) = AB + AC Distributif kiri c. (B+C) A = BA+C Distributif kanan d. r(AB) = (rA)B r = skalar e. I m A = A = AI n Asosiatif
2.7. Determinan
2.7.1 Determinan Matriks persegi berordo 2
Determinan dari suatu matriks persegi A dinotasikan dengan │A│atau det A.
Jika A = 𝑎 𝑏
𝑐 𝑑 , maka determinan matriks A adalah :
det A = 𝑎 𝑏
𝑐 𝑑 = ad – bc
Sebagai contoh: Diketahui A = 4 3
2 5 . Tentukan determinan A .
Penyelesaian: det A = 4x5 – 3x2
10 2.7.2. Determinan matriks persegi berordo 3
Misalkan matriks A adalah matriks persegi berordo 3 yang berbentuk :
A =
𝑎11 𝑎12 𝑎13
𝑎21 𝑎22 𝑎23
𝑎31 𝑎32 𝑎33
Berdasarkan kaidah Sarrus, nilai determinan matriks A ditentukan oleh: (-) (-) (-)
Det A =
𝑎11 𝑎12 𝑎13
𝑎21 𝑎22 𝑎23
𝑎31 𝑎32 𝑎33
𝑎11 𝑎12
𝑎21 𝑎22
𝑎31 𝑎32
(+) (+) (+)
= a11a22a33+a12a23a31+ a13a21a32 ─ a31a22a13 ─ a32a23a11 ─ a33a21a12 Contoh :
Diketahui matriks B :
2 −3 4 1 5 −6
−3 4 1
. Tentukan det B.
Penyelesaian:
Det B =
2 −3 4 1 5 −6
−3 4 1
2 −3 1 5
−3 4
= 2.5.1 +(-3) (-6) (-3) + 4.1.4 – 4.5. (-3) – 2.(-6) .4 - (-3) .1.1 = 10 – 54 + 16 + 60 + 48 + 3 = 83
2.8 Invers Matriks
2.8.1.. Dua matriks saling invers
Apabila A dan B masing-masing adalah matriks persegi berordo sama dan berlaku hubungan :
A.B = B.A = I
Maka A adalah invers B dan B adalah invers A atau A dan B merupakan dua matriks yang saling invers.
Matriks A adalah invers matriks B ditulis A = B-1 dan matriks B adalah invers matrik A ditulis B = A-1
A B = I
𝑎11 ⋯ 𝑎𝑖𝑛
⋮ ⋱ ⋮
𝑎𝑛1 ⋯ 𝑎𝑛𝑛
𝑎11 ⋯ 𝑎𝑖𝑛
⋮ ⋱ ⋮
𝑎𝑛1 ⋯ 𝑎𝑛𝑛
=
1 ⋯ 0
⋮ ⋱ ⋮
0 ⋯ 1
2.8.2. Invers matriks persegi berordo 2
a. Invers dari suatu matriks persegi berordo 2 dengan nilai determinan 1 dapat ditentukan dengan cara :
1. Elemen-elemen pada diagonal utama dipertukar.
2. Tanda elemen pada diagonal samping diganti dengan lawannya. Contoh :
Diketahui Matriks A = 4 9
3 7
Nilai determinan matriks A adalah : det A = 4 9
11 Jadi invers matriks A adalah A-1 = 7 −9
−3 4
b. Invers matriks persegi berordo 2 dengan nilai determinan tidak sama dengan 1. Jika matriks A = 𝑎 𝑏
𝑐 𝑑 dengan det A = (ad –bc),maka invers dari matriks A ditentukan oleh
:
A-1 = 1
𝑎𝑑 −𝑏𝑐 𝑑 −𝑏−𝑐 𝑑 dengan syarat (ad –bc) ≠ 0.
2.8.3. Invers matriks persegi berordo 3
Untuk dapat menentukan invers suatu amtriks dengan ordo 3x3,kita harus memahami tentang matriks minor,kofaktor dan adjoin.
a. Matriks minor
Matriks minor Mij diperoleh dengan cara menghilangkan elemen-elemen pada barir ke-I dan kolom ke-j matriks A beordo 3x3, sehingga didapat matirks baru dengan ordo 2x2. Determinan dari matriks tersebut disebut minor dari determinan matriks A, ditulis dengan minor 𝑀𝑖𝑗 .
A=
𝑎11 𝑎12 𝑎13
𝑎21 𝑎22 𝑎23
𝑎31 𝑎32 𝑎33
Minor-minor dari matriks A adalah sebagai berikut :
𝑀11 =
𝑎22 𝑎23
𝑎32 𝑎33 𝑀21 = 𝑎12𝑎32 𝑎13𝑎33 𝑀31 = 𝑎12𝑎22 𝑎23𝑎13 𝑀12 =
𝑎21 𝑎22
𝑎31 𝑎32 𝑀22 = 𝑎11𝑎31 𝑎13𝑎33 𝑀32 = 𝑎11𝑎21 𝑎23𝑎13 𝑀13 =
𝑎21 𝑎22
𝑎31 𝑎32 𝑀23 = 𝑎31𝑎11 𝑎32𝑎12 𝑀33 = 𝑎11𝑎21 𝑎22𝑎12
b. Kofaktor
Kofaktor dari baris ke-I dituliskan dengan Aij.Untuk menentukannya ditentukan dengan rumus 𝐴𝑖𝑗 = −1 𝑖+𝑗 𝑀𝑖𝑗
Kofaktor-kofaktor dari matriks A adalah sebagai berikut,
𝐴11 = (−1)1+1 𝑀11 = 𝑀11
𝐴12 = (−1)1+2 𝑀12 = − 𝑀12
𝐴13 = (−1)1+3 𝑀13 = 𝑀13 𝐴21 = (−1)2+1 𝑀21 = − 𝑀21 𝐴22 = (−1)2+2 𝑀22 = 𝑀22
𝐴23 = (−1)2+3 𝑀23 = − 𝑀23 𝐴31 = (−1)3+1 𝑀31 = 𝑀31
𝐴32 = (−1)3+2 𝑀32 = − 𝑀32 𝐴33 = (−1)3+3 𝑀33 = 𝑀33 c. Adjoint
Misalkan suatu matriks A berordo 𝓃𝑥𝓃 dengan 𝐴𝑖𝑗 kofaktor dari matriks A, makaAdjoint
A (Adj A) =
𝐴11 𝐴21 ⋯ 𝐴𝑛1
𝐴12 𝐴22 … 𝐴𝑛2
12 Untuk matriks A berordo 3x3, maka :
Adj A =
𝐴11 𝐴21 𝐴31
𝐴21 𝐴22 𝐴32
𝐴31 𝐴23 𝐴33
Contoh:
Tentukan invers dari matriks A =
1 2 3 2 5 3 1 0 8
Jawab :
𝐴 =
1 2 3 2 5 3 1 0 8
1 2 2 5 1 0
=40+6+0-15-0-32 =46-47
=-1
𝐴11 = 5 3
0 8 = 40−0 = 40
𝐴12 = − 2 3
1 8 = − 16−3 =−13
𝐴13 = 2 5
1 0 = 0−5 = −5
𝐴21 =− 2 3
0 8 =− 16−0 = −16
𝐴22 = 1 3
1 8 = 8−3 = 5
𝐴23 =− 1 2
1 0 =− 0−2 = 2
𝐴31 = 2 3
5 3 = 6−15 =−9
𝐴32 =− 1 3
2 3 =− 3−6 = 3
𝐴33 = 1 2
2 5 = 5−4 = 1
Adj 𝐴 =
40 −16 −9
−13 5 3
−5 2 1
𝐴−1 = Adj 𝐴 𝐴 =
40 −16 −9
−13 5 3
−5 2 1
−1 =
−40 16 9
13 −5 −3 5 −2 −1
2.8.4 Sifat Invers Matriks
Jika A adalah suatu matriks bujur sangkar, maka pangkat bilangan bulat (n) di mana n > 0 dari matriks A sebagai berikut :
a. Jika A matriks invertibel hanya akan mempunyai satu matriks invers (invers A adalah unik) dan dinyatakan oleh A.
AA-1 = I⇔ A-1 A = I
b. Jika determinan A adalah nol (det A = 0), A tidak ada dan matriks A disebut matriks non-invertibel atau singular.
13
d. Jika invers dari matriks invertibel adalah invertibel maka: (A-1)-1 = A
e. Perkalian skalar k (k 0) dengan matriks invertibel adalah invertibel, maka: (kA)-1 = A-1
f. Jika matriks A adalah matriks nonsingular atau invertibel, maka invers dari matriks pangkat bulat non negatif (n > 0):
(An)-1 = (A-1)n
g. Jika matriks A adalah matriks nonsingular atau invertibel, maka: (AT)-1 = (A-1)T
2.9 Trace Matriks
Trace matriks adalah jumlah elemen diagonal utama pada matriks bujur sangkar (kuadrat). Jika matriks A adalah bujur sangkar (kuadrat) ukuran mxn, maka trace A dinyatakan oleh tr (A).
Jika diketahui matriks A:Tr (A) = 𝑛𝑖=1𝑎= 𝑚𝑖=1𝑎
Jadi trace suatu matriks bujur sangkar adalah penjumlahan elemen-elemen pada diagonal utama matriks tersebut.
Contoh :
Tentukan trace dari matriks berikut, A = 1 2
3 4
Solusi:
tr (A) = =1+4 = 5
2.9.1. Sifat Trace Matriks
Trace matriks mempunyai sifat penting dalam manipulasi suatu matriks bujur sangkar yaitu: 1. tr (kA) = k 𝑡𝑟 (𝐴) , k = skalar
2. tr (A± B) = tr (A) 3. tr(AB) = tr (BA)
4.tr (B -1 AB) = tr (A) ± 𝑡𝑟(B)
5. tr (AAT) = (aij)2
2.9.2 Penyelesaian Persamaan Matriks
Apabila A,B dan X adalah matriks-matriks persegi berordo 2 dan A adalah matriks tak singular yang mempunyai invers,yakni A-1
a. Penyelesaian persamaan matriks AX = B ditentukan oleh :
X = A -1 B
14 2.9.3 Sistem Persamaan Linear
1. Sistem Persamaan Linear dua variabel (peubah) : ax + by = p
zx + dy = q
Dapat dinyatakan dalam bentuk persamaan matriks,yakni :
Sehingga himpunan penyelesaiannya dapat ditentukan oleh :
Contoh :
Tentukanlah penyelesaian sistem persamaan linear berikut 3x – 4y = 5
5x + 6y = 1 Penyelesaian :
Terlebih dahulu,ubah sistem persamaan linear tersebut menjadi peramaan matrik berikut. A X B
Kemudian,tentukan determinan matriks A, yaitu : Det A = 3 −4
5 6 = 18 – (-20) = 38
Penyelesaian persamaan linear tersebut dapat kita tentukan dengan cara :
Jadi x = 17
19 dan y = - 11 19
2. Sistem Persamaan Linear tiga variabel (peubah ) : a11x + a12y + a13z = b11
a21x + a22y + a23z = b21 a21x + a22y + a23z = b21 ditentukan oleh : x = 𝐷𝑥
𝐷 , y = 𝐷𝑦
𝐷, z = 𝐷𝑧
𝐷 , untuk D#0
Dengan
D =
𝑎11 𝑎12 𝑎13
𝑎12 𝑎22 𝑎23
𝑎13 𝑎32 𝑎33 Dy =
𝑎11 𝑏11 𝑎13
𝑎21 𝑏21 𝑎23
𝑎31 𝑎31 𝑎33
Dx =
𝑏11 𝑎12 𝑎13
𝑏21 𝑎22 𝑎23
𝑏31 𝑎32 𝑎33 Dz =
𝑎11 𝑎12 𝑏11
𝑎21 𝑎22 𝑏21
𝑎31 𝑎32 𝑏31
Contoh :
Tentukanlah penyelesaian sistem persamaan linear berikut x + y + z = 12
15 Penyelesaian :
Sistem persamaan linear diatas dapat diubah menjadi
1 1 1
2.10 Soal- Soal Uji Kompetensi
1. Jika A= 2 1
a 2b-1 adalah matriks singular dan B
16
14. Diketahui matriks-matriks A = −𝑐 2
1 0 , B =
4 𝑎
17 D = 4 𝑏
−2 3 . Jika 2A – B = CD , maka nilai a + b + c adalah...
a.-0 b.-2 c.0
d.1 e.8
15. Diketahui matriks-matriks A = 2 1
4 5 dan B = 3 2
6 1 . Nilai determinan matriks 2A – 2B
adalah...
a.5 b.-45 c.-85
d.-75 e.-65
16. Diketahui matriks A = 2 −1
1 4 , B = 𝑥
+𝑦 2 3 𝑦 , C =
7 2 3 1
Apabila A – B = Ct = transpos matriks C, maka nilai x.y adalah...
a.10 b.15 c.20
d.25 e.30
17. Jika diketahui P = 2 1 4
−1 3 2 , Q =
1 2
−1 3
4 −1
Dan Z =
𝑧1 𝑧2
𝑧3 maka Hasilnya adalah...
a. 2𝑧1+𝑧2+ 2𝑧3
−z1+ 3z2+ 2z3
c. 2z1 + 𝑧2− 2𝑧3
𝑧1− 3𝑧2 + 2𝑧3 e. −
2𝑧1− 𝑧2+ 4𝑧3
−𝑧1+ 3𝑧2+ 2𝑧3
b. 2z1+ z2+ 4z3
−z1+ 3z2+ 2z3
d. 4𝑧1+ 𝑧2+ 𝑧3
−2𝑧1+ 𝑧2+ 3𝑧3
18. Tentukanlah 2 3 4
1
−2 3
= ...
a. 8 c. −6 e. 4
b. −8 d. 6
19.Jika A = 1 2 3
0 1 4 dan B =
2 3 0
−1 2 5 , maka A+B = ...
a. 2 5 1
2 −3 9 c.
3 −5 −3
2 9 3 e.
3 5 3
−1 3 9
b. −3 7 3
1 2 9 d.
3 5 3 3 7 −9
20. Diketahui matriks A =
−3 4 2
2 1 3 1 0 −1
, tentukan determinannya ? ...
a. 15 c. 10 e. -21
b. 20 d. 21
21. A = 3 7 6
6 9 6 dan B =
2 7 4 4 5 0 8 4 8
, AB ? ...
a. 73 50 80
96 100 72 c.
82 80 60
96 111 72 e.
18
23. Buktikan bahwainvers dari matriks A =
3 2 1
24. Diketahui matriks A =
1 2 3
27. Hitunglah AB, jika diberikan A =
19
29. Berapakah hasil dari perkalian matriks berikut : A= 4 5 6 𝐵= 2
𝑡 adalah transpose dari
A. Jika 𝐴𝑡. B = C, maka nilai 2x+y =...
a. -4 c. 1 e. 7
b. -1 d. 5
32. Diketahui hasil kali matriks 4 3
1 2 𝑎 𝑏𝑐 𝑑 =
16 3
9 7 , nilai a + b + c + d = ...
a. 6 c. 8 e. 10
b. 7 d. 9
33. Nyatakan sistem persamaan linier dalam bentuk persamaan matrik : 2x + 3y = 2
34. Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem peramaan 2x +y+z = 0
-2x+3y = 1 3x+5y+2z = -1
a. {(2,-1,5)} c. {(-2,-1,5)} e. {(-1,2,5)}
20 35. Jika diktetahui matrik A =
Maka tentukan tr (A-3B)
a. 23 c. –25 -26
b. –24 d. 25
36. Jika diketahui perkawinan suatu matrik identitas
A =
38. Buktikan bahwa invers dari matrik A =
39. Cari matrik x jika diketahui
40. Selesaikan a,b,c dan d pada persamaan matrik berikut ini
21
BAB III
KESIMPULAN DAN SARAN
3.1 Kesimpulan
Suatu matriks biasanya dilambangkan atau dinotasikan dengan huruf kapital, sedangkan elemennya yang berupa huruf, biasanya dengan huruf kecil.
Dua matriks A dan B dikatakan sama ( A = B ), jika dan hanya jika ordo kedua matriks sama dan elemen-elemennya yang bersesuaian juga sama.
Tranpos matriks A ditulis Atatau A’adalah sebuah matriks yang disusun dengan cara mengubah setiap baris dari matriks A menjadi kolom pada matriks A’.
Matriks identitas adalah matriks bujur sangkar dimana elemen utama bernilai 1 dan elemen diluar diagonal utama bernilai 0.
Determinan dari suatu matriks persegi A dinotasikan dengan │A│atau det A. Trace matriks adalah jumlah elemen diagonal utama pada matriks bujur sangkar
(kuadrat). Jika matriks A adalah bujur sangkar (kuadrat) ukuran mxn, maka trace A dinyatakan oleh tr (A).
Apabila A,B dan X adalah matriks-matriks persegi berordo 2 dan A adalah matriks tak singular yang mempunyai invers,yakni A-1 .
3.2 Saran
22
DAFTAR PUSTAKA
Adrianto,H dan Priyono,A.2006.Menguasai Matriks dan Vektor.Penerbit Rekayasa Sains.Bandung.
Chatelin,F. 1987.EigenValues of Matrices.Wiley.London.
Golub,G and Van Loan.1983.Matrix Computation.John Hopkins Press.Baltimore.
Geoff Philips, Jenny Watson, Caroline Penney, Sonja Stambulic, Math Quest:Mathematical Methods VCE Mathematics, JohnWilley and Sons Australia, 1996.
Howard Anton, Aljabar Lenear Elementer, Erlangga, Jakarta, 1995
Howard Baxter, Mike Handbury, John Jeskins, Jean Matthews, Pat More, GCSEMathematics Intermediate Course, Hodder & Stoughton, 2001.
