1. SISTEM PERSAMAAN LINEAR DAN MATRIKS

Diktat Aljabar Linear

Sistem Persamaan Linear dan Matriks

1. SISTEM PERSAMAAN LINEAR DAN MATRIKS

1.1. PENGANTAR

DEFINISI 1.1 : PERSAMAAN LINEAR

Suatu persamaan linear dengan n peubah x1, x2, … , xn dapat dinyatakan dalam bentuk :

a1 x1 + a2 x2 + … + an xn= b (1.1)

dimana a1, a2, … ,an dan b adalah konstanta-konstanta real.

DEFINISI 1.2 : PENYELESAIAN PERSAMAAN LINEAR

Penyelesaian dari persamaan linear (1.1) adalah urutan dari n bilangan s1, s2, … , sn

sehingga persamaan tersebut dipenuhi bila

x1 = s1 , x2 = s2 , …, xn = sn (1.2)

disubstitusikan terhadapnya.

Himpunan semua pemecahan persamaan tersebut dinamakan himpunan penyelesaian. DEFINISI 1.3 : SISTEM PERSAMAAN LINEAR

Suatu himpunan berhingga dari persamaan- persamaan linear dalam peubah-peubah x1,

x2, … , xn dinamakan sistem persamaan linear atau sistem linear.

Suatu urutan bilangan-bilangan s1, s2, … , sn dinamakan pemecahan dari sistem tersebut

jika (1.2) adalah pemecahan dari masing-masing persamaan pada sistem tersebut.

Sebuah sistem sebarang yang terdiri dari m persamaan linear dengan n bilangan yang tidak diketahui : a11 x1 + a12 x2 + … + a1n xn = b1 a21 x1 + a22 x2 + … + a2n xn = b2 :. : (1.3) . . . am1 x1 + am2 x2 + … + amn xn = bm DEFINISI 1.4 : KONSISTENSI

1. Sebuah sistem persamaan yang tidak memiliki penyelesaian dikatakan tidak konsisten. Jika ada setidak-tidaknya satu pemecahan, maka sistem persamaan tersebut dikatakan konsisten.

2. Suatu sistem persamaan linear mungkin tidak memiliki penyelesaian, atau memiliki persis satu penyelesaian, atau memiliki tak berhingga banyaknya penyelesaian.

Dalam 2 dimensi dapat digambarkan sebagai berikut :

y k y k l y k,l

l

x x x

Gb.1.1 (a) (b) (c)

Sistem Persamaan Linear Dan Matriks

Diktat Aljabar Linear

PROPOSISI 1.5 : AUGMENTED MATRIX

Persamaan (1.3) dapat dituliskan dalam bentuk augmented matrix (matriks yang diperbesar) sebagai berikut :

            m mn m m n n b a a a b a a a b a a a ... ... ... 2 1 2 2 22 21 1 1 12 11 ! ! ! ! (1.4)

PROPOSISI 1.6 : OPERASI BARIS ELEMENTER

Penyelesaian sistem persamaan (1.3) dapat dilakukan dengan operasi baris elementer (OBE) pada matriks diperbesarnya, dengan catatan matriks tidak memilik ukuran yang terlalu besar.

OPERASI BARIS ELEMENTER :

1. Kalikanlah sebuah baris dengan sebuah konstanta yang tidak sama dengan nol 2. Pertukarkanlah kedua baris tersebut

3. Tambahkanlah perkalian dari satu baris pada baris yang lain.

1.2. SISTEM PERSAMAAN LINEAR HOMOGEN

DEFINISI 1.7: SISTEM PERSAMAAN LINEAR HOMOGEN

Sebuah sistem persamaan linear dikatakan homogen jika pada persamaan (1.3) nilai bi = 0

untuk setiap i = 1,2,...,m

Tiap-tiap sistem persamaan linear homogen adalah sistem yang konsisten, karena x1=x2 =

... = xn = 0 selalu merupakan penyelesaian. Penyelesaian ini dinamakan penyelesaian

trivial. Jika ada penyelesaian lain yang memenuhi persamaan homogen tersebut, maka penyelesaian tersebut dinamakan penyelesaian tak trivial.

TEOREMA 1.8:

Sistem persamaan linear homogen dengan lebih banyak bilangan tak diketahui (peubahnya) daripada banyaknya persamaan, selalu mempunyai tak hingga banyak penyelesaian.

1.3. MATRIKS DAN OPERASI MATRIKS DEFINISI 1.9: MATRIKS

Matriks adalah suatu susunan dari banjar (array) bilangan-bilangan dalam bentuk segi empat, dengan jumlah baris sebanyak m dan jumlah kolom sebanyak n dan dinotasikan sebagai A = (aij) mxn i = 1,…,m dan j = 1,…, n serta aij adalah elemen dari matriks A

Diktat Aljabar Linear

Sistem Persamaan Linear dan Matriks

A =                     mn mj m m in ij i i n j n j a a a a a a a a a a a a a a a a " " ! ! ! ! " " ! ! ! ! " " " " 2 1 2 1 2 2 22 21 1 1 12 11 (1.5) CATATAN-CATATAN 1.10:

1. Matriks A dikatakan berukuran m x n (berdimensi mxn)

2. Matriks A dengan dimensi 1 x n disebut sebagi vektor baris, sedangkan yang berdimensi m x 1 disebut sebagai vektor kolom

3. Jika jumlah baris sama dengan jumlah kolom, yaitu m = n, maka matriks A dikatakan sebagai matriks bujur sangkar dengan orde n.

4. Pada matriks (1.5) jika m=n, maka elemen aii disebut sebagai elemen diagonal dari A,

elemen-elemen lain merupakan elemen di luar diagonal dari A

5. Pada matriks (1.5) dengan m=n, bila aii≠ 0 sedangkan elemen di luar diagonal dari A

sama dengan nol, yaitu, aij = 0 untuk i≠ j, maka matriks A disebut sebagai matriks

diagonal

6. Jika pada matriks diagonal di atas nilai aii = c untuk setiap i=1,..,n maka matriks

tersebut dikatakan sebagai matriks skalar. Dengan kata lain matriks skalar adalah matriks diagonal dengan seluruh diagonalnya bernilai sama.

7. Jika pada matriks diagonal di atas nilai aii = 1 untuk setiap i=1,…,n maka matriks

tersebut dikatakan sebagai matriks identitas (dinotasikan dengan In).

8. Jika pada matriks diagonal di atas nilai aii = 0 untuk setiap i=1,..,n maka matriks

tersebut dikatakan sebagai matriks NULL (dinotasikan dengan Onxn). Secara umum

untuk sebarang matriks Amxn, bila seluruh elemennya bernilai 0 maka matriks tersebut

dinotasikan dengan Omxn

DEFINISI 1.11: OPERASI-OPERASI PADA MATRIKS

1. Dua matriks A = (aij) dan B = (bij) dikatakan sama jika dan hanya jika A dan B

memiliki dimensi yang sama, misal m x n, dan aij = bij ∀ i= 1,…,m dan j = 1,…,n.

2. Penjumlahan Matriks

Jika dua buah matriks memiliki dimensi yang sama, mereka dikatakan comformable untuk penjumlahan.

Jika A = (aij)mxn dan B = (bij)mxn maka

A+B = (aij + bij)mxn

3. Perkalian Matriks dengan Skalar

Jika A adalah matriks berukuran mxn dan c adalah scalar maka cA = (c aij)mxn

4. Pengurangan Matriks A – B = (aij – bij)mxn

Hal ini beralasan karena : A – B = A + (-1) B

= (aij)mxn + (-1) (bij)mxn

= (aij + (-1) bij)mxn

Sistem Persamaan Linear Dan Matriks

Diktat Aljabar Linear

5. Perkalian Matriks

Misalkan A = (aij)mxp dan B = (bij)pxn maka perkalian antara A danB adalah C=(cij)mxn

yaitu AB= C dimana cij =

∑

= n k 1 aik bkj ∀i = 1,..,m j = 1,…,n [ai1 ai2 … ain]               nj j j b b b ! 2 1 ij nj in 2j i2 1j i1 c b a b a a = + … + + = (1.6)

A dan B dikatakan comformable untuk perkalian jika dan hanya jika jumlah kolom dari matriks A sama dengan jumlah baris dari matriks B.

1.4. ATURAN – ATURAN DALAM ILMU HITUNG MATRIKS

Dalam perkalian matriks belum tentu berlaku hukum komutatif, yaitu AB ≠ BA walaupun AB dan BA yang didefinisikan memiliki ukuran yang comformable.

Teorema 1.12:

Dengan menganggap bahwa ukuran-ukuran matriks comformable maka aturan-aturan ilmu hitung matriks berikut adalah valid. Notasi dengan huruf besar adalah matriks dan huruf kecil adalah skalar.

1. A + B = B + A 9. A+ 0 = 0 + A = A

2. A + (B+C) = (A+B) + C 10. A- A = 0

3. A(BC) = (AB)C 11. 0 – A = - A

4. A (B±C) = (AB ±AC) 12. AO = 0 ; 0A = 0 5. (B ± C)A = (BA ± CA)

6. a (B±C) = aB ± a C 7. (a±b) C = aC ± bC 8. a(BC) = (aB)C = B(aC) 1.5. PARTISI MATRIKS

Matriks A dapat dipartisi menjadi submatriks-submatriks yang lebih kecil dengan memisahkannya dengan baris-baris vertikal dan horisontal antara baris-baris dan kolom-kolomnya. Contoh 1.13: A =             − − − − − − 5 4 1 0 4 6 4 1 1 4 6 4 0 1 4 5

Matriks A di atas dapat dipartisi menjadi , misalnya

      22 21 12 11 A A A A =             − − − − − − 5 4 1 0 4 6 4 1 1 4 6 4 0 1 4 5

Diktat Aljabar Linear

Sistem Persamaan Linear dan Matriks

Submatriks Aij disebut juga sebagai blok matriks. Secara umum jika blok-blok matriks

ini memiliki ukuran-ukuran yang bersesuaian, maka perkalian blok-blok ini dapat diselesaikan dengan cara seperti pada perkalian matriks biasa.

PROPOSISI 1.14

Jika A = (Aij)sxt B = (Bij)txr maka AB = (Cij) dimana Cij =

∑

=

n

k 1

Aik Bkj dengan syarat

blok-blok Aik Bkj conformable seperti pada perkalian matriks biasa.

1.6. OPERASI DARI TRANSPOSE DAN TRACE DEFINISI 1.15 : TRANSPOSE

Transpose dari matriks A = (aij)mxn adalah matriks AT = (bij)nxm dimana bij = aji.

Jika AT = A , A adalah matriks bujur sangkar, maka A disebut matriks simetrik. Jika AT = - A, maka A disebut matriks skew simetrik.

Hukum-hukum yang berlaku pada transpose

Jika A = (aij)mxn B = (bij)mxn dan c – sklar, maka :

(AT)T = A

(A + B)T = AT + BT (cA)T = c AT TEOREMA 1.16

Jika A = (aij)mxp B = (bij)pxn maka (AB)T = BT AT

DEFINISI 1.17: TRACE

Trace dari matriks bujur sangkar A =(aij)nxn didefinisikan sebagai jumlahan dari

diagonal-diagonal utama dari matriks A.

Tr(A) =

∑

= n i ii a 1 (1.7) Hukum-hukum yang berlaku pada trace

Jika A = (aij)nxn B = (bij)nxn dan c – scalar, maka:

Tr(A+B) = Tr(A) + Tr(B) Tr(cA) = c Tr(A)