MATRIKS. Agustina Pradjaningsih, M.Si. Jurusan Matematika FMIPA UNEJ

MATRIKS

Agustina Pradjaningsih, M.Si. Jurusan Matematika FMIPA UNEJ

DEFINISI MATRIKS

Suatu daftar bilangan-bilangan real atau kompleks terdiri atas m baris dan n kolom, m dan n bilangan bulat positip disebut matriks ber-ordo mxn

Setiap bilangan dalam matriks disebut entri atau elemen dari matriks itu.

Notasi untuk matriks digunakan huruf besar, sedangkan untuk entrinya digunakan huruf kecil.

 

                      mn m m m n n ij mxn a a a a a a a a a a a a a                               3 2 1 2 23 22 21 1 13 12 11 A

Bila A adalah matriks yang ber-ordo mxn, maka A, bisa ditulis sebagai :

 

a

_ij

i

m

j

n

mx n

;

1

,

2

,

3

,...

;

1

,

2

,

3

,...













A mn m m m m n n a a a a a a a a a a a a m atriks baris vektor -vektor 3 2 1 2 23 22 21 2 1 13 12 11 1 , , , , A , , , , A , , , , A                                     m atriks kolom vektor vektor 2 1 ) ( 2 22 12 ) 2 ( 1 21 11 ) 1 ( A , , A , A                                         mn n n n m m a a a a a a a a a

Transpose matriks A berordo mxn adalah matriks At berordo nxm yang disusun sbb :

Baris 1 matriks A menjadi kolom 1 matriks At

Baris 2 matriks A menjadi kolom 2 matriks At

...dan seterusnya…..

Baris m matriks A menjadi kolom m matriks At

TRANSPOSE MATRIKS

D E F I N I S I

Misalkan k skalar, A dan B matriks, A

t

& B

t

transpose matriks A dan B, maka :

1. (At)t = A

2. (A + B)t _{= A}t _{+ B}t

3. (k A)t = k At

4. (AB)t = Bt At

Matriks yang semua unsurnya sama dengan 0 disebut matriks nol [O].

nn ii

a

a

a

a















22 11 n 1 i

disebut trace dari matriks itu.

nn

a a

a₁₁, ₂₂,

Jika dalam suatu matriks banyaknya kolom

sama dengan banyaknya baris maka matriks

itu disebut dengan matriks bujursangkar [A_nxn]. Dalam matriks bujursangkar

unsur-unsur disebut unsur-unsur

ALJABAR MATRIKS

1

• Kesamaan Matriks

2

• Penjumlahan Matriks

3

• Perkalian Matriks

Matriks A dan matriks B dikatakan

sama (A=B), jika dan hanya jika

1. Kesamaan Matriks

1. Ordo matriks A = ordo matriks B

2. Semua elemen yang seletak pada matriks A dan matriks B mempunyai nilai sama a_ij = b_ij (untuk semua nilai i dan j)

Penjumlahan matriks terdefinisi jika ordo

masing-masing

matriks

sama

dan

dilakukan dengan cara menjumlahkan

entri yang bersesuaian dalam

matriks-matriks tersebut.

n

j

m

i

b

a

b

a

_{ij ij ij ij}

,

,

2

,

1

dan

,

2

,

1

)

(

B

A

)

(

B

);

(

A





















2. Penjumlahan Matriks

3. Perkalian Matriks

Jika A adalah matriks mxr

dan B adalah

matriks rxn, maka hasilkali AB adalah matriks

mxn yang entri-entrinya ditentukan sbb :

Untuk mencari entri dalam baris i dan kolom j dari AB, pilih baris i matriks A dan kolom j B. Kalikanlah entri-entri yang bersesuaian dari baris dan kolom tersebut bersama-sama dan kemudian tambahkanlah hasil kali yang dihasilkan.

Definisi

perkalian

matriks

mengharuskan

bahwa

banyaknya

kolom dari faktor pertama A harus

sama seperti banyaknya baris dari

faktor kedua B supaya membentuk

hasilkali AB. Jika kondisi ini tidak

dipenuhi, maka hasil tersebut tidak

dapat didefinisikan.

n

k

r

j

m

i

b

a

c

c

b

a

n j jk ij ik ik jk ij

,

,

2

,

1

;

,

,

2

,

1

;

,

2

,

1

)

(

AB

C

)

(

B

);

(

A

1





























 ik

Jika A adalah suatu matriks dan k adalah

suatu bilangan real (skalar), maka hasil

kali (product) kA adalah matriks yang

diperoleh dengan mengalikan

masing-masing entri dari A oleh k.

n

j

m

i

ka

k

k

a

_{ij ij}

,

,

2

,

1

dan

,

2

,

1

)

(

A

skalar

);

(

A















Jika A adalah matriks bujursangkar (matriks yang jumlah baris dan jumlah kolomnya sama), maka



 



 











 

faktor n 1 1 1 1 0 faktor n

A

A

A

)

A

(

A

.

3

I

A

.

2

A

A

A

A

.

1

    













n n n

4. Perpangkatan Matriks

Misalkan A, B, C, dan O adalah matriks-matriks yang berordo sama, maka dalam penjumlahan

matriks :

SIFAT MATRIKS 1

1. Bersifat komutatif A+B=B+A

2. Bersifat asosiatif (A+B)+C=A+(B+C)

3. Tdp matriks identitas (O) A+O=O+A=A

Misalkan k dan l skalar, A, B, dan C matriks-matriks, maka perkalian matriks memenuhi sifat berikut :

SIFAT MATRIKS 2

1. Tdk komutatif (kecuali matriks khusus) 2. Assosiatif (AB)C=A(BC)

3. Distributif A(B+C)=AB+AC & (A+B)C=AC+BC 4. k(AB) = (kA)B = A(kB)

5. (k A)(l B) = (k l)(AB)

6. Jika AB = O, belum tentu A=O atau B=O 7. Jika AB = AC, belum tentu B = C

Misalkan k & l skalar, A dan B matriks-matriks berordo mxn, maka perkalian skalar dengan

matriks memenuhi :

SIFAT MATRIKS 3

1. (k + l)A = k A + l A 2. k(A+B) = k A + k B 3. k(l A) = (k l)A 4. 1A = A 5. (-1)A = -A

Jika k dan l bilangan bulat, A matriks

bujursangkar, maka

 

k l kl l k l k

A

A

.

2

A

A

A

.

1







SIFAT MATRIKS 4

JENIS MATRIKS

1. Matriks segitiga atas : matriks bujursangkar

dengan a_ij = 0 untuk setiap i > j

2. Matriks segitiga bawah : matriks bujursangkar

dengan a_ij = 0 untuk setiap i < j

3. Matriks diagonal : matriks yang sekaligus

matriks segitiga bawah & matriks segitiga atas

4. Matriks skalar : matriks diagonal dengan

JENIS MATRIKS (lanj)

5. Matriks identitas : matriks skalar dgn

elemen diagonalnya sama dengan 1

6.

Matriks

idempoten

:

matriks

bujursangkar A dengan sifat A

2

= A

7.

Matriks

nilpoten

:

matriks

bujursangkar A dengan sifat A

r

= 0

untuk suatu bilangan bulat r≥0

JENIS MATRIKS (lanj)

8. Matriks simetri : matriks bujursangkar

dengan sifat A = At

9. Matriks skew simetri : matriks bujursangkar dengan sifat A = -At

CONTOH 1

Hitunglah hasil tambah dan hasil kali matriks dengan bilangan dibawah ini.

                                      2 1 5 2 1 2 0 4 0 1 2 1 1 . 1 3 2 2 3 0 4 1 2 1 4 3 2 1 5 2 1 2 0 4 0 1 2 1 . b a

                                       1 4 7 4 4 2 4 5 2 0 2 4 1 3 2 2 3 0 4 1 2 1 4 3 2 1 5 2 1 2 0 4 0 1 2 1 . a                                2 1 5 2 1 2 0 4 0 1 2 1 2 1 5 2 1 2 0 4 0 1 2 1 1 . b

CONTOH 2

Bila                          3 4 5 1 2 3 dan 6 5 4 3 2 1 B A

Hitunglah matriks D sehingga A+B –D = 0 Jawab

























































































9

9

1

4

0

2

3

4

5

1

2

3

6

5

4

3

2

1

0

D

B

A

D

D

B

A

Misal                   1 2 2 2 5 1 dan 2 0 1 3 2 1 B A

Tentukan A+B, 3B, -2B, A+2B, 2A+B, A-B, A-2B, B-A , At , Bt

CONTOH 3

Jawab                           1 2 1 1 7 0 1 2 2 2 5 1 2 0 1 3 2 1 B A                     3 6 6 6 15 3 1 2 2 2 5 1 3 3B

                           0 4 3 1 12 2 2 4 4 4 10 2 2 0 1 3 2 1 2B A                       2 4 4 4 10 2 1 2 2 2 5 1 2 2B                           3 2 0 4 9 1 1 2 2 2 5 1 4 0 2 6 4 2 2A B                              3 2 3 5 3 2 1 2 2 2 5 1 2 0 1 3 2 1 B A

            2 3 0 2 1 1 t A               1 2 2 5 2 1 t B                              3 2 3 5 3 2 2 0 1 3 2 1 1 2 2 2 5 1 A B                              4 4 5 7 8 3 2 4 4 4 10 2 2 0 1 3 2 1 2B A

Misal                  3 0 1 1 dan 2 2 1 1 B A

Tentukan At , Bt , (A+B)t dan At+Bt , A+At B+Bt

CONTOH 4

Jawab                  3 1 0 1 dan 2 1 2 1 _t t B A                                    1 0 2 0 ) ( 1 2 0 0 3 0 1 1 2 2 1 1 ) ( t B A B A





















































1

0

2

0

3

1

0

1

2

1

2

1

t t

B

A

4

1

1

2

2

1

2

1

2

2

1

1

















































t

A

A

























































6

1

1

2

3

1

0

1

3

0

1

1

t

B

B

Hitunglah hasilkali matriks-matriks berikut





 

17 1 3 2 6 5 4 a.            

CONTOH 5

                       29 20 3 2 1 6 5 1 4 3 2 c.





                         4 5 6 18 15 12 12 10 8 6 5 4 1 3 2 b.