Bab 12.doc

(1)

206

206 Bab Bab 12 12 • • Regresi Regresi dan dan Korelasi Korelasi Linier Linier SederhanaSederhana

12.1.1

Analisis Regresi dan Analisis Regresi dan KorelasiKorelasi Sebe

Sebelum lum suatu keputussuatu keputusan an diambdiambil il seriseringkangkali li perlperlu u diladilakukan kukan suatsuatu u peraperamalanmalan

(Jor

(Jorecasecasting ting )) mengenai kemungkinan yang terjadi/harapan di masa depan yangmengenai kemungkinan yang terjadi/harapan di masa depan yang

berkaitan

berkaitan dengan dengan keputusan keputusan tersebut. tersebut. Hal Hal tersebut tersebut dapat dapat lebih lebih mudah mudah dilakukandilakukan

bila

bila suatu suatu hubungan hubungan (relasi) dapat (relasi) dapat ditentukan antara ditentukan antara variabel yang variabel yang akan akan diramaldiramal

dengan variabel lain yang telah diketahui ataupun sangat mudah untuk

diantisipasi. Untuk keperluan tersebut, regresi dan krelasi sangat luas digunakan

sebagai

sebagai perangkat analisisnya. perangkat analisisnya.

Analisis

Analisis regrregresiesi digunakan untuk mempelajari dan mengukur hubungan stadigunakan untuk mempelajari dan mengukur hubungan sta

tistik yang terjadi antar

tistik yang terjadi antara dua atau lebih variabel. !alam regresi sederhana dua atau lebih variabel. !alam regresi sederhana a dikajidikaji

dua variabel, sedangkan dalam regresi majemuk dikaji lebih dari dua variabel.

!alam analisis regresi, suatu persamaan regresi hendak ditentukan dan digunakan

untuk menggambarkan pla atau "ung

untuk menggambarkan pla atau "ungsi hubungan yang terdapat antar si hubungan yang terdapat antar variabel.variabel.

#ariabel yang akan diestimasi nilainya disebut

#ariabel yang akan diestimasi nilainya disebut variabel terikat (dependent variabel terikat (dependent

variable atau response variable)

variable atau response variable) an biasanya diplt pada sumbu tegak (sumbu$y).an biasanya diplt pada sumbu tegak (sumbu$y).

Sedang

Sedang kkaann variavariabel bel bebas (indepebebas (independent variable ndent variable atau explanatoatau explanatory ry variable)variable)

adalah

adalah variabel yang diasumsikan memberikan pengaruh variabel yang diasumsikan memberikan pengaruh terhadap variasi variabelterhadap variasi variabel

terikat

terikat dan dan biasanya biasanya diplt diplt pada pada sumbu sumbu datar datar (sumbu$%).(sumbu$%).

Analisis

Analisis korelaskorelasii bertujuan bertujuan untuk untuk mengukur mengukur &seberapa &seberapa kuat&, kuat&, atau atau &derajat&derajat

kedekatan&, suatu relasi yang terjadi antar variabel. 'adi, kalau analisis

kedekatan&, suatu relasi yang terjadi antar variabel. 'adi, kalau analisis regresiregresi

ingi

ingin n mengemengetahutahui i pla relasi dalam pla relasi dalam bentbentuk uk perpersamaasamaan n regrregresi, maka esi, maka analanalisisisis

krelasi ingin mengetahui kekuatan hubungan tersebut dalam ke"isien

krelasinya.

krelasinya. !eng!engan an demidemikian kian biasbiasanya anya aaalaaalisis isis regrregresi esi dan dan krekrelasi lasi seriseringng

dilakukan bersama

dilakukan bersamasamasama..

12.1.2

Relasi Relasi yang yang LogisLogis !al

!alam am menmenententukaukan n apaapakah kah trtrdapadapat t suasuatu tu hubhubungaungan n yanyang g lglgis is antantar ar varvariabiabel,el,

terutama bila penilaian dilakukan terhadap angka$angka statistik saja, perlu di

perhatikan

perhatikan beberapa beberapa hal hal yang yang berkaitan berkaitan dengan dengan masuk masuk akal atau akal atau tidaknya tidaknya hubunganhubungan

tersebut

tersebut jika ditinjau dari si"at dasar jika ditinjau dari si"at dasar hubungan tersebut. !alam hhubungan tersebut. !alam hal ini al ini terdapatterdapat

beberapa

beberapa kemungkinan bentuk kemungkinan bentuk relasi, relasi, ineliputi ineliputi hubungan hubungan sebab sebab akibatakibat ( cause and-( cause

and-e.ffect relationship ),

e.ffect relationship ), hubungan akibat penyebab yang samahubungan akibat penyebab yang sama ( common-cause factor ( common-cause factor

relationship )

relationship ) , ,dan hubungan semudan hubungan semu ( spurious ( spurious relationshirelationship ).p ).

elasi antara kenaikan temperatur dengan keepatan reaksi prses kimia

termasuk suatu

termasuk suaturelasi sebab-akibat.relasi sebab-akibat.!alam nth lain, seserang bisa !alam nth lain, seserang bisa menemukanmenemukan

suat*+ hubungan yan

suat*+ hubungan yangg dekat antara peningkatardekat antara peningkatar. pnjualan rumah dan . pnjualan rumah dan peningkatanpeningkatan

pi+jualan kenda

pi+jualan kendaraan benntraan benntr. amun relar. amun relasi yang berlasi yang berlak.u disini bukan merupakank.u disini bukan merupakan

relasi sebab akibat

relasi sebab akibat,,namun merupakannamun merupakan relasi akibat penyebab yang samarelasi akibat penyebab yang sama ((commoncommon

cause factor

cause factor ) )yang dikaryang dikarenabn tingkat pendapatan masyarakaenabn tingkat pendapatan masyarakat yang jug a t yang jug a meme

ningkat. Sedangkan jika yang dikaitkan adalah variabel$varia

ningkat. Sedangkan jika yang dikaitkan adalah variabel$variabel yang tidak bel yang tidak bisabisa

seara lgis menunjukkan adanya hubungan

seara lgis menunjukkan adanya hubungan maka akan didapatkanmaka akan didapatkan relasi semu.relasi semu.

-isal nya seserang menba

-isal nya seserang menba menari persamaan regresi antara data menari persamaan regresi antara data kenaikankenaikan

penjualan "ur

penjualan "urniture di 'akartniture di 'akarta dengan data perua dengan data perubahan temperabahan temperatur harian tur harian rata$ratarata$rata

maka kemu ngkinan besar per

maka kemu ngkinan besar per ssamaan regresi yang amaan regresi yang diperlehnya tidak mempunyaidiperlehnya tidak mempunyai .. arti apa

(2)

Prinsip-prinsip Statistik untuk Teknik dan Sains 2

12.1.3

Diagra Pen!ar ( Scatter Diagram)

angkah pertama dalam menganalisis relasi antar variabel adalah dengan membuat diagram penar ( scatter diagram) yang menggambarkan titik$tili k plt dari data yang diperleh . !iagram penar ini berguna u ntuk



membantu melihat apakah ada relasi yang bergu na antar variabel.



membant u menent u kan jenis persamaan yang akan digu nakan u nt u k menentukan hubungan tersebut.

ambar +2.+ menunjukkan beberapa nth dari diagram penar .

12.2.1

Persaaan Regresi Linier Sederhana

!alam analisis regresi linier sederhana ini akan ditentukan persamaan yang meng hubungkan dua variabel yang dapat dinyatakan sebagai bentuk persamaan pangkat satu (persamaan linier/per amaan garis lurus),

1ersamaan umum garis regresi untuk regresi linier sederhana adalah

y

= a  bx (+2.+)

di mana

y "nilai estimate variabel terikat

a " titik ptng garis regresi pada sumbu y atau nilai estimate

y

bila

x = O

b



gradien garis regresi (perubahan nilai estimate

y

per satuan perubahan nilai x)

x



nilai variabel bebas

12.2.2

Si#at-si#at $aris Regresi Linier

3erdapat dua si"at yang harus dipenuhi sebuah garis lurus untuk dapat menjadi garis regresi yang k (fit) dengan titik$titik data pada diagram penar , yaitu

I.

'umlah simpangan (deviasi ) psiti" dari titik$titik yang tersebar di atas garis regresi sama dengan (sating menghilangkan) jumlah simpangan negati" dari titik$titik yang tersebar di ba4ah garis regresi (lihat ambar 12%2&% !engan kata lai n ,

5,.+.v " 5,(y $ 6v)





2% 7uadrat dari simpangan$si mpangan menapai ni lai minimu m (least s!uare value nf deviations ) . 'adi 

, 2 , 2

...., (.+y) " "....,( #$ y ) " mi ni mu m

!engan si"at kedua, metde regresi ini sering juga disebut sebagai metod e least s!uare.

(3)

208_- _{2 • Regrsi dan Korelasi Linier Sederhana} $abar 12%1 Beberapa bentuk diagra pen!ar

r

Linier positi# 'ur(elinier positi# Linier negati# 'ur(elinier negati# Taktentu

!engan menggunakan kedua si"at di atas dan menggabu ngkannya dengan prinsip$prinsip kalkulus di"erensial untuk menentukan nilai ekstrim sebuah "ungsi,

maka dapat ditu ru nkan hubu ngan$h ubu ngan u ntuk mendapatkan nilai$nilai knstanta a dan b pada persamaan garis regresi, yang hasilnya sebagai berikut

n(

$,xy ) $ ( $,x ) ( "# )

n(

$,x

%

) $

(2:X

)2

a ::=

y $

bx

di mana

n jumlah titik (pasangan pengamatan (%,y)) x mean dari variabel

x y mean dari variabel y )12%*L& + (+2.8)

9 9

•

• _•

₉

.

/*$,:

•

lJ•

99 ,

0 • •• % -'ur(elinier

.

(4)

Prinsip-prinsip Statistik untuk Teknik dan Sains / $abar 12%2 $aris regresi linier pada diagra pen!ar x



!ari suatu praktikum "isik a dasar diperleh data yang rnenghubungka n variabel bebas xdan variabel terikat y seperti ditunjukkan dalarn tabel be rikut.

$

' i k a berdasarkan k ajian ter iti s dan si "at dari " enm ena y ang mengh u bungk an x

dan y da pat diasumsi kan terda pa t suatu bentuk h ubu n gan yang lini er , mak a persama an gari s r gr esinya d apat d i tentuk a n se ba gai ber ik u t.

Uj i k e$ x y . 6 80 2 9 49 8 -4 ₈₈ 42 5 7 $

:

•39

$

_$

$ 6 ; 25 7 8 ₄₁ 8 ₁₀ 52

s

56 296

%

a•

•2

)-& t.y ($)

%

t.y )3& t.y ($) t.y )0&

&r

)3&

( f

y

(5)

210 Bab 12 • Regresi dan Korelasi Linier Sederhana

3abel perhi tu ngan 

Uji ke$.

x

y

xy

x%

y2

. 6 80 +<0 86 =00 2 = >= >>+ <+ 2>0+ 8 8 +< ;> = 82> > < >2 886 6> +?6> ; ? 8= 2?8 >= +;2+ 6 ; 2; +2; 2; 62; ? < >+ 82< 6> +6<+ < +0 ;2 ;20 +00 2?0>

s

;6 2=6 22;? >2< +2=20 'ataran .

7lm

y2

ditambahkan pada label meski pun bel m digunakan untuk perhitungan persamaan garis regresi. ilai tersebut akan digunakan kemudian. 'adi dengan meng

gunakan hasil pada tabel, nilai dari knstantaadanbdapat ditentukan

b



n(

$,xy

)

-

_@5,%)(5,y)

_"_{<(22;?) $ (;6)(2=6)}

_

_+><0



_n(5,%

2 ; +8<= & -

($,x

)2

<(>2<) $ (;6) 2 2<< A a _"

y

$

bx

_"_8?$ (;,+8<=)(?)"+,02??

'adi persamaan garis regresi tinier yang menggambarkan hubungan antara variabel x dan y dari data sampel pada perba2n/praktikum di alas adalah

y



a  bx " +,02??3;,+8<=%

!engan menggunakan persamaan garis regresi yang diperleh (arnbar +2 .8), maka dapat diperkirakan hasil yang akan diperleh (nilaiy& untuk suatu nilai xtertentu . -isalnya u ntuk x



> dapat diperkirakan bah4a

v

akan bernilai

y

= a  bx = +,02?? 3;,+8<=.% " +,02??3;,+ 8<=(>)



2+,;<8 am bar12.3 60

---$aris regr!si untu k nth soal 12%1 40 /0 50 20 10 0 0 2 / 6 6 10 12 x

y

"

" #



2=6



8? n 8

$,x

;6 <

6 x =

-n

=

-

=



y

2

4%15678 3 1%0296

(6)

Prinsip-prinsip Statistik untuk Teknik dan Sains

2++

3erdapat beberapa hal yang perl u diperhatikan dalam menggu nakan per sama an garis regresi untuk menghitu ng perkiraan suatu hasil. 1ertama adalah belum diketahui seberapa akurat hasil perkiraan tersebut. 7edua kita tidak bisa mlakuk an perkiraan untuk nilai$nilai di luar kisaran yang digunakan u ntuk membuat per

samaan regresi tersebut, karena kita tidak bisa memastikan bagaimana si"at hubung an antara variabel bebas dan variabel terikat u ntuk nilai$nilai yang 'ebih besar ataupun 'ebih keil dari yang diamati .

12.2.3

Standard :rror :stiasi

!alam menggunakan persamaan regresi u ntuk melakukan suatu perkiraan, terdapat satu pertanyaan penting mengenai seberapa kuat hubu ngan antar variabel bebas dan terikatnya* atau, dngan kata 'ain, seberapa besar dera*at ketergantungan (dependability) hasil perkiraan tersebut. Hal ini dapat lebih dimengerti dengan memperhatikan ambar +2.>, yang menunjukkan dua diagram penar yang me miliki persamaan garis regresi yang sama. 1ada ambar +2.> (a), terlihat bah4a titik$titik data terpenar 'ebih rapat di sekitar garis regresi dibandingkan dengan titik$titik data pada ambar +2.> (b). !engan nalar seara a4am saja, kita dapat mengatakan bah4a suatu estimasi yang dilakukan dengan persamaan garis regresi u ntuk keadaan pada ambar +2.> (a) an lebih baik dibandingkan untuk keadaan pada arr.bar +2.> (b).

$abar 12%/ _y _y

Dera;at (ariasi dari sebaran )pen!aran& data

1 .

9 x x

(a)

)b&

U ku ran yang mengi ndikasi kan derajat variasi sebara n data d i sekitar garis regr esi dapat men u nju kkan sebera pa besar derajat keterikatan perkiraa n yang diperleh dengan menggu nakan persamaa n regresi tersebut. U ku rani ni dinarnakan sebagai standa rd error estimasi. !alam de"inisi yang lebih tepat standard errr : esti rnasi (.B. ) adalah deviasi standard yang mem berikan u k u ra n pen yeba ran. :A nilai$ni lai yang tera mati di sekitar garis regresi , d i ru m uka n sebagai beri k u t

5\' . X" ",( # $

+i

++

$

2

.<)= & -

a( $,y ) $ b(

$,xy )



_$

2 (+ 2.>)

(7)

212 _{Bab 12 • Regresi dan Korelasi Linier Sederhana}

%%

ContQh 12.2

+

··

1'



!engan menggunakan data dan tabel perhitungan pada Cnth +2.+, maka standard errr estimasi dari garis regresi yang diperleh adalah

s

"

l

(,# $

y)2"

2<)=& -

a( $,y )

$

b( $,xy )

: n$ 2 n$ 2

(++,=20)$+,02??(2=6)$;,+8<=(2,2;?) " l6=<

<$ 2 A

12.3.1 Relasi pada Sampel vs Relasi pada Populasi

Suatu pertanyaan akan timbul jika kemudian ingin diketahui apakah relasi antar variabel yang diperleh dari sampel berlaku juga untuk ppulasinya. Sebagai ilustrasi, perhatikan diagram penar ppulasi pada ambar +2.;.

ambar l 2.;(a) menunjukkan diagram penar untuk seluruh ppulasi yang menggambarkan hubungan antara variabel bebas X dan variabel terikat Y

(simbl huru" besar digunakan untuk ppulasi) . 7emudian, andaikan pada pengambilan sampel kebetulan terpilih titik$titik data seprti yang ditunjukkan

leh ambar

+2.; (b) dan selanjutnya dihitung persamaan garis regresinya. 3erlihat jelas bah4a interpretasi dari persamaan garis regresi yang diperleh dari data sampel dapat memberikan pemahaman yang menyesatkan (misleading ) jika akan diterapkan pada ppulasinya. Untuk itulah perlu dilakukan uji$uji relasi dan interval prediksi

dalam suatu analisis regresi .

1ada prinsipnya untuk uji$uji relasi bisa digunakan uji$uji hiptesis yang telah dipelajari pada bab$bab sebelurnnya dengan tambahan bah4a uji$uji tersebut dikaitkan dengan hasil dari analisis regresi. Deberapa teknik uji relasi akan dijelaskan pada bagian berikut ini.

12.3.2 Uji-t untuk Kemiringan

(Slope)

Garis Regresi

!alam melakukan in"erensi statistik dengan menggu nakan analisis regresi sederhana terdapat beberapa asumsi dasar yang harus terpenuhi, yaitu

amba r +2.; y Diagra pen!ar oopulasi> )a& y

c-o P c-o <9' )b&

(8)

+

-

--

-

----Pr insip-prinsip StatistikuntukTeknik dan Sains

2+8

5 . 1pulasi memiliki variabel  dan # yang berhu bu ngan seara l i nier dan persamaan garisnya memiliki nilai perptngan dengan sumbu Y (E) dan kemiringan (!) yang tetap. ilai$nilai a dan b yang diperleh dar i bservasi sampel adalah nilai$nilai perkiraan u ntuk A dan /. 'adi,

2.

Untuk setiap nilai  terdapat distribusi nilai # pada diagram penar ppulasi yang mana nilai tersebut terdistribusi seara nrmal di sekitar garis regresi (lihat ambar +2.6).

3.

-asing$masing distribusi nilai #memiliki deviasi standard yang sama (sering disebut sebagai kndisi homoscedasticity ).

4.

-asing$masing nilai Y pada distribusi ini saling bebas satu sama 'ainnya . !engan berdasarkan asumsi$asumsi dasar tersebut maka dapat dilakukan sebuah uji hiptesis mengenai kemiringan (slpe) garis regresi menggunakan uji t yang mengikuti ? langkah uji hiptesis yang biasa diterapkan sebagai berikut

l% 0emyataan 1ipotesis 2ol dan 1ipotesis Altematif

!alam persalan ini ingin diketahui apakah terdapat hubungan antara variabel X dan Y yang diindikasikan melalui kemiringan garis regresi. 'ika tidak

terdapat hubungan, maka nilai D (kemiringanlslope dari garis regresi untuk ppulasi) adalah nl. 'adi, hiptesis nl dan hiptesis alternati" yang akan

diuji adalah

1_{3 } /



0 1₁ : /":tF

2.

0emilihan ingkat 4epentingan ("evel of +ignificance ) Diasanya digunakan tingkat kepentingan 0,0+ atau 0,0;

3.

0enentuan 5istribusi 0engu*ian yang 5igunakan

!alam uji ini yang digunakan adalah distribusi t. ilai$nilai dari distribusi ditentukan dengan mengetahui 

a.

3ingkat kepentingan ( level of significance ) a% (uji dua$ujung).

b.

!erajat kebebasan/degree " "reedm, d"

"

n $ 2 di mana n

"

jumlah data pasangan.

$abar 12%? Distribusi noral di sekitar garis regresi

L-

---

---. x

(9)

2+;

?. 1engambilan keputusan 

7arena#$% = +<, +;= bernilai jauh lebih besar daripada nilai batast6 " 2,>>?, maka & ₃ ! " 0 ditlak. 5ni berarti bah4a hiptesis alternati" yang menyatak

an bah4a terdapat kemiringan pada garis regresi untuk ppulasi serta suatu hubung

an regresi yang berarti benar$benar ada antara variabel  dan #.

7esimpulan di atas dapat juga diperkuat dengan menentukan perkiraan interval nilai / dengan tingkat keperayaan =; persen sebagai

b- t('b)@ !@ b- t('b)

;,+8<=$ 2,>>?(0,2<8) @ / @ ;,+8<=

3

2,>>?(0,2<8) >,>>6> @ / @;,<8+>

12.3.3 Uji !"# untuk Kemiringan (Slope) Garis Regresi

3eknik lain untuk menguji keberadaan slpe suatu garis regresi ppulasi adalah dengan analisis varians (EF#E). Uji EF#E ini akan rnernberi hasil yang sama dengan uji t dalam menentukan apakah ada relasi antara variabel bebas dan terikat dalarn suatu analisis regresi linier sederhana. amun uji EF#E rne miliki kelebihan dibanding uji t karena uji EF#E dapat digunakan pula dalarn analisis regresi majernuk ( multiple regression).

Untuk analisis regresi linier sederhana, uji EF#E untuk rnengetahui apakah ada hubungan antara X dan Y(terdapat kemiringan/slpe yang signi"ikan pada garis regresinya) mengikuti prsedur sebagai berikut.

1.

0ernyataan 1ipotesis 2ol dan 1ipotesis Alternatif

1₃/3idak terdapat relasi antara  dan #

1

+ /3erdapat relasi antara G dan #

2.

0emilihan 7ingkat 4epentingan. ( "evel of +ignificance) Diasanya digunakan tingkat kepentingan 0,0+ atau 0,0;.

3.

0enentuan 5istribusi 0engu*ian yang 5igunakan

!alam uji EF#E ini yang digunakan adalah distribusi . ilai$nila i dari dari distribusi  telah disajikan dalam bentuk tabel, yang dapat ditentukan dengan mengetahui tiga hal sebagai berikut

a.

3ingkat kepentingan

b.

!erajat kebebasan8degree of freedom (d"num) yang digu nakan sebagai pembilang dalam rasi uji adalah dfnum" m

di mana m



jurnlah variabel bebas (untuk regresi tinier sederhana, m



l )

c.

!erajat kebebasar'degree of freedom(dfcte.) unt uk sampel yang rli gunakan sebagai enyebut ,l+lam rasi adalahdfcten"(n$ m$ l)

di mana n



jumlah bservasi (data pasangan) 6

4.

0endefinisian 5aerah-daerah 0enolakan atau 4ritis

!aerah penerimaan dan penlakan dibatasi leh nilai kritis 9er .

5.

% 0ernyataan Aturan 4eputusan ( 5ecision :ule)

3lak 1₃ dan terima 1_ jika :; < 9er 'ika tidak dernikian , terima 1₃.

6.

0erhitungan :asio ;*i(#$):

(10)

2+6

Bab 12 • Regresi dan Korelasi Linier Sederhana

A 2 A (J A A a2

ntara

( J da>am

) 12 %9&

1erhitu ngan untuk bagian pembilang dan penyebut dari ru m u s rasi uji dilakukan seperti pada uji EF#E yang telah diuraikan dala m bab 5 5 , dengan penyesuaian pada nihi$nilai derajat kebebasannya .

7.

0engambilan 4epucusan +ecara +tatistik 

'ika nilai rasi uji berada d i daerah penerimaan maka hiptesis nl diterima, sedangkan jika berada di daerah penlakan maka hiptesis nt ditlak .



!engan menggunakan data dan tabel perhitungan pada Cnth +2.+ maka uji kemiringan (slpe) garis regresi dapat diBakukan sebagai berikut 

1.

Hiptesi;

1₃  3idak terdapat relasi antara  dan #

* 3erdapat relasi antara X dan Y

2 . a =0,0;

3.

!igunakan distribusi 9 dengan dfnum



m



5 , dfden



n$ m$ 5



6

4.

!ari tabeB diperleh daerah penerimaan /penlakan dib atasi leh nilai kriti s 9 er



;,==

5.

Eturan keputusan 

3Bak 1₃ dan terima H₊ jika :; 9 <;,==. 'ika tidak demikian, terima 1₃.

6.

Uji rasi diringkas dan disajikan da lam tabeB EF#E berikut

Sure " #ariatin !egree "

reedm (d") Sum " SIuares (SS) -ean SIuares (-S) :; 9 ( 9,,,,) egressin + =;0,6= =;0,6= 82=,6+ Jrrr 6 +?,8+ 2,<< 3tal ? =6<,00

7.

1engam bilan k e pu tusan 

7ar ena : ;9



82=,6+  a =2,>>?, maka 1₃ ditl ak dan H₊ diteri rna .

12.3.4

:stiasi .nter(al

ilai estima si dari sebuah variabel ter ikat, yang diperleh dengan menggu nakan suatu persamaan regresi untuk suatu nilai variabel bebas tertentu meru pakansuatu nilai esti masi titik (point estimat e ) . 1ada kenyataannya , ni l a i esti m asi i ni tidakl ah mutlak tepat , meng ingat data terpenar di sekitar garis r egresi. !engan meng etahu i besamya standard errr estimasi 'y . x maka estimasi titikdapat di perluasmenjadi estimasi interval.

(11)

+

Prinsip-prinsip Statistik untuk Teknik ! 1n S<in! 2+?

12.3.4.1

Untuk Sampel Desar(



80)

!engan menganggap nilai variabel ter ikat, y, yang sesungguhny a ter distribusi nrmal di sekitar garis regresi maka suatu estimasi interval dapat diperleh sebag ai

(+2.<) !alam relasi (+2.<),

?

adalah skr

?

yang akan menentukan tingkat k e perayaan dari penerimaan estimasi interval yang dilakukan. ambar +2.? meng

ilustrasikan estimasi interval untuk

?



2. ambar +2.? lnterpretasi danap*ikasi estiasi inter(al untuk sapel besar

!ari ambar +2.?, estimasi interval dengan * " 2 u ntuk x₁ adalah

y₁

C

2(s y. x ), yang memiliki prbabilitas :prediksi =;,> persen .

12.3.4.2

Untuk Sampel 7eil(@80)

a.

0r ediksi 4isaran 2ilai :ata-rata y Jika 5ik etahui x

Jstimasi interval untuk sampel keil dengan situasi ini dapat diperleh dengan ru mus beriku t

+

=

C

ta,%

'

+ ·

%

"

(

/

,

$

l

"

x

)

@

n (+2 .=) di mana 

y estimasi titik yang dihitung dengan persamaan regr esi u ntuk nil ai x tertentu

2<)8 &

(12)

2+<

Bab 12 • Regresi dan Korelasi Linier Sederhana

ta% " nilai t untuk a,2)"tingkat keperayaan) dengan derajal kebebasan n - 2

x " nilai xyang ditentukan A

n jumlah bservasi pasangan pada sampel

b.

0rediksi 4isaran 2ilai +pesifik y Jika 5iketahui x

Jstimasi interval untuk sampel keil dengan situasi ini dapat diperleh dengan rumus berikut

Y E K- -a.2

LSy % x ) 12%.&

 !engan menggunakan data dan tabel perhitungan pada Cnth +2.+ dan persamaan garis regresi yang dihasilkan serta nilai y.< pada Cnth 5 2.2, dapat diprediksi bah4a , dengan tingkat keperayaan =; persen dan derajat kebebasan



n$ 2"< $

2"6, untuk x" >, #

A

C ta>%

l+ y, x

. $** ( x / - x

(

)

/

1

_/,G)2

+

$,( x2)$

_$

$ n "2+,;<8C2,>>? L+,6=<

%EA

3 )

$ )B

l

> ? < >2<$ (;6) /<

'adi dengan derajat keperayaan =; persen diperleh +=,08< @

y

@ 2>,+2<.

Seperti telah diuraikan sebelu mnya, u ntu mengetahui seberapa dekat hubu uga n antara variabel dipdukan su$atu uku ran yang menyatakan &kekuatari A relasi tersebut. !alam statistik, uku ran ter sebut dperleh melal ui suatu analis+s krela si. 1ada bagian ini akan dibahas dua buah ukuran krelasi tersebut yaitu koefisien determinasi dan koefisien korelasi .

+2.>.+

Fariasi Total

Untuk 'ebih memahami pengertian ke"isien determinasi (r2),kita terlebih dahulu akan membahas beberapa istilah dan knsep seperti yang diilustrasikan pada ambar 12%6% 3 . ( x

_$

x )2 l

3

-

3 $

$



$$$

$$$

n

5,(%2

)

$

(5,%M2

n

(13)

Prinsip-prinsip Statistik unt+•>@Teknik dan Sains

217

abar 12%6 onsep de(iasi taE

5eviasi total merupakan penyimpangan nilai sesungguhnya suatu variabel terikat terhadap nilai rata$ratanya . !eviasi ttal dapat diuraikan atas dua deviasi yaitu deviasi ter*elaskan ( explained deviati!n) dan deviasi tak ter*elaskan ( un explained deviation) . !eviasi terjelaskan merupakan penyimpangan nilai variabel terikat menurut prediksi prsamaan regresi terhadap nilai rnta$ratanya , sedangkan deviasi tak terjelaskan merupakan penyimpangan nilai variabel sesungguhnya terhadap nilai variabel menurut prediksi persamaan regresi.

!engan menggunakan knsep di atas, dapat dide"inisikan suatu variasi iotaB (total variation ) yang merupakan jumlah dari variasi terjelaskan ( explained variation) dan variasi tak terjelaskan ( unexplained variation) sebagai berikut

5,(.vN

6 y)2

"

$,

( y 6

y)2

3 $,

(

yC

di mana

6

6 y)2

(+2.ll)

=( yC $

y)2



deviasi ttal

( y

-

y$)2



deviasi terjelaskan

( yC

$

y )%



deviasi tak terjelaskan

7nsep$knsep di atas akan digunakan dalam mende"inisikan ke"isien determinasi dan ke"isien krelasi.

12%/%2

Koe#isien Deterinasi

4oefisien determinasi (r2) dide"inisikan sebagai perbandingan dari variasi ter ieiaskan dengan variasi ttal.

5,(;A $

y)2

",

(#

$

6 y)2

(+2 .+2)

!engan menggunakan knstanta$knstanta dari persamaan regresi , ru mu s ( +2.+2) dapat dinyatakan sebagai

a(5,y)

3 b( $,xy D $

n(y)%

,(O)2$ n(y)2 (+2.+8)

e

•

9

$ $$$$$ $ $ $$ $ $$$ *i

De(iasi ter;elaskan dari y6

1

De(iasi total dari y0

9

9 l

_.v

₌

_a

_

_bx

l

Sebuah nilai tunggal

(14)

220 _{Bab 12 • Regresi dan Korelasi Linier SP>EAerhana}

---

--- ilai ke"isien detenninasi berkisar antara F (tidak ada relasi) dan 5 (relasi sempuma).

12.4.3 Koe$isien Korelasi

7e"isien krelasi (r) mempunyai nilai yang meru pakan akar dari ke"isien determinasi dan mempunyai tanda dengan ketentuan sebagai berikut

r =

EF

)12%1/&

3anda r mengikuti tanda knstanta b persamaan regresi ( r psiti" jika b psiti" dan r negati" bnegati") .!engan demikian r berkisar antara$5 sampai K5.

,

0 l

h#

t

%

G ,r

1 _%t 3

"

·

%

.

----

-

--

---

-

-

!engan menggunakan data dan tabel perhitungan pada Cnth +2.+ dan persamaan garis regresi yang dihasilkan, dapat diperleh ke"isien deterrninasi dan ke"isien krelasi sebagai berikut. !ari persamaan regresi, a"+,02?? danb";, +8<=. 'umlah pasangan pengamatan n "<. -aka

a(B y )

3 b( $,xy )

$

n

(.yf

r



2<)y

)2 $

)( y

)2

+,02??(2=6) K ;,+8<=(22;?) $ <(8?)2

-

---->---+-->-++=20

---- --

$<(8?)2 -" 0,=<2 r " K0,=<2



K0,==i

12.4.4 lnterpretasi Relasi

!ari Cnth +2.6, apakah yang bisa diartikan dari nilai ke"isien determinasi sebesar

r%

" 0,=<2P !engan mengingat kembali bah4a ke"isien deterrninasi merupakan rasi variasi terjelaskan dengan variasi ttal, kita dapat mengartikar bah4a sekitar =<,2 persen variasi dari nilai varibel terikat dapat dijelaskan , artiny memang benar bah4a variasi tersebut dapat dijelaskan leh variasi nilai variabe bebasnya (tentu saja masih terdapat sekitar +,< persen variasi yang tidak terjelaskar

dengan sebab$sebab yang belum diketahui) . 7arena nilai

r%

tidak dapat melebi h 5, maka n ilai 0,=<2 merupakan nilai yang uku p ti nggi.

-eski pu n anal isis krela si meru pakan metde penti ng da l am menar e.ksitensi hubu ngan antara variabel bebas dan terikat, terdapat dua hal ya ng seri nr disalahartikan dari sebuah analisis krelasi , sehi ngga harus dihindari

5 . 7relasi sering digunakan u ntuk membu ktikan adanya hubu ngan sebab aldbat. Hal ini merupakan suatu kesalahan interpretasi , sebab ke"isien deter minasi tidak memberikan in"rmasi apapu n mengenai jenis r elasi yang terjad antar dua variabel. 7e"isien determi nasi han ya menu nju kka n eksistem dan &kekuatan& hubungan antara variabel bebas dan terikat tan pa rnenil2 si"at relasi tersebu t.

(15)

+

22+

-

-'-2.

7e"isien krelasi sering diinterpretasikan sebagai nilai persentase . 5ni dapat menimbulkan kesalahan yang sangat serius. -isalnya untuk ke"isien krelasi 0,? tidak berarti ?0 persen variasi variabel t.erikat dapat terjelaskan, karena yang sebenarnya terjelaskan adalah sebesar (0,?)2 atau >= persen.

12.4.5 Rangkuan $ra#ik

Deberapa relasi linier sederhana dapat dirangkum seara gra"ts dengan men g gunakan diagram penar seperti yang ditunjukkan ambar +2.= 

(a)

krelasi psiti" sempurna

(b)

krelasi negati" sempurna

(c)

dan (d) krelasi psiti" dengan kekuatan relasi () lebih besar daripada (d)

(d)

tidak ada krelasi

ambar +2.= sr . x



0 sy. x



0 gra#ik beberapa .t2



+

.r2



+ )b& )!& )d& )e& Rangkuan relasi linier

r



+

r



+ saderhana b _B ₀ b @ 0 )a&

sy.% @ gabar )d&

.

t2 " 0,6>

r

" 0<6

b > O

y.%  gabar )!&

.

t2

2

o

_>%

5?

2

0<?  0 y.@

.

t2 _" ₀ A



0

2

0

•

(16)

222 Bab 12 • Regresi dan K0relasi Linier Sederhana

1.

Epakah terdapat hubungan yang berarti antara kapasitas angkut sebuah mbil -1# dengan knsumsi bahan bakarnyaP 1engukuran terhadap +2 jenis mbi l -1# dilakukan untuk mengetahui hubungan tersebut dan hasilnya ditunjukkan dalam data berikut, di mana xadalah kapasitas dalam meter kubik dan y adalah knsumsi bahan bakar dalarn(km jarak tempuh per liter).

-bil 7apasitas Engkut 7nsumsi Dahan Dakar . 0,8> =,8 2 0,8> =,6 8 0,8? =,0 > 0,>0 <,? ; 0,>0 ?,< 6 0,>0 <,0 ? 0,>8 ?,8 < 0,;> 6,= = 0,>0 <,0 +0 0,8> +0,0 5 5 0,;? _6,0 1 +2 0,;? 6,8

(a)

ambarkan diagram penamya .

(b)

Hitung persamaan regesi dan gambarkan pada diagram penarnya.

(c)

unakan persarnaan regresi untuk memprediksi knsumsi bahan bakar untuk mbil dengan kapasitas +2 meter kubik . .

(d)

Hitung errr standard estimasi.

(e)

akukan uji kemiringan t.Epakah memang terdapat hubungan yang sebenamya antara kapasitas a.ngkut dengan knsumsi bahan bakar untuk tingkat kepentingan 0,0;P

(f)

3entukan rata$rata pemakaian bahan bakar untuk mbil dengan kapasitas angkut +2 meter kubik dalarn selang/interval keperayaan =; persen.

(g)

3entukan pemakaian bahan bakar untuk mbil tipe !G 5 00 yang mempu nyai kapasitas angkut meter kubik .

(h)

Hitung ke"isien determinasi .

2.

-etde regresi.linier digunakan untuk menganal isi s data dari suatu penel itian yang mengkaji hubungan antar. temperatur pe+ nukaan jalan0 0 (x)dengan de"leksi perkerasan jalan (pmement). !ata yang diperleh adnlah sebagai berikut

3emperatur (%) !e"leksi (y) 3emperatur (%) !e"leksi )y&

?0,0 0,62+ ?2,? 0,68?

$

??.0 0,6;? 6?,< 0,62? ?2,+ 0,6>0 ?6,6 0,6;2 ?2,< 0,628 ?8,> 0,680 ?<,8 0,66+ ?0,; 0,62?

(17)

Prinsip-prinsip Statistik untuk Teknik dan Sains 223

3emperatur (%) !e"leksi (y) 3emperatur(x) !e"leksi (y)

?>,; 0,6>+ ?2,+ 0,68+

?>,0 0,68? ?+,2 0,6>+

?2,> 0,680 ?8,0 0,68+

?;,2 0,6>> ?2,? 0,68>

?6,0 0,68= 91</ 0,68<

(a)

ambarkan diagram penamya.

(b)

Gitung persamaan regresi dan gambarkau pada diagram penamya.

(c)

(d)

akukan uji kemiringant.Epakah memang terdapat hubungan yang sebenamya antara temperatur dengan de"leksi untuk tingkat kepentingan 0,0;P

(e)

Hitung ke"isien determinasi.

3.

Sebuah makalah di Journal of +ound and Fibration(#l. +;+, +==+, hal. 8<8$8=>) menggambarkan hubungan antara besamya kebisingan yang diterima dengan tekanan darah manusia. !ata berikut ini dilaprkan dalam makalah tersebut.

x

.

60

.

68

_.

6; ?0

.

?0

_.

_?0 _<0

_.

₌₀

_.

<0

.

i--1

y l 0 + 2 ; > 6 2 y ; x

.

<; > 6 < > ;

.

<= 90 ₇₀ ₌₀ 90 ?

.

=> 9 _? ₆

.

100 +00 +00 di mana

yadalah kenaikan tekanan darah dalam mm Hg, dan x adalah tingkat kekerasan suara dalam desibel (dD).

(a)

ambarkan diagram penamya.

(b)

Hitung persamaan regresi dan gambarkan pada diagram penarnya.

(c)

unakan persamaan regresi untuk memprediksi kenaikan tekanan darah untuk tingkat kekerasan suaran <; dD.

(d)

(e)

akukan uji kemiringan t. Epakah memang terdapat hubungan yang sebenamya antara peningkatan tekanan darah dengan tingkat kekerasan suara untuk tingkat kepentingan 0,0;P