Pada gambar 2 merupakan luasan bidang dua dimensi telah mengalami regangan. Salah satu titik yang menjadi titik acuan adalah titik P.

Penurunan Kecepatan Gelombang dan Gelombang S

Gelombang  seismik  merupakan  getaran  yang  merambat  pada  medium  batuan  dan  menembus  lapisan  bumi.  Penjalaran  menyebabkan  deformasi  batuan.Stress  atau  tekanan  didefinisikan  gaya  persatuan  luas.  Jika  arah  gayanya  tegak  lurus  terhadap  luasan maka disebut normal stress.   

  Gambar 1.Gaya stress yang bekerja pada bidang 

Jika  ditinjau  sebuah  elemen  kecil  volume  di  mana  tegangannya  berada  pada  dua  permukaan  yang  tegak  lurus  terhadap  sumbu  x,  maka  komponen-komponen 

tegangannya ditunjukan oleh gambar nomor 1. Tegangan normal ditunjukan oleh P_xx

,Pyy dan  Pzz  .  Jika  arahnya  tangensial  terhadap  luasan  maka  disebut  gaya  shear.  Komponen  stress  pada  kubus  tiga  dimensi  seperti  pada  gambar  1  dapat  dituliskan  dalam bentuk matrik sebagai berikut :   

 

xx xy xz ij xy yy yz xz yz zz P P P P P P P P P P                          1a         

Karena  elemen  volume  dalam  kondisi  seimbang  maka  jumlah  momen  putarnya  adalah nol maka 

  P_xy P_xz P_yz 0    

Pada  gambar  2  merupakan  luasan  bidang  dua  dimensi  telah  mengalami  regangan.  Salah  satu  titik  yang  menjadi  titik  acuan  adalah  titik  P.  Komponen  pada 

titik P mengalami pergeseran dari P menjadi P' dan besarnya pergesaran adalah u dan 

v. Bila setiap titik mengalami perpindahan dengan nilai pergeseran yang sama, maka 

pergeseran tersebut dinamakan dengan dilatasi. Namun, jika pergeseran nilai u dan v  berbeda untuk masing-masing titik, maka persegi tersebut akan mengalami perubahan  bentuk dan ukuran dinamakan dengan deformasi. 

Regangan  didefinisikan  sebagai  gaya  yang  bekerja  pada  suatu  benda  untuk  meregangkan  benda  tersebut.  Perubahan  fraksional  suatu  benda  elastik  baik  bentuk  maupun  dimensinya  dinamakan  dengan  regangan.  Analisis  kuantitatif  dua  dimensi  regangan  dapat  diilustrasikan  seperti  pada  gambar  2.  Pada  gambar  dibawah  terlihat  perubahan  posisi  koordinat  PQRS  menjadi  P',  Q’,  R’,  S’.  Pada  saat  titik  P  berubah  menjadi P’ akan mempunyai komponen u dan v, misalkan u = u (x,y) danv = v (x,y),  maka            Gambar 2. Strain pada dua dimensi           ( , ); ( , ); S (x, y dy); R (x , ); '( , ); '( , ) S '( u , ) '   ( , )   P x y Q x dx y dx y dy u v P x u y v Q x dx u dx y v dx x x u v x dy y dy v dy y y u v u v R x dx u dx dy y dy v dx dy x y x y                                             

Strain adalah  perubahan  bentuk  pada  material  atau  ukuran.  Normal  strain  pada  volume adalah :  xx u e x           2a  yy v e y           2b  zz w e z                        _2c  Pada saat terjadi pergeseran deformasi maka nilai strainya adalah:  xz zx w u e e x z              3a  xy xy v u e e x y              3b  zy xy w v e e y z              3c  Dalam bentuk matrik komponen strain dapat ditulis sebagai berikut : 

 

xx xy xz ij xy yy yz xz yz zz e e e e e e e e e e           _{                 4}   Komponen regangan pada benda yang mengalami perpindahan secara rotasi :  xz z y w u x z  _  _             5a  xy yx v u x y  _  _             5b  yz zy w v y z  _  _             5c       

Hukum Hooke

Dalam hal ini,  Hooke merumuskan hubungan antara tegangan dan regangan. Hooke  mengemukakan  bahwa  jika  tegangan  bekerja  pada  sebuah  benda  dan  menimbulkan  regangan  cukup  kecil,  maka  terdapat  hubungan  secara  linier  antara  tegangan  dan  regangan. Tanpa memperhitungkan komponen arah atas kedua variabel tersebut, pada  medium  yang  bersifat  homogen  isotropik.  Dalam  seismologi,  medium  elastik  yang  bersifat homogen isotropik didefinisikan sebagai sifat medium di mana tidak terdapat  variasi  densitas  di  dalam  medium  sehingga  gelombang  menjalar  dengan  kecepatan  yang sama dalam medium. Hooke mendefinisikan:    xx xx P Ee        6a  xx yy P Ee            6b  xx zz P Ee        6c 

Dimana  E  merupakan  konstanta  modulus  young  dan    merupakan  poisson  rasio. 

Dari  persamaan  6a  dapat  diketahui  bahwa  modulus  young  merupakan  rasio  antara  tegangan normal dan regangan normal. Poison rasio adalah sebuah konstanta elastik  yang  merepresentasikan  sifat  fisis  batuan.  Sama  seperti  persamaan  6a,b,c  maka  hubungan antara stress dan strain pada sumbu y dan z sebagai berikut :  yy yy P Ee       7a  yy xx P Ee          7b  yy zz P Ee          7c  Dan   zz zz P Ee       8a  z z xx P Ee          8b  zz yy P Ee          8c 

Dengan  mengkombinasikan  persamaan  6,7  dan  8  maka  hubungan  antara  stress  dan 

3 xx yy zz xx P P P  Ee        9a  3 xx yy zz yy P P P Ee             9b  3 xx yy zz zz P P P Ee             9c  Persamaan 9 dapat ditulis kembali menjadi : 



1



P_xx(P_xxP_yyP_zz)Ee_xx       10a 



1



P_yy (P_xxP_yy P_zz)Ee_yy             10b 



1



Pzz (PxxPyyPzz)Eezz       10c  Persamaan 10a,b dan c dapat disederhanakan menjadi : 



1 2 



_

P_xxP_yyP_zz

_

E e( _xxe_yye_zz)       11  Benda  yang  telah  terkena  gaya  stress  akan  mengalami  perubahan  yang  sangat  kecil  atau dinamakan dengan deformasi yang besarnya dituliskan pada persamaan berikut :  xx yy zz e e e            12  Dengan mensubtitusikan persamaan 12 ke persamaan 11 maka diperoleh : 





1 2 xx yy zz E P P P             13  Dengan menggunakan hubungan antara persamaan 12 dan 13. Disubtitusikan kembali  ke  persamaan  9  maka  hubungan  antara  komponen  stress  dan  komponen  strain  sebagai berikut :  2 xx xx P    e        14a  2 yy yy P    e            14b  2 zz zz P    e       14c 

Dimana    merupakan  inkompresibilitas  dan     adalah  rigiditas  besarnya  sebagai 

berikut : 



1



(1 2 ) E               15  Dan  

2(1 ) E       

Persamaan  14  merupakan  hubungan  antara  stress  normal  dengan  strain  normal.  Hubungan antara stress geser dan strain geser sebagai berikut :  2 xy xy P  e        16a  2 xz xz P  e            16b  2 yz yz P  e       16c 

Dengan  mengkombinasikan  persamaan  14a,b,c  dan  persamaan  16a,b,c  hubungan  antara stress dan strain untuk bidang padat adalah :  1 0 0 0 1 0 2 0 0 1 xx xy xz xx xy xz xy yy yz xy yy yz xz yz zz xz yz zz P P P e e e P P P e e e P P P e e e           _{ }                _{ }                17  Menurut hukum Newton kedua adanya ketidak seimbangan gaya menimbulkan gerak  yang besarnya sama dengan massa dikali percepatan :  2 2 xy xx xz y z P P P u t x                18 

   merupakan  densitas  sedangkan  u  merupakan  strain  dalam  arah  sumbu  x. 

Persamaan  18  menghubungkan  besaran  strain  yang  dinyatakan  dalam  bentuk  percepatan dimana besarnya dinyatakan dalam  2 2 u t   dan besarnya stress  xx P x   .  Hukum Hooke menjelaskan hubungan antara stress dan strain pada medium homogn  isotropis sebagai berikut :  2 xx xx P    e        19a  2 xy xy P  e               19b  2 xz xz P  e       19c  Dengan mensubtitusikan persamaan 19a,b,c kedalam persamaan 18 dan diassumsikan 

2 2 2 2 xy xx xz y z e e e u t x                 20  Prinsip dari strain dituliskan dalam persamaan (2a,b,c) dan dilatasi seperti persamaan  12 maka komponen perubahan dapat dituliskan sebagai berikut :  u v w x y z                  21 

Kemudian  subtitusikan  persamaan  21  dan  hubungan  antara  komponen  strain  dan  komponen  perubahan  pada  persamaan  (2a,b,c)  dan  (3a,b,c)  kedalam  persamaan  20  maka diperoleh :  2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 u u v w u v u w u t x x y z x y x y z x z    _   _  _   __   _   _   _  _   _{ }   _   22a  Persamaan 28a dapat disederhanakan sebagai berikut :  2 2 2 2 2 ( ) 2 2 2 u u v w u v w t x x y z x y z      _   __   _   _   _{ }   _             22b 

Dengan  mensubtitusikan  persamaan  21  dan  menggunakan  operator  laplace 

2 2 2 2 2 2 2 x y z       _   _       kedalam persamaan 22b maka diperoleh :  2 2 2 ( ) u u t x               23a 

Dengan cara  yang sama  maka dapat  menghitung  komponen perubahan untuk  v  dan 

w    2 2 2 ( ) v v t y                   23b  2 2 2 ( ) t z w w              23c 

Perpindahan  didefinikasn  dengan  vektor  u  (

_

u v w, ,

_

  dan  mengkombinasikan 

2 2 2 ( ) t         u u 24 Persamaan 24 merupakan persamaan untuk gelombang yang merambat pada medium  isotropis 

Untuk  memperoleh  persamaan  gerak  gelombang,  dapat  dilakukan  pen-deferensialan  ketiga  persamaan  (23a,b,c)  terhadap  masing-masing  arah.Persamaan  23a  diturunkan  terhadap x sehingga menjadi :  2 2 2 2 2 2 ( ) 2 2 2 2 u u u u x t x x x y z   _ _      _   _  _ _   _   _         25a  Persamaan 23b diturunkan terhadap y  2 2 2 2 2 2 ( ) 2 2 2 2 u v v v y t y x x y z   _ _      _   _  _ _   _   _              25b  Persamaan 23c ditutunkan terhadap z  2 2 2 2 2 2 ( ) 2 2 2 2 w w w w z t x z x y z   _ _      _   _  _  _   _   _        25c  Penjumlahan dari hasil deferensial pada persamaan (25a,b,c) sebagai berikut :  2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) u v w u u u t x y z x y z x x y z u u u u u u y x y z z x y z                               _   _        _   _{ }   _  _   _              _   _ _   _  _   _  _   _    26 

Subtitusikan  persamaan  21  dan  operator  laplace 

2 2 2 2 2 2 2 x y z       _   _      kedalam  persamaan 26 maka diperoleh : 





2 2 2 2 t                27  Atau   2 2 2 1 t               28 

          Penurunan gelombang S 2 2 2 ( ) u u t x               23a 

Dengan cara  yang sama  maka dapat  menghitung  komponen perubahan untuk  v  dan 

w    2 2 2 ( ) v v t y                   23b  2 2 2 ( ) t z w w          Persamaan 23b diturunkan terhadap z maka :    





2 2 2 2 ( ) v v z t z y z   _ _        _ _                    29a  Persamaan 23c diturunkan terhadap y 





2 2 2 2 ( ) y t y z w y w   _ _         _  _                  29b  Persamaan 29b-29a :  2 2 w v w v t y z y z   _  _  _  _  _  _{ }  _            30  Subtitusikan persamaan 5c kedalam persamaan 30 sehingga :  2 2 2 yz yz t             31  Dengan melakukan hal yang sama persamaan 23a diturunkan terhadap z 





2 2 2 2 ( ) z t z x u z u   _ _        _ _          32a  Persamaan 23c diturunkan terhadap x 





2 2 2 2 ( ) x t x z w x w   _ _        _  _               32b  Persamaan 32b dikurangi persamaan 32 a :  2 2 w u w u t x z x z   _  _  _  _                    33  Subtitusikan persamaan 5a kedalam persamaan 33 :  2 2 2 xz xz t        

Terakhir  persamaan  23a  diturunkan  terhadap  y  dan  persamaan  23b  diturunkan  terhadap x sehingga : 





2 2 2 2 ( ) y t y x u y u   _ _        _ _          34a 





2 2 2 2 ( ) x t x y v x v   _ _        _ _               34b  Persamaan 34b dikurangi dengan persamaan 34a menjadi :  2 2 v u v u t x y x y   _  _  _  _  _  _{ }  _      35  Subtitusikan persamaan 5b kepersamaan 35 :  2 2 2 xy xy t         Vektor rotasi didefinisika sebagai  (_xy,_xz,_yz)perambatan gelombang s adalah   2 2 2 t             36  2 2 1 2 t        