BAB II
TINJAUAN KEPUSTAKAAN
II.1 PENDAHULUAN
Yield line adalah suatu pemecahan yang dapat digunakan dalam plat beton dimana terjadinya tegangan leleh dan rotasi secara plastis muncul. Teori ini dapat digunakan dalam berbagai jenis pola tergantung dari kondisi pembebanan, kondisi perletakan dan dimensinya. Teori Yield line ini dapat menganalisa mekanisme keruntuhan di batas ultimatenya. Teori ini berprinsipkan pada:
Kerja akibat rotasi Yield Line = Kerja akibat pemberian beban
Metode Yield Line telah lama digunakan dalam menganalisa plat. Hal ini telah menjadi perhatian umum sejak tahun 1990 oleh beberapa peneliti seperti Graf dan Bachi. Di awal tahun 1922, Ingerslev seorang peneliti berkebangsaan Rusia mempesentasikam sebuah makalah di Institution of Structural Engineers di London dengan judul collapse mode of rectangular slabs. Beberapa pengarang seperti R H Wood, L Jones , A Sawczuk dan T Jaeger, R Park, K O Kemp, C T Morley, M Kwiecinski dan masih banyak lagi, menggabungkan dan mengembangkan konsep asli dari Johansen sehingga membuat teori Yield Line ini menjadi sebuah teori yang sangat bermanfaat sebagai alat untuk mendesain dengan taraf Internasional.
Seperti yang diketahui teori Yield Line dirintis pada tahun 1940an oleh seorang insinyur dan peneliti berkebangsaan Denmark yang bernama K W Johansen. Pada tahun 1960 sampai 1980 dilaporkan bahwa secara teoritis aplikasi dari teori Yield Line ini telah mempermudah dalam perhitungan struktur plat dan plat – beam. Untuk menunjang hasil perkejaan ini, pengetesan secara intesif dilakukan untuk membuktikan
kebenaran dari teori ini,dan hasilnya sangat bagus dimana hanya ada sedikit perbedaan yang dibandingkan antara teoritis dan percobaan. Di dalam percobaanya dimana sendi disimulasikan menjadi suatu konstruksi yang menerus, dan hasilnya beban ultimate yang didapatkan lebih bagus daripada yang diprediksikan secara teoritis.
II.2 TEORI YIELD LINE
Teori Yield Line merupakan analisis beban secara ultimate. Teori ini menetapkan bahwa momen yang ditimbulkan seperti pembebanan pada plat dimana diletakkan pada satu titik dimana akan terjadinya keruntuhan.
Teori ini dapat membuat suatu desain konstruksi menjadi lebih sederhana dan lebih ekonomis, salah satu contohnya adalah pembangunan European Concrete Building Project di Cardington.
Teori ini dapat dengan mudah diterapkan di dalam berbagai jenis plat, baik dengan ataupun tanpa beam. Seperti yang ditunjukkan pada gambar 2.1 yang merupakan plat dengan pembebanan sampai terjadinya keruntuhan. Pada awal pembebanan reaksi yang terjadi pada plat adalah elastic dengan tegangan maksimum dan defleksi yang terjadi di titik pusat plat. Pada saat ini memungkinkan terjadinya retak seperti rambut yang akan muncul dimana kekuatan lentur dari beton telah terlampaui yang terletak di tengah bentang.
Bertambahnya nilai pembebanan mempercepat terjadinya retakan ini,dan selanjutnya retakannya akan semakin besar dari titik defleksi maksimumnya, dan penambahan terus dilakukan maka keretakan akan berpindah ke bagian yang bebas dari plat dimana pada waktu yang sama semua tegangan lenturnya akan melalui garis leleh dari Yield line ini.
Perletakan sederhana
Retakan halus
Retakan besar yang berasal dari titik defleksi maksimum
Gambar 2.1 Keretakan yang terjadi pada plat
Pada keadaan ultimate seperti ini, plat akan mengalami keruntuhan. Seperti yang digambarkan pada gambar 2.2 plat dibagi menjadi daerah A, B , C, dan D. Daerah – daerah ini juga berputar pada sumbu rotasinya yang biasanya sepanjang batas plat tersebut, yang akan berdampak pada pada pergeseran beban yang diberikan. Di titik inilah beban yang diberikan akan di salurkan pada garis sumbu rotasi di garis lelehnya yang disamakan dengan beban bergerak yang diberikan pada daerahnya. Inilah yang disebut dengan Teori Yield Line.
Sumbu dimana terjadi rotasi di daerah A,B,C dan D di sepanjang batas plat
Pola dari Yield Line
Gambar 2.2 Mekanisme pembentukan pola dari Yield Line
II.3 POLA YIELD LINE
Ketika suatu plat dibebani sampai terjadinya keruntuhan, garis leleh yang terjadi akan membentuk suatu daerah dimana terjadi tekanan maksimum dan selanjutya akan menjadi sendi plastis. Seperti yang telah dijelaskan di atas, sendi plastis ini akan berkembang menjadi suatu mekanisme yang membentuk pola dari garis leleh (Yield Line). Teori ini akan membagi plat menjadi daerah tersendiri, dimana sesuai dengan arah rotasinya.
Untuk dapat mengidentifikasi dari pola yang sah dan solusi dari teori Yield line ini maka ada beberapa hal yang dapat diperhatikan, yakni:
• Sumbu rotasi biasanya sepanjang batas plat dan sepanjang kolom, • Garis dari Yield Line merupakan sebuah garis lurus,
• Garis Yield Line yang berada diantara daerah – daerah yang berbatasan haruslah melalui titik persimpangan dari sumbu rotasi dari tiap daerahnya,
• Garis dari Yield Line harus berakhir di batas plat tersebut,
• Pada perletakan menerus akan bernilai negatif dan untuk perletakan simpel bernilai positif.
Setelah pola dari Yield Line telah ditentukan maka sekarang hal yang perlu dilakukan adalah menentukan penurunan di satu titik ( biasanya di titik penurunan maksimumnya) dimana semua rotasi yang terjadi dapat ditentukan, hal ini dapat digambarkan di dalam gambar 2.3.
Sumbu rotasi untuk daerah B
Sumbu rotasi Pola – pola yield line
untuk daerah A yang memungkinkan
Di dalam Teori Yield Line ada kemungkinan munculnya beberapa pola yang sah dalam perhitungannya. Tetapi sebagai seorang perencana haruslah dapat menentukan salah satu pola yang dapat menghasilkan momen maksimum atau sekurang – kurangnya sampai terjadi keruntuhan pada plat akibat beban yang diberikan. Ada beberapa cara bagi seorang perencana dalam menentukan pola yang paling kritis atau yang paling mendekati dalam perencanaanya:
• Dengan menggunakan prinsip yang pertama yaitu dengan work method • Menggunakan rumus untuk situasi yang standar
Bisa dilihat bahwa pola dari Yield Line memberikan hasil, baik itu benar ataupun secara teoritis tidaklah aman. Tapi seperti yang telah dibahas sebelumnya, secara teoritis hal ini dapat mudah diatasi dengan mencoba pola – pola berbeda yang memungkinkan yang disertai dengan nilai toleransi, yang akan dijelaskan nantinya.
Pola dari Yield Line adalah terutama berasal dari sumbu rotasinya dan juga harus dipastikan bahwa garis yang dihasilkan merupakan suatu garis lurus, melalui titilk persimpangan dari daerahnya masing – masing dan berakhir pada batas plat tersebut. Beberapa contoh dari pola plat yang simpel akan diperlihatkan pada gambar 2.4. Mengingat bahwa plat seperti sebuah kue mungkin dapat membuat para perencana dapat lebih mudah untuk menvisualisasikan pola dari Yield Line yang sesuai atau yang paking cocok.
Tujuan dari menginvestigasi dari pola Yield Line ini adalah untuk dapat menentukan pola yang dapat memberikan nilai momen yang paling kritis ( nilai momen yang palig maksimum ). Namun analisa yang secara menyeluruh jarang diperlukan dan memilih beberapa pola yang lebih simpel dan efisien umumnya dapat dijadikan solusi dimana tingkat kesalahannya sangatlah minim.
Gambar 2.4 Pola Yield Line yang simpel
II.4 PENGGAMBARAN NOTASI
Dibawah ini akan menunjukkan notasi yang sering digunakan dalam skripsi ini adalah :
II.5 CORNERS LEVERS
Corners Levers menjelaskan hal – hal yang terjadi pada plat dua arah dimana garis Yield Line mengalami pemisahan pada di bagian sudut dalamnya. Pemisahan ini terkait dengan pembentukan garis Yield Line yang bernilai negative yang melewati nagian sudut dari plat yang digambarkan pada gambar 2.5
Gambar 2.5 Akibat dari Corner Levers pada plat dengan perletakan sederhana dimana di bagian sudutnya ditekan dan dicegah terjadinya lifting
Di dalam analisa, pola dari Yield Line biasanya diasumsikan bahwa garis yang melewati di bagian sudut tidak ada terjadi pemisahan, dimana dalam hal ini corner levers di abaikan sehingga membuat perhitungan menjadi lebih simpel. Hal ini dibuat dengan adanya beberapa alasan, yakni :
• Biasanya di dalam perhitungan dampak dari adanya corner levers tidaklah memiliki pengaruh yang besar,
• Suatu analisa yang meengikutsertakan hal ini akan menjadi terlalu rumit untuk diselesaikan.
Di dalam skripsi hanyalah membahas pola garis Yield Line pada bagian sudut merupakan suatu garis lurus yang tidak dipisah. Nilai momen yang didapatkan dari cara ini hanya dapat digunakan jika penguatan yang diberikan pada sudut plat memiliki nilai yang sama dengan rangka bajanya. Corner Lever dapat digunakan untuk plat sederhana diman dampak yang dihasilkan tidak lebih dari batas toleransi aturan 10%.
II.6 ATURAN 10%
Pemakaian aturan 10% di dalam mendesain momen yang ditimbulkan pada plat sederhana dapat memberikan suatu kemudahan dimana adanya kesalahan dalam analisa Yield Line dan memberikan suatu jaminan terhadap diabaikannya corner levers. Pada plat yang mengalami tekanan yang relatif rendah, pemakaian aturan ini dapat meningkatkan nilai momen sebesar 10%, hal ini sama dengan peningkatan 10% penguatan di dalam desain plat.
Seorang perencana mungkin saja mencari solusi secara teliti, tetapi dengan diterapkan aturan 10% ini,maka dalam hal analisa dapat menjadi lebih simpel dan dalam desain mereka dapat berada dalam sisi yang aman tanpa terlalu konservatif ataupun tidaklah ekonomis. Satu – satunya situasi dimana diperbolehkan menggunakan aturan 10% ini adalah pada kasus dimana suatu plat yang memiliki sudut yang sangat rumit dan konfigurasi tertentu dari plat dengan beban terpusat ataupun beban merata yang nilainya sangat besar. Aturan ini sangatlah penting di dalam penggunaanya di dalam lapangan tetapi tidak sebagai referensi di dalam penggunaan secara akademis.
II.7 PLAT ISOTROPIS
Dalam kasus yang paling umun yakni dalam susunan tulangan pada plat, tulangan ini terdiri dari dua bagian yakni tulangan atas dan tulangan bawah yang menyebabkan terjadinya garis leleh. Hal ini dapat memungkinkan bagi seorang perancang untuk dapat menyelidiki berbagai jenis kemungkinan dan perletakan dari tiap plat terutama plat dengan bentuk yang tidak beraturan dan memiliki sudut.
Namun di dalam pembuatan skripsi ini, hanya akan membahas dimana dimana tulangannya:
• Merupakan nilai maksimum dari kedua tulangan • Bahan yang digunakan adalah dari baja
Dalam hal ini plat dapat dikatakan sebagai isotropis. Dengan demikian, momen yang dihasilkan oleh hal ini akan ditunjukkan dalam bentuk huruf, yakni m untuk tulangan bagian bawah dan m’ untuk tulangan bagian atas, yang dapat ditunjukkan dalam gambar 2.6
Gambar 2.6 Plat Isotropis
II.8 PLAT ORTHOTROPIS
Di dalam Plat Orthotropis mempunyai nilai yang berbeda dalam hal pemnguatannya dalam dua arah. Biasanya tidak diperlukannya penguatan di dalam two way slab haruslah sama dengan plat dua arah. Plat ini cenderung dalam jarak yang lebih pendek dan arah ini dapat memberikan penguatan yang sangatlah besar, hal ini dapat diilustrasikan dalam gambar 2.7, namun di dalam pembuatan skripsi ini hanya akan membahas plat isotropis dan tidak membahas plat orthotropis.
Gambar 2.7 Plat Orthotropis
II.9 KONSEP YIELD LINE
Di dalam Teori Yield Line biasanya diasumsikan bahwa penurunan maksimum yang terjadi (δmax) di dalam kondisi kesatuan yang terjadi pada setiap daerah di plat. Ketika menghitung energi eksternal yang terjadi (W) penurunan yang terjadi merupakan akibat adanya diberikan pembebanan pada daerah masing – masing plat yang dapat ditunjukkan sebagai faktor L1/L2, dimana L1 merupakan jarak yang tegak lurus terhadap arah sumbu rotasinya dan L2 merupakan jarak yang tegak lurus dengan
lokasi dimana terjadinya δmax dari arah sumbu rotasi masing – masing daerah pada plat.
Gambar 2.8 Panjang L1 dan L2
Arah Sumbu Rotasi dari setiap daerah biasanya bertepatan dengan batas plat tersebut. Dimana L2 merupakan nilai konstan untuk semua beban pada semua daerah, dan jarak L1 sangat tergantung pada lokasi pusat massa beban yang ada pada daerah tersebut. Untuk mempermudah dalam mengetahui nilai dari L1 / L2 ketika diberikan beban yang merata seperti yang ditunjukkan pada gambar 2.8 maka dapat digunakan ketentuan:
• 1/2 untuk semua daerah berbentuk persegi panjang
• 1/3 untuk semua daerah berbentuk segitiga dimana puncak dari segitiga berada pada titik penurunan maksimum
• 2/3 untuk semua daerah berbentuk segitiga dimana puncak dari segitiga berada pada sumbu rotasinya.
Konsep dari Yield Line adalah menyamakan kerja yang disebabkan oleh pembebanan pada plat dengan kerja yang disebabkan oleh gaya – gaya dalam yang menghasilkan rotasi pada plat, dapat dirumuskan:
Kerja eksternal = Kerja Internal
E = I
Dimana :
A = Luas daerah
W = Beban yang diberikan n = Jarak titik berat tiap daerah M = momen
l = panjang
II.10 FEM
Dalam pembuatan Skripsi ini akan menggunakan metode elemen hingga sebagai elemen segitiga dan segiempat sebagai perbangdingan dari perhitungan yang telah dicari dengan menggunakan metode yield line dan dalam hal ini dibantu dengan menggunakan program SAP 2000. Di dalam metode elemen hingga bila suatu kontinum dibagi bagi menjadi beberapa bagian yang lebih kecil, maka elemen kecil ini disebut elemen hingga. Proses pembagian kontinum menjadi elemen-elemen hingga disebut proses “diskretisasi” (pembagian). Dinamakan elemen-elemen hingga karena bentuk geometri yang lebih sederhana dibanding dengan kontinumnya. Dengan metode elemen hingga kita dapat mengubah suatu masalah dengan jumlah derajat kebebasan tertentu sehingga proses pemecahannya akan lebih sederhana.
Misalnya suatu batang yang panjang, bentuk fisiknya tidak lurus dipotong-potong sependek mungkin sehingga terbentuk batang-batang pendek yang relatif lurus. Maka pada bentang yang panjang tadi disebut kontinum dan batang yang pendek disebut elemen hingga. Suatu bidang yang luas dengan dimensi yang tidak teratur, dipotong-potong berbentuk segi tiga atau bentuk segi empat yang beraturan. Bidang yang dengan dimensi tidak beraturan tadi disebut kontinum, bidang segitiga atau segi empat beraturan disebut elemen hingga. Dan banyak lagi persoalan yang identik dengan hal diatas. Maka dari sini dapat dikatakan bahwa elemen hingga pasti mempunyai lebih kecil dari kontinumnya.
Sebaiknya pendekatan dengan metode elemen hingga merupakan suatu analisis pendekatan yang berdasarkan asumsi peralihan atau asumsi tegangan, bahkan dapat juga berdasarkan kombinasi kedua asumsi tadi dalam setiap elemennya.
Tujuan utama analisis dengan metode elemen hingga adalah untuk memperoleh nilai pendekatan ( bukan eksak ) tegangan dan peralihan yang terjadi pada suatu struktur. Karena pendekatan berdasarkan fungsi peralihan merupakan teknik yang sering sekali dipakai, maka langkah-langkah berikut ini dapat digunakan sebagai pedoman bila menggunakan pendekatan berdasarkan asumsi tersebut :
1. Bagilah kontinum menjadi sejumlah elemen (Sub-region) yang berhingga dengan geometri yang sederhana (segitiga, segiempat dan lain sebagainya). 2. Pada titik-titk pada elemen yang diperlakukan sebagai titik nodal, dimana syarat
keseimbangan dan kompatibilitas dipenuhi.
3. Asumsikan fungsi peralihan pada setiap elemen sedemikian rupa sehingga peralihan pada setiap titik sembarangan dipengaruhi oleh nilai-nilai titik nodalnya.
4. Pada setiap elemen khusus yang dipilih tadi harus dipenuhi persyaratan hubungan regangan peralihan dan hubungan rengangan-tegangannya.
5. Tentukan kekakuan dan beban titik nodal ekivalen untuk setiap elemen dengan menggunakan prinsip usaha atau energi.
6. Turunkan persamaan keseimbangan ini untuk mencari peralihan titik nodal. 7. Selesaikan persamaan keseimbangan ini untuk mencari peralihan titik nodal. 8. Hitung tegangan pada titik tertentu pada elemen tadi.
II.11 Constant Strain Triangle Element (CST Element) dan Element
Segi Empat
CST-element adalah elemen yang paling sederhana, dimana matriks material adalah sbb:
1
1 0
1 0
0 0 1 22
Matriks ini diperoleh dari hubungan tegangan dan regangan dari Hukum Hooke dua dimensional. Sedangkan displacement adalah sbb:
, , 10 0 0 0 0 01 ! " # $ # %&&' &( &) &* &+,# -# . / , &
Gambar 2.9 CST Elemen dengan 6 DOF
Pada elemen CST derajat kebebasan atau DOF untuk satu elemen adalah 6 dapat dilihat pada gambar diatas, sedangkan jumlah simpul adalah tiga dengan penomoran berlawanan arah jarum jam. Pada persamaan displacement dapat dilihat bahwa hal itu adalah modifikasi dari metode Ritz.
01 " # $ # % '' ( (, # -# . 2 3 3 3 3 410 0 0 1' ' 0 0 0 ' ' 1 0 0 0 0 0 0 1 1 ( ( 0 0 0 0 0 0 1 ( (5 6 6 6 6 7 " # $ # %&&' &( &) &* &+,# -# . & & 8' 01 8' 1 2 2 3 3 3 3 4 ( ( ( 00 ( ' (' ' ( 00 ' ' ' 00 ( 0 '( 0 ' 0 0 ( ( 0 ( ' ' ( ' ' 0 ( 0 (' 0 ' 0 ( 0 '( 0 ' 5 6 6 6 6 7 x ij = x i – x j y ij = y i –y j 2A = (x2 - x1)(y3 – y1)-(x3 – x1)(y2 – y1) / 8' 09 : 01 Dimana, [G]=[N][A]-1 1 ; 1< ; / & 1< =0 1 0 0 0 00 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0> & 1< 1 ; / 8' 01 1< ;? 01 1< Dengan demikian
;
?2 =
1
(0
('0
'0
0
(0
'(0
' ( ( '( (' ' '>
Maka : @ A ;C ? B ;? D. 0 F ;? 09 1<GHHJI KIJL 2 1 ( . ( (' . '( ' . ' . ( ( . (' '( . ' ' 1 2 ( 12 ( 12 '( 12 (' 12 ' 12 ' " # $ # % 11 2 2 3 3,# -# .
Tabel 2.1 Matriks Kekakuan CST
Column index row index
j 1 2 3 4 5 6 i N O O O O O O O O O O O O O O P (Q12 ( 1 Q2 ( ( (' (Q1 Q2 '( ( '( (Q1 2 ( (' ' (Q1 2 ' ( ' (Q1 2 ( ' 1 Q 2 ( ( ( Q1 2 ( ( ('Q1 2 '( ( '( ( Q1 2 ( (' ( ' Q1 2 ' ( ' (Q1 2 ' ( (' (Q1 Q2 '( ( ( ('Q12 '( ( ('Q1 2 '( ( 1 Q2 '( (' ' ('Q1 2 '( ' ' ('Q1 2 '( ' '( (Q1 2 ( (' '( ( Q1 2 ( (' 1 Q2 '( (' '(Q1 2 (' '( ' Q1 2 ' (' '( 'Q1 2 ' (' ' (Q1 2 ' ( ( ' Q1 2 ' ( ' ('Q1 2 '( ' '( ' Q1 2 ' (' ' Q1 2 ' 1 Q2 ' ' ' (Q1 2 ( ' ' (Q1 2 ' ( ' ('Q1 2 '( ' '( 'Q1 2 ' (' 1 Q2 ' ' ' Q1 2 ' R S S S S S S S S S S S S S S T 1 2 3 4 5 6 X YZ )[ '8\] , x ij = x i – x j , y ij = y i –y j
Tabel 2.2 Matriks Kekakuan Segi Empat
Column index row index
j 1 2 3 4 5 6 7 8 i N O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O P 4^ Q2 1^ 32 1 Q 4^ Q 12^ 32 1 3 2^ 12^ 32 1 Q 2^ 2 1^ 32 1 3 3 2 1 Q ^ Q 2 14 ^ 32 1 3 2^ 2 1 ^ 2 1 Q3 ^2 1 ^ 32 1 3 4^ Q 1 ^ 4^ Q 1^ 32 1 3 4^ Q2 1^ 32 1 Q 2^ 2 1^ 32 1 3 2^ 1^ 32 1 Q 3 2 1 3 ^ 2 12 ^ 32 1 Q 4^ Q 2 1 ^ 2 1 33 ^ Q 14 ^ 32 1 Q 2^ 1 ^ 2^ 1^ 32 1 Q 2^ 2 1^ 32 1 3 4^ Q2 1^ 32 1 Q 4^ Q 1^ 32 1 3 3 2 1 Q ^2 1 ^ 32 1 3 4^ Q 1 ^ 32 1 Q ^ Q 2 14 ^ 32 1 3 ^ 2 12 ^ 2^ 2 1^ 32 1 3 2^ 1^ 32 1 Q 4^ Q 1^ 32 1 3 4^ Q2 1^ 32 1 Q 3 2 1 3 ^ Q 14 ^ 32 1 Q 2^ 1 ^ 32 1 3 ^ 2 12 ^ 32 1 Q ^ Q 2 14 R S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S T 1 2 3 4 5 6 7 8 X 4 1 a , ^ b&
II.12 Elemen Quadrilatearal Empat Node Isoparametrik
a. Koordinat Natural Dari ElemenElemen quadrilateral dengan empat buah node dilukiskan dalam gambar berikut ini.
Gambar 2.10 Elemen Quadrilateral
Penomoran node ditentukan dalam arah lawan perputaran jarum jam (CCW). Dua sumbu Koordinat Natural s dan t berpotongan tidak harus tegak lurus. Dalam gambar diatas, akan ditentukan Koordinat Natural dari keempat node dari elemen tersebut. Untuk itu diperhatikan Gambar 2.11 berikut ini.
Dalam sistem koordinat natural, keempat node dari elemen dinyatakan dalam (s,t) seperti Nampak pada gambar 3.12 diingatkan kembali bahwa kedua sumbu koordinat ini tidak harus tegak lurus.
Fungsi interpolasi atau fungsi displacement dalam arah x dan y adalah u(s,t) = N1 u1 + N2 u2 + N3 u3 + N4 u4
v(s,t) = N1 v1 + N2 v2 + N3 v3 + N4 v4……….(2.1)
Untuk Koordinat Global :
x(s,t) = N1 x1 + N2 x2 + N3 x3 + N4 x4
y(s,t) = N1 y1 + N2 y2 + N3 y3 + N4 y4……….(2.2)
Besarnya Shape Function untuk setiap node (diperoleh dari interpolasi Lagrange ) adalah
/' 1 c . 1 D4 / 1 c . 1 D4
/( 1 c . 1 D4 /) 1 c . 1 D4 … … 2.3
Catatan: N1 + N 2 +N3 + N4 = 1
Jumlah Shape Function dari suatu titik = 1
b. Strain Elemen – Matriks Displacement
Gunakan kembali persamaan (2.1) dan (2.2) untuk menghitung Strain dari Elemen Quadrilateral
eec ee eec Qee eec
Kedua persamaan yang terdapat pda persamaan (2.4) dalam bentuk matriks dapat ditulis f e ec e ec g e ec eec e eD eeD "$ %ee e e , -. … … … . 2.4& Maka : " $ %ee e e , -. 1 | i | e eD eec e eD eec f e ec e eD g … … … . . 2.4b
Dimana : | J | = Determinan Jacobian
jeeck jeeDk jeeDk jeeck
Diferensialkan persamaan (2.2) terhadap s:
e ec e/ec ' 'Qe/ec Qe/ec ( (Qe/ec ) ) eec e/ec l l ) lm' … … … 2.5 ;1nopo& q & D peec ,eeD , 0& eeD
eec e/ec l l ) lm' … … … 2.5& eeD e/ec l l ) lm' … … … 2.5b eeD e/ec l l ) lm' … … … 2.5r
Turunan dari masing – masing Shap Function terhadap s dan t menghasilkan persamaan – persamaan berikut ini:
e/ec' 14 1 D ,e/ec' 14 1 c e/ec 14 1 D ,e/ec 14 1 c e/ec( 14 1 D ,e/ec( 14 1 c
e/ec) 14 1 D ,e/ec) 14 1 c … … … 2.6
Determinan Jacobian | J | dihitung sebagai berikut:
| i | jeeck jeeDk jeeDk jeeck e/ec l l ) lm' e/l e l ) lm' e/l eD l ) lm' e/l ec l ) lm' l ) s ) l je/eDle/ecl e/ecle/eD kl s … … … . . . . 2.7 Dalam Bentuk matriks, persamaan (2.7) ditulis sebagai
| i | ' ( ) & f ' ( )
g … … … 2.7&
Dimana [a] adalah matriks yang elemen – elemennya memenuhi persamaan
&ls je/eD k tl e/ec u js e/ec k tl e/eD u … … … 2.7bs Dalam bentuk yang lebih terperinci, elemen matriks [a] masing – masing adalah
&'' je/eD k j' e/ec k j' e/ec k j' e/eD k 0' &' je/eD k j' e/ec k je/ec k j' e/eD k
14 1 c 14 1 D 14 1 D 14 1 Q c 18 1 D
&'( je/eD k j' e/ec k j( e/ec k j' e/eD k( 18 D c
&') je/eD k j' e/ec k j) e/ec k j' e/eD k) 18 c 1
Dengan seterusnya untuk semua elemen matriks [a] disimpulkan matriks [a] adalah & 18 0 1 D D c c 1 D 1 0 c Q 1 D Q c c D c Q 1 0 D Q 1 1 c c Q D D Q 1 0 … … … 2.8
Lihat kembali persamaan (2.4b) dari persamaan tersebut ditinjau pada bagian:
ee | i | 1 eeDeec eeceeD! … … … 2.9
Dari persamaan (2.1) dapat ditentukan
e ec e/ec l l ) lm' ,eeD e/eD l l ) lm'
, c10& wp& eeD 0& eec 0oq1xy 1z 0&xo q1xc&n&& 2.5& 0& q1xc&n&& 2.5r)
F bDoD cop& : eec ,eeD ,eeD ,eec p1 q1x&n&& 2.9 0oq1xy 1z: e e | i |1 l ) lm' ) lm' je/eDle/ecl e/ecle/eD kl s Dalam bentuk matriks dapat ditulis:
e e | i | 1 ' ( ) & f ' ( ) g |I… … … . 2.10
Bagian kedua dari persamaan (5.4b) adalah e e | i | 1 eeDeec eeceeD! e e | i |1 l ) sm' ) lm' te/eDle/ecs e/ecle/eD us s
Dalam Bentuk Matriks, persamaan terkahir ini ditulis sebagai
e e | i | 1 ' ( ) & f ' ( ) g |I… … … . 2.11 Untuk displacement kearah vertikal (=v), persamaan (2.4b) diubah menjadi (Ganti semua u dengan v)
" $ %ee e e , -. 1 | i | e eD eec e eD eec f e ec e eD g … … … . . 2.12
Dari persamaan tersebut dapat ditulis:
e e | i | 1 eeDeec eeceeD! e e | i | 1 ' ( ) & f ' ( ) g |I… … … 2.13 Dari persamaan (2.4b) juga diperoleh:
e e | i | 1 eeDeec eeceeD! e e | i | 1 ' ( ) & f ' ( ) g |I… … … 2.14 Diingatkan kembail tentanf definisi dari Strain |:
| G||IJ
}IJL 0on& & }IJ
e
e Qee
Ambil ~•
~J dari persamaan (2.11) dan ambil ~\
~I dari persamaan (2.13) kemudian jumlahkan, maka didapatkan:
}IJ ee Qee | i | 1 ' ( ) & f ' ( ) g Q| i | 1 ' ( ) & f ' ( ) g F1zo ww&: | G||JI }IJL € " # # $ # # % '' … … ) (, # # -# # . € • … … … . 2.15
Dari persamaan (2.10) berikut ini akan dihitung berapakah harga dari Bij?
€', s8' | i |1 l&ls, ‚ 1,2,3,4 … … … . 5.16& )
lm'
€',,s 0 D p ‚ 2,4,6,8 … … … . . . 5.16b
;1 w& p&D& &o ; €„,…9†C‡ 0
€ , s | i |1 l&ls, ‚ 1,2,3,4 … … … . . 5.16r )
lm'
€ ,s 0 D p ‚ 1,3,5,7 … … … . . . 5.160
Dari Persamaan (2.11) dan (2.13) diperoleh:
B3j = B2j+1 untuk j =1,3,5,7………..(5.16e)
= B1,j-1 untuk j=2,4,6,8………(5.16f)
Agar penulisan lebih sederhana,diadakan peringksan sebagai berikut: xm,n = xm – xn dan
ym,n = ym - yn
maka elemen – elemen matriks [B] dimyatakan senagai berikut:
€'' €( 8|i|1 ) c )(Q D ( €'( €() 8|i|1 (' c ()Q D ') €'* €)+ 8|i|1 ) c 'Q D ( €'‰ €(Š 8|i|1 '( c 'Q D ( € €(' 8|i|1 ) c ()Q D ( € ) €(( 8|i|1 '( c )(Q D )' € + €(* 8|i|1 ) c 'Q D ') € Š €(‰ 8|i|1 (' c ' Q D ( … … … 5.16w 0on& &, |i| 18 ' ( ) 0 1 D D c c 1 D 1 0 c Q 1 D Q c c D c Q 1 0 D Q 1 1 c c Q D D Q 1 0 f ' ( ) g
II.13 Program SAP 2000
SAP2000 adalah program computer untuk merancang struktur keluaran CSi (Computers and Structures Inc.).SAP2000 memungkinkan banyak hal yang sebelumnya dianggap mustahil menjadi sederhana dan mudah. SAP2000 mampu menggeser tugas menghitung yang rumit ke konsep perilaku struktur, pembagian beban dan analisa output sehingga konsep perancangan jauh lebih baik.
SAP2000 benar-benar mampu mengambil tugas analisa struktur karena jika kita sudah melakukan input data dengan benar, maka proses analisa akan langsung diambil olah SAP2000 dan prosesnya pun tergolong sangat cepat.
Secara garis besar, perhitungan analisa struktur rangka dengan SAP2000 ini akan melaui beberapa tahap, yaitu:
1. Menentukan geometri model struktur 2. Mendefinisikan data-data.
a. Jenis dan kekuatan bahan.
b. Dimensi penampang elemen struktur. c. Macam beban.
3. Menempatkan (assign) data-data yang telah didefinisikan ke model struktur. a. Data penampang.
b. Data beban.
4. Memeriksa input data.
Dalam tugas akhir ini SAP2000 digunakan untuk menghitung analisa struktur dari plat yaitu besarnya momen yang ditimbulkan dengan menggunakan metode elemen hingga elemen segiempat. Hasil yang dikeluarkan dari SAP2000 akan dibandingkan dengan hasil perhitungan manual yakni dengan menggunakan teori Yield Line.
