BAB IV BATAS ATAS BAGI JARAK MINIMUM KODE SWA- DUAL GENAP

22

BAB IV

BATAS ATAS BAGI JARAK MINIMUM KODE

SWA-DUAL GENAP

Misal digunakan kode linier 𝐶[𝑛, 𝑘, 𝑑] dengan matriks pembangun G dan matriks cek paritas H. Sebuah blok informasi x = 𝑥1𝑥2… 𝑥𝑘 , 𝑥𝑖 = 0 atau 1, yang akan dikirim terlebih

dahulu dikodekan (dienkode) dengan mengalikan x dengan G diperoleh katakode v = x𝐺. Selanjutnya, katakode v dikirim melalui saluran informasi, diterima sebagai katakode w. Proses dekode yang merupakan proses untuk mendapatkan kembali katakode v dari katakode w, dilakukan dengan memanfaatkan matriks cek parits H, (tetapi proses ini tidak akan dibahas dalam Tugas Akhir ini, pembahasan mengenai proses dekode dapat dilihat pada [1] dan [2]).

Kode swa-dual genap memiliki suatu keunikan yaitu matriks cek paritas sama dengan transpos matriks pembangkitnya. Sehingga pada proses dekode, matriks cek paritas H dicari dengan cara cukup mentransposkan matriks pembangkit G. Cara tersebut tentunya akan menghemat waktu dalam proses dekode. Selanjutnya untuk beberapa nilai 𝑛 yang mungkin, akan dikonstruksi suatu kode swa-dual genap dengan jarak minimum sebesar mungkin. Berdasarkan Teorema 2. 2. 5 dan Teorema 2. 2. 6, kode ini diharapkan dapat mendeteksi dan mengoreksi pola kesalahan dengan bobot sebesar mungkin.

Cara yang digunakan untuk mengonstruksi kode swa-dual semacam itu adalah seperti yang diilustrasikan dalam contoh berikut ini :

Contoh 4.1 Misal untuk 𝑛 = 48, akan disusun 𝑊_𝐶(𝑥, 𝑦) pencacah bobot kode swa-dual genap 𝐶[48,24]. Menurut teorema Gleason, 𝑊_𝐶(𝑥, 𝑦) merupakan polinom dalam 𝑊₁ 𝑥, 𝑦 dan 𝑊₂ 𝑥, 𝑦 . Karena 𝑊_𝐶(𝑥, 𝑦) merupakan polinom homogen berderajat 48, dan 𝑊₁ 𝑥, 𝑦 polinom homogen berderajat 8, serta 𝑊₂ 𝑥, 𝑦 polinom homogen berderajat 24, 𝑊_𝐶(𝑥, 𝑦) haruslah kombinasi linier dari 𝑊₁6, 𝑊₁3𝑊₂, dan 𝑊₃2 . Sehingga kita dapat menuliskan :

23 𝑊_𝐶 𝑥, 𝑦 = 𝑎₀𝑊₁6_{+ 𝑎} 1𝑊13𝑊2+ 𝑎2𝑊32 = 𝑎₀ 𝑥48_{+ 84𝑥}44_𝑦4_{+ 2946𝑥}40_𝑦8_{+ ⋯ + 𝑎} 1 𝑥44+ 38𝑥40𝑦8+ ⋯ +𝑎₂ 𝑥40_𝑦8_{+ ⋯ .}

𝑊𝐶(𝑥, 𝑦) haruslah memuat 𝑥48, sehingga diperoleh 𝑎0 = 1. Selanjutnya, untuk

memaksimalkan jarak minimum kita pilih 𝑎₁ = −84 dan 𝑎₂ = 246, sehingga kode 𝐶 tidak memuat katakode berbobot 4 dan 8. Pada akhirnya kita peroleh :

𝑊_𝐶 𝑥, 𝑦 = 48 36 12 32 16 28 20 24 24 17296 535095 3995376 7681680

x  x y  x y  x y  x y

+ 3995376x y20 28535095x y16 3217296x y12 36 y48

𝑊𝐶(𝑥, 𝑦) di atas merupakan pencacah bobot kode swa-dual genap 𝐶[48,24,12].

Kode ini lebih sering disebut kode QR[48,24,12], dan merupakan kode swa-dual genap dengan jarak minimum terbesar untuk 𝑛 = 48 .

Sekarang kita memperumum metode yang telah kita pakai pada contoh 4.1, untuk diterapkan pada sebarang 𝑛 yang mungkin, yaitu untuk sebarang 𝑛 kelipatan 8. Misal 𝐶 [𝑛, 𝑘, 𝑑] suatu kode swa-dual genap dengan pencacah bobot 𝑊 𝑥, 𝑦 = 𝑥𝑛 ₊

𝐴𝑑𝑥𝑛−𝑑 + ⋯ . Menurut teorema Gleason, 𝑊(𝑥, 𝑦) merupakan polinom dalam 𝑊1 𝑥, 𝑦 dan

𝑊₂ 𝑥, 𝑦 , dan dapat dituliskan sebagai :

𝑊 𝑥, 𝑦 = μ_r=0𝑎_𝑟𝑊₁ 𝑥, 𝑦 𝑗 −3𝑟_𝑊

2 𝑥, 𝑦 𝑟 (4.1.a)

dengan 𝑛 = 8𝑗 = 24𝜇 + 8𝑣, 𝑣 = 0, 1, atau 2.

Misalkan sebanyak 𝜇 + 1 = [𝑛/24] + 1 koefisien 𝑎_𝑖 di persamaan (4.1.a) dipilih sedemikian rupa sehingga 𝑊(𝑥, 𝑦) memiliki sebanyak mungkin koefisien utama yang sama dengan nol. Sehingga kita peroleh :

𝑊 𝑥, 𝑦 = 𝑥𝑛 _{+ 𝐴} 4𝜇 +4

∗ _𝑥𝑛−4𝜇 +4_𝑦4𝜇 +4 _(4.1.b)

Hasil yang diperoleh di persamaan (4.1.b) merupakan pencacah bobot kode swa-dual tersebut dengan bobot minimum tak nol terbesar yang diharapkan dapat dicapai. Pencacah bobot ini dinamakan pencacah bobot ekstrimal.

Jika terdapat kode dengan pencacah bobot seperti pada persamaan (4.1.b), kode ini mempunyai jarak minimum 𝑑∗ _{= 4𝜇 + 4, kecuali secara kebetulan 𝐴}

4𝜇 +4

24 lain 𝑑∗_{≥ 4𝜇 + 8. Tetapi, 𝐴}

4𝜇 +4

∗ _{tidak pernah sama dengan nol, sebagaimana ditunjukan}

dalam teorema berikut ini. Teorema ini juga secara eksplisit memberikan 𝑑∗ _{= 4𝜇 + 4}

sebagai batas atas bagi jarak minimum kode swa-dual genap.

Teorema 4.2 (Mallows dan Sloane [1]) 𝐴_{4𝜇 +4}∗ _{, banyaknya katakode taknol berbobot}

minimum pada pencacah bobot ekstrim diberikan oleh : 𝑛 5 5𝜇 − 2 𝜇 − 1 4𝜇 + 4 5 , 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑛 = 24𝜇 1 4𝑛 𝑛 − 1 𝑛 − 2 𝑛 − 4 5𝜇 ! 𝜇! 4𝜇 + 4 ! , 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑛 = 24𝜇 + 8 3 2𝑛 𝑛 − 2 5𝜇 + 2 ! 𝜇! 4𝜇 + 4 ! , 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑛 = 24𝜇 + 16

dan tidak pernah sama dengan nol. Oleh karena itu, jarak minimum kode swa-dual genap panjang 𝑛 , paling besar adalah 4 [𝑛 24]+ 4.

Bukti :

1. Kasus 𝑛 = 24𝜇

Kode swa-dual genap C dengan 𝑛 = 24𝜇 + 8 memberikan 𝑑’ = 𝑑 = 4𝜇 + 4, 𝐴_𝑛 = 1, 𝑠 = 24𝜇 +4 −4𝜇 −[ 24𝜇 −(20𝜇 −4)]

4 = 4𝜇, dan s = 4𝜇 − 1. Berdasarkan Teorema

3.2.6 kita dapat menyatakan bahwa katakode-katakode berbobot 4𝜇 + 4 di 𝐶 membentuk 𝑑’ − s = 4𝜇 + 4 − 4𝜇 − 1 = 5 -desain. Parameter 𝜆4𝜇 +4lebih mudah

dihitung dalam 4-desain yaitu :

4 4 ( 4) 4 1, 4 . ( ) 1 ( ) . ( ) 4 s n n j i r j j i i i n A S n S r r n N r                 _{ }  



_{ } 



, (4.2.a) dengan 4 1 1 ( ) (4 4 ) j S x j x    





  . Untuk S(x) yang seperti itu dan untuk _i 44 kita dapatkan :

(24 4 4) (20 4) 4(5 1)

i

n     

25 4 1 4 1 4 1 1 1 1 4 1 4 1 ( ) (24 ) (4 4 24 ) ( 20 4 ) 4(5 ) 4 (5 1)! 4 (5 1)(5 2) ( 1) ! j j j S n S j j j                                          







 4 2 . ( ) 4 (5 2)! ! n i A S n n  _         /2 12 2n 2 N    

Kode C memiliki identitas-identitas berikut ini : (i) ( ) ( 4) ( ) 4 4 (16 4) S r S r S r r         , karena 4 1 1 ( ) (4 4 ) (4 4 )(4 8 ) (20 4 ) j S r j r r r r        



          , dan 4 1 1 ( 4) (4 4 4) (4 8 )(4 12 ) (20 8 ) j S r j r r r r         



           (ii) 24 24 4 4 24 4 24 4 ( 4) ( ) 4 4 r l S r S l r r  _  _             _   _     





(iii) 24 12 4 24 4 1 ( ) (24 ) 4 2 r S r S r           _   



Oleh, karena itu persamaan (4.2.a) menjadi :

4 4 4 2 24 (4) 4 2 12 4 4 2 4 2 24 4 4 .(5 2)! 1 ( ) .4 .(4 2)! 4 ! 2 4 4 4 .(5 2)! 2.4 .(5 1) ! (4 1)! r S r r r                                 _{ }            



4 4 (4) (6 1)(5 2)! !(4 1)!            Dari hasil 4 4 (4) 

 _ di atas, sekarang kita kita peroleh :

4 4 4 4 (5) 4 (4) 24 4 5 2 1                  _   

26

Maka banyaknya katakode berbobot 4𝜇 + 4 di C adalah 𝑛₅ 5𝜇 −2_{𝜇 −1} 4𝜇 +4₅ . 2. Kasus 𝑛 = 24𝜇 + 8

Kode swa-dual genap C dengan 𝑛 = 24𝜇 + 8 memberikan 𝑑’ = 𝑑 = 4𝜇 + 4, 𝐴𝑛 = 1, 𝑠 =

24𝜇 +8 −4𝜇 −[ 24𝜇 +4 −(20𝜇 +4)]

4 = 4𝜇 + 2, dan s = 4𝜇 + 1. Menurut

Teorema 3.2.6 katakode-katakode berbobot 4𝜇 + 4 di C membentuk 𝑑′− 𝑠 − desain = 3 − desain. Kita hitung parameter 𝜆4𝜇 +4 dalam 2-desain, yaitu :

4 4 ( 2) 2 1,

2

. ( )

1

( )

.

(

)

2

s n n j i r j j i i i

n

A S n

S r

r

n

N

r













   













_

_







_

_





, (4.2.c) dengan 4 1 1 ( ) (4 4 ) j S x j x    





  . Kemudian kita dapatkan secara langsung :

4 1 4 1 4 1 1 1 1 4 1 4 1 ( ) (24 8) (4 4 24 8) ( 20 4 8) 4(5 2) 4 (5 1)! 4 (5 1)(5 2) ( 1) ! j j j S n S j j j                                              







 4 4, (24 8 4 4) (20 4) 4(5 1) i n i                    4 . ( ) 4 (5 )! ! n i A S n n  _       /2 12 4 2n 2 N    

Kode C memenuhi identitas-identitas berikut ini : (i) ( ) ( 4) ( ) 4 4 (16 4) S r S r S r r         , karena 4 1 1 ( ) (4 4 ) (4 4 )(4 8 ) (20 4 ) j S r j r r r r        



          , dan 4 1 1 ( 4) (4 4 4) (4 8 )(4 12 ) (20 8 ) j S r j r r r r         



           . (ii) 24 8 2 24 6 1 ( 4) ( ) 1 . ( ) 2 16 4 (2 1) r S r S r S n r N  _          _{ }  _  _{ }  



27

Selanjutnya kita substitusikan hasil-hasil di atas ke persamaan (4.2.c), sehingga kita dapatkan : 4 4 4 4 4 1 ( 2) 4 4 .(5 )! ( ) 4 .(5 )! 4 .(5 1)! .4 .(4 )! ! (2 1) ! !(2 1) S n                           4 4 ( 2) (5 )! 4(5 1)! 5 (20 4 2 1) .(4 )! ! !(2 1) !(2 1) (5 )!(18 3) !(2 1)                                4 4 ( 2) (5 )!(18 3) !(4 )!(2 1) 













     (4.2.d)

Sekarang kita kembalikan hasil pada persamaan (4.2.d) dalam konsekuensi 3-desain. Karena ( 1) ( 1) 1 i i i n  _     __ , kita peroleh ₄(3)₄ (4 2) ₄(2)₄ (24 6)            . Sehingga, 4 4 (3) (4 2) (5 )!(18 3) 2(2 1) (5 )!3(6 1) . . (24 6) !(4 )!(2 1) 6(4 1) !(4 )!(2 1) (6 1)(5 )! !(4 1)! 1 (5 )! ( 4) ( 4) , karena (6 1) 4 !(4 1)! 4 n n                      _                      

Selanjutnya kita hitung A_4₄, banyaknya katakode berbobot 4𝜇 + 4 di C.

4 4 (3) 4 4 4 4 . / 3 3 ! 1 (5 )! (4 1)!3! . ( 4) . ( 3)!3! 4 !(4 1)! (4 4)! 1 (5 )! . .( 1).( 2).( 4) 4 !(4 4)! n A n n n n n n n                                        3. Kasus 𝑛 = 24𝜇 + 16

Kode swa-dual genap C dengan 𝑛 = 24𝜇 + 16 memberikan 𝑑’ = 𝑑 = 4𝜇 + 4, 𝐴_𝑛 = 1, 𝑠 = 24𝜇 +16 −4𝜇 −[ 24𝜇 +12 −(20𝜇 +12)]

28

Teorema 3.2.6 katakode-katakode berbobot 4𝜇 + 4 di C membentuk 𝑑′− 𝑠 − desain = 1 − desain. Kita langsung hitung parameter 𝜆_{4𝜇 +4} dalam 1-desain, yaitu :

4 4 (1) 1 1,

1

. ( )

1

( )

.

(

)

1

s n n j i r j j i i i

n

A S n

S r

r

n

N

r













   













_

_







_

_





(4.2.f) dengan 4 3 1 ( ) (4 4 ) j S x j x    





  . Secara langsung kita dapatkan :

4 3 4 3 4 1 1 1 1 4 3 4 3 ( ) (24 16) (4 4 24 16) ( 20 4 16) 4(5 4) 4 (5 3)! 4 (5 3)(5 2) ( 1) ! j j j S n S j j j                                              







 4 4, (24 16 4 4) (20 12) 4(5 3) i n i                    4 3 4 2 . ( ) 4 (5 3)! 4 (5 2)! 4. !(5 3) ! n i A S n n  _  _                /2 12 8 2n 2 N    

Kode C memenuhi identitas-identitas berikut ini : (i) ( ) ( 4) ( ) 4 4 4(4 3) S r S r S r r         , karena 4 3 1 ( ) (4 4 ) (4 4 )(4 8 ) (20 12 ) j S r j r r r r        



          , dan 4 1 1 ( 4) (4 4 4) (4 8 )(4 12 ) (20 16 ) j S r j r r r r         



           . (ii) 24 16 1 24 15 1 ( 4) ( ) 2 ( ) 1 4 r S r S r S n r N  _       _{  }  _   



Selanjutnya kita substitusikan hasil-hasil di atas ke persamaan (4.2.f), sehingga kita dapatkan : 4 4 4 2 4 3 (1) 4 2 4 .(5 2)! 2.4 (5 3)! .4 .(4 2)! ! !(4 3)                _{ }   _  

29 4 4 (1) (5 2)! 8(5 3)! (4 2)! ! (4 3)! ! (5 2)!((40 24) (4 3)) (4 3)! ! (5 2)!(36 21) (4 3)! ! 3 (5 2)! .( 2). 2 n (4 3)! ! 







































                      

Selanjutnya kita hitung A_44, banyaknya katakode berbobot 4𝜇 + 4 di C.

4 4 (3) 4 4 4 4 . / 3 3 ! 1 (5 )! (4 1)!3! . ( 4) . ( 3)!3! 4 !(4 1)! (4 4)! 1 (5 )! . .( 1).( 2).( 4) 4 !(4 4)! n A n n n n n n n                                       

Nilai A_44pada ketiga kasus di atas tidak sama dengan nol untuk n8, sehingga jarak minimum kode swa-dual genap dengan panjang n, terbesar adalah 4[n/24]+4.

Terbukti. ∎

Telah diketahui beberapa kode swa-dual genap dengan jarak minimum mencapai batas atas yang diberikan oleh Teorema 4.2. Beberapa kode tersebut dapat dilihat di tabel 4.1 berikut ini :

[n, k, d] Nama Kode

[8, 4, 4] Hamming

[16, 8, 4] Tambah langsung dari dua kode Hamming

[24, 12, 8] Golay

[32, 16, 8] Reed-Muller orde 2 [40, 20, 8] Double Circulant Code [48, 24, 12] Quadratic Residu (QR)

30

[56, 28, 12] Double Circulant Code [64, 32, 12] Double Circulant Code

[80, 40, 16] QR

[88, 44, 16] Double Circulant Code

[104, 52, 20] QR