1
BEBERAPA SIFAT ALJABAR
GENERALIZED INVERSE PADA MATRIKS Erma Risa1*, S. Gemawati2, A. Sirait2 1
Mahasiswa Program Studi S1 Matematika 2
Dosen Jurusan Matematika
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Riau Kampus Binawidya Pekanbaru (28293), Indonesia
*
[email protected] ABSTRACT
This article discusses some of the algebraic properties of the generalized inverse matrix on the addition operation, which is derived using the properties of the sum of the rank of matrices. Generalized inverse of the sum of two matrices can be obtained if the range space of the sum of two matrices is disjoint. At the end of the discussion, an example of how to get a generalized inverse matrix is given.
Keywords: generalized inverse, addition properties on ranks, rank factorization, the sum of two matrices.
ABSTRAK
Artikel ini membahas beberapa sifat aljabar generalized inverse matriks pada operasi penjumlahan, Yang diturunkan dengan menggunakan sifat-sifat penjumlahan pada rank matriks. Generalized inverse dari penjumlahan dua matriks dapat diperoleh jika ruang hasil (range space), Dari penjumlahan dua matriks saling lepas. Diakhir pembahasan diberikan contoh bagaimana mendapatkan generalized inverse suatu matriks.
Kata Kunci: generalized inverse, sifat penjumlahan pada rank, faktorisasi rank, penjumlahan dua matriks.
1. PENDAHULUAN
Matriks adalah himpunan bilangan-bilangan yang disusun secara empat persegi panjang menurut baris dan kolom. Secara umum juga diketahui bahwa matriks yang mempunyai invers adalah matriks bujursangkar dan nonsingular. Namun masih ada matriks yang bukan bujursangkar yang mempunyai invers, dikenal dengan generalized
inverse yang diperoleh dengan menggunakan metode generalized inverse.
Selanjutnya yang dibahas dalam artikel ini adalah beberapa sifat aljabar generalized
inverse pada matriks. Salah satu diantaranya adalah operasi penjumlahan.
Untuk menentukan beberapa sifat aljabar generalized inverse pada operasi penjumlahan dua matriks digunakan sifat-sifat penjumlahan pada rank. Secara tertulis akan diperoleh
generalized inverse dari penjumlahan dua matriks jika ruang hasil dari penjumlahan dua
2
Pada artikel ini dimisalkan A suatu matriks yang bukan bujursangkar dan transpose
nya dinotasikan dengan A Selanjutnya dinotasikan t. R(A) sebagai range space dan
A
N sebagai null space dari matriks A . Sedangkan invers kiri dari matriks A
dinotasikan dengan 1 L
A dan invers kanannya dinotasikan dengan 1.
R
A Pada tahun
2008, Hanifa Zekraoui dan Said Guedjiba memperkenalkan konsep generalized inverse pada penjumlahan dan perkalian dua matriks dalam artikelnya yang berjudul ”On
Algebraic Properties of Generalized Inverses of Matrices’’. Selanjutnya banyak penulis
seperti [1], [3], [4] dan [5] ikut mengembangkan konsep generalized inverse. 2. GENERALIZED INVERSE
Sebelum membahas tentang beberapa sifat aljabar generalized inverse pada matriks, terlebih dahulu diberikan definisi tentang rank matriks, generalized inverse, dan refleksif generalized inverse sebagai berikut.
Definisi 1 [2:h.169] Dimensi ruang baris dan ruang kolom matriks A dinamakan
dengan rank A dan dinyatakan dengan rank(A . )
Definisi 2 [5] Misalkan A adalah himpunan semua matriks m n dengan entri-entrinya berada pada field K. Jika terdapat matriks A0 yang merupakan himpunan semua matriks n m sedemikian hingga
A A
AA0
Maka A0 disebut generalized inverse atau invers-g dari A.
Definisi 3 [5] Misalkan A adalah himpunan semua matriks m n dan jika terdapat matriks A0 yang merupakan himpunan semua matriks n m sedemikian hingga
A A
AA0 dan A0AA0 A0
Maka A0 disebut dengan refleksif generalized inverse dari matriks A. 3. BEBERAPA SIFAT ALJABAR GENERALIZED INVERSE PADA MATRIKS
Untuk menunjukkan beberapa sifat aljabar generalized inverse pada matriks digunakan sifat-sifat pada rank matriks yang dinyatakan dalam bentuk Lemma berikut.
Lemma 4 [5] Misalkan A dan B adalah dua matriks berukuran m n, maka pernyataan berikut ekivalen
(i) rank(A B) rank(A) rank(B).
3 Bukti:
(i) (i) (ii) Misalkan faktorisasi rank A dan B adalah A XY dan B UV. Maka
diperoleh faktorisasi , . V Y U X B A (1) Selanjutnya dimisalkan X [x1,x2,...,xr] dan U [u1,u2,...,us].
Maka [x1,x2,...,xr]
dan [u1,u2,...,us]adalah basis dari R(A) dan R(B). Karena x1,x2,...,xr,u1,u2,...,us
adalah bebas linear maka x1,x2,...,xr,u1,u2,...,us adalah basis dari R(A)R(B). Misalkan x1,x2,...,xr,u1,u2,...,us v maka v R(A)R(B) terdapat skalar
,..., , , ,..., , 2 1 2 1 r s sedemikian hingg . 0 ... ... 1 1 2 2 2 2 1 1x x rxr u u sus v Maka v 0. Sehingga . } 0 { ) ( ) (A R B R
Dengan menggunakan cara yang sama akan diperoleh
. 0 ) ( ) (At R Bt R
Sehingga terbukti bahwa
}, 0 { ) ( ) (A R B R R(At)R(Bt) 0 . ■ (ii) (ii) (i) Dimisalkan faktorisasi rank A dan B adalah A XY dan B UV. Maka diperoleh faktorisasi A B X, U .
V Y Maka rank(A B) rank( X, U ) r s. ). ( ) ( ) ( )
(A rank B rank X rankU
rank Sehingga . , ) (A B rank X U rank
Maka R(A) R(X) dan R(B) R(U), sehingga diperoleh
R(X)R(U) {0}, R(Y)R(V) {0} Karena persamaa (1) adalah faktorisasi rank dari A B maka diperoleh
rank A B rankX, U rank X rankU rank A rank B . Lemma 5 [5] Misalkan A dan B adalah matriks m n sedemikian hingga
, ) ( ) ( ) (A B rank A rank B rank maka
(i) Terdapat dua matriks yang dapat dibalik (invertible)P dan Q sedemikian hingga
. 0 0 0 , 0 0 0 Y PBQ I PAQ r
4
Bukti: (i) Tanpa menghilangkan keadaan umum diasumsikan . 0 0 0 r I A
misalkan rank B s dan misalkan
, 2 1 2 1 V V U U UV B (2) merupakan faktorisasi rank dari B maka ,
( ). 0 ) ( 1 ) ( 1 2 1 2 1 B R X U X U X U X U U X BV r m R (3)
Dari persamaan (3) diperoleh
. ) ( 0 0( )1 ( )1 1 1 A R X U I X U r m r r m (4) Dan dari persamaan (3) dan (4) dapat diperoleh bahwa
)). ( ) ( ( 0( )1 1 B R A R X U r m
Dengan cara yang sama dimisalkan B UV adalah faktorisasi rank dari ,B maka . 1 B U U B V L
Selanjutnya dimisalkan V1 V2N, dengan menggantikan U1 MU2 dan V1 V2N
pada persamaan (2 ) maka diperoleh
. 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 V U N V U V MU N V MU V N V U MU V V U U B (5)
Untuk memperoleh nilai P dan Q , dapat diambil sebarang matriks S dan T, kemudian kalikan pada kedua ruas ,
0 0 0 Y B sehingga diperoleh . 0 , 0 n r r r m r I N I T I M I S (6) Selanjutkan dilakukan invers pada persamaan (6) maka diperoleh
r m r I M I S P 0 1 dan 1 0 . r n r I N I T Q
Sehingga terbukti bahwa PAQ A 0 0 0 r I Dan . 0 0 0 0 0 0 2 2 1 1 Y V U BT S PBQ
5
(ii) Misalkan persamaan (1) merupakan faktorisasi rank dari A B, maka A B 0 dapat diperoleh dengan mengalikan
V Y , U
X pada kedua ruas A B 0sehingga diperoleh . V Y , V Y , , A B 0 X U X U V Y U X (7)
Dari persamaan (7) diperoleh X, U L1 sebagai invers kiri dan 1
R
V Y
sebagai invers kanan. Dengan mengalikan invers kiri dan invers kanan pada kedua ruas persamaan (7) maka diperoleh . 0 0 Y 0 0 0 0 s r s r I I I U B A V X B A V U B A X B A Y Jika Y A B 0 X Ir XY A B 0 XY XIrY XY, maka A A B 0 A A. Y A B 0U 0, V A B 0 X 0. . 0 0U I UV A B UV UI V UV B A V s s Sehingga diperoleh B A B 0 B B.
Maka terbukti bahwa invers-g dari A B adalah invers-g dari A dan B.
Teorema 6 [5] Misalkan A dan B adalah dua matriks berukuran m nsedemikian hingga , ) ( ) ( ) (A B rank A rank B rank
maka terdapat inverse-g A0 dan B0 dari A dan B sedemikian hingga 0
0
0 B (A B)
A adalah inverse-g dari A B.
Bukti: Dengan menerapkan Lemma 5 maka diperoleh
1 1 0 0 0 Q I P A r dan A Q Ir P 0 0 0
0 adalah invers-g dari A. (8) 1 1 0 0 0 Q Y P B dan P Y Q B 0 0 0 0 0
adalah invers-g dari B. (9) Dengan catatan Y0 adalah invers-g dari Y.
6 Selanjutnya dari persamaan (8) dan (9) diperoleh.
, 0 0 1 1 Q Y I P B A r (10) dan . 0 0 0 0 0 P Y I Q B A r (11) Selanjutnya kalikan persamaan (10) pada kedua sisi persamaan (11), sehingga diperoleh
. 0 0 0 0 1 0 1 1 0 1 B A Q Y I P Q Y YY I P r r
Sehingga terbukti bahwa A0 B0 (A B)0 adalah invers-g dari A B. Teorema 7 [5] Misalkan A dan B matriks m n sedemikian hingga
, ) ( ) ( ) (A B rank A rank B rank
maka terdapat matriks A0 dan B0sebagai invers -g refleksif dari A dan B sedemikian hingga A0 B0 (A B)0 adalah invers-g refleksif dari A B.
Bukti: A0 B0 A B 0 dikatakan invers-g refleksif dari A B apabila memenuhi syarat-syarat yang ada pada definisi 3 yaitu.
A A
AA0 dan A0AA0 A0.
Dengan mengalikan persamaan (8) dan (9) maka syarat-syarat yang ada pada definisi 3 dapat terpenuhi. Selanjutnya kalikan persamaan (11) pada kedua ruas persamaan (10) sehingga diperoleh . 0 0 0 0 0 0 0 0 0 B A P Y I Q P YY Y I Q r r
Maka terbukti bahwa A0 B0 A B 0 merupakan invers-g refleksif dari A B. ■ Invers-g dari penjumlahan dapat diperoleh dengan menggunakan kasus
r B rank A
rank( ) ( ) dan rank(A) rank(B). Misalkan C {c1,c2,...,ck) adalah
basis dari R(A)R(B) yang berisi kolom-kolom ke-ci. Kemudian C dapat diperluas
manjadi basis X C untuk R(A) dengan X {x1,x2,...,xr k). Disamping itu U C
adalah basis untuk R(B) dengan U {u1,u2,...,us k). Sehingga diperoleh
}. 0 { ) ( ) ( , } 0 { ) ( ) ( , } 0 { ) ( ) (X R C R X RU R C RU R
Karena X C merupakan basis untuk R(A) dan U C merupakan basis untuk R(B), maka faktorisasi rank A dan B adalah
, , 2 1 Y Y X C A , . 2 1 V V U C B (12)
7
Karena rank(A) rank(B) r, maka dari persamaan (12) diperoleh faktorisasi rank
B A sebagai berikut. ). ( ) ( , , 1 1 2 2 2 1 2 1 UV XY V Y C V V U C Y Y X C B A (13)
Dari persamaan (13) dimisalkan M C(Y1 V1), dan N XY2 UV2. Selanjutnya dengan menerapkan Lemma 5 pada M dan N maka terdapat dua matriks , P dan Q yang dapat dibalik (invertible) sehingga
0 0
0 1
M
PMQ dengan M adalah matriks 1 k k, dengan k rank(M).
1 0
0 0
N
PNQ dengan N adalah matriks 1 (m k) (n k).
Selanjutnya dengan menggunakan Teorema 6, maka terdapat M0 dan N0 yang merupakan invers-g dari M dan N sehingga
(A B)0 (M N)0 M0 N0. 4. CONTOH Dimisalkan matriks 0 0 1 2 1 2 0 0 1 A dan 2 1 1 0 0 2 2 1 1 B ,
akan ditunjukkan bahwa terdapat M0 dan N0 yang merupakan invers-g dari M dan N
sehingga (A B)0 (M N)0 M0 N0. Penyelesaian: Dari 0 0 1 2 1 2 0 0 1 A dan 2 1 1 0 0 2 2 1 1 B dibentuk . 0 1 0 1 2 1 , , X C U C Sehingga diperoleh faktorisasi rank 2 1 0 0 0 1 0 1 1 2 0 1
A dan faktorisasi rank .
2 0 1 0 0 1 1 0 1 1 2 1 B
Karena rank(A) rank(B) r maka faktorisasi rank dari A B dapat diperoleh dengan menggunakan persamaan (13). Dari persamaan (13) dimisalkan M C(Y1 V1) dan N (XY2 UV2).
8 Sehingga diperoleh 0 0 2 0 0 4 0 0 2 M dan . 2 1 0 2 1 0 2 1 0 N
Kemudian reduksi M ke bentuk . 0 0 0 k I Sehingga diperoleh M 1 1 0 2 0 1 4 0 0 2 0 0 2 0 0 4 0 0 2 . 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 1 2 0 0 1
Dengan menerapkan Lemma 5 pada M dan N maka diperoleh matriks , P dan Q yang dapat dibalik (invertible) sebagai berikut.
. 2 1 0 2 1 0 2 1 0 2 1 0 1 1 1 , 0 , 0 2 1 2 1 N I S I Q I R I P Sehingga diperoleh 2 1 0 2 1 0 0 0 0 PNQ dan . 0 0 0 0 0 0 0 0 1 ) ( 1M Q P PMQ
Selanjutnya dengan menggunakan Teorema 6 dapat di hitung
( )0 , 1 0 Q M P M N0 Q(PNQ)0P. . 0 0 0 0 0 0 0 1 -1 1 0 0 0 1 0 0 1 -1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 M
Sebelum menentukan N0terlebih dahulu ditentukan nilai dari PNQ 0 sebagai berikut. , 3 / 2 3 / 1 3 / 2 3 / 2 3 0 0 0 1 2 / 1 1 1 2 1 2 1 . 9 / 2 9 / 1 9 / 2 9 / 1 2 1 2 1 0 Karena , 2 1 0 2 1 0 0 0 0 PNQ
9 Maka . 9 / 2 9 / 1 0 9 / 2 9 / 1 0 0 0 0 0 PNQ . 9 / 2 9 / 1 0 9 / 2 9 / 1 0 0 0 0 0 N Sehingga 0 0 M N . 9 / 2 9 / 1 0 9 / 2 9 / 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 1 1 9 / 2 9 / 1 0 9 / 2 9 / 1 0 0 0 0
Maka terbukti bahwa N0 dan M0 merupakan invers-g dari M dan N sehingga
. ) ( ) (A B 0 M N 0 M0 N0 ■ 5. KESIMPULAN
Berdasarkan pembahasan yang telah diuraikan maka dapat disimpulkan bahwa
generalized inverse dari penjumlahan dua matriks dapat diperoleh dengan menggunakan
kasus rank(A) rank(B) rdan rank(A) rank(B). Hanya terdapat perbedaan pada faktorisasi ranknya. Pada kasus rank(A) rank(B) faktorisasi rank A untuk baris dan
kolomnya masing-masing dikalikan dengan nol.
DAFTAR PUSTAKA
[1] A. Ben Israel & T. Greville. 1980. Generalized Inverses, theory and applications. Wiley, New York.
[2] Anton, H. 1987. Aljabar Linear Elementer, 5 Ed. Terjemahan Elementary nd
Linear Algebra, Fifth Edition, Oleh Silaban, Pantur & I. N Susila. Erlangga,
Jakarta.
[3] Fill, J. A & E. D Fishkindy. 1998. The Moore Penrose Generalized Inverse for
Sums of Matrices. PUMA. 18:1-14.
[4] Ren, X. M, Y. Wang & K. P. Shum. 2005. On Finding The Generalized Inverse
Matrix for The Product of Matrices. PUMA. 16 (13):191-197.
[5] Hanifa, Z & S. Guedjiba. 2008. On Algebraic Properties of Generalized Inverses
