PERTEMUAN 2
NOTASI SIGMA, DISTRIBUSI FREKUENSI DAN UKURAN GEJALA PUSAT DATA YANG TIDAK DIKELOMPOKAN
1.1. Simbol Sigma Rumus
Aturan penjumlahan :
d.
n
i
k Xi
1
)2 =
n
i 1
(Xi2 – 2kXi +k2).
Jwb : 5 ( 10)
1
i
Xi 2 = ( X
1-10)2 + (X2-10)2 + (X3 + 10)2 + (X4 + 10)2 +
(X5 + 10)2.
= (5 – 10)2 + (7 – 10)2 + (4 – 10)2 + (6 – 10)2 + (3 – 10)2
= 135
e.
n
i 1
(Yi - a – bXi) =
n
i 1
(Yi – na - b
n
i Xi
1
)
Jwb :
5
1
i
(Yi - a – bXi) =
n
i 1
(Yi – na - b
5
1
i
Xi )
= (4 + 8 + 10 + 2 + 1) - na - b(5+7+4+6+3)
= 25 – na - b(25) = 25 - (5)(10) - b(25)
= 25 – 50 – 25b = -25 – 25b
= -25 = 25b b = 1.
1.2.Penyusunan Distribusi Frekuensi
a. Mamba array data atau data terurut (bila diperlukan)
b. Menentukan range (jangkauan) : selisih antara nilai yang terbesar dengan nilai yang terkecil. R = Xmax - Xmin
c. Menentukan banyaknya kelas dengan mempergunakan rumus Struges.
1.3.Jenis Distribusi Frekuensi Contoh Soal :
Di data mentah ( belum dikelompokan ) nilai ujian statistik 50 mahasiswa sebagai berikut :
55 48 22 49 78 59 27 41 68 54
34 80 68 42 73 51 76 45 32 53
66 32 64 47 76 58 75 60 35 57
73 38 30 44 54 57 72 67 51 86
25 37 69 71 52 25 47 63 59 64
Jawab :
1. Buatlah array data atau data terurut 22, 25, 25, 27, 30, 32, 32, 34, 35, 37 38, 41, 42, 44, 45, 47, 47, 48, 49, 51 51, 52, 53, 53, 54, 54, 55, 57, 57, 58 59, 60, 63, 64, 64, 66, 67, 68, 68, 69 71, 72, 73, 73, 75, 76, 76, 78, 80, 86 2. Menentukan range (jangkauan )
R = Xmax - Xmin
R = 86 – 22 = 64
3. Menentukan banyaknya kelas. K = 1 + 3,3 Log n
= 1 + 3,3 log 50 = 1 + 3,3 (1,7)
= 6,61 dibulatkan menjadi 7 1. Menetukan Interval Kelas
I = R/K = 64/6,61
= 9,68 10 Tabel distribusi frekuensi :
Interval kelas Tally/Turus Frekuensi
30 – 39 40 - 49 50 – 59 60 – 69 70 – 79 80 - 89
IIIII II IIIII III IIIII IIIII II
IIIII IIII IIIII III
II
7 8 12
9 8 2
2. Menentukan batas –batas kelas :
- Tepi bawah kelas = batas bawah kelas – 0,5 (skala terkecil ) = 20 – 0,5 = 19,5
= 30 – 0,5 = 29,5 dst
- Tepi atas kelas = batas atas kelas + 0,5 (skala terkecil ) = 29 + 0,5 = 29,5
= 39 + 0,5 = 39,5
- Panjang interval kelas = Tepi atas kelas – Tepi bawah kelas = 29,5 – 19,5 = 10
= 39,5 – 29,5 = 10 dst 3. Jenis Distribusi Frekuensi
a. Distribusi frekuensi kumulatif
“Suatu daftar yang memuat frekuensi – frekuensi kumulatif, jika ingin mengetahui banyaknya observasi yang ada diatas/dibawah suatu nilai ttt”
b. Distribusi frekuensi relatif
“Perbandingan dari pada frekuensi masing-masing kelas dan jumlah frekuensi seluruhnya & dinyatakan dalam persen”.
c. Distribusi frekuensi kumulatif kurang dari : (dari atas)
“Suatu total frekuensi dari semua nilai yang lebih kecil dari tepi bawah kelas pada masing-masing interval kelas”
d. Distribusi frekuensi kumulatif lebih dari : (dari bawah )
e. Distribusi frekuensi kumulatif persentasi
“Suatu total frekuensi dengan menggunakan persentasi”
Buatlah Distribusi Frekeunsi nilai statistik dari 50 Mahasiswa BSI Yogyakarta Interval
Kelas
Mid Point /Nilai tengah ( X )
Frekuensi ( F )
FKKD FKLD FKR(relatif)
20 - 29 24,5 4 4 50 0,08
30 – 39 34,5 7 11 46 0,14
40 – 49 44,5 8 19 39 0,16
50 – 59 54,5 12 31 31 0,24
60 – 69 64,5 9 40 19 0,18
70 – 79 74,5 8 48 10 0,16
80 - 89 84,5 2 50 2 0,4
f = 50Tentukan diagram Hitogram, Poligon dan Ogive
1. Tabel Histogram
Latihan Soal :
Data hasil ujian mata Kuliah Statistika dari 60 Mahasiswa BSI sebagai berikut :
23 60 79 32 57 74 52 70 82 36
80 77 81 95 41 65 92 85 55 76
52 10 64 75 78 25 80 98 81 67
~ Suatu histogram berdiri atas satu kumpulan batang persegi panjang yang masing2 mempunyai ciri: a. Alas pada sumbu mendatar
(x) yang lebar kelas interval. b. Luas yang sebanding
41 71 83 54 64 72 88 62 74 43
60 78 89 76 84 48 84 90 15 79
34 67 17 82 69 74 63 80 85 61
Ditanyakan :
1. Buatlah tabel Distribusi Frekuensi yang berisi kelas interval, & Mid Point serta Frekuensi Relatif.
2. Buatlah tabel Distribusi Frekuensi Kumulatif lebih dari, kurang dari, Frekuensi Kumulatif Relatif
DATA BELUM DIKELOMPOKAN
1. Rata-rata hitung (mean ) adalah nilai yang mewakili sekelompok data Rumus : x = =
N 1
N
i xi
1
=
N 1
( X1 + X2 + X3 + …+ Xn)
Xi = nilai pengamatan (data) ke-i N = banyaknya data
= dibaca Myu yaitu simbol rata-rata sebenarnya yang disebut parameter.
Contoh :
a). Rata – rata penjualan suatu perusahaan selama 10 tahun terakhir.
X1 = 50 X6 = 90 Jawab : =
N 1
N
i xi
1
X2 = 60 X7 = 100 =
10 1
(715) = 71,5
X3 = 40 X8 = 65 Jadi rata-rata hasil penjualan 71,5 jt. X4 = 70 X9 = 75
b). Terdapat lima orang didalam kelas kecil dan seorang instruktur tertatik untuk mengetahui rata-rata umur mereka.selama yang dihitung adalah semua o rang didalam kelas dinamakan populasi.5 umur mahasiswa itu adalah: 21,19,25,2 0 dan 22 th.
Jwb: x ==
N 1
n
xi =N1
(x1 + x2 +x 3+x4 +x5).
=
5 1
( 21 + 19 + 25 + 20 + 22 )=
5 107
= 21,4
Ket: xi = nilai pengamatan (data) ke - i. N = banyaknya data
= rata-rata hitung
2. Rata-rata ukur/geometri dari sejumlah nilai N, nilai data adalah akar pangkat N dari hasil kali masing – masing nilai dari kelompok tersebut :
G = N xi.xi.xi...xn atau Log G =
N xi) log (
G = antilog
Contoh :
a). Cari rata-rata ukur dari data : X1 = 2, X2 = 4, X3 = 8
Jwb :
G =3 (2).(4).(8)
= 3 64 = 4 atau
Log G =
3 1
(log X1 + log X2 + log X3)
=
3 1
( log 2 + log 4 + log 8 )
=
3 1
(0,3010 + 0,6021 + 0,9031)
Log G =
3 1
(1,8062) = 0,6021
b). Diketahui sekelompok data hasil pengukuran adalah 1, 2,4,8,16,32 berapa rata-rata geometri kelompok angka itu:
G=n Xi.Xi.Xi...Xn atau Log N =
N Xi
logJwb:G=6 1.2..4.8.16.32
=6 32768=5,6567
Atau
Log G = (log1 log2 log4 log8 log16 log32). 6
1
Log G = (0,00 0.30103 0,60206 0,90309 1,20412 1,50515) 6
1
= (4,5154) 0,75257 6
1
G antilog=0,75257=5,66
3. Rata-rata harmoni dari seperangkat data X1, X2, X3, …Xn adalah kebalikan rata-rata
hitung. Contoh :
a). Seorang pedagang batik dipekalongan memperoleh hasil penjualan sebesar Rp. 100.000 per minggu dengan rincian sebagai berikut :
Jawab ;
b). Jika kita mengeluarkan uang Rp 12.000,- untuk buku dgn harga Rp.100,-/buku Jika kita mengeluarkan uang Rp12.000,- untuk buku dgn harga Rp.200,-/buku Jika kita mengeluarkan uang Rp 12.000,- untuk buku dng harga Rp.300,-/buku Jika kita mengeluarkan uang Rp 12.000,-untuk buku dgn harga Rp.400,-/buku
Tunjukan bahwa rata-rata harmoni dari 1,2,3,4 akan memberikan dengan tepat harga rata-rata yang dibayarkan untuk buku-buku tersebut.
Jawab:
Jdi rata-rata perbuku =
Rp.192,-.3. Rata-rata tertimbang. Jika nilai data Xi mempunyai timbangan Wi, adalah
Example :
a). Seorang Mahasiswa Bina Sarana Informatika menempuh ujian mata kuliah Metode Riset (3 sks), Akuntasi (5 sks&prakt), Pengantar Manajemen (3 sks), Praktek Bahasa Inggris (1 sks). Ternyata hasilnya menunjukan bahwa nilai Metode Riset = 82, Akuntansi 86, Pengantar manajemen = 90, Praktek Bahasa Inggris = 70. Hitunglah nilai rata-rata tertimbang hasil ujian tersebut.
Jawab :
X =
Wi Wi Xi.
2 3 5 3
) 2 ( 70 ) 3 ( 90 ) 5 ( 86 ) 3 ( 82
= 83,54
Jadi nilai rata-rata tertimbang mahasiswa adalah : 83,54
b). Seorang mahasiswa BSI yang mengikuti ujian akhir semester 5 matakuliah yang memiliki bobot kredit berbeda. Nilai ujian itu seperti dibawah ini :
Mata kuliah Bobot Kredit nilai Bobot x nilai
Statistik dskriptif 2 82 164
P.Manajemen 3 80 240
P.Sim 3 77 231
Logika&algoritma 3 90 270
PPN I 4 88 352
Wi 15 1.257Jawab:
X =
Wi Wi Xi
.
W = tertimbang/nilai pembobot
Xi = nilai data ke-i
“Kalau k adalah suatu bilangan konstan dan N ganjil, maka selalu dapat ditulis :
N = 2k +1 atau k =
2 1
n
Med = Xk+1
Contoh :
Ada 7 karyawan dengan upah per minggu masing-masing Rp.20.000,-Rp.80.000,-, Rp.75.000,- , Rp.60.000,-, Rp.85.000,- Rp.45.000, 50.000,-. Tentukan median upah karyawan.
Jwb :
1. Urutkan dahulu dari terkecil ke terbesar
Rp.20.000, Rp.45.000, Rp.50.000, Rp.60.000, Rp.75.000, Rp.80.00, Rp.85.000
2. Tentukan nilai k dari 7 =2k+1 K =
2 1 7
= 3
Jadi Median = Xk+1 = X3+1 =X4 =
Rp.60.000,- Jika diketahui sekelompok data seperti berikut : 8, 2, 3, 4, 5, 6, 4, 5, 8, 9, 7 berapa mediannya ?
Langkah-langkahnya :
1. Urutkan data dari nilai terkecil sampai nilai terbesar. 2, 3, 4, 4, 5, 5, 6, 7, 8, 8, 9.
2. Carilah nilai yang terletak ditengah-tengah yaitu data
k =
2 1
n
= 6
2 ) 1 13 (
Medk+1= Med6+1 = 7 yaitu 5
3. Tentukan nilai yang terletak pada urutan ke 7 yaitu = 5.
Nilai ujian statistik dari 2 mahasiswa BSI masing-masing adalah sbb: 85, 75, 35, 55, 40, 90, 65, 60, 70, 95, 45.
Jawab :
k =
2 1
n
= 5
2 ) 1 11 (
2. Medk+1= Med5+1 = 6 yaitu (65)
Untuk N Genap : N = 2k
Med =
2 1
(Xk + Xk+1)
Contoh : Ada 8 karyawan dan upahnya dalam ribuan rupiah adalah sebagai berikut : 20, 80, 75, 60, 50, 85, 45, 90 berapa nilai mediannnya ?.
Jawab :
Urutkan X1= 20, X2= 45, X3= 50, X4= 60, X5 =75, X6 = 80, X7= 85,
X8= 90.
Rumus : N = 2k 8 = 2k ke 4
Med =
2 1
( Xk + Xk+1 ) X1, X2, X3, X4, X5, X6, X7, X8
=
2 1
( X4 + X4+1)
=
2 1
( 60 +75 ) = 67,5
Jadi median upah karyawan =
67.500,-5. Modus adalah nilai paling sering muncul atau yang mempunyai frekuensi paling tinggi.
Contoh :
Interval Frekuensi 20 – 29
30 – 39 40 – 49
50 – 59
6. Kuartil adalah fraktil yang membagi data menjadi 4 bagian. Q1 =
Contoh : Berikut ini adalah data upah perminggu dalam ribuan rupiah :
Yaitu : 40, 30, 50, 65, 45, 55, 70, 60, 80, 35, 85, 95, 100 ( n = 13) carilah nilai Q1, Q2,
Q3
Jawab : Data urutkan :
30, 35, 40, 45, 50, 55, 60, 65, 70, 80, 85, 95, 100.
7. Desil adalah fraktil yang membagi seperangkat data menjadi sepuluh. D1 = nilai yang ke
Contoh ; Berdasarkan data diatas Hitunglah D1, D2, D3
