KAMBUH: MODEL SUSCEPTIBLE VACCINATED INFECTED RECOVERED
Arifin Aji Nugroho, Purnami Widyaningsih, Dewi Retno Sari Saputro Program Studi Matematika FMIPA UNS
Abstrak. Indikator penanggulangan TB yaitu angka prevalensi, angka insiden, dan
mortalitas. Ketiga indikator tersebut dipengaruhi banyaknya penderita TB. Pemodel-an matematika dapat digunakPemodel-an untuk mengamati perubahPemodel-an bPemodel-anyaknya penderita TB. Dalam artikel ini, model penyebaran penyakit TB dengan memperhatikan vaksinasi dan kambuh yaitu modelsusceptible vaccinated infected recovered(SV I R) dengan kasus
kam-buh diturunkan dan diterapkan di Indonesia. Model tersebut berbentuk sistem per-samaan diferensial nonlinier orde satu. Estimasi parameter ditentukan berdasarkan data tahun 2004-2014. Keakuratan model diukur berdasarkan eror relatif tahun 2015-2016. Mutlak eror relatif yang terjadi cukup kecil yaitu kurang dari 0.06 sehingga model cukup
akurat dan dapat digunakan untuk menentukan prediksi angka prevalensi, angka insiden, dan mortalitas TB di Indonesia. Selama 2017-2035, ketiga indikator tersebut mengalami penurunan dengan rata-rata persentase penurunan per tahun yaitu 1.90% untuk angka prevalensi dan mortalitas TB serta 1.68% untuk angka insiden TB.
Kata Kunci: insiden, kambuh, mortalitas, prevalensi, SVIR, TB
1. Pendahuluan
Tuberkulosis (TB) merupakan penyakit menular yang disebabkan oleh bakteri
Mycobacterium tuberculosis. Penyakit ini ditularkan melalui bakteri yang menyebar
ke udara dalam bentuk percikan dahak (droplet) karena batuk, bersin, atau meludah.
Penyakit ini umumnya menyerang organ paru-paru, tetapi juga dapat menyerang
organ lain seperti sistem limfa, otak, tulang belakang, dan ginjal (Kemenkes RI [4]).
Pada tahun 2015, WHO [12] melaporkan terjadi 10.4 juta kasus baru TB di
dunia. 60% kasus baru tersebut terjadi di India, Indonesia, China, Nigeria, Pakistan,
dan Afrika Selatan. Selain itu, penyakit TB juga masuk dalam 10 daftar penyebab
kematian terbesar di dunia pada tahun 2015 versi WHO [12]. Tercatat terjadi 1.4
juta kematian karena TB dan 0.4 juta kematian karena TB yang positif HIV.
Pencegahan TB dilakukan melalui vaksinasiBacillus Calmette-Geurin (BCG).
Sedangkan, penanganan TB dilakukan melalui Directly Observed Treatment
Short-course (DOTS) yaitu pengawasan langsung dalam minum obat (Tim Pusdatin [9]).
Dalam proses pengobatan ini, penderita terkadang tidak disiplin dalam menjalaninya
karena merasa sudah sembuh. Dengan demikian, bakteri penyebab TB tidak
benar-benar hilang dari tubuh dan hanya melemah yang memungkinkan penderita yang
Vaksinasi dan kasus kambuh merupakan dua faktor yang memengaruhi
penye-baran penyakit TB. Pemodelan matematika dapat digunakan sebagai alat untuk
mengetahui penyebaran penyakit TB yang diamati berdasarkan perubahan
banyak-nya penderita TB. Enagi dan Ibrahim [2] dan Shahidet al. [7] telah meneliti model
penyebaran penyakit TB dengan memperhatikan vaksinasi BCG. Model
terse-but oleh Shahid et al. [7] disebut model vaccinated susceptible infected recovered
(V SIR). Pada model tersebut, sasaran vaksinasi BCG adalah individu yang baru
lahir.
Berbeda dengan Enagi dan Ibrahim [2] dan Shahid et al. [7], dengan
memper-hatikan waktu pelaksanaan vaksinasi BCG yaitu beberapa hari setelah kelahiran
sampai bayi berusia satu bulan sehingga pada penelitian ini bayi baru lahir
digo-longkan sebagai individu sehat namun rentan terinfeksi TB (susceptible) dan sasaran
vaksinasinya adalah kelompok individu susceptible. Dengan memperhatikan hal
tersebut, dikonstruksikan model susceptible vaccinated infected recovered (SV IR).
Selain itu juga diperhatikan kasus kambuh TB yang terjadi sehingga lebih lanjut
diteliti model SV IR dengan kasus kambuh pada penyebaran penyakit TB.
Selan-jutnya model diterapkan pada penyebaran penyakit TB di Indonesia, kemudian
diukur keakuratannya. Penyelesaian model digunakan untuk memprediksi angka
prevalensi, angka insiden dan angka kematian (mortalitas) TB di Indonesia.
2. Model SIR
Pada tahun 1989, Hethcote [3] memperkenalkan tiga model dasar dalam
epidemi-ologi. Salah satu diantaranya adalah model susceptible infected recovered (SIR).
Hethcote [3] membagi populasi (N) menjadi tiga kelompok individu yaitu kelompok
individu sehat tetapi rentan terinfeksi penyakit (susceptible/S), kelompok individu
terinfeksi penyakit (infected/I), dan kelompok individu sembuh dan memiliki
keke-balan permanen (recovered/R).
Masih menurut Hethcote [3], dalam model SIR diasumsikan hanya terdapat
satu penyakit dalam populasi dan populasi diasumsikan konstan sehingga laju
ke-lahiran dan laju kematian bernilai sama yaitu µ. Selain itu, juga diasumsikan
indi-vidu yang lahir adalah indiindi-vidu sehat yang rentan terhadap penyakit. Banyaknya
Setiap kelompok individu S, I, dan R terdapat kematian sehingga banyaknya
indi-viduS,I, Rberturut-turut berkurang sebesarµS,µI, danµR. Kelompok individu
S dapat terinfeksi penyakit setelah melakukan kontak dengan kelompok individuI.
Jika β adalah besarnya laju kontak, maka banyaknya individu S berkurang
sebe-sar βSI
N dan banyaknya individu I bertambah sebesar β SI
N. Kelompok individu
I dimungkinkan untuk sembuh dan memiliki kekebalan permanen. Jika γ adalah
besarnya laju kesembuhan, maka banyaknya individu I berkurang sebesar γI dan
banyaknya individu R bertambah sebesar γI. Dengan demikian, secara lengkap
model SIR ditulis sebagai
dS
dt = µN−β
SI
N −µS
dI
dt = β
SI
N −γI −µI (2.1)
dR
dt = γI−µR
dengan S(0) ≥ 0, I(0) > 0, R(0) ≥ 0, µ, β, γ > 0. Model (2.1) merupakan sistem
persamaan diferensial nonlinier orde satu.
3. Hasil dan Pembahasan
3.1. Model SV IR dengan Kasus Kambuh. Tiga indikator yang diperhatikan dalam penanggulangan TB yaitu angka prevalensi, angka kesakitan (insiden), dan
angka kematian (mortalitas). Angka prevalensi TB merupakan proporsi banyaknya
penderita TB terhadap jumlah penduduk suatu wilayah pada periode waktu
ter-tentu. Sedangkan angka insiden TB merupakan proporsi banyaknya penderita baru
dan kambuh terhadap jumlah penduduk suatu wilayah yang berisiko terinfeksi TB
pada periode waktu tertentu (Kemenkes RI [5]). Ketiga indikator tersebut biasanya
dinyatakan dalam per 100000 penduduk (Sutopo, dkk. [8]). Besarnya nilai ketiga
in-dikator tersebut dipengaruhi oleh banyaknya penderita TB. Pemodelan matematika
dapat digunakan untuk mengamati perubahan banyaknya penderita TB dari waktu
ke waktu. Model ini kemudian disebut model penyebaran penyakit TB.
Penyakit TB memiliki karakteristik penularan terjadi melalui kontak langsung
yang dapat disembuhkan. Karakteristik tersebut secara matematis dapat
dimodel-kan sebagai modelSIR. Asumsi populasi konstan pada modelSIR(2.1) tidak sesuai
dengan keadaan sekarang sehingga pada penelitian ini diasumsikan populasi tidak
konstan. Adanya asumsi tersebut mengakibatkan laju kelahiran dan laju kematian
bernilai tidak sama. Jika θ menyatakan laju kelahiran maka banyaknya kelahiran
sebesar µN berubah menjadi sebesar θN.
Terkait dengan indikator penanggulangan TB yaitu mortalitas sehingga pada
penelitian ini kematian dibedakan menjadi dua macam yaitu kematian karena TB
dan kematian selain karena TB (alami). Jika δ menyatakan laju kematian
kare-na TB, maka banyaknya individu I berkurang sebesar δI dan jika µ menyatakan
laju kematian alami, maka banyaknya masing-masing individu S, I, R, berkurang
sebesar µS, µI, dan µR.
Upaya pencegahan penyakit TB dilakukan melalui vaksinasi BCG. Vaksin
ini diberikan pada bayi berusia di bawah satu bulan dengan dosis pemberian yaitu
0.01ml sebanyak satu kali (Pusdiklatnakes [6]). Shahid et al. [7] mendefinisikan
individu yang telah memperoleh vaksinasi BCG sebagai vaccinated (V). Dengan
memperhatikan masa pemberian vaksin tersebut, bayi yang baru lahir diasumsikan
sehat namun rentan terinfeksi TB (susceptible). Dengan demikian, sasaran vaksinasi
merupakan kelompok individu S. Jika α menyatakan laju vaksinasi BCG, maka
banyaknya individu S berkurang sebesar αS dan banyaknya individuV bertambah
sebesar αS.
Pada kondisi terbaiknya, vaksinBCG memiliki efikasi sebesar 80% yang
efek-tif mencegah TB selama 15 tahun (CDC [1]). Hal tersebut menunjukkan bahwa
pencegahan ini tidak sepenuhnya memberikan perlindungan secara total sehingga
dimungkinkan individu tersebut menjadi rentan kembali terhadap infeksi TB. Jikaλ
adalah laju efektifitas vaksin BCG, maka banyaknya individuV berkurang sebesar
λV dan banyaknya individu S bertambah sebesar λV. Selain itu, kelompok
indi-vidu V juga dapat mengalami kematian sehingga banyaknya individuV berkurang
sebesar µV.
Penyakit TB merupakan penyakit yang dimungkinkan kambuh. Hal tersebut
Hal tersebut mengakibatkan bakteri penyebab TB tidak benar-benar hilang dari
tubuh dan hanya melemah yang kemudian dapat aktif kembali untuk menginfeksi.
Dengan memperhatikan hal tersebut, perlu didefinisikan ulang kelompok individu R
yaitu kelompok individu yang sembuh dari TB. Jikaσmenyatakan laju kekambuhan
TB, maka banyaknya individu R berkurang sebesar σR dan banyaknya individu I
bertambah sebesar σR. Dengan demikian, secara lengkap model SV IR dengan
kasus kambuh pada penyebaran penyakit TB dapat dituliskan sebagai
dS
dt = θN−β
SI
N −(µ+α)S+λV
dV
dt = αS−(λ+µ)V
dI
dt = β
SI
N −(γ+µ+δ)I+σR (3.1) dR
dt = γI−(σ+µ)R
dengan S(0) ≥ 0, V(0) ≥ 0, I(0) >0, R(0) ≥ 0 dan θ, β, γ, µ, δ, α, λ, σ > 0.
Kede-lapan parameter tersebut berturut-turut menyatakan laju kelahiran, laju kontak,
laju kesembuhan, laju kematian alami, laju kematian karena TB, laju vaksinasi
BCG, laju efektifitas vaksin BCG, dan laju kekambuhan. Model (3.1) merupakan
sistem persamaan diferensial nonlinier orde satu. Penyelesaian model (3.1) dapat
digunakan untuk menentukan angka prevalensi, angka insiden, dan mortalitas TB.
3.2. Penerapan. Model (3.1) diterapkan pada penyebaran TB di Indonesia. Data yang digunakan merupakan data yang diperoleh dari Profil Kesehatan Indonesia [9],
World Bank [10], dan WHO [11] tahun 2004-2016 meliputi jumlah penduduk, crude
birth rate,crude death rate, banyaknya kasus baru dan kambuh TB, banyaknya
ke-matian karena TB, banyaknya individu yang baru mendapatkan vaksinasi BCG,
dan banyaknya individu yang baru sembuh dari TB. Berdasarkan data tersebut,
di-tentukan banyaknya masing-masing kelompok individuS,V,I, danR. Selanjutnya,
data tahun 2004-2014 digunakan untuk mengestimasi parameter model, sedangkan
data tahun 2015-2016 digunakan untuk mengukur keakuratan model.
Berdasarkan data tahun 2004-2014, diperoleh nilai laju kelahiran (θ) sebesar
kematian alami (µ) sebesar 0.00663, laju kematian karena TB (δ) sebesar 0.13198,
laju vaksinasi BCG (α) sebesar 0.02120, dan laju kekambuhan TB (σ) sebesar
0.00522. Sedangkan nilai laju efektifitas vaksin BCG (λ) ditentukan berdasarkan
masa efektifitas vaksin yaitu 15 tahun sehingga diperoleh λsebesar 1/15≈0.06667.
Dengan mensubstitusikan nilai-nilai parameter tersebut ke model (3.1) diperoleh
model SV IR dengan kasus kambuh untuk penyebaran TB di Indonesia yaitu
dS
dt = 0.02108N −0.34080 SI
N −0.02783S+ 0.06667V dV
dt = 0.02120S−0.0733V dI
dt = 0.34080 SI
N −0.29862I+ 0.00522R (3.2) dR
dt = 0.16001I−0.01185R
Model (3.2) merupakan sistem persamaan diferensial nonlinier orde satu yang
secara analitik sulit ditentukan penyelesaiannya. Oleh karena itu ditentukan
penye-lesaian pendekatan menggunakan algoritme Runge-Kutta orde empat. Nilai awal
yang digunakan mengacu pada banyaknya kelompok individu S, V, I, dan R pada
tahun 2004 (t = 0). Berdasarkan data, diketahui nilai awal untuk masing-masing
kelompok individu yaitu
S(0) = 217890382 V(0) = 4169722 I(0) = 985000 R(0) = 119545. (3.3)
Selanjutnya ditentukan penyelesaian model (3.2) dengan syarat awal (3.3)
dalam kurun waktu 12 tahun pertama (2005-2016). Penyelesaian pada tahun ke-11
dan ke-12 dibandingkan dengan data tahun 2015-2016. Selain itu, pada tahun yang
sama juga dapat dibandingkan insiden (kasus baru dan kambuh) TB. Eror relatif
untuk kelompok individu I dan insiden TB ditunjukkan pada Tabel 1.
Tabel 1. Eror relatif kelompok individu I dan insiden TB
Berdasarkan Tabel 1 terlihat bahwa mutlak eror relatif untuk kelompok
in-dividu I dan insiden TB bernilai kurang dari 0.06 sehingga model (3.2) dapat
dikatakan cukup akurat. Angka prevalensi dan mortalitas TB dipengaruhi oleh
banyaknya individu I sehingga prediksi angka prevalensi dan mortalitas TB dapat
ditentukan. Selain itu juga dapat ditentukan prediksi angka insiden TB. Prediksi
angka prevalensi, angka insiden, dan mortalitas TB di Indonesia pada tahun
2017-2035 ditunjukkan dalam Gambar 1.
397
2017 2020 2025 2030 2035 Tahun
50
Gambar 1. Prediksi angka prevalensi, angka insiden, dan mortalitas TB di Indonesia tahun 2017-2035
Berdasarkan Gambar 1 terlihat ketiga indikator penanggulangan TB
mengala-mi penurunan dari tahun ke tahun dengan rata-rata persentase penurunan setiap
tahunnya adalah 1.90% untuk angka prevalensi dan mortalitas TB serta 1.68% untuk
angka insiden TB.
4. Kesimpulan
Berdasarkan hasil dan pembahasan, diambil tiga kesimpulan.
(1) Model SV IR dengan kasus kambuh pada penyebaran penyakit TB yaitu
denganS(0)≥0,V(0) ≥0,I(0)>0, dan R(0) ≥0, sertaθ, β, γ, µ, δ, α, λ, σ
bernilai positif.
(2) Model SV IR dengan kasus kambuh diterapkan pada penyebaran TB di
Indonesia dengan estimasi parameter menggunakan data tahun 2004-2014.
Penyelesaian model dibandingkan dengan data tahun 2015-2016. Berdasarkan
eror relatifnya, modelSV IR dengan kasus kambuh untuk penyebaran TB di
Indonesia cukup akurat sehingga model dapat digunakan untuk memprediksi
angka prevalensi, angka insiden, dan mortalitas TB di Indonesia.
(3) Angka prevalensi, angka insiden, dan mortalitas TB di Indonesia pada tahun
2017-2035 mengalami penurunan dari tahun ke tahun dengan rata-rata
persen-tase penurunan per tahun yaitu 1.90% untuk angka prevalensi dan mortalitas
TB serta 1.68% untuk angka insiden TB.
Daftar Pustaka
1. CDC, The Role of BCG Vaccine in the Prevention and Control of Tuberculosis in United State: A Joint Statement by the Advisory Council for the Elimination of Tuberculosis and the Advisory Committee on Immunization Pratices, MMWR45 (1996), No. RR–4.
2. Enagi, A.I. and M.O. Ibrahim,Preventing Mother to Child Transmission of Tuberculosis Using Bacillus Calmette-Geurin Vaccine: A Deterministic Modelling Approach, Research Journal of Mathematics and Statistics 32(2011), 67–71.
3. Hethcote, H. W., Three Basic Epidemiological Models, Applied Mathematical Ecology 18
(1989), 119–144.
4. Kemenkes RI [Kementerian Kesehatan Republik Indonesia],Pedoman Nasional Pengendalian Tuberkulosis, 2011.
5. Kemenkes RI [Kementerian Kesehatan Republik Indonesia], Pedoman Penanggulangan Tuberkulosis, 2016.
6. Pusat Pendidikan dan Pelatihan Tenaga Kesehatan,Buku Ajar Imunisasi, 2014.
7. Shahid, M., N. Khan, M. Hussain, M.L. Ali, and A. Mansoor, Vaccinated Susceptible Infected and Recovered (VSIR) Mathematical Model to Study the Effect of Bacillus Calmette-Geurin Vaccine and the Disease Stability Analysis, International Journal of Mathematical, Computational, Physical, Electrical and Computer Engineering9(2015), No. 2.
8. Sutopo, Agus, Dian Fitriana Arthati, and Utari Azalika Rahmi,Kajian Indikator Sustainable Development Goals (SDGs), Badan Pusat Statistik, Jakarta, 2014.
9. Tim Pusdatin [Pusat Data dan Informasi],Profil Kesehatan Indonesia, Kementerian Kesehatan Republik Indonesia, 2006-2017.
10. World Bank,Birth and Death Rate, Crude, 2017.
11. WHO [World Health Organization],Global Health Observatory Data Repository:Tuberculosis, 2017.
