Konferensi Nasional Matematika, Sains dan Aplikasinya ISBN

(1)

Konferensi Nasional Matematika, Sains dan Aplikasinya

ISBN:

978-979-99168-1-5

Dipublikasikan oleh:

Fakultas Matematika & Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Islam Bandung

Bandung, 26 Agustus 2015

(2)

Prosiding

KNMSA 2015

Konferensi Nasional Matematika, Sains dan Aplikasinya 2015

Fakultas Matematika & Ilmu Pengetahuan Alam

Universitas Islam Bandung, Jawa Barat, 26 Agustus 2015

“Linking Research Matematika, Sains dan Aplikasinya dalam Menghadapi Persaingan Pasar Bebas”

ISBN: 978–979–99168 –1–5

Cover Design : Dr. Aceng Komarudin Mutaqin, MT., M.Si.

Tim Prosiding : Agung Dadi Permady Sri Imelinda, S.Si.

Fatma Usemahu, S.Si.

Bayu Dwi Purnama Annisa Lisa Nurjanah Dwi Saraswati Aldisa Garsifandia

Shobrina Nuradhanti Nugroho Hilda Hidayati

Azka Fatharani

Hudzaifah Ishmatullah Izharulhaq Atik Rohayati

Amy Amallya

Faris Lailatul Ramdhan Yandi Eka Priatna

Dipublikasikan oleh : Fakultas Matematika & Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Islam Bandung, Bandung Jawa Barat

(3)

(4)

E d i t o r

Ketua : Dr. Aceng Komarudin Mutaqin Anggota : Suliadi, Ph.D.

Dr. Nusar Hajarisman Dr. Yani Ramdani, Dra., M.Pd.

Livia Syafnir, Dra., M.Si.

Sri Imelinda, S.Si.

Fatma Usemahu, S.Si.

(5)

(6)

Kata Pengantar

Puji dan syukur kami panjatkan ke hadirat Alloh SWT, karena hanya dengan izin-Nya maka dapat terselenggara kegiatan KONFERENSI NASIONAL MATEMATIKA, SAINS DAN APLIKASINYA (KNMSA 2015) oleh Fakultas Matematika & Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Islam Bandung pada tanggal 26 Agustus 2015 di Gedung Pascasarjana UNISBA Jl.

Purnawarman No. 59 Bandung. Konferensi Nasional ini bertema “Linking Research Matematika dan Aplikasinya dalam Menghadapi Persaingan Pasar Bebas.”

Panitia telah menerima sekitar 50 makalah berasal dari berbagai kalangan, seperti mahasiswa, akademisi, dan peneliti dan berasal dari berbagai daerah di Indonesia. Semua makalah tersebut dipresentasikan pada KNMSA 2015 di Unisba pada Tanggal 26 Agustus 2015, dalam bentuk oral dan dipublikasikan dalam sebuah prosiding. Kami ucapkan terima kasih kepada para peserta pemakalah yang telah berpartisipasi dalam rangka mempercepat pengembangan ilmu pengetahuan dan teknologi.

Semoga Prosiding KNMSA 2015 di Unisba ini bisa bermanfaat dalam penyebarluasan ilmu pengetahuan dan teknologi khususnya bidang bidang matematika dan sains di Indonesia.

Kepada semua pihak, terutama Tim Prosiding yang telah bekerja keras menyelesaikan prosiding ini, kami ucapkan terima kasih.

Bandung, Agustus 2015

Editor

(7)

(8)

Daftar Isi

Halaman

Editor i

Kata Pengantar iii

Daftar Isi v

Isolasi dan Identifikasi Senyawa Flavonoid dari Daun Mimba (Azadirachta indica A.H.J.Juss.)

Siti Hairunnisa, Yani Lukmayani, Leni Purwanti 1-7

Pemahaman Siswa tentang Barisan dan Deret dari Sudut Pandang Teori Apos

Syaiful 9-15

Penerapan Model Pertumbuhan Populasi untuk Menentukan Nilai Manfaat pada Asuransi Takaful Keluarga

Jansilmi Nur Al-Zia, Onoy Rohaeni, Eti Kurniati 17-23

Uji Tanda dan Uji Rank Bertanda Wilcoxon Multivariat (Implementasi pada Pengujian Efektifitas Pengobatan Iodium Radioaktif pada Penderita Hipertiroid)

Fatma Usemahu, Suwanda, Aceng Komarudin Mutaqin 25-31

Analisis Kualitatif dan Kuantitatif Residu Tetrasiklin dalam Telur Ayam Organik dan Non-Organik Secara Kromatografi Cair Kinerja Tinggi (KCKT)

Ayu Damarani, Nety Kurniaty, Diar Herawati 33-38

Penerapan Pendekatan Saintifik terhadap Kemampuan Pemahaman dan Pemecahan Masalah Matematik Siswa SMA

Asep Ikin Sugandi 39-48

Penerapan Metode Topsis Fuzzy Multiple Attribute Decision Making dalam Perankingan Calon Mahasiswa Baru Yang Melalui Jalur PMDK

Zenia Amarti, M. Yusuf Fajar, Respitawulan 49-57

Economic Landscape dan Analisis Sektor Unggulan Provinsi Jawa Barat Berdasarkan Tabel Input Output Tahun 2005 dan 2010

Egie Ginanjar Jayawardane, Teti Sofia Yanti, Lisnur Wachidah 59-66 Formulasi Sediaan Sabun Mandi Padat Mengandung Lendir Bekicot (Achatina fulica Bowdich) sebagai Pelembab Kulit

Rinrin Wirianti, Amila Gadri, Sani Ega Priani 67-75

Analisis Kandungan Etanol dalam Obat Batuk Sirup dengan Metode Kromatografi Gas Spektrofotometri Massa Sebagai Jaminan Kehalalan Produk

Shalahuddin Al Madury, M.Hatta Prabowo, Rochmy Istikharah 77-84

(9)

Perilaku Dinamika Persamaan Differensial Bessel Melalui Basis Solusi Umum pada Gerak Batang Elastis

Agus Nugraha, Gani Gunawan, Yani Ramdani 85-92

Metode Bootstrap untuk Diagram Kendali Minimax Multivariat

Winny Fitriana Ramly, Teti Sofia Yanti, Siti Sunendiari 93-104

Perbandingan Aktivitas Antioksidan Serta Kadar Flavonoid Total Ekstrak Etanol Herba Bayam Hijau (Amaranthus Hybridus L.) dan Bayam Merah (Amaranthus Tricolor L.)

Ruhdiana Eka Putra, Yani Lukmayani, Livia Syafnir 105-109

Analisis Kestabilan Model Penyebaran dan Pengendalian Penyakit Tuberculosis dengan Herbal

Embay Rohaeti, Sri Wardatun, Ani Andriyati 111-118

Algoritma Prediksi Tekanan Aliran Tiga Fasa (Minyak, Pasir, dan Gas) Pada Jaringan Kompleks Pipa Minyak Mentah

Ira Quraesyin, Respitawulan, Yurika Permanasari 119-125

Analisis Spektral dalam Penentuan Periodisitas Tersembunyi dari Data Prakiraan Cuaca di Kota Surabaya

Mohammad Sobri, Sutawanir Darwis, dan Suliadi 127-136

Pengaruh Pembentukan Kokristal dalam Upaya Meningkatkan Kelarutan dan Laju Disolusi Glimepirid Menggunakan Asam Tartrat sebagai Koformer

Denisa Noviana N.U., Fitrianti Darusman, Arlina Prima Putri 137-142 Formulasi Sediaan Tablet Hisap Mengandung Sari Buah Belimbing Wuluh (Averrhoa bilimbi L.)

Sani Ega Priani, Winda Kurniadewi, G.C. Eka Darma 143-146

Penilaian Kredit Agunan Rumah Menggunakan Straight Line Method

Fitri Hidayanti, Yurika Permanasari, Onoy Rohaeni 147-151

Pemetaan Kondisi Ekonomi Menurut Data PDRB Atas Dasar Harga Berlaku Pada Tahun 2012 Menurut Lapangan Usaha dengan Menggunakan Teknik Multidimensional Scaling

Meli Meliarni, Anneke Iswani Ahmad, Nusar Hajarisman 153-157

Perbandingan Komposisi Asam Lemak antara Minyak Ikan Gurami (Osphronemus Goramy Lacépède) dengan Minyak Ikan Nila (Oreochromis Niloticus Linnaeus) Menggunakan Kromatografi Gas- Spektroskopi Massa

Rizka Wulan Sari, Indra Topik Maulana, dan Undang Ahmad Dasuki 159-163 Aliran Verifikasi Multimodal Menggunakan Informasi Wajah, Pola Suara dan Iris Mata

Ina Agustina, Aris Gunaryati, Fauziah 165-174

Aplikasi Persamaan Diferensial Pada Model Pertumbuhan Populasi Logistik dengan Faktor Pemanenan

Hilda Ayulia, Yani Ramdani, dan Respitawulan 175-181

Uji Baumgartner Weiβ Schindler yang Di Modifikasi untuk Dua Sampel Berpasangan

Rini Wahyuni, Anneke Iswani Achmad, Teti Sofia Yanti 183-188

Uji Aktivitas Antialergi Krim Minyak Biji Mimba (Azadirachta indica A. Juss) pada Kelinci Albino Hibrid New Zealand dengan Metode Uji Anafilaksis Kutan Aktif

Rezsa Aprilia Rahmani, Fetri Lestari, Fitrianti Darusman 189-194

(10)

Studi Kualitas Air dan Potensi Makrozobenthos sebagai Bioindikator Kualitas Air di Sungai Cilaja Desa Babakan Cimahi

Wahyu Surakusumah, Hertien Soertikanti Koesbandiah, Tina Safaria, Isthmah Waskita Sari 195-200 Analisis Beta Internal untuk Menentukan Component Value At Risk Suatu Portofolio dengan Asset Valuta Asing dan Saham Menggunakan Koefisien Korelasi

Diana Wulansari Hermawan, Eti Kurniati, Yani Ramdani 201-208

Metode Kaplan-Meier Diboboti yang Diaplikasikan pada Data Klaim Polis Mitra Melati Asuransi Jiwa Bersama Bumiputera 1912

Sri Imelinda, Aceng Komarudin Mutaqin, Anneke Iswani Achmad 209-218 Validasi Metode Analisis Kuantitatif Di-n-Butilftalat (DBP) pada Margarin dan Mentega Secara Kromatografi Cair Kinerja Tinggi dengan Detektor UV

Faisal Aziz Setiawan, Bertha Rusdi, Nety Kurniaty 219-224

Menguji Kesamaan Dua Rata-rata untuk Varians Tidak Sama

Sudartianto, Nono Suwarno 225-232

Prediksi Lama Studi Mahasiswa Menggunakan Sistem Inferensi Fuzzy dengan Metode Tsukamoto Contoh Kasus Mahasiswa Program Studi Matematika F-MIPA Unisba

Ferawati Anna Nurjanah, M. Yusuf Fajar,Icih Sukarsih 233-240

Model Credit Scoring Menggunakan Regresi Logistik Beserta Validasinya

Ade Irma Nurwahidah, Abdul Kudus, Suliadi 241-251

Formulasi dan Uji Efektivitas Sediaan Gel Antiseptik Tangan (Hand Sanitizer) Mengandung Ekstrak Daun Jawer Kotok (Plectranthus Scutellarioides (L.) R.Br.)

Gia Asprilia, Sani Ega Priani, Umi Yuniarni 253-258

Pengaruh Pemberian Ekstrak Auricularia polytricha (Mont.) Sacc. Terhadap Efek Antiagregasi Trombosit Mencit Swiss Webster Jantan

Sri Peni Fitrianingsih, Lanny Mulqie, Yani Lukmayani, Annisa I. Rahayuningtyas 259-264 Modifikasi Gauss-Seidel untuk Menentukan Penyelesaian Numerik pada Sistem Persamaan Linear (SPL) dengan Menggunakan Metode Relaksasi

Fatimah, Gani Gunawan, Icih Sukarsih 265-275

Pengujian Otokorelasi untuk Fixed Effect Model (FEM) Data Panel Menggunakan Statistik Uji Modifikasi Durbin Watson (MDW)

Abharina Fadlillah, Nusar Hajarisman, Teti Sofia Yanti 277-285

Uji Efektifitas Antihiperurisemia Ekstrak Etanol Daun Salam dan Daun Jamblang serta Kombinasinya pada Tikus Wistar Jantan

Diana Permatasari, Umi Yuniarni, Suwendar 287-293

Kontrol Parameter pada Model Penyebaran Penyakit Menular MERS-CoV: Antisipasi terhadap Jamaah Umrah/Haji Asal Indonesia

Benny Yongn, Livia Owen 295-302

Pengembangan Alat Uji Carik Formalin Menggunakan Matriks Polistiren Divinilbenzen

Achmad Nafis Mufattisy Al Harishi, Diar Herawati , Rusnadi 303-307

(11)

Pemodelan Matematis Pertumbuhan Bakteri Sehubungan dengan Perpindahan Panas dalam Simulator Pasteurisasi Skala Pilot

Nurcahyo 309-315

Karakterisasi Simplisia dan Ekstrak Etanol Buah Salak (Salacca Zalacca (Gaertner) Voss)

Soni Sulaksono, Sri Peni Fitrianingsih, Umi Yuniarni 317-320

Analisis Penalaran Moral Siswa SMP Di Kota Bandung Mengenai Isu-Isu Sains Menggunakan Tes Dilema Moral

Diana Safitri, Winny Liliawati , Heni Rusnayati 321-326

Analisis Pembandingan Aktivitas Antioksidan dengan Metode Peredaman DPPH pada Filtrat Produk Utama dan Produk Samping Tahu

Leny Marlina, Hilda Aprilia Wisnuwardhani, Bertha Rusdi 327-331

Metode Resistivitas untuk Identifikasi Intrusi Air Laut di Pantai Ujung Genteng, Kabupaten Sukabumi

Nanang Dwi Ardi, Mimin Iryanti 333-336

Telaah Fitokimia dan Aktivitas Antioksidan dalam Biji Salak (Salacca Zalacca (Gaert.) Voss) dengan Metode Peredaman Radikal Bebas DPPH

Hesty Aprianti, Endah Rismawati Eka Sakti, Esti Rachmawati Sadiyah 337-343 Aktivitas Antihiperglikemik Ekstrak Etanol Daun Keji Beling dan Tapak Dara serta Kombinasinya pada Mencit Swiss Webster Jantan yang Diinduksi Aloksan

Umi Yuniarni, Nur Amanah, Siti Hazar 345-349

Formulasi Sediaan Gel Handsanitizer Ekstrak Kulit Buah Rambutan (Nephelium lappaceum L) serta Uji Aktivitasnya terhadap Bakteri Escherichia coli dan Staphylococcus aureus

Wina Rahayu Selvia, Dina Mulyanti, Sri Peni Fitrianingsih 351-355 Membandingkan Dua Statistik Uji dalam Masalah Behren Fisher

Nono Suwarno, Sudartianto 357-363

Aktivitas Antifungi Ekstrak Etanol Biji Pala Myristica Fragrans Houtt. Terhadap Candida albicans

Muhammad Fakhrur Rajih, Suwendar, Lanny Mulqie 365-370

Karakteristik Edible Film Berbasis Pati Cannaindica l. Dengan Penambahan Aloe Vera l. Burm.f.

Venny Agustien Wulandhari, Arlina Prima Putri, Anggi Arumsari 371-377

(12)

Prosiding KNMSA 2015

Fakultas MIPA Unisba, 26 Agustus 2015 ISBN: 978-979-99168-1-5

111

Analisis Kestabilan Model Penyebaran dan Pengendalian Penyakit Tuberculosis dengan Herbal

Embay Rohaeti

¹⁾

, Sri Wardatun

²⁾

, Ani Andriyati

³⁾

1,2)Program Studi Matematika FMIPA Universitas Pakuan Bogor

3)Program Studi Farmasi FMIPA Universitas Pakuan Bogor e-mail: [email protected]

Abstrak

Obat sintetis yang umum digunakan untuk pengobatan penyakit tuberculosis yaitu isoniazid, rifampisin, etambutol dan pirazinamid. Pada saat ini obat herbal banyak digunakan sebagai kombinasi obat sintetis dalam pengobatan penyakit, termasuk dalam pengobatan penyakit tuberculosis, hal ini dikarenakan pengobatan penyakit tuberculosis membutuhkan waktu yang lama antara 6 – 9 bulan, dan biaya yang dikeluarkan tidak sedikit, selain itu juga penyakit tuberculosis dapat menyebabkan kematian, sehingga laju penyebaran penyakit tuberculosis perlu dikendalikan. Fenomena penyebaran penyakit tuberculosis dan pengobatan dengan menambahkan obat herbal dimodelkan dalam model SIR (Susceptible, Infected, Recovered), langkah selanjutnya yaitu menganalisis model tersebut secara analitik dengan terlebih dahulu menentukan sistem persamaan differensial, menentukan titik tetap, mencari nilai eigen dan vektor eigen, kemudian menguji dan menganalisis titik kestabilan dari titik tetap yang diperoleh, menguji kriteria atau kondisi Routh-Hurwitz, menentukan bilangan reproduksi dasar untuk menentukan tingkat penyebaran penyakit tuberculosis. Hasil dari penelitian ini yaitu terbentuknya model penyebaran penyakit tuberculosis dengan penambahan obat herbal, kemudian model tersebut dapat digunakan untuk memprediksi, mengendalikan penyebaran dan pengobatan penyakit tuberculosis di masa yang akan datang. Penelitian ini diharapkan dapat bermanfaat dalam memerangi penyakit tuberculosis yang berarti juga memerangi kemiskinan dan ketidakproduktifan dalam upaya meningkatkan kesejahteraan rakyat serta dapat menjadi dasar rekomendasi dalam merumuskan kebijakan yang berkaitan dengan pengendalian penyebaran penyakit tuberculosis.

Kata kunci: tuberculosis, model SIR, herbal, kestabilan titik tetap.

1. Pendahuluan

Pengobatan TB memerlukan waktu yang lama, biaya yang mahal dan penggunaan kombinasi beberapa obat pada saat terapi, obat yang umum digunakan yaitu isoniazid, rifampisin, etambutol dan pirazinamid. Bakteri penyebab TB juga mudah mengalami resistensi terhadap beberapa obat (Sulistia, 1995). Resistensi tersebut terus meningkat terutama di negara sedang berkembang sehingga diperlukan obat alternatif. Salah satu obat alternatif yang digunakan sebagai pendukung obat utama dalam pengobatan TB di Indonesia yaitu obat herbal (Anonim, 2012). Obat herbal merupakan produk yang berasal dari tanaman dan digunakan untuk meningkatkan dan menjaga kesehatan. (Depkes RI, 2004).

Perubahan paradigma masyarakat untuk kembali ke alam (back to nature) menyebabkan penggunaan obat herbal akhir-akhir ini meningkat. Hal ini didukung dari data WHO yang menyatakan bahwa negara-negara di Afrika, Asia dan Amerika Latin menggunakan obat herbal sebagai pelengkap pengobatan primer yang diterima. WHO merekomendasikan pengunaan obat tradisional khususnya herbal dalam pemeliharaan kesehatan masyarakat, pencegahan dan pengobatan penyakit degeneratif, kanker dan penyakit kronis. Dalam pengobatan TB, obat herbal berfungsi untuk mendukung kinerja obat dan meningkatkan sistem imun tubuh dalam melawan bakteri penyebab TB (Anonim, 2012).

Dalam menyingkapi fenomena penyebaran penyakit TB dengan menambahkan obat herbal dalam pengobatannya, bidang matematika memiliki peranan penting dalam membantu menganalisa melalui pengembangan model penyebaran penyakit TB. Meskipun model matematika tidak mampu menyembuhkan penyakit akan tetapi dapat membantu dalam memprediksi dan mengendalikan penyebaran penyakit, hal ini dapat membantu dalam menentukan strategi-strategi

(13)

Embay Rohaeti dkk.

Prosiding KNMSA 2015 | ISBN: 978-979-99168-1-5 112

pengendaliannya, sehingga tidak menjadi kasus epidemik pada masa yang akan datang mendatang.

Penelitian ini juga merupakan penelitian lanjutan dari penelitian yang memodelkan penyebaran penyakit tuberculosis di wilayah Bogor Jawa Barat, yang didahului dengan merekontruksi model (Fredlina, 2012), kemudian menganalisis kestabilan model yang terbentuk pada (Rohaeti, 2015).

2. Tinjauan Pustaka 2.1. Obat Herbal

Obat herbal merupakan produk yang berasal dari tanaman dan digunakan untuk meningkatkan kesehatan. Banyak obat herbal yang telah digunakan secara empiris (turun-temurun) sebagai obat dalam pengobatan tradisional. Di dalam obat tradisional dapat terdapat bahan atau ramuan bahan yang berasal dari tumbuhan, hewan dan mineral. Biasanya obat tradisonal tersedia dalam bentuk rebusan ataupun serbuk yang diseduh dengan air. Seiring dengan berkembangnya teknologi maka bentuk sediaan obat tradisional pun mengalami perubahan menjadi cair, kapsul ataupun tablet.

(Depkes RI, 2004). Beberapa jenis herbal yang dapat digunakan sebagai pendukung dalam pengobatan tuberculosis adalah daun jarong (Achyranthes aspera L) (Meles dkk, 2010), buah mengkudu (Morinda citrifolia), Habbatussauda (Anonim, 2012), kulit buah manggis (Garcinia mangostana) (Nugroho, 2012).

2.2. Sistem Persamaan Differensial Linear

Misalkan suatu persamaan differensial linear orde 1 dinyatakan x^a(t)g(t), dengan _a_(t₎dan )

(t

g adalah fungsi dari waktu t. Jika

a (t )

adalah suatu matriks yang berukuran

n  n

dengan koefisien konstan dan

g (t )

dinyatakan sebagai vektor konstan

b

maka diperoleh

b Ax dt x

dx  ^   , x(0) x₀ . (Farlow, 1994).

2.3. Titik Tetap

Misalkan diberikan sistem persamaan differensial (SPD) sebagai berikut x f(x)

dt

dx  ^  ,

x  R

ⁿ.

Suatu titik

x

^yang memenuhi

f (x

^

)  0

disebut titik kesetimbangan atau titik tetap dari sistem persamaan tersebut. (Tu, 1994).

2.4. Matriks Jacobian

Menurut Tu (1994), Matrik Jacobian

J

atau

J

_f jika elemen pertamanya adalah turunan dari vektor fungsi f(x)(f¹(x),f²(x),,fⁿ(x)), misal [ ] [ ]

i i ij

f x

a f

J 

 

 merupakan matriks

Jacobian untuk f (x₁2x₁x₂,x₁² x₁x₂) maka Matriks Jacobian nya adalah



 



 

1 1

1 2

2 2 2 1

x x

x J_f x

2.5. Nilai Eigen dan Vektor Eigen

Jika dimisalkan A matriks

n  n

, maka suatu matriks tak nol x di dalam

R

ⁿdisebut vektor eigen dari A. Jika untuk suatu skalar



, yang disebut nilai eigen dari A diperoleh

Ax   x

. Vektor x disebut vektor eigen yang bersesuaian dengan nilai



(Anton, 1995).

(14)

Analisis Kestabilan Model Penyebaran …

2.6. Analisis Kestabilan Titik Tetap

Misalkan diberikan matriks

A

= 

 



 d c

b

a , jika det

 A   I   0

, dengan

I

matriks identitas, maka persamaan karakteristiknya yaitu _₀



 









 d c

b

a , kemudian diperoleh persamaan

2

     0



, dengan

  trace ( A )  a  d

dan

  det( A )  ad  bc

, sehingga diperoleh nilai eigen dari

A

yaitu

2

2 4

,

 



 

 



_j_k ^.

Analisis kestabilan titik tetap dapat ditentukan dengan memperhatikan nilai-nilai eigen yang diperoleh. Menurut Tu (1994), secara umum kestabilan titik tetap dibedakan sebagai berikut : 1. Stabil, jika:

a. Setiap nilai eigen real negatif (_j 0,j)^.

b. Setiap komponen nilai eigen kompleks lebih kecil atau sama dengan nol ))

⁽^k^¹⁾a²



⁽^k^²⁾ ... a_k 0

mempunyai bagian real yang negatif jika determinan dari matriks

H

^j

adalah positif. Selanjutnya didefinisikan matriks Hurwitz

H

^j sebagai berikut:

















 j j j j

j j

a a

a a a

a a a a

H











4 2 3 2 2 2 1 2

2 3 4 5

1 2 3 1

0 0 1

0 0

0 1

dengan

H

_j

 ( h

_lm

)

dan ²

1 , untuk 2

0 , untuk 2 ata , untuk 0 2

u 2

l m

lm

a l m k

l m

l m l k m

h





  

  



 



semua nilai eigen dari persamaan karakteristik mempunyai bagian real yang negatif (titik tetap stabil) jika dan hanya jika determinan dari semua matriks Hurwitz positif, yaitu

0, untuk 1, 2,...,

Hj  j  k, sehingga menurut kriteria Routh-Hurwitz untuk suatu k, k =2,3,4 disebutkan bahwa titik tetap stabil jika dan hanya jika (untuk k =2,3,4),

1. k=2, a₁ 0,a₂ 0

2. k=3, a₁ 0,a₃ 0,a₁a₂ a₃

(15)

Embay Rohaeti dkk.

. Adapun kompartemen model penyebaran penyakit tuberculosis sebagai berikut:

Gambar 1. Kompartemen Model Penyebaran Tuberkulosis dengan Obat Herbal

Berdasarkan Gambar 1, kelompok individu yang rentan terkena penyakit tuberculosis akan bertambah dikarenakan adanya kelahiran sebesar ( konstan), kelompok individu ini juga akan berkurang dikarenakan adanya kematian alami (), adanya penderita yang menggunakan obat

S I R

N S

b I _cR

 S  I 

^t

^I  R



hS hI

(16)

herbal yang mengakibatkan populasi yang rentan terkena penyakit TB tidak menderita TB (h)_, dan terjadi kontak langsung dengan kelompok individu yang terinfeksi, dengan laju penularannya

)

(b . Kelompok individu yang terinfeksi akan bertambah karena adanya perubahan yang rentan menjadi terinfeksi setelah adanya kontak langsung dengan kelompok individu terinfeksi, kelompok ini juga dipengaruhi faktor kematian alami dan kematian yang disebabkan penyakit TB (_t)_, adanya penggunaan obat herbal dalam pegobatan penyakit TB yang mengakibatkan sembuh dari TB, serta adanya perubahan yang terinfeksi menjadi sembuh dengan laju c, hal ini mengakibatkan kelompok individu yang terinfeksi menjadi berkurang. Kelompok individu yang telah sembuh akan bertambah karena perubahan dari yang terinfeksi menjadi sembuh dan diasumsikan tidak akan terjangkit TB kembali, kelompok individu ini juga dipengaruhi oleh kematian alami.

Berdasarkan asumsi-asumsi tersebut diperoleh persamaan matematika dalam bentuk persamaan differensial sebagai berikut :

hS S N S

b I dt

dS    

I h c N S

b I dt dI

t )

(   



  

(1) R

dt cI

dR   dengan

N  S  I  R

4.2. Analisis Model SIR untuk Penyakit Tuberculosis 4.2.1. Titik Tetap

Dalam menganalisis model penyebaran penyakit tuberculosis, langkah pertama yang dilakukan yaitu menentukan titik tetap dari model yang terbentuk. Titik tetap dari persamaaan (1) diperoleh pada saat persamaan pertumbuhan kelompok individu mencapai nilai nol atau ^dt ^⁰

dS

, ^dt ^⁰ dI

,

0 dt dR

. Adapun titik tetap yang diperoleh melalui tahapan : Jika 0

dt dI

, maka diperoleh I₀^ 0, kemudian jika I₀^ 0 disubtitusi ke 0 dt dR

, maka diperoleh R₀^ 0, kemudian I₀^ 0_dan R₀^ 0 disubtitusi ke 0

dt dS

, maka diperoleh





 

1 , kemudian

 

h c

S I h

t

 



 







1

disubstitusikan ke dalam persamaan 0 dt dR

, maka diperoleh

 



c h



S h R c

t  



 







1 . Langkah berikutnya

 

h c

S I h

t  



 







1 dan

 



c h



S h R c

t  



 







1 disubstitusikan ke dalam persamaan 0

dt

dS , diperoleh

 

    





b t

ch S c





 



1 . Nilai

 

    





b t

ch S c





 



1 yang telah diperoleh kemudian

(17)

Embay Rohaeti dkk.

disubstitusikan kembali ke dalam persamaan

I

₁^ dan

R

₁^, maka diperoleh

 

 ^ ^ ^

t

 ^ ^ ^ ^

t

^ 

t

b ch h

c

h c I b







 



1 ,

 

       





t t

t

b ch h

c

h c b R c







 



1 , sehingga

diperoleh titik tetap ke dua dari model baru yang terbentuk yaitu

 



, , )

( ₁ ₁ ₁

2 S I R

T

 

^,











 b t

ch

c

 

       

^,





t t

t

b ch h

c

h c b







 

        ^ _ ^







t t

t

b ch h

c

h c b c

Titik tetap ke dua yang telah diperoleh disederhanakan dalam pemisalan sebagai berikut c

P



 , Qchb_t, Z bch_t, U ch_t

sehingga titik tetap ke dua menjadi 

 







UQ Z c UQ

Z Q

R P I S

T   

, , )

, ,

( ₁ ₁ ₁

2

4.2.2. Basic Reproduction Ratio

Basic reproduction ratio

( R

₀

)

dapat diperoleh dengan cara menurunkan laju populasi yang terinfeksi penyakit TB (I) terhadap I kemudian dimisalkan dengan A sebagai berikut :

h N c

bSI N bS I

dt dI

A     _t  



 ⁽ ⁾ ₂  

Langkah selanjutnya titik tetap



 





  ,0,0

1 



T h disubstitusikan ke dalam persamaan A, diperoleh Ab







_t ch, kemudian jika dimisalkan A=M-D, maka diperoleh

)

(c h _t

b

A   







, dengan M b dan D(ch_t). Setelah nilai M dan D diperoleh kemudian disubstitusikan ke dalam formula R₀ MD^¹ diperoleh

)

0 (

h t

c R b







  .

4.2.3. Matriks Jacobian

Langkah selanjutnya yaitu menentukan matriks Jacobian dari persamaan (1) sebagai berikut:



























c

N hbIS N

hbS N

c hbIS N

hbI N

hbIS

N hbIS N

hbS N

hbIS N

hbI N

hbIS

M_J _t

0

2 2

2

2 2

2

,

setelah diperoleh matriks Jacobian tersebut maka titik tetap akan dapat dianalisis kestabilannya.

4.2.4. Analisis Kestabilan Titik Tetap

Pada tahapan ini kedua titik tetap yang diperoleh akan dianalisis kestabilannya menggunakan kriteria Routh–Hurwitz sebagai berikut :

1. Analisis kestabilan titik tetap pertama pada kondisi bebas penyakit (R₀ 1) Diketahui ₍ _, _, ₎ ₍ _,₀_,₀₎

0 0 0

1 



 



R h I S

T , dan























c h c b

b h

M_J _t

0

0 0

0

(18)

Dalam menganalisis kestabilan titik tetap berdasarkan kriteria Routh-Hurwith ditentukan:

b h

c m m m TraceM

a

₁

    (

₁₁



₂₂



₃₃

)   2  3   

_t



) )(

2

2 (

2 h h b c h t

a          )

)(

( ²

3 h b c h t

a      

)}

)(

2 ( ) (

) ){(

2

( ² ²

3 2

1a a h b c h t h h b c h t

(bch_t  , sehingga dapat disimpulkan bahwa )

0 , 0 , (

) , , ( ₀ ₀ ₀

1 



 



R h I S

T stabil di R₀ 1 atau disease free ekuilibrium.

2. Analisis kestabilan titik tetap kedua pada kondisi bebas penyakit (R₀ 1)

Diketahui 

 







UQ Z c UQ

Z Q R P

I S

T   

, , )

, ,

( ₁ ₁ ₁

2 dengan, Qchb_t,

c

P  , Z bch_t, dan U ch_t. Dalam menganalisis kestabilan titik tetap berdasarkan kriteria Routh-Hurwith ditentukan :

  









 









 c

c b m hc

m m TraceM

a ( ^t)

)

( ₁₁ ₂₂ ₃₃

1

) (

2 2

2 





 

  

 



 b c

ZU c

h Z

a ^t

) (

2 2

3 



 

 

 

c b

ZU c

b

ZU hc c

a ZU ^t

) ( ) ( ) 2 (

3 ₂

2 3 2

2 2 3 2

2 3 2

1 



 



  

 





 b c

ZU hc c

Z c

U h Z

h a a a

) (

2 ) (

) (

2 2





 

 

c Z h c

ZU h c

b

ZU c

b

ZU

h _t _t

2 2 2 3

2

) (

3 )

( 



 

 

c b

U Z c

, jika diberikan syarat Z 0_maka Z bch







^t, dan jika diberikan U 0_maka

h t

c

U   







. Hal ini kontradiktif dengan syarat yang harus dipenuhi pada kriteria Routh–

Hurwitz, maka titik tetap kedua 

 







UQ Z c UQ

Z Q R P

I S

T   

, , )

, , ( ₁ ₁ ₁

2 dapat disimpulkan tidak

stabil di R₀ 1_.

Kedua titik tetap tersebut kemudian dianalisis kestabilannya di R₀ 1dengan tahapan yang sama seperti yang dilakukan pada tahapan analisis kestabilan di R₀ 1. Adapun hasil analisis kestabilan yang diperoleh di R₀ 1 yaitu titik tetap pertama ¹⁽ ⁰^, ⁰^, ⁰⁾ ⁽ ^,⁰^,⁰⁾



 



R h I S T

(19)

Embay Rohaeti dkk.

tidak stabil di R₀ 1, sedangkan titik tetap kedua 

 







UQ Z c UQ

Z Q R P

I S

T   

, , )

, , ( ₁ ₁ ₁

2 stabil

di R₀ 1_.

Dari analisis kestabilan untuk titik tetap pada dua kondisi tersebut secara menyeluruh dapat disimpulkan sebagai berikut:

) 0 , 0 , (

) , ,

( ₀ ₀ ₀

1 



 



R h I S

T dikatakan stabil yang berarti merupakan titik tetap disease free equilibrium atau tidak terjadi epidemik.



 







UQ Z c UQ

Z Q

R P I S

T

  

, ,

) , ,

( ₁ ₁ ₁

2 dengan, Qchbt, P



c

h t

c b

Z     , dan U ch_t, dikatakan tidak stabil yang berarti merupakan titik tetap epidemik.

5. Kesimpulan

Model penyebaran penyakit tuberculosis di wilayah Bogor dengan menggunakan penambahan obat herbal sebagai kombinasi obat sintetis dalam pengobatan penyakit tuberculosis mempunyai dua titik tetap. Pengukuran tingkat penyebaran suatu penyakit (R₀)diperlukan guna mengendalikan penyebaran penyakit tersebut, dalam penyebaran penyakit tuberculosis yaitu

)

0 (

h t

c R b







 

. Adapun hasil analisis kestabilan dari kedua titik tetap yang diperoleh yaitu titik tetap pertama merupakan titik tetap bebas penyakit dan titik tetap kedua merupakan titik tetap yang tidak bebas penyakit atau penyakit menjadi mewabah.

Daftar Pustaka

Anonim. 2012. www.konsultasisyariah.com/kesehatan-obatherbal. Diakses 19 Maret 2013 pukul 11.20.

A.E. Nugroho. 2012. mot.farmasi.ugm.ac.id. Manggis Garcinia mangostana L : dari Kulit Buah yang Terbuang hingga menjadi Kandidat Obat, Laboratorium Farmakologi dan Toksikologi, Fakultas Farmasi, UGM.

Depkes RI. 2004. SK Kepala BPOM RI No. HK.00.05.4.2411, tentang Ketentuan Pokok Pengelompokkan dan Penandaan Obat Bahan Alam Indonesia.

D.K Meles, Zainuddin, L Nangoi, Suwarno. 2010. Pengaruh Fraksi Alkaloid daun Jarong (Achyanthes aspera L) terhadap Jumlah dan Jenis Leukosit Mencit (Mus muculus) jantan yang diiinfeksi Mycobacterium tuberculosis, Skripsi FKH, Universitas Airlangga.

E. Rohaeti, S. Wardatun, A. Andriyati. 2015. Stability Analysis Model of Spreading and Controlling of Tuberculosis. Case Study Tuberculosis in Bogor Region West Java Indonesia. Applied Mathematical Sciences . Hikari Ltd. Bulgaria. 49-52.

G.G. Sulistia.1995. Farmakologi dan Terapi, ed.4. Bagian Farmakologi. FK-UI. Jakarta.

K.B. Blyuss and Y.N. Kyrichko. 2005. “On a basic model of a two-disease epidemic”, Elsevier applied Mathematics and computation. 160 : 177-187.

K. Q. Fredlina, T. B. Oka, I. M. Dwipayana. 2012. Model SIR untuk Penyebaran Penyakit Tuberculosis. e-journal Matematika . 1: 52-58.

L. Edelstein-Keshet.1998. Mathematical Models in Biology. Random House, New York.

P.N.V. Tu. 1994. Dynamical System An Introduction with Applications in Economic and Biology, Springer- Verlag, Heidelberg, Germany.

S.J. Farlow. 1994. An Introduction to Differential Equations and Their Applications, Mc Graw-Hill, New York.

(20)