Seminar Nasional Statistika, Matematika dan Aplikasinya 2014

prosiding

S N S M A 2 0 1 4

Seminar Nasional Statistika, Matematika dan Aplikasinya 2014

U

NIVERS I T A S I SL

AM

ISBN: 978-602-19356-2-0

|x|>5 Sxf(x)=0,5

sin2A=2sinAcosA a

1-b

Pr(X>10)=0,36 jns

prosiding

Seminar Nasional Statistika,

Matematika dan Aplikasinya 2014

Fakultas Matematika & Ilmu Pengetahuan Alam

Universitas Islam Bandung, Jawa Barat 26 Agustus 2014

“Statistika dan Matematika

untuk Kemajuan dan Kesejahteraan Umat”

ISBN: 978 – 602 – 19356 - 2 - 0

Cover Design

: Dr. Aceng Komarudin Mutaqin

Tim Prosiding

: Dheri Janwar Rusthana, S.Si.

Anjar May Purnama, S.Si.

Octavianty, S.Si.

Fuji Astuti, S.Si.

Maya Setiana, S.Si.

Ihsan Ramadhan, S.Si.

Dipublikasikan oleh

: Fakultas Matematika & Ilmu Pengetahuan Alam,

Universitas Islam Bandung, Bandung Jawa Barat

D e w a n E d i t o r

Ketua

: Dr. Aceng Komarudin Mutaqin

Sekretaris

: Suliadi, Ph.D.

Anggota

: Prof. Dr. Sutawanir Darwis Dr. Suwanda

Abdul Kudus, Ph.D.

Dr. Nusar Hajarisman Dr. Didi Suhaedi Dr. Yani Ramdhani

Roberta Zulfhi Surya, ST., MT.

Dheri Janwar Rusthana, S.Si.

Kata Pengantar

Puji dan syukur kami panjatkan ke hadirat Alloh SWT, karena hanya dengan izin-Nya maka dapat terselenggara kegiatan SEMINAR NASIONAL STATISTIKA, MATEMATIKA & APLIKASINYA 2014 (SNSMA 2014) oleh Fakultas Matematika & Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Islam Bandung pada hari Selasa, 26 Agustus 2014 di Gedung Pascasarjana UNISBA Jl. Purnawarman No. 59 Bandung. Seminar Nasional Statistika ini bertema “Statistika dan Matematika untuk Kemajuan dan Kesejahteraan Umat.”

Tujuan diadakannya SNSMA 2014 ini adalah dalam rangka diskusi ilmiah, dan tukar menukar informasi di kalangan akademisi, praktisi dan peneliti guna mendorong cepatnya pengembangan ilmu pengetahuan dan teknologi khususnya bidang ilmu statistika dan matematika di Indonesia.

Panitia telah menerima sekitar 75 makalah berasal dari berbagai kalangan, seperti mahasiswa S1, S2, S3, akademisi, praktisi dan peneliti dan berasal dari berbagai daerah di Indonesia. Semua makalah tersebut dipresentasikan pada SNSMA 2014 di Unisba pada Tanggal 26 Agustus 2014, dalam bentuk oral dan dipublikasikan dalam sebuah prosiding.

Kami ucapkan terima kasih kepada para peserta pemakalah yang telah berpartisipasi dalam rangka mempercepat pengembangan ilmu pengetahuan dan teknologi.

Semoga Prosiding SNSMA 2014 di Unisba ini bisa bermanfaat dalam penyebarluasan ilmu pengetahuan dan teknologi khususnya bidang bidang ilmu statistika dan matematika di Indonesia. Kepada semua pihak, terutama Tim Prosiding yang telah bekerja keras menyelesaikan prosiding ini, kami ucapkan terima kasih.

Bandung, Agustus 2014

Editor

Daftar Isi

Halaman

Dewan Editor i

Kata Pengantar iii

Daftar Isi v

Kajian Sosial-Ekonomi Pengembangan Pengolahan Hasil Tangkapan Nelayan Berbasis Masyarakat di Desa Sungai Luar Kec. Batang Tuaka Kab.

Indragiri Hilir Riau

Ririn Handayani, Hikmatul Hasanah 1-6 Analisis Kekonvergenan Kalman Filter

Sutawanir Darwis, Aceng K Mutaqin, Yayat Karyana, Mohammad Sobri 7-17 Analisis Bayesian pada Regresi Binomial dengan Kesalahan Klasifikasi

Retno Budiarti 19-26 Analisis Dampak Pemberian Pembiayaan Warung Mikro Bank Syari’ah Mandiri terhadap Usaha Menengah Kecil dan Mikro di Kota Jambi

Titin Agustin Nengsih 27-33 Penaksiran Rata-Rata dan Varians dari Distribusi Lognormal pada Data Sampel yang Mengandung Pengamatan Tidak Terdeteksi

Dheri Janwar Rusthana, Aceng Komarudin Mutaqin 35-40 Redesign hook-t Muat Sawit untuk Mengurangi Tingkat Keluhan

Mosculuskletal Menggunakan Metode Quality Function Deployment (QFD) pada Sentra Pembelian Kelapa Sawit di Pulau Palas Kab. Indragiri Hilir, Riau

Rajuli, M.Gasali M, Roberta Zulfhi Surya 41-46 Analisis Antosianin pada Buah Duwet (Syzygium Cumini (l.) Skeels) dengan Metode Ph Differential - Spektrofotometri Sinar Tampak

Arlina Prima Putri, Sukanta, Witri Resmisari 47-51 Analisis Penerapan Manajemen Risiko terhadap Profitabilitas Studi pada Bank Umum Syariah di Indonesia Periode Tahun 2011-2013

Okky Paulin 53-59

Analisis Customer Gap dengan Metode Servqual (Service Quality) di Restoran Dapur Iga Bandung

Siti Fadilah Ristekawati 61-70

Identifikasi Faktor-Faktor yang Mempengaruhi Angka Kematian Bayi di Provinsi Jawa Barat melalui Model Berbasis Regional

Nusar Hajarisman 71-84

Penduga Area Kecil pada Model Level Area

Erwin Tanur 85-91

Model Zero-Inflated dan Hurdle pada Data Hitung dengan Banyak Respon Nol

Erwin Tanur 93-98

Studi Keamanan Bahan Kimia Obat dan Pangan Berbasis Software

Diar Herawati 99-107

Pengembangan Indikator Strip Berbasis Komposit Poli (Metilmetakrilat) - Polisulfonat untuk Identifikasi Formalin pada Sampel Makanan

Arlina Prima Putri, Anggi Arumsari, Tutuh Maftuhah 109-112 Analisis Asam Retinoat pada Krim Pemutih Wajah Menggunakan

Kromatografi Lapis Tipis dan Kromatografi Cair Kinerja Tinggi

Arlina Prima Putri, Sukanta, Adinda A. Nastiti 113-118 Aktivitas Antioksidan Fraksi Ekstrak Etanol Daun Jambu Air [Eugenia

Aqueum (Burn.F) Alston] Secara In Vitro dengan Metode Carotene Bleaching

Suwendar dan Siti Hazar 119-124

Perbandingan Model Statistika bagi Penentuan Batas Kritis Hara Fosfor pada Kedelai

Mohammad Masjkur dan Wiwik Hartatik 125-130 Ruang Modular

Mariatul Kiftiah, Yundari 131-139 Manajemen Shift Kerja Berdasarkan Biaya Tenaga Kerja pada PT. XYZ Palm Mill

Roberta Zulfhi Surya 141-145 Hubungan antara Penilaian Pengguna Jalan terhadap Kondisi Trafick Light dengan Kenyamanan Berkendara pada Persimpangan Lampu Merah Batang Tuaka Tembilahan

M. Gasali, M, Akbar Alfa 147-152

Pemodelan Regresi Logistik Multinomial untuk Data Asuransi Jiwa Dwiguna pada PT. XXX

Ihsan Ramadhan, Aceng Komarudin Mutaqin, Lisnur Wachidah 153-161 Pengaruh Tingkat Kesehatan Bank terhadap Harga Saham Tahun 2009-2013

Tri Indriyani 163-170 Kelayakan Teknis Pembangunan Pelabuhan Pendaratan Ikan di Kuala Enok Kabupaten Indragiri Hilir Riau

Akbar Alfa, Masykur HZ. 171-176 Kelayakan Sosial – Ekonomi Pembangunan Pelabuhan Pendaratan Ikan di Kuala Enok Kabupaten Indragiri Hilir Riau

Ririn Handayani, Hikmatul Hasanah 177-183 Penggunaan Pemrograman Dinamik pada Pengalokasian Pertambahan

Server Pelayanan Kesehatan

Elis Ratna Wulan dan Isna Lathifah 185-191

Pemetaan Karakteristik Kabupaten/Kota di Provinsi Jawa Barat Berdasarkan Indikator Pembangunan Sosial dan Ekonomi menggunakan Metode Biplot

Andie Rossandi, Suliadi, Siti Sunendiari, Kurdi 193-199 Pemodelan Vector Autoregression Bivariat untuk Meramalkan Inflasi dan Suku Bunga Sertifikat Bank Indonesia Berdasarkan Data Periode Juni 2006 – Mei 2014

Maya Setiana, Sutawanir Darwis, Siti Sunendiari 201-211 Pendekatan Kontekstual untuk Meningkatkan Kemampuan Pemecahan Masalah Matematis dan Kemandirian Belajar Siswa SMP

Ratna Sariningsih 213-220

Penerapan Pendekatan Generatif terhadap Kemampuan Pemecahan Masalah Matematik Siswa SMP

Nelly Fitrian 221-225

Metode Collaborative Learning untuk Meningkatkan Kemampuan Komunikasi Matematis Siswa SMP

Anik Yuliani 227-231

Perbandingan Mengajar Dua Guru yang Berbeda Wilayah di SMA XYZ

Siti Sunendiari, Endah Kusumastuti 233-238

Perbandingan Peringkat Efisiensi Kinerja Reksa Dana Syariah dan Konvensional menggunakan Data Envelopment Analysis (DEA)

Laela Tri Nur Ilaina 239-248

Model Cure dengan Distribusi Peluang Log-logistik untuk Pemodelan Debitur Macet

Fuji Astuti, Abdul Kudus, Lisnur Wachidah 249-258

Model Komitmen Organisasi, Motivasi dan Pembinaan Sumber Daya Manusia (SDM) terhadap Kinerja Pegawai (Studi pada Pemerintah Kabupaten Oku Timur)

Anuar Sanusi dan Yulmaini 259-266

Optimasi Biaya Total Persediaan dengan Permintaan Bersifat Linier

Muhammad Ghani Fathurrahman, M.Yusuf Fajar, Yani Ramdani 267-271 Analisis Perilaku Berbahaya yang Dominan pada Pengendara Sepeda Motor di Kota Tembilahan

Siti Nurkamila Insani, Akbar Alfa, M. Gasali, M. 273-277 Sistem Pakar Diagnosa Kerusakan pada Televisi Berwarna dengan Metode Forward Chaining (Studi Kasus: Jurusan Audio Video SMK 2 Tembilahan)

Agustriyan dan Dwi Yuli Prasetyo 279-295

Pengukuran Kewajaran Harga Saham yang Mendekati Batas Bawah Aturan Autorejection di Bursa

Muhammad Rifqi Syauqi 297-304

Aktivitas Hepatoprotektif Ekstrak Remis (Corbicula Javanica Mousson) terhadap Tikus Putih Jantan Galur Wistar

Faza Shalihah Novani, Sri Peni Fitrianingsih, Siti Hazar 305-310 Efektivitas Penerapan Regresi Linier Berganda Dua Prediktor pada Kajian Data Survei Berbasis Skala Sikap Likert

Soekardi Hadi Prabowo 311-317

Model Geographically Weighted Regression pada Analisis Tingkat Kemiskinan Kabupaten/Kota di Provinsi Jawa Barat

Octavianty, Siti Sunendiari, Teti Sofia Yanti 319-328 Kesalahan Tipe I Empirik Score Test untuk Poisson Mixed Model Melawan Zero Inflated Poisson Mixed Model

Nurvita Trianasari 329-335

Kuasa Uji Likelihood Ratio Test untuk Model Regresi Poisson Melawan Model Regresi Zero-Inflated Poisson

Nurvita Trianasari 337-342

Value-at-Risk Contribution Di Bawah Model Aset Liabilitas Menggunakan Pendekatan EWMA

Sukono, Sudradjat Supian, Dwi Susanti 343-352

Sengkala-Sengkala dari Asia Tenggara yang Melawan Prinsip Angkanam Vamato Gatih

Agung Prabowo 353-362

Pengklasteran Data dengan Menggunakan Divisive Analysis Method (DIANA)

Chandra Gunawan, Dewi Rachmatin , dan Maman Suherman

363-374 Kinerja Model Generalized Poisson Regression dan Negative Binomial Regression dalam Mengatasi Masalah Over/under dispersion pada Model Regresi Data Count

Cucu Sumarni 375-383

Analisis Kestabilan Model Penyebaran dan Pengendalian Penyakit Tuberculosis

Embay Rohaeti, Sri Wardatun dan Ani Andriyati

385-391 Optimasi Biaya Pendistribusian Minyak Tanah dengan Metode Trasportasi (Studi Kasus : PT. Pertamina Kab. Sanggau KALBAR)

Bayu Prihandono, Fajria Aryanti, Beni Irawan 393-398

Metode Proyeksi Biproporsional untuk Melihat Perubahan Struktur Ekonomi dengan Memanfaatkan Tabel Input-Output

Anugerah Karta Monika 399-407

Pengembangan Model Pembelajaran Mata Kuliah Pengantar Aljabar Abstrak dengan Clustering Mahasiswa Berdasarkan Nilai Prestasi Belajar Modul Prasyarat Menggunakan Algoritma Fuzzy C- Means

Nilamsari Kusumastuti 409-417

Pengembangan Indikator Strip Formalin Berbasis Poli

METILMETAKRILAT)-Polisulfon-Silika Gel untuk Pemeriksaan Formalin pada Makanan

Arlina Prima Putri, Sukanta, Averroes Prabowo 419-423

Analisis Pendapatan dan Efisiensi Usaha Petani Pemilik Penggilingan Padi Kecil (Studi Kasus di Desa Boros Kecamatan Tanjungkerta Kabupaten Sumedang)

Diyani Fauziyah 425-434

Analisis Trend untuk Meramalkan Nilai PDRB Kota Bandung

Teti Sofia Yanti

¹

dan Onoy Rohaeni 435-441

Membanding Penggunaan LISREL dan SPSS dalam Analisis Jalur

Suparman Ibrahim Abdullah

¹

, Maria Cleopatra, Sara Sahrazad 443-450 Kalender Masehi Kembar

Riyanto 451-454

Meningkatkan Kemampuan Berpikir Kritis Matematis Siswa SMP Melalui Model Pembelajaran Guided Teaching

In Hi Abdullah dan Isman Muhammad Nur 455-464

Aplikasi Var dalam Analisis Risiko pada Porto Folio Single Index Model (Studi Kasus: Data Indeks Harga Saham Jakarta Islamic Index)

Edi Saputra, Neva Satyahadewi, Evy Sulistianingsih 465-474 Kemampuan Guru Matematika dalam Mengintegrasikan Aplikasi Teknologi Informasi dan Komunikasi pada Pendekatan Saintifik Guna Mendukung Implementasi Kurikulum 2013

Euis Eti Rohaeti 475-480

Pendekatan Analisis Kelompok untuk Mengelompokkan Desa di Kabupaten Sleman Berdasarkan Tingkat Kerentanan terhadap Bencana

Siti Arni Wulandya dan Akhmad Fauzy 481-486

Aplikasi Metode Control Chart dan Regresi Linier Berganda pada Burner Temperature Sistem Thermal Oxidizer di PT. MEDCO E&P Field Singa Lematang, Sumatera Selatan

Zamzam Muntaz dan Akhmad Fauzy 487-494

Kajian Simulasi Tingkat Kepercayaan Bagi Parameter, Fungsi Tahan Hidup dan Kuantil Waktu Hidup Dari Data Berdistribusi Eksponensial Dua

Parameter Tersensor Tipe-II Double

Akhmad Fauzy 495-502

Deskripsi Luas Panen, Produksi dan Produktivitas Padi Sawah dan Padi Ladang di Kabupaten Lombok Timur

Lalu Asri Adhitya Nugraha dan Akhmad Fauzy 503-510

Analisis Spasial Kerentanan Sosial Kabupaten Sleman Menggunakan Data Sensus Penduduk 2010

Riswan Dwiramadhan dan Akhmad Fauzy 511-520

Prosiding Seminar Nasional Statistika, Matematika dan Aplikasinya Universitas Islam Bandung, 2014, Halaman : 385- 391

385

Analisis Kestabilan Model Penyebaran dan Pengendalian Penyakit Tuberculosis

Embay Rohaeti

¹

, Sri Wardatun

²

dan Ani Andriyati

³

1,3Program Studi Matematika FMIPA Universitas Pakuan Bogor

2Program Studi Farmasi FMIPA Universitas Pakuan Bogor Email : embay_er@yahoo.com

ABSTRAK

Penyakit tuberculosis merupakan penyakit menular yang mengakibatkan kematian, memerlukan waktu pengobatan 6 sampai 9 bulan dan biaya yang dikeluarkan tidak sedikit, sehingga laju penyebaran penyakit tuberculosis perlu dikendalikan. Penelitian ini bermanfaat dalam memerangi penyakit tuberculosis yang berarti juga memerangi kemiskinan dan ketidakproduktifan dalam upaya meningkatkan kesejahteraan rakyat serta dapat menjadi dasar rekomendasi dalam merumuskan kebijakan yang berkaitan dengan pengendalian penyebaran penyakit tuberculosis.

Fenomena penyebaran penyakit tuberculosis dimodelkan dalam model SIR (Susceptible, Infected, Recovered), langkah selanjutnya dicari titik tetap, dilakukan analisis kestabilan titik tetap yang diperoleh, menentukan basic reproduction ratio.

Hasil dari penelitian ini diharapkan penyebaran penyakit tuberculosis dapat dikendalikan setelah diketahui parameter yang paling berpengaruh dalam penyebaran penyakit tuberculosis, menekan laju infeksi dan meningkatkan laju kesembuhan dengan pengobatan yang intensif.

Kata kunci : tuberculosis, model SIR, kestabilan titik tetap, basic reproduction ratio.

1. PENDAHULUAN

Penyakit tuberculosis (TBC) masih menjadi masalah kesehatan global dan pada tahun 2012 WHO memperkirakan 8,6 juta orang terjangkit penyakit TBC diantaranya 1,3 juta meninggal. Indonesia menempati posisi ke-4 negara dengan jumlah kasus penyakit tuberculosis terbesar di dunia setelah China, India, Afrika Selatan, hal ini didasarkan pada data Kementrian Kesehatan Republik Indonesia (Saputra, 2014). Tuberculosis termasuk dalam penyakit epidemik dan merupakan penyakit menular yang disebabkan oleh bakteri Mycobacterium tuberculosis yang tidak hanya menyerang organ paru tetapi dapat menyerang semua organ tubuh yaitu otak, ginjal, usus, tulang dan kulit (Jones dan Ronald, 1993). Pengobatan TBC memerlukan waktu yang lama antara 6 sampai 9 bulan dan biaya pengobatan yang mahal, bahkan menteri kesehatan RI menegaskan bahwa masalah TBC bukan masalah kesehatan semata, namun juga berkaitan dengan masalah sosial dan ekonomi serta menyerang usia produktif (Girsang dkk, 2002; DepKes RI, 2008).

Dalam menyingkapi fenomena penyebaran penyakit TBC tersebut bidang matematika memiliki peranan penting dalam membantu menganalisa dan mengendalikan penyebaran penyakit TBC, yaitu dengan cara memodelkan fenomena tersebut ke dalam bentuk model matematika yang dirumuskan dalam bentuk sistem persamaan differensial. Meskipun model matematika tidak mampu menyembuhkan penyakit akan tetapi dapat membantu dalam memprediksi dan mengendalikan penyebaran penyakit melalui pendugaan parameter yang berpengaruh dalam model penyebaran penyakit, hal ini dapat membantu dalam menentukan strategi-strategi pengendaliannya, sehingga tidak menjadi kasus epidemik pada masa yang akan datang mendatang. Model penyebaran penyakit yang digunakan pada penelitian ini berdasarkan model [5].

2. TINJAUAN PUSTAKA

2.1. Sistem Persamaan Differensial Linear

Misalkan suatu persamaan differensial linear orde 1 dinyatakan x^a(t)g(t), dengan a(t)dan g(t) adalah fungsi dari waktu t. Jika

a (t )

adalah suatu matriks yang berukuran

n  n

dengan koefisien

386 Embay Rohaeti, Sri Wardatundan Ani Andriyati

konstan dan

g (t )

dinyatakan sebagai vektor konstan

b

maka diperoleh x Ax b dt

dx ^   ^, x(0) x0

. (Farlow, 1994)

2.2. Sistem Persamaan Differensial TakLinear

Misalkan suatu sistem persamaan diferensial biasa dinyatakan sebagai

dengan :

adalah fungsi taklinear dalam 𝑥1, 𝑥₂, … , 𝑥_𝑛. Sistem persamaan (1) disebut sistem persamaan diferensial biasa taklinear. (Braun, 1983)

2.3. Titik Tetap

Misalkan diberikan sistem persamaan differensial (SPD) sebagai berikut

_{x f(x)}

dt

dx  ^ 

, x  R

ⁿ

.

Suatu titik

x

^yang memenuhi

f (x

^

)  0

disebut titik kesetimbangan atau titik tetap dari sistem persamaan tersebut. (Tu, 1994).

2.4. Matriks Jacobian

Menurut Tu (1994), Matrik Jacobian

J

atau

J

_f jika elemen pertamanya adalah turunan dari vektor fungsi

)) ( , ), ( ), ( ( )

( x f

¹

x f

²

x f x

f  

ⁿ , misal [ ] [ ]

i i ij

f x

a f

J 

 

 merupakan matriks Jacobian untuk

) ,

2

( x

₁

x

₁

x

₂

x

₁²

x

₁

x

₂

f   

maka Matriks Jacobian nya adalah 



 



 

1 1

1 2

2 2 2 1

x x

x J_f x

2.5. Nilai Eigen dan Vektor Eigen

Jika dimisalkan A matriks

n  n

, maka suatu matriks tak nol x di dalam

R

ⁿdisebut vektor eigen dari A.

Jika untuk suatu skalar



, yang disebut nilai eigen dari A diperoleh

Ax   x

. Vektor x disebut vektor eigen yang bersesuaian dengan nilai



. (Anton, 1995).

2.6. Analisis Kestabilan Titik Tetap

Misalkan diberikan matriks

A

= 

 



 d c

b

a , jika det

 A   I   ⁰

, dengan

I

matriks identitas, maka persamaan karakteristiknya yaitu 

0

 













d c

b

a , kemudian diperoleh persamaan

2

     0



, dengan

  trace ( A )  a  d

dan

  det( A )  ad  bc

, sehingga diperoleh nilai eigen dari

A

yaitu

2

2

4

,







 

 



_jk ^.

 

t x f x^  ,

   

 

dan t

x t x

t x x

n

 

 





 

 





 

2 1

 

 

 

  ^{ }

 





 

 







n n

n n

x x

x t f

x x

x t f

x x

x t f x

t f

, , , ,

, , , ,

, , , , ,

2 1

2 1 2

2 1 1









Analisis Kestabilan Model ….387

Analisis kestabilan titik tetap dapat ditentukan dengan memperhatikan nilai-nilai eigen yang diperoleh.

Menurut Tu (1994), secara umum kestabilan titik tetap dibedakan sebagai berikut : 1) Stabil, jika :

a. Setiap nilai eigen real negatif (_j 0,j).

b. Setiap komponen nilai eigen kompleks lebih kecil atau sama dengan nol (Re(_j 0,j)). 2) Tidak stabil, jika :

Setiap nilai eigen real positif (_j 0,j)^.

Setiap komponen nilai eigen kompleks lebih besar dari nol (Re(_j 0,j)).

3) Sadel, jika perkalian dua buah nilai eigen real sembarang adalah negatif (



_j

. 

_k

 0 )

.

2.7. Kriteria Routh-Hurwitz

Misalkan

a

₁

a

₂

a

₃

 a

_k bilangan-bilangan real,

a

_j

 0

jika

j  k

. Semua nilai eigen dari persamaan karakteristik

p ( )   

^k

 a

₁



^(k1)

 a

₂



^(k2)

  ... a

_k

 0

mempunyai bagian real yang negatif jika determinan dari matriks

H

_j adalah positif. Selanjutnya didefinisikan matriks Hurwitz

H

_j sebagai berikut:





























 j j j j

j j

a a

a a a

a a a a

a a a a

H





















4 2 3 2 2 2 1 2

2 3 4 5

1 2 3 1

0 0 1

0 0

0 1

dengan

H

_j

 ( h

_lm

)

dan ²

1 , untuk 2

0 , untuk 2 ata , untuk 0 2

u 2

l m

lm

a l m k

l m

l m l k m

h





  

  



 



semua nilai eigen dari persamaan karakteristik mempunyai bagian real yang negatif (titik tetap 𝑥̇ stabil) jika dan hanya jika determinan dari semua matriks Hurwitz positif, yaitu H_j 0, untuk j1, 2,...,k, sehingga menurut kriteria Routh-Hurwitz untuk suatu k, k =2,3,4 disebutkan bahwa titik tetap 𝑥̇ stabil jika dan hanya jika (untuk k =2,3,4),

k=2, a₁ 0,a₂ 0

k=3, a₁ 0,a₃ 0,a₁a₂ a₃ k=4,

4 2 1 2 3 3 2 1 4

3

1 0,a 0,a 0,a a a a a a

a     

(Edelstein-Keshet 1998)

2.8. Basic Reproduction Ratio

Basic reproduction ratio (𝑅0) adalah rata-rata banyaknya individu rentan yang terinfeksi secara langsung oleh individu lain yang sudah terinfeksi bila individu yang terinfeksi tersebut masuk ke dalam populasi yang seluruhnya masih rentan.

a. Jika

R

₀< 1, maka penyakit akan menghilang.

b. Jika

R

₀= 1, maka penyakit akan menetap.

c. Jika

R

₀> 1, maka penyakit akan mewabah.

(Blyuss dan Kyrychko 2005)

388 Embay Rohaeti, Sri Wardatundan Ani Andriyati

3. METODE PENELITIAN

Tahapan yang dilakukan dalam penelitian ini yaitu studi literatur, identifikasi masalah, mendatangi rumah sakit paru di Bogor dalam rangka pengumpulan data dan informasi tentang penyakit tuberculosis dan penyebarannya. Setelah itu dilakukan rekontruksi ulang model SIR (Susceptible, Infected, Recovered) pada kasus penyebaran penyakit TBC di wilayah Bogor dengan diawali pembentukan asumsi-asumsi, kemudian mencari titik tetap, menganalisis kestabilan titik tetap yang diperoleh, menentukan basic reproduction ratio dan membuat program untuk menganalisis secara numerik dengan software mathematica dan menginterpretasikan hasil yang diperoleh.

4. HASIL DAN PEMBAHASAN

4.1. Model SIR untuk Penyakit Tuberculosis

Model SIR untuk penyebaran penyakit tuberculosis populasinya

 

N dibagi menjadi tiga kelompok individu yaitu kelompok individu yang rentan terkena penyakit tuberculosis



S

 

t



, kelompok individu yang terinfeksi penyakit tuberculosis



I

 

t



dan kelompok individu yang sembuh



R

 

t



. Adapun kompartemen model penyebaran penyakit tuberculosis sebagai berikut :

Gambar 1. Kompartemen model penyebaran tuberculosis

Berdasarkan gambar 1, kelompok individu yang rentan terkena penyakit tuberculosis akan bertambah dikarenakan adanya kelahiran sebesar ( konstan), kelompok individu ini juga akan berkurang dikarenakan adanya kematian alami

(  )

dan terjadi kontak langsung dengan kelompok individu yang terinfeksi, dengan



sebagai laju penularannya. Kelompok individu yang terinfeksi akan bertambah karena adanya perubahan yang rentan menjadi terinfeksi setelah adanya kontak langsung dengan kelompok individu terinfeksi, kelompok ini juga dipengaruhi faktor kematian alami dan kematian yang disebabkan penyakit TBC (



_t)serta adanya perubahan yang terinfeksi menjadi sembuh dengan laju



, hal ini mengakibatkan kelompok individu yang terinfeksi menjadi berkurang. Kelompok individu yang telah sembuh akan bertambah karena perubahan dari yang terinfeksi menjadi sembuh dan diasumsikan tidak akan terjangkit TBC kembali, kelompok individu ini juga dipengaruhi oleh kematian alami.

Berdasarkan asumsi-asumsi tersebut diperoleh persamaan matematika dalam bentuk persamaan differensial sebagai berikut :

S dt SI

dS 











I dt SI

dI

t

)

(   



  



2)

I R

dt

dR    

dengan

N  S  I  R

S I 𝛾𝐼

𝜇𝑆 𝜇

_𝑡

𝐼𝜇

_𝑡

𝐼

𝜇𝑅

R

Analisis Kestabilan Model ….389

4.2. Analisis Model Sir Untuk Penyakit Tuberculosis 4.2.1 Titik Tetap

Dalam menganalisis model penyebaran penyakit tuberculosis, langkah pertama yang dilakukan yaitu menentukan titik tetap dari model yang terbentuk. Titik tetap dari persamaaan (2) diperoleh pada saat persamaan pertumbuhan kelompok individu mencapai nilai nol atau 0

dt dS

, 0

dt dI

, 0

dt dR

, akan tetapi karena 0

dt dR

tidak muncul di kedua persamaan lainnya maka titik tetap diperoleh pada saat



0

dt dS

dan ^{dt 0} dI

. Adapun titik tetap yang diperoleh melalui tahapan : 1) Jika 0

dt

dS dan 0

dt

dI , maka diperoleh I₀^ 

0

dan









 



 t

S₁ , kemudian jika

0^ 

0

I disubtitusi ke 

0

dt

dS , maka diperoleh









S0 , sehingga diperoleh titik tetap pertama yaitu ₁

(

₀

,

₀

) ( , 0 )









 I S

T , hal ini merupakan disease free equilibrium.

2) Jika









 



 t

S₁ yang diperoleh disubstitusikan ke 

0

dt

dS , maka didapatkan nilai



 



 

 _



 



₁

1

1

I S 

 



 



 













t

, sehingga diperoleh titik tetap yang kedua yaitu











 

 



 







 

























t

I t

S

T₂

(

₁

,

₁

) ,

, hal ini menunjukkan terjadi epidemik,

tetapi jika ingin tercapai bebas penyakit maka haruslah

0

1





 







_ 



S

atau









S1 ^{, dengan}

kata lain haruslah













 _t   _.

4.2.2 Matriks Jacobian

Langkah selanjutnya yaitu menentukan matriks Jacobian dari persamaan (2) sebagai berikut :



 















 























 









    







t

J I S

S I

I I S

I I

S S S

M , setelah diperoleh matriks Jacobian

tersebut maka titik tetap akan dapat dianalisis kestabilannya.

4.2.3 Analisis Kestabilan Titik Tetap

Pada tahapan ini kedua titik tetap yang diperoleh akan dianalisis kestabilannya menggunakan kriteria Routh–Hurwitz sebagai berikut :

1) ₁

(

₀

,

₀

) ( , 0 )









 I S

T disubstitusikan ke M_J diperoleh



























   











t

MJ

0

,

maka

 



 

   



_t

a

₁

2

atau

a

₁

 0

dan

a

₂

 

²

 

_t

   

atau

a

₂

 0

.

390 Embay Rohaeti, Sri Wardatundan Ani Andriyati

Berdasarkan kriteria Routh–Hurwitz dan syaratnya terpenuhi maka ₁

(

₀

,

₀

) ( , 0 )









 I S T

dikatakan stabil yang berarti merupakan titik tetap disease free equilibrium atau tidak terjadi epidemik.

2) 









 

 



 







 

























t

I t

S

T₂

(

₁

,

₁

) ,

disubstitusi ke matriks Jacobian, diperoleh

















 







 

 



 0













 







t

t t

MJ ^{, maka}

  





 

t

a

₁ atau bernilai

a

₁

 0

dan

)

2

    (   

_t

 

a

atau

a

₂

 0

. Karena

a

₁

 0

dan

a

₂

 0

, hal ini kontradiktif dengan syarat yang harus dipenuhi pada kriteria Routh–Hurwitz, maka titik tetap kedua dapat disimpulkan tidak stabil.

4.2.4 Basic Reproduction Ratio (R₀)

Seperti telah dibahas sebelumnya jika ingin tercapai bebas penyakit atau bebas infeksi, maka haruslah

0

1





 







_ 



S

atau









S1 , dengan kata lain













 _t  _ merupakan threshold atau ambang

batas epidemik, sehingga dapat disimpulkan : 1) Jika













 _t   , maka terjadi epidemik atau kelompok individu yang terinfeksi meningkat.

2) Jika













 _t  _ , maka tidak terjadi epidemik atau kelompok individu yang terinfeksi

mencapai nol atau tidak terdapat kelompok individu yang terinfeksi.

Adapun untuk memperoleh basic reproduction ratio dilakukan dengan tahapan sebagai berikut : Dikarenakan untuk terbebas dari penyakit haruslah









S1 ^atau

1

1

 



S



, sama halnya dengan



1



 



  







 



t

atau

 







 

^

¹

^

⁰





t

, sehingga diperoleh basic reproduction ratio yaitu

    







 

t

R₀ . Setelah R₀diperoleh dapat digunakan untuk mengukur tingkat penyebaran suatu penyakit yaitu jika setiap penderita hanya dapat menularkan penyakit pada satu orang yang rentan atau penderita baru sehingga pada akhirnya penyakit akan menghilang maka R₀ 1, hal ini berarti bahwa tidak terjadi epidemik, sedangkan jika setiap penderita dapat menularkan pada lebih dari satu penderita baru sehingga pada akhirnya penyakit akan mewabah maka R₀ 1, hal ini berarti terjadi epidemik.

5. KESIMPULAN

Dalam pengendalian penyebaran penyakit tubercolosis diperlukan adanya pengukuran tingkat penyebaran suatu penyakit (R₀), agar tidak terjadi epidemik haruslah R₀ 1. Dalam hal ini agar

  ¹

0 



 











t

R perlu diberikan syarat





  





_t 

 

dengan kata lain bahwa laju infeksi harus lebih kecil, karena laju kematian alami ataupun laju kematian yang disebabkan oleh penyakit tuberculosis tidak dapat ditingkatkan, agar dapat terpenuhi syarat tersebut maka diperoleh dengan cara menekan atau menurunkan laju infeksi dan meningkatkan laju kesembuhan melalui pengobatan yang

Analisis Kestabilan Model ….391

intensif, sehingga dapat disimpulkan bahwa parameter yang berpengaruh dalam model penyebaran penyakit tuberculosis yaitu parameter



dan



.

DAFTAR PUSTAKA

Anton, H. (1995). Aljabar Linier Elementer. Edisi ke-5,Terjemahan Pantur Silaban dan I Nyoman Susila, Erlangga, Jakarta.

Blyuss, K.B and Kyrichko, Y.N. (2005). “On a basic model of a two-disease epidemic”, Elsevier applied Mathematics and computation. 160 : 177-187.

Braun M. 1983. Differential equation and their applications. Springer-Verlag, Germany.

Edelstein-Keshet L. (1998). Mathematical Models in Biology. Random House, New York.

Farlow, S.J. (1994). An Introduction to Differential Equations and Their Applications, Mc Graw-Hill, New York.

Fredlina, K.Q. Oka, T.B, dan Dwipayana, I.M. (2012). “Model SIR untuk Penyebaran Penyakit Tuberculosis”, e-journal Matematika Vol 1 ; No ; 52-58.

Girsang, M., Sumantri, Yulianti, P. Norendah dan Gendrowahyuno. (2002). “Quality Control Pemeriksaan Tuberkulosis di Puskesmas Rujukan Mikroskopis (PRM), Pusat Penelitian dan Pengembangan Pemberantasan Penyakit, Depkes RI”, Cermin Dunia Kedokteran 137. Jakarta.

Jones, T.C and Ronald, D.H. (1993). Veterinary Pathology. 5th ed, Lead & Febiger, Philadelphia.

Saputra, H.A. (2014). Indonesia Duduki Peringkat ke-4 Negara Terbanyak Kasus TB di Dunia. [http://healt. Okezone.com diakses 3 Maret 2014]

Tu, PNV. (1994). Dynamical System An Introduction with Applications in Economic and Biology, Springer-Verlag, Heidelberg, Germany.